Solusi Pengayaan Matematika · 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 Solusi 2: ACB 70 ADB...

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 13

April Pekan Ke-1, 2007

Nomor Soal: 121-130

121. Tentukan banyak pasangan bilangan real yx, yang memenuhi persamaan 2 2 2007x y dan

cot cot 1x y .

Solusi:

cot cot 1x y

yx cotπtanπ

yx π

2

πtantanπ

ππ2

ππ kyx

2

1 kyx

2 2 2007x y 2

2 12007

2x k x

22 21 1

2 20072 2

x k x k x

22 1 1

2 2 20072 2

x k x k

2

21

1 22 2007

2 4 2

kk

x

2

21

1 20072

2 4 4 2

kk

x

Karena

21

20072

4 2

k

, maka

21

40142

k

1 14014 4014 0

2 2k k

1 14014 4014

2 2k

Karena k bilangan bulat, maka 63 62k .


Setiap nilai k memberikan dua kemungkinan pasangan yx, , karena

2

21

1 22 2007

2 4 2

kk

x

memberikan dua nilai x, kemudian nilai y ditentukan dari

2

1 kyx .

Jadi, banyak pasangan bilangan real yx, adalah 2521262 .

122. Jika 2π

8cos7

, 4π

8cos7

and 6π

8cos7

adalah akar-akar persamaan berderajat tiga (kubik), carilah

persamaan tersebut.

Solusi:

Misalnya persamaan berderajat tiga (kubik) adalah 023 dcxbxax dengan akar-akarnya

1

2π2cos

7x , 2

4π2cos

7x , dan 3

6π2cos

7x .

Menurut Vieta:

a

bxxx 321

2π 4π 6π2cos 2cos 2cos

7 7 7

b

a

2π 2π 4π 6πsin 2cos 2cos 2cos

7 7 7 7

2πsin

7

2π 2π 2π 4π 2π 6π2sin cos 2sin cos 2sin cos

7 7 7 7 7 72π

sin7

4π 6π 2π 8π 4πsin sin sin sin sin

7 7 7 7 72π

sin7

8π 6π 2πsin sin sin

7 7 72π

sin7

π 2π8sinπcos sin

7 72π

sin7

1

1b

a

a

cxxxxxx 323121

2π 4π 2π 6π 4π 6π2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos

7 7 7 7 7 7

c

a

2π 4π 2π 6π 4π 6π2 2cos cos 2 2cos cos 2 2cos cos

7 7 7 7 7 7

c

a

6π 2π 8π 4π 10π 2π2 cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

c

a

2π 4π 6π 8π 10π 2π2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos

7 7 7 7 7 7

c

a


8π 10π 2π1 2cos 2cos 2cos

7 7 7

c

a

6π 4π 2π1 2cos 2π 2cos 2π 2cos

7 7 7

c

a

6π 4π 2π1 2cos 2cos 2cos

7 7 7

c

a

1 1c

a

2c

a

a

dxxx 321

2π 4π 6π2cos 2cos 2cos

7 7 7

d

a

2π 2π 4π 6π8sin cos cos cos

7 7 7 72π

sin7

4π 4π 6π4sin cos cos

7 7 72π

sin7

8π 6π2sin cos

7 72π

sin7

6π 6π2sin 2π cos

7 7

2πsin

7

6π 6π2sin cos

7 72π

sin7

12 πsin

72 π

sin7

2πsin 2π

7

2πsin

7

2πsin

7 12π

sin7

1d

a

Karena itu persamaannya adalah 3 21 2 1 0x x x 3 2 2 1 0x x x .

123. Diberikan ABC siku-siku di C yang panjang sisi-sisi adalah a, b, dan c, dengan cba . Dua

lingkaran yang sama dengan jari-jari r berada di dalam segitiga yang bersinggungan dan juga

sisi AC dan AB dan lingkaran yang lain menyinggung sisi AC dan BC. Buktikan bahwa

abc

bcbr

33dan hitunglah r jika 6, 8,dan 10a b c .

Solusi:

2tan1

2tan2

tan2 A

A

A

2tan1

2tan2

2 A

A

b

a

B

C

a

A

b

c r

r r

r r P Q

R S

B

C

a

A b

c


2tan2

2tan 2 A

bA

aa

02

tan22

tan 2 aA

bA

a

a

abbA

2

442

2tan

22

a

abb

2

22 22

a

cb

2

22 2

a

cb

2

22

a

cb

a

cbA

2tan (diterima) atau

a

cbA

2tan (ditolak)

AS

r

a

cbA

2tan

bc

arAS

ASRSCRAC

bc

arrrb

2

bc

ar 3

bc

abcr

33

3 3

b c br

c b a

(qed)

8 10 6 32 8 22

3 10 3 8 6 12 3 3r

124. ABCD adalah segi empat dengan 30BAC , 20CAD , 50ABD , 30DBC .

Jika diagonal-diagonal berpotongan di O dan panjang OD = 2007, carilah panjang OC .

