EXMENES Y PRCTICAS PRIMER EXAMEN Y PRCTICAS 145 EXMENES Y PRCTICAS PRIMER EXAMEN PARCIAL RESUELTO...

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  • EXMENES Y PRCTICAS

    145

    EXMENES Y PRCTICAS

    PRIMER EXAMEN PARCIAL RESUELTO

    1.- Construir la tabla de verdad de la siguiente proposicin e indicar si se trata

    de una tautologa, contradiccin o contingencia.

    ~ ~ ~q p s r s p q

    [(~q p) (s v r)] [(~s ~p) v q]

    F F V V V F V V F F F V V

    F F V F F V V V V F F V V

    F F V F V V F V F F F V V

    F F V V F F F V V F F V V

    V F V V V F V F F F F F F

    V F V F F V V V V F F F F

    V F V F V V F V F F F F F

    V F V V F F F F V F F F F

    F V F F V F V V F F V V V

    F V F V F V V V V V V V V

    F V F V V V F V F F V V V

    F V F F F F F V V V V V V

    V F F V V F V F F F V F F

    V F F F F V V V V V V V F

    V F F F V V F V F F V F F

    V F F V F F F V V V V V F

    Es una contingencia

    2.-En el siguiente diagrama de Veen sombrear C

    C CA D C B

    A B

    D C

    A A B

    D C

    A

    CA D

  • LGEBRA I 146

    3.- Escriba el conjunto de verdad de la proposicin de la pregunta 1 p q r s [(~q p) (s v r)] [(~s ~p) v q]

    V V V V F F V V V F V V F F F V V

    V V V F F F V F F V V V V F F V V

    V V F V F F V F V V F V F F F V V

    V V F F F F V V F F F V V F F V V

    V F V V V F V V V F V F F F F F F

    V F V F V F V F F V V V V F F F F

    V F F V V F V F V V F V F F F F F

    V F F F V F V V F F F F V F F F F

    F V V V F V F F V F V V F F V V V

    F V V F F V F V F V V V V V V V V

    F V F V F V F V V V F V F F V V V

    F V F F F V F F F F F V V V V V V

    F F V V V F F V V F V F F F V F F

    F F V F V F F F F V V V V V V V F

    F F F V V F F F V V F V F F V F F

    F F F F V F F V F F F V V V V V F

    ( ) ( )( )( )( )( )( )

    ( )( )( )( )( )( )

    P VVVV VVVF VVFV VVFF VFVF FVVV

    FVVF FVFV FVFF FFVF FFFV FFFF

    4.- Hallar las races quintas de la unidad

    A

    D C

    A B

    C

    CCC B

    CC CA D C B

  • EXMENES Y PRCTICAS

    147

    1

    2 2cos sin cos72 sin 72 0.309 0.951

    5 5w i i i

    2

    4 4cos sin cos144 sin144 0.809 0.857

    5 5w i i i

    3

    6 6cos sin cos 216 sin 216 0.809 0.587

    5 5w i i i

    4

    8 8cos sin cos 288 sin 288 0.309 0.951

    5 5w i i i

    5

    10 10cos sin cos360 sin360 1

    5 5w i i

    5.- Si

    3 33 cos sin

    4 4

    4(cos sin )

    2 cos sin4 4

    x i

    y i

    z i

    Hallar xy

    z

    3 33 cos sin 4(cos sin )

    4 4

    2 cos sin4 4

    i ixy

    zi

    3 36 cos sin

    4 4 4 4

    3 36 cos sin

    2 2

    xyi

    z

    xyi

    z

  • LGEBRA I 148

    PRIMER EXAMEN PARCIAL PROPUESTO

    1.- Construir la tabla de verdad de la siguiente proposicin e indicar si se trata

    de una tautologa, contradiccin o contingencia.

    ~ ~ ~ ~s p q r p r q

    2.- Escribir el conjunto de verdad de la proposicin de la pregunta 1

    3.- En el siguiente diagrama de Venn sombrear C

    C CA B C D

    4.- Determinar la validez del siguiente argumento

    P1: Si estudio no reprobar ninguna materia

    P2: Apruebo todas las materias y obtengo un promedio mayor a 65%

    P3: Estudi

    .

