Las vigas y columnas, y el peralte para el extremo de la columna se obtiene

prolongando sus caras hasta el eje de la vigas, siempre que la pendiente de tales

caras no exceda a la relacin 1:3 con respecto al eje de la columna. En la Fig. 6.49 se

ilustran tres casos en los que se indican los peraltes dA y longitudes de acartelamiento

h a considerarse; en el caso (c) la cartela de la columna tiene pendiente mayor que

1:3, por lo que el peralte que se obtiene resulta de trazar las rectas con la mxima

pendiente admisible.

b) Columnas que llegan hacia el nudo con reaccin constante.- Es decir

que las columnas llegan con reaccin constante hasta el acartelamiento de las vigas, o

sea hasta los puntos S1, S2, S2 en la Fig. 6.50.

En estos casos se considera cartelas ficticias para las columnas obtenidas trazando

desde los puntos S rectas con pendiente 1:3 hasta su encuentro con el eje de las

vigas. En la figura se muestran los peraltes y longitudes de acartelamiento que as se

obtienen. En el caso en que los puntos S2 y S2 no quedaran a la misma altura, se

tendran los valores para el coeficiente ; el valor que definitivamente se tomar para

la longitud de acartelamiento es el promedio

.

El mtodo as considerado, aparte de que no deja lugar a dudas, satisface a todos los

principios generales anteriormente expuestos y que por lgica deben regir en la

solucin de este problema. Debemos hacer hincapi en los siguientes resultados de la

aplicacin del mtodo.

1) La variacin de la seccin transversal de la columna es paulatina y compatible

con la hiptesis de Resistencia de Materiales

2) La interrelacin de las secciones transversales de la viga y de la columna es

automticamente tenida

en consideracin que

satisface el 6 principio.

Efectivamente si se

tiene una columna muy

maciza y vigas flexibles,

como se indica en la

Fig. 6.51, la longitud h

de la cartela es

pequea (o sea

pequeo), o la relacin

IC / IA es muy prxima a la unidad (o sea ), ya que los puntos S no distan

mucho del eje de la viga; por consiguiente estamos muy prximos al caso de la

columna que mantiene

constantes sus

secciones en toda su

altura. En el caso

contrario, en que la

columna es de poca

seccin, comparada

con la de las vigas, Fig.

6.52, el valor para es

relativamente

importante y, en

consecuencia el momento de inercia IA diferir mucho de Ic, lo que hace que

sea muy pequeo; nos aproximamos pues, al caso de la columna

perfectamente empotrada en las vigas.

3) Por la Fig. 6.50 se observa que se satisface automticamente el 7 principio en

cuanto al menos empotramiento que para dimensiones similares, presentan las

columnas exteriores ante las interiores. Si consideramos que las columnas A1

y B2 son de la misma seccin constante ( Ic = Ic ), con los trazos para obtener

las cartelas ficticias se obtendr y, por consiguiente, I1 mucho menor

que I2. Resulta, pues, que la rigidez (o empotramiento) de la columna externa

A1 es mucho menor que la interna B2.

El mtodo expuesto es aplicable sin cambios cuando las columnas y vigas no

se interceptan perpendicularmente entre ellas, conforme se puede apreciar en

la Fig. 6.53.

Las dimensiones de peralte y longitud de acartelamiento deben tomarse hasta

el nudo, segn la recta normal al eje de la columna, una vez trazadas las

cartelas ficticias en

pendiente 1:3 (o las

cartelas reales si stas

tienen pendientes igual

o menor de 1:3).

Excepto en los casos

que la columna tiene

poca seccin

comparada con la de

las vigas, casos en que

los acartelamientos

incrementan notoriamente la rigidez o empotramiento de la columna, en

prctica puede considerarse que la columna mantiene su seccin constante en

toda su altura, Fig. 6.54 el error que se puede cometer procediendo as, en los

casos corrientes, es insignificante.

6.9 Prticos y marcos

En el Anexo A de este Volumen se dan las expresiones de los momentos

flectores y reacciones de apoyos para diversos tipos en prticos y marcos de

secciones constantes para determinadas cargas aplicadas.

Las frmulas que se dan han sido extractadas del conocido libro

RAHMENFORMELN del Profesor Dr. Ing ADOLF KLEINLOGEL(1).

Como ejercitacin en la

aplicacin del Mtodo de las

Deformaciones Angulares se puede

verificar las frmulas que aparecen en

el indicado Anexo.

Veamos, por ejemplo, el caso

del prtico empotrado en las bases de

las columnas, Fig. 6.55m para

cualquier tipo de carga en el elemento

horizontal, que genera en los extremos

los momentos primarios o de

empotramiento perfecto MBC y MCB ,

as como una desviacin lateral en los

nudos B y C igual a .

Hagamos,

y

O sea que tambin:

Aplicando la Ec. (6.5) a cada uno de los extremos de los elementos, tenemos:

____________________________

(1) Edicin en ingls: RIGID FRAME FORMULAS CROSBY LOCKWOOD Z SON,

LTD., LONDRES.- La versin original en alemn es de la Editorial VERLAG VON

WILHELM ERNEST Z SOHN.- BERLIN

/

/

6

(a)

Las ecuaciones de equilibrio esttico son:

1) :

De donde:

2)

De donde:

3)

Reemplazando las expresiones de los momentos obtendremos:

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3), tendremos:

6

6

6

Reemplazando estas expresiones de , por ejemplo en la primera de las

frmulas (a) de los momentos en los extremos tenemos:

[

6

6 ]

6

1 Veamos el caso de carga uniformemente

repartida en toda la longitud:

Los momentos iniciales de empotramiento perfecto

son:

Reemplazando en la expresin (4), tenemos:

(

)

6 (

)

Que verifica lo dado en el Anexo A.- Para los dems momentos se remplazar en las

dems expresiones (a)

2 Para el caso de carga uniformemente repartida

en media longitud:

Segn la Tabla N 4 del Volumen II, tenemos:

[ ]

Para nuestro caso

; y por consiguiente:

Reemplazando en la expresin (4), tenemos:

6 [

]

6

(

)

Haciendo las misma operaciones para las otras expresiones de los momentos en los

extremos, veremos que se verifican las frmulas que para este caso aparecen en el

Apndice A.

CAPTULO 7

MTODO DE CROSS

7.1. GENERALIDADES

El Mtodo de Distribucin de Momentos que se expone en este Captulo fue

desarrollado por el Profesor Hardy Cross(1) y es universalmente conocido como el

Mtodo de Cross. Es un mtodo iterativo, de aproximaciones sucesivas, extensamente

utilizado para la solucin de estructuras hiperestticas; es muy simple, por cuanto se

utilizan operaciones aritmticas sencillas que se repiten bajo las mismas pautas; es

objetivo, pues permite observar o sentir el comportamiento fsico de la estructura a

travs de cada operacin que se realiza; y, finalmente, es tan aproximado cuanto se

desea, dependiendo esto de la cantidad de veces que se realicen las operaciones de

aproximacin.

La aproximacin gradual es un camino natural para la solucin de muchos

problemas de anlisis. Desde antiguo fue utilizado este procedimiento; por ejemplo,

por Newton en el clculo de races de ndice cualquiera y en la solucin de un sistema

de ecuaciones.

