AC DEVRE ANALİZİ: Sin üzoidal gerilim ve akımlar

AC DEVRE ANALİZİ:Sinüzoidal gerilim ve akımlar

Bir sinüzoidal sinyal üç parametre ile tanımlanır.

Genlik VmFaz Frekans = 2f

Örnek: v(t)=Vm Sin (2πf + θ)

•AC devre analizinin her bir adımında devrede tek bir frekansta salınım yapan sinyal (veya sinyallerin) etkin olduğu kabul edilir. •Bu durumda geriye analiz hesaplarına katılması gereken iki parametre kalacaktır. ( Vm ve θ )

Not: Eğer devrede birden fazla frekans etkin ise bu durumda süperpozisyon ilkesi kullanılarak hesaplamalar basitleştirilir. Bunu bölüm sonunda inceleyeceğiz. Bu aşamada devrede tek bir frekansın etkin olduğunu kabul edeceğiz.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -1

AC SİNYAL ANALİZİNDE AKIM VEYA GERİLİM KAYNAKLARINI

TANIMLAMAK İÇİN SADECE GENLİK VE FAZ AÇISI BİLGİLERİNİ(dikkat sayıca iki adet bilgi söz konusu)KULLANACAK BİR HESAPLAMA

YÖNTEMİ GEREKLİDİR.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 2:

• Doğrusal devrelerde kullanılan pasif elemanlar R, L ve C ’lerden oluşmuşlardır.

• Bu elemanların akım ve gerilim büyüklüklerini birbirlerine bağlayan tanım bağıntıları ya ölçekleme yada türev ve integral işlemleri ile tanımlanmışlardır.

• Sinüzoidal işaretlerinin türev ve integralleri de yine aynı frekansta salınan fakat genlik ve fazı değişmiş bir sinüzoidal işarete denk gelir:

tCosV)t(v m

90tCosV

tSinV

dttv mm

90tCosVtSinVdt

)t(dvmm

Sinyal v(t), integrali (iv(t) ile gösterilen) ve türevi (dv(t) ile gösterilen)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

48

36

24

12

0

12

24

36

48

600.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal

Zaman [s]

Vol

taj [

V]

44.429

44.429

v tn dv tn iv tn

40 tn


R ELEMANI: Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanınuçları arasında oluşan gerilim sadece genliği R kadar ölçeklenmiş aynı sin/cossinyali olacaktır.

C ELEMANI: Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanınuçları arasında oluşan gerilim genliği 1/ωC kadar ölçeklenmiş ve fazı da -900

kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız C elemanı akım-gerilimtanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade integral işlemi)

L ELEMANI: Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanınuçları arasında oluşan gerilim genliği ωL kadar ölçeklenmiş ve fazı da +900

kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız L elemanı akım-gerilimtanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade türev işlemi)


SONUÇ:

AC SİNYAL ANALİZİNDE SADECE GENLİK VE FAZ AÇISI BİLGİLERİNİ(dikkat sayıca iki adet bilgi söz konusu)KULLANACAK BİR HESAPLAMA

YÖNTEMİ GEREKLİ.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -3:

ACABA BU MAKSATLA KARMAŞIK SAYILAR(dikkat her karmaşık sayı bünyesinde adları reel veimajiner kısım olmak üzere iki adet bilgi ihtiva eder)KULLANILABİLİRLER Mİ?

SİNÜZOİDAL SİNYALİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ

+ reel

- reel

orijine olan uzaklık:

Vm

= 0

+j ( = 90 veya /2)

-j ( = -90 or - /2)

= 180 veya

imajiner

θ+t

Farklı bir yaklaşım olarak zamanla konumunu değiş- tiren bir nokta göz önüne alalım: bu noktanın θ baş- langıç açısı ve ω açısal hızı ile saatin ters yönünde döndüğünü kabul edelim.

Normalde karmaşık-düzlemde bir nokta bir karmaşık sayıyı ifade eder.