    Q: Me gradu por excelencia

    5.- Si

    3 32 cos sin

    2 2

    7(cos 2 sin 2 )

    3 cos sin3 3

    x i

    y i

    z i

    Hallar x

    yz

    A

    B C

    D

  • EXMENES Y PRCTICAS

    149

    SEGUNDO EXAMEN PARCIAL RESUELTO

    1.- El conjunto 17 : ,S r s r s Z con adicin y multiplicacin

    definidas por: 17 17 , 17a b c d a c b d

    17 17 17 , 17a b c d ac bd ad bc es un anillo,

    demostrar la ley distributiva: a b c ab ac

    Solucin

    17 17 17

    17 17 17 17

    a b c d e f

    a b c d a b e f

    17 17

    ( ) 17 ( ) ( ) ( ) 17

    a b c e d f

    a c e b d f a d f b c e

    17( ) ( ( )) 17

    ( 17 ) ( 17 ) ( ) ( ) 17

    17 17 17 17

    ac ae bd bf ad af bc be

    ac bd ae bf ad bc af be

    a b c d a b e f

    2.- Demostrar por induccin 2

    3

    1

    ( 1)

    2

    n

    i

    n ni

    2

    3 3 3 3

    1

    ( 1)1 2 ........

    2

    n

    i

    n ni n

    Si n = 1 2

    3 1(1 1)12

    1 1

    Si n = h 2

    3 3 3 3

    1

    ( 1)1 2 ........

    2

    n

    i

    h hi h

  • LGEBRA I 150

    Si n = h+1 2

    3 3 3 3 3

    1

    ( 1)( 2)1 2 ........ ( 1)

    2

    n

    i

    h hi h h

    Hay que demostrar que: 2 2

    3( 1) ( 1)( 2)( 1)2 2

    h h h hh

    2 2

    2 ( 1)( 2)( 1) ( 1)2 2

    h h hh h

    2 2

    2 ( 1)( 2)( 1) 12 2

    h h hh

    2 2

    2 2 ( 1)( 2)( 1)2 2

    h h hh lqqd

    3.- Con los dgitos (0,2,4,6,8) a) Cuntos nmeros mayores a 30000 se pueden

    formar b) Cuntos menores a 60000 c) Cuntos menores a 1000 d) Cuntos sin

    restricciones.

    a) Si deben ser mayores a 30000 solamente los dgitos 4,6,8 pueden ir adelante,

    por tanto: 4

    43 3(4 3 2 1) 72P

    b) Los nmeros menores a 60000 de 5 dgitos slo admiten el 2 y el 4 por

    delante 4

    42 2(4 3 2 1) 48P

    Debemos aadir los numero comprendidos entre 1000 y 10000, en este caso

    solamente el cero no puede ir como primer dgito. 4

    34 4(4 3 2) 96P

    Adems debemos aadir los nmeros comprendidos entre 100 y 1000, estos

    son: 4

    24 4(4 3) 48P

    Los nmeros entre 10 y 100 sern: 4

    14 4(4) 16P

    Y los nmeros de un solo dgito incluyendo el cero son 5, entonces la cantidad

    total de nmeros distintos menores a 60000 ser:

    48 + 96 + 48 + 16 + 5 =213

  • EXMENES Y PRCTICAS

    151

    c) La cantidad total de nmeros menores a 1000 ser:

    48 + 16 + 5 = 69

    d) Sin restricciones tendremos, los comprendidos entre 10000 y 100000 4

    44 4(4 3 2 1) 96P

    Ms todos los nmeros menores a 10000

    96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261

    4.- Resolver 4 3 26 29 40 7 12 0x x x x

    4 3 229 40 7 12 06 6 6 6

    x x x x

    Siendo el producto de dos de sus races igual a 2.