____________________________

(1) Hardy Cross (1885 1959), norteamericano; graduado del Hampden Sydney

College (1902) con el grado B.A; graduado B.S. in C.E. (1908) en Massachusetts

Institute of Technology, y M.C.E. (1911) en Harward University. Combin la prctica

general de la ingeniera, especialmente en el campo de puentes y la docencia

superior, habiendo sido profesor en Brown University (1911 1918), University of

Illinois (1921 1937) y en Yale University (1937 1953). Autor de muchos artculos y

coautor con N.D. Morgan de la obra Continous Frames of Reinforce Concrete (nueva

York, ed. Wiley, 1932). Su trabajo original sobre el mtodo est expuesto en Analusis

of continuous frames by dustributing fixed end moments, Proceedings rol. N 56 de

Am. Soc. Of Civil Engineers, May 1930, reproducido en Arches, Continuous frams,

Columns and Conduits, seleccin de trabajos de H. Cross, ed. University of Illionis

Press, Urbana, 1963.

El xito de cualquier mtodo de aproximaciones sucesivas depende de la

rigidez de la convergencia de los sucesivos resultados as como de su practicabilidad,

es decir de la factibilidad de hacer uso de frmulas o expresiones simples, de

memorizarlas con facilidad y realizar operaciones sencillas.

El procedimiento de aproximaciones sucesivas fue utilizado tambin antes de

ahora en anlisis estructural para el clculo de esfuerzos secundarios de armadura por

Mohr(2). Y en cuanto a la distribucin sucesiva de momentos, del primero que se tiene

noticia de haber publicado el desarrollo del mtodo es Calisev (3), incorporando algunas

de las ideas fundamentales de la distribucin de momentos al anlisis de esfuerzos

secundarios en prticos de uno y dos pisos con y sin desplazamientos laterales. El

mismo mtodo fue posteriormente publicado en forma muy clara y simple por Hardy

Cross en el ya mencionado Proceeding N 56 de la A.S.C.E., recibiendo amplia

difusin y acogida. La paternidad del mtodo no es, pues, exclusivamente de Cross;

aunque segn refiere el Prof. Gere(4) las ideas bsicas del mtodo de la distribucin de

momentos empez a ensearles el Prof. Hardy Cross a sus alumnos de la University

of Illinois desde 1922.

El mtodo de Cross fue inicialmente utilizado en forma habitual en los Estados

Unidos de Norteamrica; en Europa se inici su divulgacin casi inmediatamente (5);

con motivo de la Segunda Guerra Mundial se detuvo esta divulgacin, hasta

aproximadamente el ao 1950 en que es utilizado de una manera corriente

inicindose, as, una notable tendencia a simplificar el mtodo, sobre todo para los

casos en que se presenta desviaciones de la estructura. En nuestro pas fue enseado

y empleado con toda regularidad desde el ao 1936.

____________________________

(2) Otto Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, 1906.

(3) K.A.Calisev, Techniscki List (Zagreb), n 1 2 (1922), n 17 21 (1923); y en Die

Methode der Sukzessiven Annaherung, Publ. IABSE, vol. 4, 1936.

(4) James M. Gere, Distribucin de Momentos, ed. Compaa Editora Continental

S.A., Mxico, 1962.

(5) M. Fornerod, Clculo del prtico mltiple mediante el mtodo de la distribucin

algebraica de momentos, ed. Schwizerische Banzeitung, 1933. Denedde, Clculo

aproximado de vigas continuas y prticos, Bauingenieur, 1938.

7.2. CONVENCIN DE SIGNOS

En la aplicacin de este Mtodo se seguir la misma convencin de signos

considerada en la seccin 6.2 para el Mtodo de las Deformaciones Angulares.

7.3. FRMULAS GENERALES

Consideremos un elemento ij cualquiera, Fig. 6.2 de longitud (o simplemente

l), que forma parte de una estructura aporticada o continua; es de secciones variables

a lo largo de su longitud. Para los efectos de las definiciones que enseguida daremos

en cuanto a propiedades elsticas del elemento y para la determinacin de las

correspondientes frmulas generales que se necesitan para el desarrollo y aplicacin

del Mtodo de Cross, consideramos que este elemento est descargado.

7.3.1. Rigidez Angular

Tal como ya se indic en la seccin 4.2, en general, se denomina rigidez

angular en el extremo de un elemento, al valor del par que debe aplicarse en ese

extremo para producir all un giro o deformacin angular de un radin. Apliquemos

esta definicin a cuatro casos:

1 El extremo opuesto est perfectamente empotrado.- Si en el extremo i

del elemento ij, Fig. 7.1, perfectamente empotrado en j (en i cualquier tipo de unin,

puede ser empotramiento total o

parcial, articulacin, etc.), aplicando un

par tal que genera en ese extremo

i un giro de un radin, de acuerdo con

la definicin dada, ese par es la rigidez

angular en el extremo i del

elemento. Sustituyendo valores en la

primera de las expresiones (6.3) y

(6.4), teniendo en cuenta que el

elemento est desagregado y que no hay desplazamiento relativo entre los extremos

(o sea que , ), tenemos que:

Contrariamente, si es el

extremo i el que est perfectamente

empotrado, Fig. 7.2, el par que

produce el giro de un radin en el

extremo j en el que est aplicando,

ser ahora la rigidez angular en

este extremo; y sustituyendo valores

en las segundas expresiones (6.3) y (6.4), tenemos que:

O sea que en un elemento fsicamente asimtrico a lo largo de su longitud,

tiene dos valores para la rigidez angular: uno para cada extremo; y cada uno de ellos

es, respectivamente, igual al factor de forma de 2 especie en el extremos (esto,

conforme se ha indicado, cuando el extremo opuesto est perfectamente empotrado).

Estas rigideces angulares son rigideces absolutas. En el Mtodo de Cross

aplicado a estructuras con elementos de secciones variables podemos trabajar ms

sencillamente con valores relativos para las rigideces en cada elemento. Si

denominamos un valor de momento de inercia de comparacin para toda la

estructura, tenemos:

Siendo

Tomamos como rigidez relativa en el extremo i:

De manera similar tendremos que la rigidez relativa en el extremo j es:

6

Si en la estructura en conjunto hay elementos unos de secciones variables y

otros de secciones constantes en toda su longitud, para los miembros, se emplearn

las expresiones (7.5) y (7.6), pero para cada una de las secciones constantes:

Debido a que

Si, finalmente, todos los elementos de la estructura son de secciones

constantes a lo largo de cada uno de ellos, en las expresiones (7.1) y (7.2) podemos

prescindir del factor , y considerar como rigidez relativa del elemento:

2 El extremo opuesto est articulado.- Si en el extremo i del elemento ij,

Fig. 7.3, articulado en el extremo j (en i

cualquier tipo de unin), aplicamos un

par tal que genera en ese extremo

un giro de un radin, ese par es la

rigidez angular en el extremo i del

elemento. Si en las dos expresiones

(6.3) reemplazamos los valores

correspondientes a este caso, tenemos:

Eliminando entre estas igualdades obtenemos:

O sea, segn las expresiones (3.4), la rigidez angular en i es:

En la que es el factor de

forma de 1 especie en el extremo i del

elemento. En esta situacin debemos

considerar que la rigidez en el extremo

opuesto es nula.

En forma similar, si el extremo i

est articulado, se obtiene que la

rigidez angular en j es:

Siendo el factor de forma de 1 especie en el extremo j del elemento; y la

rigidez angular en el extremo opuesto, es decir en el extremo articulado, debemos

tomarla igual a cero.

