1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 16

April Pekan Ke-4, 2005

Nomor Soal: 151-160

151. Jika

π 2π1 sin cos

2005 2005tanπ 2π

cos sin2005 2005

x

, maka nilai x adalah ....

A. π

5 B.

π

401 C.

π

1002,5 D.

π

2005 E.

2π

2005

Solusi: [D]

π 2π1 sin cos

2005 2005tanπ 2π

cos sin2005 2005

x

2π π1 sin 1 2sin

2005 2005π π π

cos 2sin cos2005 2005 2005

π πsin 1 2sin

2005 2005

π πcos 1 2sin

2005 2005

πtan

2005

ππ

2005x k , dengan Bk

Jika 0k , maka π

2005x .

152. Jika cot tanx x a , maka nilai 2 2cot tan ....x x

A. 2 2a B. 2 1a C. 2a D. 2 1a E. 2 2a

Solusi: [E]

Kita mengetahui bahwa 22 2 2a b a b ab dan cot tan 1x x , sehingga

22 2cot tan cot tan 2cot tanx x x x x x

2 2a

153. Tiang bendera diletakkan di puncak gedung, sehingga puncak dan dasar tiang

terlihat oleh pengamat dengan sudut , dengan 5

1tan . Jika tinggi gedung

adalah 40 meter dan jarak pengamat ke dinding gedung adalah 50 meter,

tentukan panjang tiang bendera.

A. 21

1119 m B.

1118

21m C.

1116

21m D.

1110

21m E.

119

21m

Solusi: [A]

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Misalnya panjang tiang bendera adalah xCD .

50

40tan

x

50

40

tantan1

tantan x

50

40

40250

50200 x

50

40

210

250 x

125021840 x

41021 x

21

1119

21

410x

Jadi, panjang tiang bendera adalah 21

1119 m.

154. Titik-titik A, B, C, dan D terletak pada keliling lingkaran. AC adalah diameter

dan DBACBD . Jika 2CB dan 4AB , berapa panjang BD?

A. 4 3

B. 4 2

C. 3 3

D. 3 2

E. 2 3

Solusi: [D]

AC diameter , 90ABC , dan

45DBACBD .

Karena CAD dan CBD dan sama-

sama menghadap busur BC, maka

45CBDCAD

Menurut Teorema Pythagoras

22 ABBCAC 5242 22

A

B

C

D

2 4

A

B

C

D

A B

C

D

x

4

0 50

40 1

4050 540 1 50

150 5

x

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Misalnya BAC , sehingga nilai

AC

BCsin

52

2

5

1 .

AC

ADCAD cos

CADACAD cos 45cosAC

Menurut Aturan Sinus:

ABD

AD

BAD

BD

sinsin

45sin

45cos

45sin

ACBD

45sin52BD sin45coscos45sin52

2 2 2 1

2 52 25 5

5

2

2

352 23

155. Tentukan nilai eksak dari hasil kali 2 4

cos cos cos7 7 7

.

A. 1

2 B.

1

3 C.

1

8 D.

1

18 E.

1

21

Solusi: [C]

2 4cos cos cos

7 7 7

2 4

2sin cos cos cos7 7 7 7

2sin7

2 2 42sin cos cos

7 7 7

4sin7

4 42sin cos

7 7

8sin7

8sin

7

8sin7

sin7

8sin7

sin7

8sin7

1

8

156. Dalam ABC diketahui bahwa 3sin 4cos 6A B

dan 4sin 3cos 1B A .

Nilai 21 cot C adalah ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 3 3 E. 4 3

Solusi: [A]

6cos4sin3 BA

36cossin24cos16sin9 22 BABA .... (1)

1cos3sin4 AB

1sincos24cos9sin16 22 BAAB .... (2)

Jumlah persamaan (1) dan (2) menghasilkan

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

37sincoscossin24cossin16cossin9 2222 BABABBAA

37sin2411619 BA

12sin24 BA

2

1

24

12sin BA

150atau30BA

30atau150C

Untuk 30A , maka 6cos4sin3 BA sehingga 64

2

3

Karenanya besar sudut C adalah 30 .

2

2 21 cot 1 cot 30 1 3 1 3 4C

157. Jika nilai minimum fungsi 4 4cos sin 2 1 cosf x x x k x adalah 2

1 ,

maka nilai k adalah ....

