Respons System SDOF Tak Teredam (Udamped) pada Gerakan

Harmonis Seperti telah dijelaskan pada Bab III, total respons system linear terdiri dari superposisi gerakan gaya dan gerakan natural. Lihat pada gambar berikut, menunjukkan System Undamped SDOF.

)()()( tututu cp +=

Asumsikan bahwa sistem linear dan amplitudo p0 dan frekuensi Ω konstan. Persamaannya adalah :  

tpkuum Ω=+ cos0

Pada pergerakan gaya atau steady-state respons :

tUu p Ω= cos SUBSTITUSIKAN  

Untuk menentukan amplitudo, U, dihasilkan persamaan dari substitusi berupa :

20

Ω−=

mkp

U

terbukti bahwa (k - mΩ2) ≠ 0, jika :

kpU 0

0 =adalah defleksi statis

Maka persamaannya dapat berupa :

1r,11)( 2 ≠−

=Ωr

H Dimana :

n

rωΩ

= disebut rasio frekuensi

0

)(UUH =Ω disebut fungsi respons frekuensi

Pembesaran (magnitude) :

)(Ω= HDs

disebut faktor pembesaran steady-state

Dari kombinasi persamaan di atas :

1r,cos1 2

0 ≠Ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= tr

Uu p

Jika r < 1, hasilnya adalah sefasa dengan eksitasi

Jika r > 1, hasilnya adalah tidak sefasa 1800 dengan eksitasi, up dapat ditulis :

( )tr

Uup Ω−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= cos1 2

0

Total respons adalah :

tAtAtr

Uu nn ωω sincoscos1 212

0 ++Ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

D,D

s

r=Ω/ωn

Forced only

Free and Forced parts

Contoh 4.1

Sistem pada gambar berikut mempunyai k = 40 lb/in, dan berat kotor 38.6lb.

jika u0 dan ů0 = 0 ketika p(t) =10 cos(10t), tentukan persamaan gerakannya. Sketsa hasil pergerakannya.

Solusi : Total respons ditentukan berdasarkan :

tAtAtr

Uu nn ωω sincoscos1 212

0 ++Ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

untuk mencari velocity :

tAtAtr

Uu nnnn ωωωω cossinsin1 212

0 +−Ω−

Ω−=

dari persamaan frekuensi natural, didapat:

rad/s20)6.38()386(402

121

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Wkg

mk

nω

Main Menu Gambar Soal

in.25.040100

0 ===kpU

5.02010

==Ω

=n

rω

oleh karenanya :

in33.025.0125.0

)5.0(125.0

1 220 =

−=

−=

− rU

gunakan kondisi awal untuk mengerjakan A1dan A2

120

10)0( A

rUu +−

==

tAtAtr

Uu nn ωω sincoscos1 212

0 ++Ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

in33.01 2

01 −=

−−=

rUA

demikian juga :

nAu ω20)0( ==jadi, A2 = 0 Akhirnya, u = 0.33[cos(10t) – cos(20t)] in. Persamaan digambarkan pada kurva dibawah ini

tAtAtr

Uu nnnn ωωωω cossinsin1 212

0 +−Ω−

Ω−=

-­‐0.8  

-­‐0.6  

-­‐0.4  

-­‐0.2  

0  

0.2  

0.4  

0.6  

-­‐9.99E-­‐16   0.3   0.6   0.9  

u(in)  

t  (sec.)  

up=0.33cos(10t)  

uc=-­‐0.33cos(20t)  

u(t)  

Dari pengamatan respons didapat hasil :

1.  respons steady-state mempunyai frekuensi yang sama dengan exication dan sefasa dengan exication sejak r < 1

2.  gerakan gaya dan gerakan natural saling memperkuat dan menghilangkan menghasilkan fenomena tumbukan. Jadi respons total bukanlah gerakan harmonis sederhana.