Para emplear valores relativos de estas rigideces, consideremos el mismo

momento de inercia de comparacin , y segn (3.34) y (3.35), tenemos:

La relacin existente entre la rigidez angular en un elemento con articulacin en

un extremo y la correspondiente rigidez que tendr el mismo elemento si en vez de

articulacin existiera empotramiento perfecto en ese extremo, se obtiene entre las

expresiones (7.11) y (7.3); as, en general, se tienen las siguientes rigidices angulares

en valor absoluto:

Si la articulacin est en el extremo j:

Si la articulacin est en el extremo i:

Y lo mismo tendremos si consideramos rigideces relativas:

Reemplazando en estas expresiones las (7.5) y (7.6) tenemos otra forma de

indicar las rigideces relativas:

6

Si dentro de la estructura hay elementos unos con secciones variables y otros

con secciones constantes, para estos y ; luego, las rigideces

relativas para estos elementos de seccin constante son:

Resultados que nos indican que las rigideces relativas en elementos en los que

hay una articulacin extrema es igual a las partes de la rigidez relativa que tendra

ese elemento si en vez de articulacin en ese extremo hubiera empotramiento

perfecto.

Finalmente, si todos los elementos de la estructura son secciones constantes a

lo largo de cada uno de ellos, tomando segn (7.8) como rigidez relativa

, tendremos que:

3 Elementos centrales en estructuras simtricas cargadas

simtricamente.- En este tipo de elementos, con el fin de trabajar con el Mtodo de

Cross con solamente media

estructura, conviene conocer cul es

la rigidez absoluta y cul es la rigidez

relativa a considerar. Los pares en

los extremos del elemento, as como

las deformaciones angulares son,

respectivamente, iguales entre s,

pero de signos opuestos. Si estas

deformaciones son iguales a la universal, los pares representan la rigidez angular

absoluta. As, aplicando al caso la primera expresin (6.4):

La que comparada con la rigidez absoluta para el caso de extremo opuesto

perfectamente empotrado, da:

(

)

O, tomando rigideces relativas en la forma que se ha venido haciendo, se tiene:

(

)

Si este elemento es de seccin constante, para el que , ,

tendremos:

Resultado que nos expresa que para estos elementos centrales de estructuras

simtricas cargadas simtricamente, cuando son de seccin constante y para los fines

de trabajar solamente con media estructura, debe considerarse una rigidez igual a la

mitad de la del elemento total. Como para estos casos de seccin constante hemos

considerado , la rigidez relativa para cada elemento central que nos ocupa hay

que tomarla:

6

4 Elementos centrales en estructuras simtricas cargadas

antisimtricamente.- En este caso,

para los mismos fines indicados para el

caso anterior, los pares y

deformaciones angulares extremos del

elemento, son iguales entre s y del

mismo signo. Aplicando la primera

expresin (6.4) tenemos ahora:

Que comparndola con la rigidez absoluta , se tiene:

(

)

O, considerando rigideces relativas:

(

)

Si el elemento central es de seccin constante, tendremos:

O sea que para estos elementos centrales de estructuras simtricas

antisimtricamente cargadas, cuando son de seccin constante, debe considerarse

una rigidez igual a los 3/2 de la del elemento total, cuando se quiera aprovechar la

simetra y antisimetra indicadas y trabajar con solamente media estructura.

Considerando , conforme lo hemos venido haciendo, tenemos finalmente:

En la pgina 79 aparece el Cuadro 7.1 en el que se expone un resumen de las

frmulas principales aqu deducidas.

7.3.2. Factor de Transporte

Tambin denominado carry over factor. Si en el extremo i del elemento ij,

Fig. 7.7, perfectamente empotrado en j

(en i cualquier tipo de unin), aplicamos

un par M, hacia el extremo opuesto

referente un momento , o que en el

empotramiento j se genera el par . El

cociente entre este par transmitido y el

par aplicado es lo que se denomina factor de transporte o coeficiente de transmisin.

Aplicando las expresiones (6.4) a este caso, tenemos:

O sea que:

Luego,

O sea que el par transmitido es igual al par aplicado por el factor de transporte

del extremo i hacia el extremo j, el cual tiene por valor:

Si, por el contrario, el extremo i

est perfectamente empotrado, Fig. 7.8,

y en j aplicamos el par M, hacia el

extremo opuesto referente al momento

. La aplicacin de las expresiones

(6.4) da ahora:

CUADRO 7.1.- COEFICIENTES PARA ESTRUCTURAS CON E = CONSTANTE.-

1 2 3 4 5 6

I. SECCIONES VARIABLES.-

RIGIDEZ ANGULAR

(

) (

)

COEFICIENTE DE DISTRIBUCIN

FACTOR DE TRANSPORTE

II. TODOS LOS ELEMENTOS DE

SECCIONES CONSTANTES.-

RIGIDEZ ANGULAR

COEFICIENTE DE DISTRIBUCIN

FACTOR DE TRANSPORTE

O sea que:

Luego,

Es decir que el par transmitido es igual al par aplicado M por el factor de

transporte del extremo j hacia el extremo i, el cual tiene por valor:

En los elementos asimtricos hay, pues, dos coeficientes de transporte, y .

En los elementos fsicamente simtricos ambos coeficientes tienen el mismo valor, ya

que en ellos . Y, finalmente, en los elementos de seccin constante, por ser

y , estos coeficientes de transporte son iguales a .

Si se trata de un elemento que tiene articulacin en un extremo, el coeficiente

de transporte hacia ese extremo es cero; es decir que no referente momento alguno

hacia el extremo articulado.

En el Cuadro 7.1 aparece un resumen de las expresiones o valores de estos

coeficientes.

7.3.3. Reparticin de Momentos. Factores de distribucin.-

Consideremos el nudo i, Fig. 7.9, al

cual concurren varios elementos (i1, i2,

, ij, , in) de una estructura aporticada;

estos elementos pueden tener sus

extremos opuestos unos perfectamente

empotrados y otros articulados.

Si sobre este nudo acta un par ,

en primer lugar se produce un giro del

nudo, que es tambin la deformacin

angular de cada uno de los extremos i de

los elementos all concurrentes (excepto

por supuesto, del elemento i4 que, por

tener rtula en 4, no es influido por la deformacin del nudo i), es decir:

6

En segundo lugar, en los extremos i de estos elementos se citarn momentos

tales que sumados con el par hacen que se cumpla la ecuacin de equilibrio: suma

de momentos en el nudo igual a cero:

De donde:

Para el elemento genrico ij en el que como consecuencia del par el nudo i

aplica el elemento par , la relacin entre este par y la deformacin angular

producida es:

A esta igualdad se llega razonando as: para un elemento descargado en el

que no hay desplazamiento relativo entre sus extremos de acuerdo con la Ecuaciones

de Guldan (6.3), la deformacin angular en el extremo es directamente proporcional al

par aplicado en ese extremo; luego, si para un par aplicado igual a la rigidez angular

se produce un giro de un radin, para un par se produce un giro , es decir:

De lo cual sale la igualdad (7.38)

Si en vez de rigideces angulares utilizamos rigideces relativas , en la

(7.38) obtendremos giros relativos; as, entonces:

Denominando en general a la rigidez relativa, trtese de elementos con

extremo opuesto perfectamente empotrado, o articulado, etc.

etc.) tal como se

detall en la seccin 7.3.1. Utilizando para todos los elementos concurrentes a i la

misma proporcionalidad entre la rigidez angular y la rigidez relativa, el giro es igual

para todos los extremos i, y podemos aplicar la igualdad (7.39) para todos los

elementos del nudo i:

Donde es la suma de las rigideces relativas de todos los elementos

concurrentes al nudo i. De estas igualdades obtenemos:

(

)

(

)

(

)

(

)

Donde:

Se denomina el factor de distribucin del elemento.