    Supongamos que las races son a,b,c,d y que cd=2

    29 40(1);

    6 6a b c d ab ac ad bc bd cd

    7; 2 1

    6abc abd acd bcd abcd ab

    201 2

    3

    17 17( ) ( ) ( )( ) (3)

    3 3

    ac ad bc bd

    a c d b c d a b c d

    72 2 (2)

    6c d a b Sumando (1) + (2) se tiene

    29 7 63 3 2 (4)

    6 6 3a b a b

    Como 1 2ab y a b se tiene: 2 2 1 0 ( 1 2)( 1 2) 0x x x x

    Reemplazando (4) en (3)

    217 172 2 06 6

    c d como cd x x

    4 30

    3 2x x Por tanto las races sern:

  • LGEBRA I 152

    1 2 3 4

    4 31 2 ; 1 2 ; ;

    3 2x x x x

    5.- Resolver 3 21 342 0x x

    q = 21 ; r = 342 3 3

    3 3 3 3 21342 ; 34327 27

    qy z r y z

    2

    31

    32

    342 343 ( 1)( 343) 0

    1 1

    343 7

    t t t t

    t y y

    t z z

    11 7 6 ; 6x y z x

    2 1 2

    1 3 1 31 ( 7)

    2 2 2 2x w y w z

    2

    1 3 7 7 33 4 3

    2 2 2 2x

    3 2 1

    1 3 1 31 ( 7)

    2 2 2 2x w y w z

    3

    1 3 7 7 33 4 3

    2 2 2 2x

    Las races son:

    1 2 36 ; 3 4 3 ; 3 4 3x x x

    SEGUNDO PARCIAL PROPUESTO

    1.- Si ( , , , ) : ,S a b b a a b Z con adicin y multiplicacin definidas por:

    ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

    ( , , , )( , , , ) ( , , , )

    a b b a c d d c a c b d b d a c

    a b b a c d d c ac bd ad bc ad bc ac bd

    Es un anillo, demostrar la ley asociativa.

    2.- Demostrar por induccin que:

    1 2 3 4 5 6 ...... (2 1)(2 ) ( 1)(4 1)3

    nn n n n

    3.- Se dispone de una coleccin de 20 libros y se desea saber de cuantas formas

  • EXMENES Y PRCTICAS

    153

    se pueden formar colecciones de: a) 8 libros b)12 libros incluyendo 1 c) 14

    libros excluyendo 1 d) 16 libros incluyendo 2 y excluyendo 1 e) con cuntos

    libros se pueden formar el mximo nmero de combinaciones y cuantos son

    4.- Resolver la ecuacin 4 3 22 27 6 4 0x x x x si dos races son

    iguales y de signo contrario.

    EXAMEN FINAL RESUELTO

    1) Resolver 4 3 26 29 40 7 12 0x x x x

    Siendo igual a 2 el producto de dos de sus races

    4 3 229 40 7 2 06 6 6

    x x x x

    2 ; 2 1abcd ab cd

    7

    6

    72 2 (1)

    6

    29(2)

    6

    abc abd acd bcd

    c d a b

    a b c d

    Sumando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos

    363 3 2

    6c d c d

    Como cd=-1 y c+d=2 se tiene la ecuacin cuadrtica 2 2 1 0x x

    Cuyas races son:

    2 81 2

    2x

    Las otras dos soluciones se pueden hallar dividiendo

    4 3 2

    2

    2

    29 40 72

    176 6 6 22 1 6

    x x x x

    x xx x

    Cuyas races son:

    2 17 4 32 06 3 2

    x x x x

    Siendo las cuatro races:

  • LGEBRA I 154

    1 2 3 4

    4 31 2 ; 1 2 ; ;

    3 2x x x x

    2) Resolver mediante Cardano 3 26 17 36 0x x x

    6

    23 3

    q

    p

    1 6 17 36

    2 1 4 9 18

    1 2 5

    1 0

    1

    La ecuacin reducida cuyas races son menores en 2 unidades que las de la

    ecuacin original ser: 3 5 18 0x x

    q=5 ; r=-18 3 3

    3 3

    3 3

    5 125

    27 27 27

    18

    qy z

    y z r

    2

    2

    12518 0

    27

    12518 18 4

    27 18 18,5

    2 2

    t t

    t

    10,633 ; 2,633 ; 0,633 2,633 2y z x y z

    2 1 2

    2

    1 3 1 3( 0,633) (2,633)

    2 2 2 2

    1 2,828 1 2 2

    x w y w z

    x i i

    3 1 2

    3

    1 3 1 3(2,633) ( 0,633)

    2 2 2 2

    1 2,828 1 2 2

    x w z w y