Solusi 1:

Kita mempunyai 70ACB , 80ADB . Sekarang kita gunakan aturan sinus pada

ABC , ABD , BCO , dan ADO :

sin30 1

sin 70 2sin 70

BC

AB

…. (1)

sin 50

sin80

AD

AB

…. (2)

sin30

sin80 2sin80

BC BCOC

…. (3)

sin 20

sin80

ADOD

…. (4)

Bagilah persamaan (1) oleh persamaan (2), kita mendapatkan sin80

2sin50 sin 70

BC

AD

Bagilah persamaan (3) oleh persamaan (4), kita mendapatkan 1

2sin 20

OC BC

OD AD

.

Karenanya, sin80

4sin 20 sin50 sin 70

OC

OD

Tetapi

50sin20sin270sin270sin50sin20sin4 70cos30cos70sin2

70cos70sin230cos70sin2 140sin40sin100sin

40sin40sin80sin 80sin

Karenanya, 2007OC OD .

A

B

C

D

O

20 30

5030


Solusi 2:

70ACB , 80ADB , x OCD dan y ODC ; 80yx

BCACDBDACABDCBDDCAADBBAC sinsinsinsinsinsinsinsin 70sinsin20sin50sin30sinsin80sin30sin yx

yx sin40cos20cos20sin4sin10cos yx sin80sinsin10cos yx sin10cossin10cos

yx sinsin yx

2007OC OD

Catatan:

10cos80sin40cos40sin240cos20cos20sin4 .

125. Diberikan ABC adalah segitiga sama kaki dengan ACAB . Garis bagi B memotong sisi

AC pada titik D dan bahwa ADBDBC . Jika sin10 k , carilah sin A .

Solusi 1:

Misalnya E pada BC sehingga BDBE .

ADBDBC (diketahui)

BE CE BD AD CEAD

Menurut teorema garis bagi:

CB

AC

CB

AB

CD

AD

CD

CE

Karena BCADCE , sehingga BCADCE ~ .

Akibatnya ABCCDEDCE .

Misalnya 2ABC , maka 4BDE BED , CBD , sehingga

2 2 4 180

20 Karena itu, 100A .

2sin sin100 sin80 cos10 1 sin 10A 21 k

Solusi 2:

Menunjukkan xCB 2 xADBxA 3,4180

DABDBC

DB

DA

BD

BC1

x

x

x

x

4sin

sin1

2sin

3sin

xxxxxx 2sinsin4sin2sin4sin3sin

xxxxxx 3coscos6cos2cos7coscos xxxx 7cos2cos3cos6cos

2

5cos

2

9cos

2

3cos

2

9cos

xxxx

02

9cos

x

20x

A

B

D

E C


Karena itu, 100A 40CB .

2sin sin100 sin80 cos10 1 sin 10A 21 k

126. Jika x adalah bilangan real merupakan solusi dari persamaan 22 1

1 2 11

xx x

x

, carilah nilai

dari 10 2 5x .

Solusi:

22 11 2 1

1

xx x

x

2 21 2 1 2 1x x x x

Di sini jelas bahwa 11 x .

Misalnya cosx ( 0 π ), sehingga

1 1 cosx 22sin2

2 sin

2

,

2 22 1 2cos 1 cos 2x , dan

2 22 1 2cos 1 cos 2cos sin sin 2x x ,

Sehingga persamaan 2 21 2 1 2 1x x x x menjadi

2 sin cos 2 sin 22

2 sin cos 2 sin 22

2 sin 2 sin 22 4

sin sin 22 4

π2 2 π

4 2k

atau

π2 π 2 π

4 2k

, k B

3 π2 π

2 4k atau

5 3π2 π

2 4k , k B

π 4π

6 3k or

3π 4π

10 5k , k B

Karena 0 π , kita memiliki 3π

10 , kemudian akarnya adalah

4

5210

10

π3cos

x .

10 2 5 100 2010 2 5 10 2 5 20

4 4x

127. Selesaikanlah persamaan 2 28sin 8cos sin 8cos 8sin cos tan3 3cos3x x x x x x x x .

Solusi 1:

2 28sin 8cos sin 8cos 8sin cos tan3 3sec3x x x x x x x x

2 28sin 1 cos 8cos 1 sin tan3 3sec3x x x x x x

2 28sin sin 8cos cos tan3 3sec3x x x x x x


3 3 38sin 8cos tan3

cos3x x x

x

3 38sin cos3 8cos sin 3 3x x x x

Gunakan identitas: 3 3sin sin 3

sin4

x xx

dan 3 cos3 3cos

cos4

x xx

.