En general, pues, el momento absorbido por el extremo i del elemento genrico

ij es directamente proporcional a su rigidez angular en ese extremo (o, tambin, su

rigidez relativa), y es igual al producto par aplicado por el correspondiente factor de

distribucin, producto con signo cambiado al de :

Como verificacin debe cumplirse que, en el nudo, la suma de los factores de

distribucin de todos los elementos concurrentes a l, debe ser igual a la unidad:

Los apoyos con empotramiento perfecto se comportan como si se tratara de un

nudo al cual concurren dos elementos: el real de rigidez finita y uno ficticio de

rigidez infinitamente grande, Fig. 7.10. La suma de rigideces en el nudo es

. El factor de distribucin en el extremo i del elemento ij es:

Por consiguiente, cada vez que se tenga un empotramiento perfecto,

directamente hay que considerar que el factor de distribucin all es igual a cero.

7.3.4. Momentos de empotramiento debidos a desplazamientos de los

extremos .-

Pueden presentarse los dos casos: cuando los dos extremos estn

perfectamente empotrados o cuando en un extremo hay empotramiento perfecto y en

el otro una articulacin. Estos dos casos ya fueron estudiados en los Captulos 3 y 4;

aqu rememoramos lo tratado con el fin de facilitar su aplicacin al Mtodo de Cross.

1 Los dos extremos perfectamente empotrados.- En la seccin 3.3 se

demostr que los pares que se generan en los empotramientos del elemento ij, Fig.

7.11, de secciones variable debidos a un desplazamiento relativo entre los extremos

(giro

), tiene como expresiones:

Siendo:

(

) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

Los factores de giro del elemento

para cada uno de los extremos. Por

consiguiente, reemplazando estas

expresiones, tenemos:

Donde:

a) Para elementos de secciones variables:

(

)

(

)

b) Para elementos de secciones constantes (momento de inercia ):

6

O sea que:

6

1 Un extremo perfectamente empotrado y otro articulado.- En la seccin

4.6 se hizo la deduccin del momento de empotramiento de la viga empotrada y

articulada en sus extremos debido a un desplazamiento relativo entre los extremos.

Si en el extremo i est el empotramiento, Fig. 7.12 (a), el momento es:

(

)

O sea:

Siendo:

(

)

6

(en el extremo j no se genera

ningn momento).

Si en el extremo j est el

empotramiento, Fig. 7.12 (b), el momento es:

(

)

O sea:

Siendo:

(

)

Si el elemento es de seccin constante en toda su longitud (momento de

inercia ),

; por consiguiente:

En resumen, pues, los momentos de empotramiento perfecto generados en un

elemento descargado que sufre una desviacin entre sus extremos, son:

En el Cuadro 7.2 se indican las expresiones y para cada caso:

CUADRO 7.2.- EXPRESIONES y .-

(

)

(

)

6

6

(

)

0

0

0 (

)

0

7.4. EXPOSICIN DEL MTODO.-

Pueden presentarse, en general, dos tipos de estructuras continuas y

aporticadas: aquellas en las que no se producen desplazamientos relativos entre los

extremos de cada elemento, o sea estructura con muchos indesplazables, y aquellas

en los que s se presentan tales desplazamientos. Para este ltimo tipo de estructuras,

conforme se podr apreciar ms adelante, el Mtodo de Cross resulta tanto ms

complicado y tedioso cunto ms grados de libertad (en desplazamiento) tiene la

estructura; y es, en estos casos, en los que conviene recurrir a otros mtodos en los

que directamente en solo un proceso, se tienen en cuenta las desviaciones de los

elementos, como son los Mtodos de Kani, Tabakabeya, etc.

7.4.1. Estructuras con nudos indesplazables.-

A travs de unos ejemplos sencillos podemos ir explicando detalladamente los

conceptos fsicos, as como el cmo y el porqu del Mtodo de Cross.

Consideremos como primer caso la viga mostrada en la Fig. 7.13 (a), con dos

tramos de secciones constantes, sin articulaciones extremas. Las rigideces relativas

de los tramos segn (7.8), son:

6

O sea que:

Los coeficientes de distribucin son: cero en los empotramientos 1 y 3; en el

apoyo 2 son:

6

Imaginemos por un momento que, antes de la aplicacin de las cargas, cada

uno de los elementos est bloqueado, perfectamente empotrado en sus dos extremos

(excepto en los casos de extremos articulados, en los que se mantendr su situacin

real de articulacin), es decir que suponemos que en cada nudo hay un dispositivo que

lo traba e impide su giro. En esta situacin, al aplicar las cargas, Fig. 7.13 (b), se

generarn momentos de empotramiento perfecto en los extremos, momentos que los

nudos aplican a los elementos concurrentes a ellos y que, en el caso que estudiamos

son:

6

6

Se tendr as los diagramas de los momentos flectores en los tramos, tal como

se muestra en la Fig. 7.13 (c), en los que hemos conservado los signos de la

convencin de Grinter.

Sin esta situacin eliminamos la trabazn del nudo 2, este girar debido a que

en l existe un par desequilibrado igual a 6 ; solo se

detendr el giro, habr estabilizacin del mismo y, en concurrencia equilibrio, cuando

se genere all un par igual y directamente opuesto, o sea de . El par

desequilibrado ; segn la (7.41), se distribuye, con signos opuestos, entre los

elementos concurrentes al nudo y en forma directamente proporcional a las rigideces

de estas, o dicho en otras palabras, los elementos concurrentes al nudo contribuyen a

la formacin de un par equilibrando, cada uno en proporcin a su propia rigidez, es

decir, debemos multiplicar el valor del par desequilibrado por los factores de

distribucin, cambiando el signo. En nuestro caso sern:

Para el extremo 21:

Para el extremo 23: 6

Pares que se muestran en la Fig. 7.13 , son, pues, pares de sentido horario

aplicados en el extremo 2 de los elementos 21 y 23 respectivamente. Ahora en el nudo

2 hay dos pares en total que resultan, de las superposiciones de los pares parciales,

son el extremo 2 del elemento 12 es igual a , y en el extremo 2

del elemento 23 es 6 ; o sea, dos pares iguales y de sentidos

opuestos, lo que hace que el nudo este en equilibrio, pues se cumple la ecuacin

.

Segn se explic en la seccin 7.5.2, los pares aplicados generan los pares

transmitidos en los extremos lejanos (que son o que se mantienen como

empotramientos perfectos), estos pares transmitidos son iguales cada uno al par

aplicado por el factor de transporte. En nuestro caso, por ser elementos de seccin

constante, el factor de transporte es . Luego, los pares transmitidos son:

Para el extremo 1 del elemento 21:

Para el extremo 3 del elemento 23:

En la Fig. 7.13 (f) se muestran los momentos flectores que ocurren en los dos

elementos debidos al par distribuido y el transmitido.

En esta forma el nudo 2 est en total equilibrio y la estructura en conjunto, en

este caso, tambin lo est. Los pares finales existentes en cada extremo, con los

signos de la convencin de Grinter utilizados en el proceso, son la superposicin de

los pares en cada extremo, as:

- En el extremo . 12 21 23 32

- Pares momentos de empotramiento

perfecto -7.35 +3.15 -6.00 +6.00 Tm

- Pares por distribucin en el nudo 2 . +1.14 +1.71 Tm

- Pares repercutidos desde los extremos 2 +0.57 +0.855 Tm

- Pares finales.. -6.78 +4.29 -4.29 +6.855 Tm

En la Fig. 7.13 (g) se muestra el diagrama de momentos flectores resultante

para la estructura estudiada.