A. 2 3 B. 31 C. 2 D. 2 3 E. 32

Solusi: [D]

4 4cos sin 2 1 cosf x x x k x

2 2 2 2cos sin cos sin 2 1 cosf x x x x x k x

22cos 1 2 2 cosf x x k k x

2 2

2 cos 2 12 2

a af x x a

dan dengan mempertimbangkan kasus berikut.

Kasus 1:

Jika 2k , maka xf memberikan minimum 1 4k untuk 1cos x .

Kasus 2:

Jika 2k , maka xf memberikan minimum 1untuk 1cos x .

Kasus 3:

Jika 2 2k , maka xf memberikan minimum 2

2 12

kk untuk

cos2

kx .

Dalam dua kasus pertama minimum xf tidak dapat menjadi

2

1 .

Sehingga kita mempunyai

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

2 12 1

2 2

kk

2 4 1 0k k

4 16 4

2k

2

324 32

Dalam interval 2,2 , kita memperoleh 2 3k .

158. Misalnya a, b, dan c adalah tiga bilangan berurutan dalam barisan geometri

yang menunjukkan panjang sisi-sisi di depan sudut A, B, dan C dari ABC .

Jika sin cos tan

sin cos tan

A A Cx

B B C

, maka penyelesaian nilai yang mungkin untuk x

adalah ....

A. 0x C. 5 1 5 1

2 2x

E.

5 1

2x

B. 5 1

02

x

D. 5 1

2x

Solusi: [B]

Misalnya rasio antara a, b, c adalah r, maka arb dan 2arc .

sin cos tan

sin cos tan

A A Cx

B B C

sinsin cos

cossin

sin coscos

CA A

CC

B BC

sin cos cos sin

sin cos cos sin

A C A C

B C B C

CB

CA

sin

sin A

B

πsin

πsin

A

B

sin

sin

b arr

a a

Di sini kita hanya memerlukan untuk menghitung interval (range) dari r.

Karena a, b, c adalah barisan geometri, panjang maksimum hanya a atau c.

Juga karena a, b, c adalah panjang tiga sisi segitiga, mereka memenuhi

hubungan cba dan acb .

Sehingga

aarar

arara2

2

01

012

2

rr

rr

1 5 5 1

2 2

5 1 5 1atau

2 2

r

r r

Jadi, interval (range) dari x atau r adalah 5 1 5 1

2 2r

atau

5 1 5 1

2 2x

.

159. Suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya 21, 28, dan 35. Di dalam

segitiga tersebut terdapat dua lingkaran yang saling bersinggungan dan kedua

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

lingkaran juga menyinggung kaki dan hipotenusa segitiga tersebut. Tentukan

jari-jari lingkaran tersebut.

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 E. 5

Solusi: [E]

2tan1

2tan2

tan2 B

B

B

2

2 tan28 4 2

21 31 tan

2

B

B

2tan3

2tan22 2 BB

022

tan32

tan2 2 BB

022

tan12

tan2

BB

2

1

2tan

B(diterima) atau 2

2tan

B(ditolak)

BY

QYB

2tan

BY

r

2

1

rBY 2

2tan1

2tan2

tan2 A

A

A

2

2 tan21 3 2

28 41 tan

2

A

A

2tan8

2tan33 2 AA

032

tan82

tan3 2 AA

032

tan12

tan3

AA

3

1

2tan

A(diterima) atau 3

2tan

A(ditolak)

C B

Y

X

A

28

21

P

Q r

r

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

AX

PXA

2tan

AX

r

3

1

rAX 3

BXXYAXAB

35 3 2 2r r r

7 35r

5r

160. Dalam trapesium ABCD, / /AB CD , A adalah sudut siku-siku, 8AB ,

34AD , 24CD , dan titk E terletak pada AD sedemikian sehingga besar

AEB adalah setengah besar CED . Tentukan panjang AE .

A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 E. 18

Solusi: [D]

Misalnya AEB dan 2CED . xAE dan xDE 17 .

8tan

x

24tan 2

34 x

2

2 tan 24

341 tan x

2

82

24

3481

x

x

x

2

16 24

3464

x

xx

2

2 3

3464

x

xx

2 268 2 3 192x x x 25 68 192 0x x

5 12 16 0x x

12

5x (ditolak) atau 16x (diterima)

Jadi, panjang AE adalah 16.

B

A

C

D

8

24

E

2

x

34 x