3. maksimum total respons (u(t)= -0.66 in. pada t = π/10s) lebih besar pada pembesarannya dari respons maksimum steady state (up = 0.33 in. pada t = 0)

-­‐0.8  

-­‐0.6  

-­‐0.4  

-­‐0.2  

0  

0.2  

0.4  

0.6  

-­‐9.99E-­‐16   0.3   0.6   0.9  

u(in)  

t  (sec.)  

up=0.33cos(10t)  

uc=-­‐0.33cos(20t)  

u(t)  

Total faktor pembesaran dinamis didefinisikan sebagai :

0

)(max

Utu

Dt

=

jika r = 1 :

np tCtu ω=ΩΩ= ,sin

0  

0.5  

1  

1.5  

2  

2.5  

3  

3.5  

4  

0   0.5   1   1.5   2   2.5   3  

D,D

s  

r=Ω/ωn  

Forced  only  

Free  and  Forced  parts  

Maka asumsi yang digunakan: tpkuum Ω=+ cos0

SUBSTITUSIKAN  

dari substitusi didapat :

nmpCω20=

atau

ttUu nnp ωω sin)( 021=

digambarkan pada grafik:

4.14

4.15

-­‐3  

-­‐2  

-­‐1  

0  

1  

2  

3  

-­‐1.33E-­‐15   0.3   0.6   0.9   1.2  

u(in)  

t  (sec.)  

up(t)  

Respons System Viscous-Damped SDOF

Persamaan gerakan :

tpkuucum Ω=++ cos0

respons steady state :

)cos( α−Ω= tUu p

velocity dan percepatan :

)sin( α−ΩΩ−= tUu p

)cos(2 α−ΩΩ−= tUup

dimana :

( ) ( )[ ]212220 21

1

rrUUDs

ζ+−==

dan

21ζ2αtanrr

−=

Gambar Faktor Pembesaran Dan Rasio Frekuensi Dari Berbagai Nilai

Gambar Sudut Fase Dan Rasio Frekuensi dari berbagai Nilai

0  

1  

2  

3  

4  

5  

6  

0   0.5   1   1.5   2   2.5   3   3.5   4   4.5   5  

Ds  

r  

0.1  

0.2  

0.3  

0.5  

0.7  

1  

ζ  :  

0  

90  

180  

0   0.5   1   1.5   2   2.5   3   3.5   4  α  

r  

0.1  

0.2  

0.3  

0.5  

0.7  

1  

ζ  :  

Contoh 4.2 Jika ζ = 0.2 ditambahkan pada sistem pada contoh 4.1

dan dengan kondisi dan perlakuan yang sama, tentukan persamaan gerakannya. Sketsa pergerakannya.

Main  Menu  

-­‐0.8  

-­‐0.6  

-­‐0.4  

-­‐0.2  

0  

0.2  

0.4  

0.6  

-­‐9.99E-­‐16   0.3   0.6   0.9  

u(in)  

t  (sec.)  

up=0.33cos(10t)  

uc=-­‐0.33cos(20t)  

u(t)  

Penyelesaian : Fungsi total respons didapat dari :

)sincos()cos( 21 tAtAetUu ddtn ωωα ζω ++−Ω= −

dimana :

[ ]21222

0

)2()1( rr

UUζ+−

=

ωn, U0, dan r dapat ditemukan dari contoh 4.1

rad/s2021

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=mk

nω

in25.040100

0 ===kpU

5.02010

==Ω

=n

rω

rad/s4)20)(2.0( ==nζω

oleh karenanya :

( )[ ] [ ]{ }in32.0

)5.0)(2.0(25.01

25.021

222=

+−=U

267.0)5.0(1)5)(2.0(2

12tan 22 =

−=

−=

rrζ

α

selanjutnya :

α = 0.26 rad

dari persamaan :

rad/s6.19)2.0(1201 22 =−=−= ζωω nd

hasil diferensial total respons dari waktu :

( ) ( )[ ]tAAtAAetUu

dnddndtn ωζωωωζωω

αζω sincos

)sin(

2112 −−−+

−ΩΩ−=−

maka :

1)26.0cos(32.00)0( Au +−==

sehingga :

in31.0)26.0cos(32.01 −=−−=Ain11.02 −=A

Oleh karenanya :

in)]6.19sin(11.0)6.19cos(31.0[)26.010cos(32.0

4 ttetu

t +−

−=−

-­‐0.5  

0  

0.5  

0   0.5   1   1.5   2   2.5  

u(in)  

t  (sec.)