Ahora veamos otro ejemplo en el que se pueda ir explicando otros aspectos

que se presentan en la aplicacin del Mtodo de Cross.

La viga que se muestra en la Fig. 7.14 es de secciones constantes en cada

tramo, con empotramiento perfecto en 1 y el tramo 45 en voladizo. La carga sobre el

voladizo equivale a que en el nudo 4 hay un par de que

dicho nudo aplica al elemento 43. As podemos reducir la estructura a la viga de

tramos 1 2 3 4, como si en 4 existiera una articulacin. Las rigideces relativas en

los elementos son:

6

6

Los factores de distribucin son:

Los momentos de empotramiento perfecto son:

(Tabla N 4,

estado de carga N 31, para

)

6 6

(Tabla N 4,

estado de carga N 45)

(Tabla N 4,

estado de carga N 1)

(

)

(

)

6

Consideramos que todos los nudos (excepto el 4 por ser apoyo externo

equivalente o articulacin) estn trabados y que funciona como empotramientos

perfectos. Al aplicar en esta atraccin las cargas se generan los pares de

empotramiento que acabamos de calcular y que aparecen en la fila 1 en la Fig. 7.15.

La que enseguida iremos explicando aparece ubicado en las sucesivas filas de esta

figura.

Estando perfectamente empotrados los nudos 1 (en forma real), as como los 2

y 3 (en forma ficticia), el par de aplicado en el extremo 4 referente hacia el

otro extremo con el valor igual al par por el factor de transporte; es decir

(fila 2). Si en esta situacin soltamos el nudo 3, es decir

retiramos la trabazn que ha venido impidiendo su giro, en l se ganar un par

equilibrante igual y directamente opuesto al par desequilibrado; este par

desequilibrado es que se distribuye entre los

elementos concurrentes al nudo en forma proporcional a las rigideces de ellos en sus

extremos adyacentes al nudo; o , dicho en otra forma , conforme la expresin (7.41)

multiplicando el par equilibran te por los correspondientes factores de

transportes ; en nuestro en nuestro caso la distribucin es (fila 3) :

Para el extremo 3 de 32: 6

Para el extremo 3 de 34:

Como el extremo opuesto 2 est perfectamente empotrado, a l repercute un

par igual a

6 ; el otro extremo el 4j est articulado, razn por la

cual hacia l, no hay repercusin o influencia del par absorbido por el extremo 3 del

tramo 34. Las repercusiones siempre debemos indicarlas con una flechita, la que

permitir aclarar en cada paso que , efectivamente , se hizo esta operacin. El nudo 3

as ya est en equilibrio: en el extremo 3 del elemento 32 acta en par de 6 , y

en el mismo extremo del elemento 34 acta un par igual a

6

Una vez hecha la operacin de equilibrio de un nudo, trazamos una rayita

debajo de las columnas de pares parciales.

Estando en equilibrio el nudo 3, lo trabamos nuevamente y soltamos otro nudo,

en este caso el 2, en el que el par desequilibrante es 6 ;

los pares equilibrantes sern: en el extremo 2 del elemento 21 vale

6 , y en el extremo 2 del elemento 23 vale

(fila 4). Estos pares repercuten hacia los extremos opuestos (ambos estn

perfectamente empotrados), en el valor igual al correspondiente valor de par por el

factor de transporte; o sea; hacia el extremo 1:

6 y hacia el

extremo 3:

El nudo 2 ya est en equilibrio, pero con la

repercusin hacia el extremo 3, se ha desequilibrado nuevamente este nudo 3.

En estas circunstancias trabamos nuevamente el nudo 2. En el nudo 1, que es

realmente un empotramiento perfecto, y esto ocurrir con todos los apoyos de este

tipo, el par desequilibrado es de , que multiplicando por el factor de

distribucin en el extremo empotrado, que siempre es igual a cero conforme se vio al

final de la seccin 7.33, da un par distribuido igual a 0 en el extremo 1 del elemento 12

(figura 5). Esto significa que el par equilibrante (el que el elemento aplica hacia el

empotramiento, o sea, pues el par externo del tramo 12 hacia el nudo 1 ) es igual y

directamente opuesto al par desequilibrado, o sea que es igual a En

realidad, pues, en los apoyos empotramientos perfectos el tratamiento siempre es el

mismo: hacia ellos solamente deben considerarse las repercusiones y dar as por

equilibrado el nudo trazando inmediatamente la rayita correspondiente.

Ahora soltemos nuevamente el nudo 3, en el que al par desequilibrado es

; los pares equilibrantes sern: en el extremo 3 del elemento 32

, y en el extremo 3 del elemento 34 vale

(fila 6). Trazamos la rayita que indica que el nudo ya

est en equilibrio. De este nudo solo hay repercusin hacia el extremo 2 (ya se explic

lo que ocurre con el nudo 4) y el par repercutido vale

6

Sujetamos este nudo 3 y soltamos el 2, en el que el par desequilibrado es de

6 , el par equilibrante ser de 6 , que lo distribuimos entre los

elementos concurrentes al nudo ; o sea el por qu absorbe el extremo 2 del elemento

21 es igual a 6 , y el del extremo 2 del elemento 23 vale

6 (fila 7) . Se traza la rayita indicando que el nudo est en

equilibrio y se procede a la operacin de repercusiones: hacia el extremo 1:

6 , y hacia el extremo 3,

Obsrvese que

conforme se avanza en estas operaciones (siempre las mismas: distribucin y

repercusin), en cada nuevo tratamiento en cada nudo, los valores de pares

distribuidos y pares repercutidos, siempre van siendo cada vez menores llegando un

momento en que son de magnitudes insignificantes, pudindose detener el proceso,

con lo que se obtienen resultados suficientemente aproximados, tanto como se

desea, para los efectos prcticos.

Enseguida trabamos el nudo 2 y saltamos al 3, con lo que en este, se genera

un par equilibrante de +0.15 Tm. (igual y directamente opuesto al par desequilibrado

de ), este par es absorbido por los extremos 3 de los elementos 32 y 34; as

en 32 y en 34 (fila 8). De

aqu solo hay repercusin hacia el extremo 2, que es el nico extremo lejano

perfectamente empotrado. Hacia 2 repercute, pues, un par igual a

Sujetamos el nudo 3 y liberamos de la trabazn el 2, en el cual ahora hay como

par desequilibrado ; este par con signo cambiado le distribuimos entre los

dos elementos concurrentes al nudo: en el extremo 2 del elemento 21 vale

, y en el extremo 2 del elemento 23 vale

(fila 9). Estos pares repercuten hacia los extremos

opuestos con su valor mitad; es decir, hacia 1 vale

, y hacia el

extremo 3 no es ya necesaria la repercusin, pues esta valdra que, con los

dos decimales que estamos utilizando en las operaciones, aparecera siendo

equilibrado con valor absorbido totalmente por el extremo 3 del elemento 32,

dos operaciones que se anulan entre s.

Vemos que en cada extremo de elemento se han ido acumulando una serie de

pares: el par correspondiente al momento inicial de empotramiento perfecto, en cada

ciclo el par distribuido y el par repercutido desde el extremo opuesto. El momento final

en cada extremo es, pues, la superposicin de estos pares; o sea, simplemente, la

suma algebraica de los pares parciales, lo que para cada extremo en el caso

estudiado aparece en la fila 10, con signo de la convencin fe Grinter.