+ reel

- reel

+t Vm

= 0

+j ( = 90 veya /2)

= 180 veya

tf2cosVvm

0 5 10 1515

12

9

6

3

0

3

6

9

12

15


açısal frekans [rad/s] . Zaman [s]

V

olta

j [V

]

14.142

14.142

v imag t n

12.5660 t( )n-j ( = -90 veya - /2)


15 10 5 0 5 10 1515

13.5

12

10.5

9

7.5

6

4.5

3

1.5

0

Voltaj [V]

açıs

al f

reka

ns [

rad/

s] .

Zam

an [

s]

0

12.566

tn

14.14214.142 v real t( )n

w açısal hızı ile dönen noktanın imajiner eksen üzerine iz-düşümü sin(wt) olur

w açısal hızı ile dönen noktanın reel eksen üzerine iz-düşümü cos(wt) olur


SONUÇ:

8.4 Relationship between rms and peak and i and j

• Electrical engineers generally use a slightly different nomenclature to mathematicians for complex notation

– Firstly we use j, rather than i, for the square root of –1 (i gets confused with current)

– Secondly, we normally use rms values rather than peak values to describe the amplitude. For sine waves the peak is always 1.414 times the rms. (rms values rather than peak are used to describe voltages and currents)

8.5 Representation of d/dt by j • We know that a signal represented by the differentiation

of a sinusoidal voltage or current is the equivalent of the original signal– Multiplied by – Advanced in phase by 90 degrees or /2

• Now multiplying by j gives a phase shift of +90 degrees• Thus the operation of d/dt on a sinusoidal signal is like

multiplying by j (in the complex plane)

)cos()( tVtv m

)2

cos()sin()( tVtV

dt

tdvmm

8.6 Impedance of resistors, inductors and capacitors

• Impedance is a term used to describe the relationship between sinusoidal voltage and current for

– a single passive component

– a group of passive components

(passive components are R, L and C. They are passive because they are linear and have no gain)

• Turev alinca esitlikler ne olur

• Impedance is given the symbol Z

Note v and i are complex quantities here. (Some books use bold type to distinguish between complex and absolute values of sinusoidal voltages and currents or between complex and dc values)

Zv

i

v = i Z

v = i R

iLjdt

diLv i

C

ji

Cjv

thus

vCjdt

dvCi

1

• Thus

C

jZ

LjZ

RZ

C

L

R

We have two components to the impedance. One has no j term and is referred to as real The other is all j terms and is referred to as imaginary

The same is true for voltage and current.

All complex values can be expressed as a magnitude and phase angleOr as a complex quantity.

Complex voltages and currents are called phasors

8.7 Phasors, Reference Phasor and CIVIL• A phasor is a term given to a voltage or current which has a real and complex part. Represented as one of

the following forms

partimaginary theofsign thebe to of

sign therequiresfunction cos the UsingNote

coscosarccos

sincos

1

22

m

real

m

real

m

real

imagrealm

m

mm

jm

imagreal

v

v

v

va

v

v

vvv

where

vv

vjvv

evv

vjvv

+ real

-real

- j

vm

= 0

= 90 or /2

= -90 or - /2

= 180 or

In circuits with several voltages and currentsWe need to define we need to takea current or voltage as a reference (i.e. let =0 for that variable)

• Taking the same voltage applied across a parallel combination of a resistor, a capacitor and an inductor

v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL

• Plotting the voltage and three current phasors on the complex plane produces a phasor diagram. Voltage is common to all so we take that as the reference phasor in this case