8

33sincos3cossin 33 xxxx

8

33sin

4

cos33cos3cos

4

3sinsin3

x

xxx

xx

8

33sincos33sin3cos3cos3sin3cossin3

4

1 xxxxxxxx

2

33sincos33cossin3 xxxx

2

13sincos3cossin xxxx

2

14sin x

6

πsin4sin x

π4 2 π

6x k atau

π4 π 2 π

6x k

π 1π

24 2x k atau

5π 1π

24 2x k , k B

128. Selesaikanlah persamaan 6 6sin cos 0,25x x .

Solusi 1:

Misalnya 2sinp x , sehingga 21 cosp x

6 6sin cos 0,25x x

3 3

2 2sin cos 0,25x x

33 1 0,25p p

3 2 31 3 3 0,25p p p p

23 3 0,75 0p p

24 4 1 0p p

22 1 0p

1

2p

2 1sin

2x

1sin 2

2x

1 1sin 2 sin 2

2 2x x

32 πatau 2 π

4 4x k x k

atau

52 πatau 2 π

4 4x k x k

, k B


Solusi 2: 6 6sin cos 0,25x x

2 2 4 2 2 4sin cos sin sin cos cos 0,25x x x x x x

4 2 2 4sin sin cos cos 0,25x x x x

2

2 2 2 2sin cos 3sin cos 0,25x x x x

2 21 3sin cos 0,25x x

2 23sin cos 0,75x x

1cossin4 22 xx

1cossin22xx

12sin2 x

12sin x

12sin x atau 12sin x

π22

2 kx

atau π22

32 kx

atau 2 2 π

2x k

π4

x k

atau 3

π4

x k

atau π4

x k

, k B

Solusi 3:

Gunakan kesamaan baabbaba 3333 , sehingga kita mendapatkan

6 6sin cos 0,25x x

3

2 2 2 2 2 2sin cos 3sin cos sin cos 0,25x x x x x x

2 21 3sin cos 0,25x x

2 23sin cos 0,75x x

1cossin4 22 xx

1cossin22xx

12sin2 x

12sin x

12sin x or 12sin x

π4

x k

atau 3

π4

x k

atau π4

x k

, k B

129. Jika c

ba 18sin , tentukan nilai cba .

Solusi:

18

1855

3902

390sin2sin

3cos2sin

2coscossin2

sin2sincos2coscossin2

sincossin2cos1cos2cossin2 2

cossin2coscos2cossin2 23


coscos12coscos2cossin2 23

33 cos2cos2coscos2cossin2

cos3cos4cossin2 3 , karena 0cos

3cos4sin2 2

3sin14sin2 2

3sin44sin2 2

01sin2sin4 2

8

1642sin

8

522

4

51

Karena sudut lancip, maka 4

51sin

. Berarti 1a , 5b , dan 4c .

Jadi, nilai 0451 cba .

130. Tentukan nilai minimum dari 2 2 225 25 cos 16

sin

x x x

x x

untuk 0 x .

Solusi 1:

2 2 225 25 cos 16

sin

x x x

x x

2 225 1 cos 16

sin

x x

x x

2 225 sin 16

sin

x x

x x

Misalnya siny x x , sehingga bentuk terakhir menjadi 225 16 16

25y

yy y

.

Karena 0x maka sin 0x dan 0 x , sehingga 0y .

Selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM diperoleh

AM GM

16 1625 2 25 40y y

y y

Kesetaraan akan tercapai jika 216 16 425

25 5y y y

y .

Karenanya nilai minimum adalah 40 (jika 4

sin5

x x ; sehingga sinx x adalah kontinu dan naik

pada interval 02

x

dan pada interval ini 0 sin2

x

.

Solusi 2:

2 2 225 25 cos 16

sin

x x x

x x

2 225 1 cos 16

sin

x x

x x

2 225 sin 16

sin

x x

x x

Kita menyatakan pembilang sebagai bentuk kuadrat sempurna dengan menambah 40 sin

sin

x x

x x ,

sehingga

2 225 sin 16 40 sin40

sin sin

x x x x

x x x x

2 225 sin 40 sin 1640

sin

x x x x

x x

2

5 sin 440

sin

x x

x x

Selanjutnya, jika 5 sin 4 0x x , maka jelas minimum 40.

Solusi 3:


2 2 225 25 cos 16

sin

x x x

x x

2 225 1 cos 16

sin

x x

x x

2 225 sin 16

sin

x x

x x

Misalnya siny x x , sehingga bentuk terakhir menjadi 225 16 16

25y

f x yy y

.

Tentukan turunan pertama dan kedua, sehingga 2

16' 25f y

y dan

3

32"f y

y .

Nilai stasioner f dicapai jika ' 0f y , sehingga 2

1625 0

y

4

5y atau

4

5y .

Perhatikan bahwa 4 125

" 05 2

f

berarti nilai f adalah minimum sedangkan

4 125" 0

5 2f

berarti nilai f adalah maksimum.

Substitusikan 4

sin5

y x x ke 2 225 sin 16

sin

x x

x x

, sehingga diperoleh nilai minimum adalah

24

25 165

404

5

.

Solusi Pengayaan Matematika · 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 Solusi 2: ACB 70 ADB...

Documents

Transcript of Solusi Pengayaan Matematika · 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 Solusi 2: ACB 70 ADB...