En la Fig. 7.16 aparecen los diagramas de momento flectores resultantes (en

Tm.) y el de los esfuerzos cortantes (en T.).

1)

Estudiemos el siguiente ejemplo que corresponde al de una estructura con

elementos de secciones variables, con las caractersticas geomtricas y disposicin de

cargas que aparecen en la Fig. 7.17. Es una estructura con elementos unos de

secciones variable y otros de secciones constantes; para determinar las rigideces

relativas utilizamos las expresiones (7.5), (7.6), (7.7) y (7.16), para lo que, en primer

lugar, debemos calcular las longitudes reducidas de los elementos, tomando por

ejemplo como el momento de inercia de comparacin, as tenemos, segn la

(7.4) :

Para cada uno de los elementos determinaremos sus caractersticas fsicas y

los momentos de empotramiento perfecto as:

6

6

6 (Tabla

N11)

6 (Tabla

N 7)

2)

Segn expresiones (7.5) y (7.6):

Los factores de transporte, segn las expresiones (7.33) y (7.35) son iguales

entre s de uno hacia otro extremo (por la simetra fsica del elemento):

6

6

Tabla N 23: 6

(

) 6 (

)

Tabla N 27:

6 6

Luego, superponiendo estos resultados parciales, tenemos:

6

6

(Tabla N11)

6 (Tabla N 7)

Segn (7.5) y (7.6):

Los factores de transporte en este elemento tambin son iguales entre s:

Tabla N 23:

(

) (

)

Tabla N 27:

6

Luego, superponiendo estos resultados parciales, tenemos:

6

6

3)

6

(Tabla N9)

(Tabla N 5)

Segn la expresin (7.16):

Para el proceso de distribucin no necesitaramos calcular los factores de

transporte, pues conforme se indic el final de la seccin 7.3.2, al haber articulacin en

D no habr transmisiones de momentos de un extremo a otro. Pero si necesitamos el

valor del coeficiente de transporte de D hacia C para poder calcular el momento de

empotramiento perfecto en C considerando este extremo empotrado y el otro

articulado. As tenemos que:

Tabla N 21: (

) 6 (

)

6 (

) 6 (

)

Tabla N 25: 6 6

Luego, superponiendo estos resultados parciales, tenemos:

6

Debemos calcular el momento de empotramiento perfecto en C considerando

que este extremo est empotrado y el D simplemente apoyado. Esto lo hicimos

aplicando la expresin (4.14):

6

4) Elementos BF y CE: son de secciones constantes. Su

longitud en la prctica se toma hasta el eje medio de las

Nudo B:

Nudo C:

vigas o partes de secciones constantes de estas; el error que se comete al

proceder as en los casos corrientes resulta insignificante. Las rigideces relativas

segn la expresin (7.7) son:

Los factores de transporte son iguales a

5) Factores de distribucin: debemos calcularlos para los nudos B y C en base a las

rigideces en los extremos de los elementos concurrentes a cada nudo aplicando la

expresin (7.40) as :

6

6

Enseguida conforme avancemos en el anlisis y explicacin de la aplicacin del

mtodo al caso que estamos estudiando, debemos seguir el desarrollo de las

operaciones en el esquema de ejes de la estructura que aparece en la Fig. 7.18, o

segn la tabulacin que se presenta en la Fig. 7.19. En general, en cualesquiera de las

dos formas puede operarse. La primera, que es la que con mayor frecuencia se usa, al

trabajar en el esquema de ejes tiene la ventaja de que a medida que se desarrollan las

operaciones se puede seguir y sentir como en la estructura se van distribuyendo y

transmitiendo paso a paso, nudo a nudo, los momentos hasta que todo el sistema

entra en equilibrio; tiene desventaja cuando se trata de una estructura con muchos

elementos horizontales y verticales, en que tiene que irse girando el papel en muchas

oportunidades para facilitar las anotaciones. En este caso evidentemente la tabulacin

es ms prctica, aunque siempre es necesaria una mayor extensin de papel para

realizar las operaciones, por la cantidad de casillas sin utilizacin. En la tabulacin las

filas de la primera parte o encabezamiento se anotan los nudos (primero siempre los

empotramientos perfectos), luego los extremos de elementos concurrentes a cada

nudo y una columna para las sumas horizontales en el nudo (rigideces, factores de

distribucin, par desequilibrado y par equilibrante), enseguida los factores de

distribucin y, finalmente, los factores de transporte (esto solo en los casos de

estructuras con elementos de secciones variables, pues en los de estructuras con

todos los elementos de secciones constantes es innecesarios considerarlos, ya que

todos valen 0.5) A continuacin vienen las filas correspondientes a la iteracin , que

comienza en los momentos de empotramiento perfecto y las operaciones de

distribucin/repercusin nudo por nudo y finalmente la ltima fila ocupada por las

sumas de los momentos parciales en cada una de las columnas de la tabulacin.

En

cab

ezam

ien

to

Nudos A E F B C

Extremos de

elemento AB EC FB BF BA BC CE CB CD

Rigideces K 1.711 .800 .582 .329 1.550 .800 .329 .421

Factores de

distrib. 0 0 0 1.000 .468 .340 .192 1.000 .516 .212 .272

Factores de

Transporte .500 .546 .553 .500 .553 0

Itera

ci

n

-29.12 -31.88 +24.37 -56.25 +56.25 -57.2

Distrib./reperc. B +5.92 +7.46 +31.88 +14.92 +10.84 +6.12 +2.34 +3.38

Distrib./reperc. C -0.60 -0.27 -0.27 -2.34 -1.21 -0.49 -0.64

Distrib./reperc. B +0.05 +0.06 +0.27 +0.13 +0.09 +0.05 +0.03 +0.03

Distrib./reperc. C -0.03 -0.02 -0 -0.01

-0.01

Momentos finales -23.15 -0.61 +7.52 0 +15.05 +35.30 -50.35 0 -1.23 +59.17 -57.94

Fig. 7.19

Suponiendo que la estructura inicialmente tiene trabados los nudos B y C; es

decir que estn sujetos evitndoles deformaciones angulares, hacemos actuar el

sistema de cargas aplicado, con lo que se generaran los pares de empotramiento ya

calculados. Si en estas circunstancias liberamos el nudo B, all nos encontramos en

dos pares: y

6 hay, pues, un par desequilibrado

6 ; el nudo ira girando hasta que se genere un par

equilibrante igual y directamente opuesto, o sea de ; los tres elementos

concurrentes al nudo contribuirn, proporcionalmente a las rigideces que tienen en sus

extremos adyacentes al nudo con pares que sumados hagan el par equilibrante total;

los factores de proporcionalidad a las rigideces no son otra cosa que los factores de

distribucin. Multiplicando, pues, por cada uno de los factores de distribucin

en B, con lo que se tiene la distribucin de momentos es este nudo: 6

, y 6 para los extremos

BF, BA y BC, respectivamente, los anotamos e indicamos con una rayita que el nudo

ya est en equilibrio. Del extremo B repercuten hacia los extremos lejanos A, C y F

(los tres en situacin de perfectamente empotrados) los pares transmitidos dados por

las expresiones (7.34) o (7.32); o sea que para tener los pares transmitidos debemos

multiplicar, para cada elemento, el par absorbido en el extremo liberado por el

correspondiente factor de transporte, en este caso:

- De BF: 6 hacia FB

- De BA: 6 hacia AB

- De BC: 6 hacia CB

Una vez hecha esta operacin de repercusiones, trabamos el nudo B y

liberamos otro de los nudos, el nico posible es el C; aqu el par desequilibrado es

