REDUCCIÓN AL PRIMER REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTECUADRANTE

Y

X

5to “A”5to “A”

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE CON RESPECTO AL EJE X CON RESPECTO AL EJE X

Consideramos un ángulo Consideramos un ángulo θθ en posición normal del en posición normal del primer cuadrante, tal que primer cuadrante, tal que θθ es un ángulo agudo. es un ángulo agudo. Sus razones trigonométricas son :Sus razones trigonométricas son :

1

y

xctg

x

ytg

x

r

y

x

y

r

r

ysen

)(;)(

)sec(;)cos(

)csc(;)(

Y

X

θ

rP (x;y)

Determinamos las razones trigonométricas de (Determinamos las razones trigonométricas de (ππ- - θθ) es un ) es un ángulo agudo y donde (ángulo agudo y donde (ππ - - θθ) es un ángulo en posición normal ) es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante , es decir x<0, y>0, r>0.del segundo cuadrante , es decir x<0, y>0, r>0.

2

y

xctg

x

ytg

x

r

r

x

y

r

r

ysen

;

sec;cos

csc;

Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 2, tenemos :Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 2, tenemos :Sen(Sen(ππ--θθ)=sen()=sen(θθ) ; csc () ; csc (ππ--θθ)= csc ()= csc (θθ))

cos (cos (ππ--θθ)= - cos ()= - cos (θθ) ;sec () ;sec (ππ--θθ)= - sec ()= - sec (θθ))tg(tg(ππ--θθ)= - tg ()= - tg (θθ) ; ctg () ; ctg (ππ--θθ)= - ctg()= - ctg(θθ))

Y

X

r

θ

P (x;y)(π-θ)

Determinamos las razones trigonométricas de (Determinamos las razones trigonométricas de (ππ++θθ) tal que ) tal que θθ es un ángulo agudo y donde ( es un ángulo agudo y donde (ππ++θθ) es un ángulo en ) es un ángulo en

posición normal del tercer cuadrante, es decir que x<0 , posición normal del tercer cuadrante, es decir que x<0 , y<0 , r>0.y<0 , r>0.

y

xctg

x

ytg

x

r

r

x

y

r

r

ysen

;

sec;cos

csc;

3

Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 3 tenemos:Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 3 tenemos:sen(sen(ππ++θθ)= -sen ()= -sen (θθ) ; csc () ; csc (ππ++θθ)= -csc()= -csc(θθ))

cos(cos(ππ++θθ)= -cos ()= -cos (θθ) ; sec () ; sec (ππ++θθ)= -sec ()= -sec (θθ))tg(tg(ππ++θθ)= tg ()= tg (θθ) ; ctg() ; ctg(ππ++θθ)= ctg ()= ctg (θθ))

Y

Xθ

P (x;y)

(π+ θ)

r

Determinamos las razones trigonométricas de (2Determinamos las razones trigonométricas de (2ππ--θθ) tal ) tal que que θθ es un ángulo agudo y donde (2 es un ángulo agudo y donde (2ππ--θθ) es un ángulo en ) es un ángulo en

posición normal del cuarto cuadrante, es decir que x>0, posición normal del cuarto cuadrante, es decir que x>0, y<0, r>0.y<0, r>0.

y

xctg

x

ytg

x

r

r

x

y

r

r

ysen

2;2

2sec;2cos

2csc;2

4

Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 4 tenemos:Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 4 tenemos:sen(2sen(2ππ--θθ)= -sen ()= -sen (θθ) ; csc (2) ; csc (2ππ--θθ)=- csc()=- csc(θθ))cos (2cos (2ππ--θθ)= cos ()= cos (θθ) ; sec(2) ; sec(2ππ--θθ)= sec ()= sec (θθ))tg(2tg(2ππ--θθ) = - tg () = - tg (θθ) ; cgt (2) ; cgt (2ππ--θθ)= - ctg()= - ctg(θθ))

Y

Xθ

P (x;y)

(2π-θ)

r

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE COM RESPECTO AL EJE Y COM RESPECTO AL EJE Y