+ j

+ real- real

- j

= 0

= 90 or /2

= -90 or - /2

= 180 or

C

jZ

LjZ

RZ

C

L

R

Z

vi

v


v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL


+ j

+ real- real

- j

= 0

= 90 or /2

= -90 or - /2

= 180 or

C

jZ

LjZ

RZ

C

L

R

Z

vi

viR


v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL


+ j

+ real- real

- j

= 0

= 90 or /2

= -90 or - /2

= 180 or

C

jZ

LjZ

RZ

C

L

R

Z

vi

viR

iC


v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL


+ j

+ real- real

- j

= 0

= 90 or /2

= -90 or - /2

= 180 or

C

jZ

LjZ

RZ

C

L

R

Z

vi

viR

iC

iL

• We can see that the phase angle between current and voltage is

– 0 for the resistor,

– + 90 degrees for the capacitor

– and –90 degrees for the inductor

• A memory aid is the acronym CIVIL

• CIV, for a capacitor (C), current (I) leads voltage (V)

• VIL, voltage (V) leads current (I) for an inductor (L)

8.8 Phasor Addition and Complex Arithmetic to Find the Combined Current for the Previous Circuit

• Find i

v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL

i

LCj

Rvi

LjCj

Rv

ZZZvi

iiii

LCR

LCR

11

11

11111

- real

j

By complex algebra and arithmetic

+ real

- j

v

iL

By phasoraddition


• Find i

v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL

i

LCj

Rvi

LjCj

Rv

ZZZvi

iiii

LCR

LCR

11

11

11111

j


+ real- real

- j

v

iRiL

By phasoraddition


• Find i

v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL

i

LCj

Rvi

LjCj

Rv

ZZZvi

iiii

LCR

LCR

11

11

11111

j


+ real- real

- j

v

iR

iC

iL

By phasoraddition


• Find i

v ZR

iR

ZC

iC

ZL

iL

i

LCj

Rvi

LjCj

Rv

ZZZvi

iiii

LCR

LCR

11

11

11111

+ real- real

- j

v

iR

iC

iL

j

i i


By phasoraddition

8.9 General Circuit Solution

• We can solve ac networks with the same tools and methods used for dc networks

– Must use complex representation of voltages, currents and impedances

– Must choose one current or voltage as reference phasor and relate all others to it in terms of the phase angle

• Evaluation of power needs care (rms values help)

• Evaluation of stored energy needs care

8.10 Instantaneous power, real power and reactive power

0 1 2 3 42

1

0

1

22

2

v t n i t n P t n

40 t n

0 1 2 3 42

1

0

1

22

2

v t n i t n P t n

40 t n

0 1 2 3 42

0

2

43

2

v t n i t n P t n

40 t n

Instantaneous power waveforms for a voltage of 2V peak and a current of 1.5A peakFlowing separately in a resistor, a capacitor and an inductor

Resistor case

Average powerPav=0.5Vm*Im

Pav=vrms*irms

Inductor case

Pav = 0

Capacitor case Pav = 0

EMPEDANSSinüzoidal (sin veya cos tipi) alternatif akımagösterilen karşı koymanın (direnimin) ölçüsüdür.

Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır:

– Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır.

– Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır.

Empedans = Rezistans + j.Reaktansşeklinde tanımlı olup, genellikle EE uygulamalarında

Z=R+jXile sembolize edilirler.

EMPEDANS• DİRENÇ: değeri R0 olan elemanın

Rdirenç= R0 ve Xdirenç=0 ise ZR=R

• BOBİN: değeri L olan elemanın

Rbobin= 0 ve Xbobin=ωL ise Zbobin=jωL

• KAPASİTE: değeri C olan elemanın

Rkapasite= 0 ve Xkapasite=-1/ωC ise Zkapasite=1/jωC

ADMİTANSElektrik devrelerinde Sinüzoidal (sin veya cos tipi)

alternatif akımagösterilen karşı koymanın (direnimin) ölçüsüdür.

Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır:

– Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır.

– Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır.

Empedans = Rezistans + j.Reaktansşeklinde tanımlı olup, genellikle EE uygulamalarında

Z=R+jXile sembolize edilirler.

AC DEVRE ANALİZİ: Sin üzoidal gerilim ve akımlar

Documents

Transcript of AC DEVRE ANALİZİ: Sin üzoidal gerilim ve akımlar