6 ; el par equilibrante de Tendr que

ser aportado por los extremos C de los elementos concurrentes al nudo, en proporcin

a sus correspondientes rigideces, o sea multiplicndolo por los factores de distribucin;

la distribucin de momentos de este nudo es:

6 para CE

para CB

6 para CD

Los anotamos en sus correspondientes casillas y el nudo est en equilibrio. De

este nudo C repercuten hacia los extremos lejanos (B y E solamente, hacia D no, por

estar articulado) los pares absorbidos por los respectivos factores de transporte; as:

De CE: 6 hacia EC

De CB: hacia BC

Haciendo este mismo tipo de operaciones, en este caso alternativamente en B

y en C, una vez ms en cada uno, se tienen resultados con suficiente aproximacin

para los efectos prcticos. Los momentos finales en cada extremo de elemento se

tienen sumando todos los pares o momentos que parcialmente se han ido

acumulando, es decir el par de empotramiento perfecto, los pares por distribuciones y

los pares por repercusiones. Con estos resultados se pueden trazar, Fig. 7.20, el

diagrama de momentos flectores y el de los correspondientes esfuerzos cortantes.

En la practica el mtodo de distribucin de momentos no se explica tal como lo

hemos expuesto; el detalle y razonamiento seguidos se han hecho con el exclusivo

objeto de facilitar la comprensin de los fundamentos del mtodo; las operaciones de

distribucin y repercusin son, en realidad, automticos una vez calculados los

factores de distribucin y de transmisin.

Resumiendo y ordenando lo expuesto hasta aqu, la aplicacin del Mtodo de

Cross en estructuras con nudos indesplazables se hace siguiendo, en general, los

pasos que a continuacin se exponen:

I. Clculos previos:

A. Si todos los elementos son de secciones constantes :

1 Calcular las rigideces relativas para cada elemento:

- Si no hay articulacin en un extremo :

(

)

- Si hay articulacin en un extremo:

(

)

2 Calcular los factores de distribucin en cada uno de los nudos, en

general, para el elemento ij concurrente al nudo i:

3 Los factores de transporte son:

- Si no hay articulacin en un extremo:

- Si hay articulacin en un extremo:

4 Calcular los momentos de empotramiento perfecto en cada uno de los

elementos debidos a las cargas externas aplicadas; es decir y

para los elementos sin articulacin extrema, y o

para los

elementos con articulacin en un extremo. Estos momentos estn

dados en la tabla N 4 del volumen II de esta obra.

B. Para estructuras con elementos de secciones variables: si al nudo i

concurren elementos con secciones variables, todos o algunos para

cada uno de los elementos:

(Tablas N 9 a 12 del Vol. II)

(Tablas N 5 a 8 del

Vol. II)

1 Calcular la longitud reducida:

2 Determinar los factores de forma reducidos de 2 especie para los

elementos sin articulacin extrema, y de 1 especie para aquellos en los

que hay articulacin en un extremo:

3 Calcular las rigideces relativas en cada extremo:

Si dentro del conjunto de elementos concurrentes al nudo, las hay de

seccin constante, para estos las rigideces relativas son:

4 Calcular los factores de distribucin en cada uno de los nudos, igual que

el 2 paso de A).

Para los efectos de la

distribucin / repercusin,

para calcular los momentos

de empotramiento perfecto,

habra que calcularlos

(Tablas N 21 a 28

del Vol. II)

5 Calcular los factores de transporte en cada elemento:

6 Calcular los momentos de empotramiento perfecto:

- Si no hay articulacin en un extremo:

- Si hay articulacin en un extremo:

Siendo y

los momentos de empotramiento perfecto que se tendran

si los dos extremos los consideramos empotrados.

II. Proceso de distribucin

1 Fijando todos los nudos contra rotaciones (excepto los extremos en los que

hay articulacin) se elige un nudo a ser liberado primero; se calcula el momento

desequilibrado en ese nudo.

2 Calcular los momentos distribuidos para los extremos adyacentes de los

elementos concurrentes al nudo, multiplicando el momento equilibrante (es

decir, ) por los correspondientes factores de distribucin en el nudo.

3 Calcular los momentos de transporte o de repercusin en los extremos

opuestos en cada elemento, multiplicando el momento distribuido por el

correspondiente factor de transporte.

4 Volver a fijar el nudo y elegir otro nudo a ser liberado (procurar escoger, en

cada oportunidad, el nudo ms desequilibrado y nudos no adyacentes entre s,

de modo que estas operaciones puedan realizarse simultneamente) Repetir

los pasos 1, 2 y 3.

5 Repetir los pasos 1 a 4 hasta que los momentos parciales (el de

empotramiento perfecto, ms los momentos distribuidos y lo de repercusin)

para obtener los momentos finales.

En los siguientes ejercicios resueltos se puede apreciar la simplicidad del

mtodo que sigue un proceso casi automtico. Indistintamente trabajaremos en el

esquema de eje de la estructura o en forma tabulada, para realizar las operaciones

distribucin / repercusin.

Ejemplo 7.4.1.- Calcular los momentos extremos y trazar los diagramas de

momentos flectores y esfuerzos cortantes para la estructura mostrada en la Fig. 7.21.

I. Clculos Previos.-

- Rigideces relativas: Nmeros Proporcionales

6

( )

(Hemos considerado como rigideces relativas los nmeros que resultan

de tomar )

En B:

En C:

- Factores de distribucin:

6 6

6

6 6

6

- Momentos de empotramiento perfecto:

II. Proceso de distribucin.-

III. Diagrama de Momentos flectores y Esfuerzos cortantes.

En B:

En C:

(Se ha considerado un valor arbitrario ,

con lo que se obtienen nmeros enteros para las

rigideces relativas)

Ejemplo 7.4.2.- Determinar los

momentos flectores y esfuerzos

cortantes en la estructura que se

muestra en la Fig. 7.23, en la que

todos los elementos tienen el mismo

valor para EI.

I. Clculos Previos.-

- Rigideces relativas:

- Factores de distribucin:

/

- Momentos de empotramiento perfecto:

(

)

O, si quiere, la distribucin, en forma tabulada:

D B C

DC BA BC CE CB CD

0 1.00 .43 .57 1.00 1/3 1/3 1/3

+37.50 -25.00 +25.00 +25.00

C -4.17 +8.33 -4.17 -25.00 -8.33 -8.34 -8.33

B -8.33 -3.58 -4.75 -2.37 -2.37

C +0.40 +0.40 +0.40 +2.37 +0.79 +0.79 +0.79

B -0.40 -0.17 -0.23 -0.12 -0.12

C +0.02 +0.02 +0.02 +0.12 +0.04 +0.04 +0.04

B -0.02 -0.01 -0.01

-3.75 0 +33.74 -33.74 0 -7.50 +15.00 -7.50

Fig. 7.24

Ejemplo 7.4.3.- Determinar los momentos flectores y esfuerzos cortantes en la

estructura mostrada en la Fig. 7.25

Los clculos previos en cuanto a factores de distribucin se pueden hacer

directamente en la tabulacin.