Consideramos el ángulo Consideramos el ángulo θθ del gráfico , tal que del gráfico , tal que θθ es un es un ángulo y el triángulo PSO es rectángulo . Las razones ángulo y el triángulo PSO es rectángulo . Las razones trigonométricas del ángulo trigonométricas del ángulo θθ son : son :

1

x

yctg

y

xtg

y

r

r

y

x

r

y

xsen

)(;)(

)sec(;)cos(

)csc(;)(

Y

XO

θ r

P (x;y)S

Determinamos Las razones trigonométricas de (Determinamos Las razones trigonométricas de (ππ/2 + /2 + θθ)tal que )tal que θθ es un ángulo agudo y (es un ángulo agudo y (ππ/2 + /2 + θθ=) es un ángulo en posición =) es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante , es decir x<0,y>0,r>0.normal del segundo cuadrante , es decir x<0,y>0,r>0.

2

y

xctg

x

ytg

x

r

r

x

y

r

r

ysen

0;

2

2sec;

2cos

2csc;

2

Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 2, tenemos :Sen(π/2+θ)=cos(θ); CSC (π/2+θ)= SEC (θ)

Cos (π/2+θ)= - sen (θ); SEC (π/2+θ)= -CSC (θ)Tg(π/2+θ)= -CTG(θ); CTG (π/2+θ)= -tg(θ)

Y

XO

θ

P (x;y)(π/2+θ)

Determinamos las razones trigonométricas de (3Determinamos las razones trigonométricas de (3ππ/2-/2-θθ) tal ) tal que que θθ es un ángulo agudo y (3 es un ángulo agudo y (3ππ/2+/2+θθ) es un ángulo en ) es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante , es decir que posición normal del tercer cuadrante , es decir que

x<0,y<0.r>0x<0,y<0.r>0

y

xctg

x

ytg

y

r

r

y

y

r

x

ysen

2

3;

2

3

2

3sec;

2

3cos

2

3csc;

2

3

3

Aplicando la ley transitiva en las expreciones1 y 3 tenemos:Aplicando la ley transitiva en las expreciones1 y 3 tenemos:Sen(3Sen(3ππ/2-/2-θθ)=-cos()=-cos(θθ); CSC (3); CSC (3ππ/2- /2- θθ)=-SEC()=-SEC(θθ))Cos(3Cos(3ππ/2-/2-θθ)=-sen()=-sen(θθ);SEC (3);SEC (3ππ/2-/2-θθ)=-CSC ()=-CSC (θθ))

Tg(3Tg(3ππ/2-/2-θθ)=CTG()=CTG(θθ);CTG(3);CTG(3ππ/2-/2-θθ)=tg ()=tg (θθ))

Y

Xθ

P (x;y)

(3π/2-π)

.Determinamos las razones trigonométricas de (3.Determinamos las razones trigonométricas de (3ππ/2+/2+θθ)tal )tal que que θθ es un ángulo agudo y (3 es un ángulo agudo y (3ππ/2+/2+θθ) es un ángulo en ) es un ángulo en posición normal del cuarto cuadrante , es decir que posición normal del cuarto cuadrante , es decir que

x>0.y<0,r>0.x>0.y<0,r>0.

y

xctg

x

ytg

x

r

r

x

y

r

r

ysen

2

3;

2

3

2

3sec;

2

3cos

2

3csc;

2

3

4

Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 4 tenemos:Aplicando la ley transitiva en las expresiones 1 y 4 tenemos:Sen(3Sen(3ππ/2+/2+θθ)=-cos()=-cos(θθ);CSC(3);CSC(3ππ/2+/2+θθ)=-SEC()=-SEC(θθ))Cos(3Cos(3ππ/2+/2+θθ)=sen ()=sen (θθ) ;SEC(3 ) ;SEC(3 ππ/2+/2+θθ)=-SEC()=-SEC(θθ))

Tg(3Tg(3ππ/2+/2+θθ)=-CTG()=-CTG(θθ);CTG(3);CTG(3ππ/2+/2+θθ)=-tg()=-tg(θθ))

Y

Xθ

P (x;y)

(3π/2+ θ)