Los momentos de empotramiento perfecto para cada elemento son:

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

1 Nodos I B C D

2 Extrem. IF BF BA BC CG CB CD DH DC

3 4.9 1 (2) 2.4 5.8 1 2.4 2.4 3.4 1 2.4

4 1.0 .204 .306 .490 1.0 .172 .414 .414 1.0 .294 .706

5 +1.8 +5.4 -3.6 +3.6 -2.2 -1.6 +2.2

6 H -0.5

7 B -1.8 -0,4 -0.5 -0.9 +1.0 -0.4

8 C -0.2 -1.0 -0.2 -0.4 -0.4 -0.2

9 G +0.1

10 F 0 -0.2

11 B +0.2 0 +0.1 +0.1 +0.1 -0.1

12 D +0.2 +0.1 0 +0.1

13 C -0.2 0 -0.1 -0.1

14 H

15 Mom.

finales 0 0 -0.4 +5.0 -4.6 0 -0.1 +2.8 -2.7 0 -2.1 +2.1

(Contina la tabulacin en la siguiente pgina)

1 F G H

2 FI FE FB FG GJ GF GC GH HK HG HD

3 4.5 1.5 0 1 2 5.9 (1.2) 2 1 2 3.9 (1.2) 2 1

4 1.0 .333 0 .222 .445 1.0 .153 .339 .169 .339 1.0 .231 .513 .256

5 +3.0 -2.7 +5.3 -5.4 +3.7 -3.3 +5.4 +1.6

6 -0.9 -3.7 -0.9 -1.9 -0.9

7 -0.2

8 -1.1 -0.1

9 +0.3 +0.2 +1.1 +0.1 +0.4 +0.2 +0.4 +0.2

10 -0.3 -0.1 0 -0.1 -0.1

11

12

13 +0.2

14 -0.2 0 -0.1 -0.1

15 0 -0.1 +3.0 -0.3 -2.6 0 +0.1 +5.7 +0.1 -5.9 0 -4.2 +3.6 -0.6

En la Tabla N 5: 6

En la Tabla N 9: 6

6

Ejemplo 7.4.4.- Determinar los momentos flectores y esfuerzos cortantes en la

estructura mostrada en la Fig. 7.27, en la que el ancho de todos los elementos es el

mismo.

I. Clculos Previos.- Escogemos como momento de inercia de comparacin

al correspondiente al peralte de 1.80 m; as, para un metro de ancho de

elemento tendremos:

6

Los momentos de inercia menores para los elementos son:

6

6

1) Las longitudes reducidas son:

6

6

6

6

2) Factores reducidos de 1 y 2 especie:

De la Tabla N 11:

6

Tabla N 5:

6

De la Tabla N 5:

De la Tabla N 9:

6

3) Clculo de las rigideces relativas:

AB:

6

BC:

CD:

DE:

Nudo B:

Nudo C:

6

6

6

6

6

4) Clculo de los factores de distribucin:

6 6

6

6

6

6

6

6

6

5) Clculos de los factores de transporte:

AB:

BC:

CD:

6

6) Momentos de empotramiento perfecto:

6 6

II. Distribucin

Clculo de Esfuerzos Cortantes:

6 6

6

6

6 6

6

6

6

6

6

6

6

6

Fig. 7.28

7.4.1. Estructuras con nudos desplazables.-

Hay estructuras aporticadas, en las que, por su conformacin y caractersticas

elsticas, o por la disposicin de las cargas aplicadas, se presentan desplazamientos

relativos ente los nudos. En la seccin 6.4 se ha expuesto cmo debe realizarse el

anlisis de los desplazamientos independientemente de cul es el sistema de cargas

que acta sobre la estructura.

Para ciertas estructuras ser posible establecer rpida y directamente, por

simple observacin, si existe o no tales desplazamientos; hay casos, por otro lado, en

que se presentar la duda en este aspecto, y ser necesario realizar verificaciones en

cuanto al cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio esttico. As, se pueden

presentar los siguientes casos:

1) Estructuras Simtricas.-

a) Simtricamente cargadas en las que de ninguna manera hay

desplazamientos (Fig. 7.29)

b) Simtricamente cargadas en las que s hay desplazamientos (Fig. 7.30)

c) Asimtricamente cargadas en las que hay duda que puedan

presentarse desplazamientos (Fig. 7.31), porque las cargas aplicadas

podran ser de tal magnitud y ubicacin que compensan entre s los

desplazamientos que ellas generen.

d) Asimtricamente cargadas en las que evidentemente hay

desplazamientos (Fig. 7.32)

2) Estructuras Asimtricas.-

(Fig. 7.33) Cargas de cualquier manera, en las que en algunos casos

evidentemente se presentarn desplazamientos, casos (b), (c) y (e); pero en los otros

cabe la duda, como en (a) y (d), en los que necesariamente se deben producir los

desplazamientos, pues las rigideces y dems caractersticas fsicas de los elementos,

con la ubicacin y magnitud de las cargas, son tales que se anulen las desviaciones

relativas entre los nudos.

Para verificar si hay o no desplazamientos en los casos de dudas, podemos

proceder de la siguiente manera:

1 Consideramos que los nudos son indesplazables y calculamos mediante el

procedimiento expuesto en la seccin 7.4.1 los momentos flectores y esfuerzos

cortantes en los elementos (en los casos en los que hay elementos inclinados unos

respectos a otros, tambin ser necesario calcular las fuerzas normal)

2 En cada uno de los niveles en los que hay posibilidad de desplazamientos

de nudos se plantea la expresin (suma de fuerzas externas e internas, o sea las

aplicadas ms las generadas) en determinada direccin (generalmente la horizontal o

la vertical). Pueden presentarse dos posibilidades:

a) Que para todos y cada uno de los niveles ; lo que significa que

queda satisfecha la ecuacin de equilibrio esttico. No hay pues,

desplazamientos de los nudos y los momentos calculados son los

definitivos.

b) Que en alguno de los niveles . Al no quedar satisfecha la ecuacin

de equilibrio esttico, habr desplazamientos de nudos y los momentos

calculados ser necesario corregirlos con momentos suplementarios

originados por los desplazamientos de los nudos.

Veamos a travs de una par de ejemplos simples cmo se hace la correccin

por desviacin o Correction for sideway como se le llama en el trabajo original de H.

Cross, o sea cmo se procede a calcular los momentos suplementarios,

En 2 y 3:

posteriormente expondremos la generalizacin de este procedimiento que nos parece

es el ms simple entre los varios que se presentan en el tratamiento de este problema.

Para el prtico de la Fig. 7.34, los

clculos previos son:

a) Rigideces relativas.-

(

)

6

b) Coeficientes de distribucin.-

c) Momentos de empotramiento perfecto.-

6

6

6

6 6

1 Supongamos en una primera etapa que los nudos no sufren corrimientos;

que equivale a que en el nudo 3 existiera un apoyo ficticio tal que impide que se

desplacen los nudos, pero que s permite el libre giro de estos. A ste denominaremos,

Estado 0, y a los momentos en los extremos, esfuerzos cortante, etc. Los

denominaremos con (0) como ndice. En estas condiciones hacemos la distribucin de

momentos conforme se ha expuesto en la seccin 7.4.1 para estructuras con nudos

indesplazables:

Las fuerzas cortantes que se obtienen en

1 y en 4 en este Estado 0, son:

6 6

6

Lo que quiere decir que en el cuerpo libre

obtenido cortando el prtico hasta los extremos 1

y 4 (Fig. 7.35), la expresin suma de fuerzas

horizontales es:

6 6

Hay pues desviacin lateral del prtico

por corrimiento de los nudos 2 y 3 respecto de

los 1 y 4.

2 Suponemos en una segunda etapa

que, con la estructura descargada, los nudos

adoptan los desplazamientos que realmente

sufrirn (esto habr que hacerlo, en general, en

tantas fases o estados sucesivos cuantas

desviaciones independientes tenga la estructura).

En nuestro caso solamente