ReazioniNuclearid’interesseatrofisico

Introduzione

Iprocessipiùimportan7sono:Ca:uradineutroni:n+AZ->A+1Z+γReazionifranuclei:A1Z+A2Z->AZ+XLeprimesiverificanonellefasiavanzatedellacombus7onestellare(stelleAGB–Supernovae)Lesecondeduranteiprocessidifusione

Lasezioned’urtoLasezioned’urtoèlaprincipaleosservabilemediachecara:erizzalacollisioneA+B->C+D

IlfascioAècara:erizzatodalla“corrente”I(numerodipar7celleprodo:eperunitàditempo),dal%podipar%celleedallaloroenergia.IlbersaglioBècara:erizzatodalladensitàdibersagli(numerobersagli/volume)nedallospessoreh

Laquan7tàmisurabileèilnumerodireazioniperunitàditempoΔN/ΔtSeilbersaglioèsoVle(cioèpiccolaprobabilitàcheilproieVlefacciaunacollisione)ilnumerodireazionicheavvengononell’unitaditempoèdatodallarelazione:ΔN/Δt=Inhσ

lacostantediproporzionalità,espressain[L]2,sichiamasezioned’urto

Lasezioned’urtoSupponiamochelareazioneavvengaquandolepar7celleAeBsitrovinoaunadistanzad<r,conunaprobabilitàw.

Perciascunapar7cellaicheentranelbersaglio,laprobabilitàPidieffe:uareunareazionesaràdatadalnumerodiincontriNicheavvengonocondistanzad<r,mol7plicataperlaprobabilitàdireazionew,Pi=NiwSemediosutantepar7celle<N>=πr2nhequindi<P>=πr2nhw

SeIèilnumerodipar7cellecheentranonelbersaglionell’unitàditempo,ilnumerodiinterazioninell’unitàditemposaràI<P>edunque:ΔN/Δt=Inhπr2wConfrontandoconladefinizonediσ:ΔN/Δt=InhσSioVene:σ=πr2w

Lasezioned’urtorappresentailprodo@odell’areageometricaincuiavvienel’interazioneperlaprobabilitàstessacheavvenga

Risonanzediformazione

•  Ilprocessodisca:eringavvienetramitelaformazionediunostatointermedioRrisonante:

•  Larisonanzapuòdecadere:nellestessepar7celledellostatoinizialea+b->R->a+b(processoelas7co)oppureinpar7cellediversea+b->R->X(processoinelas7co)

•  Larisonanzaèdescri:adalformalismodellamatriceR(R-matrix)

Formalismodellamatrice-RL’ideadifondodelformalismodellaR-matrixèdiusarelafunzioned’ondadelsistemadi2par7cellequandoessesonosufficientementevicinedaformareunnucleocomposto.Sebbenelafunzioned’ondadelnucleocompostoèestramamentecomplicata,sipuòespandereneisuoiautosta7.Ilformalismodellamatrice-Rfacoincidereleondeentran7euscen7conlefunzionid’ondainterne,fornendounmododidescriverelasezioned’urtodellareazioneinterminidellaproprietàdegliautosta7delnucleocomposto.Leproprietàdegliautosta7sonofondamentalmente:l’energie,spin,parità,eunsetdilarghezzeparzialilegateallelarghezzedeimodididecadimentodelnucleocomposto.Questometododidescriverelasezioned’urtodireazione,usandosololeproprietàdeilivellidieccitazionenucleare,èaltempostessoanchelapiùimportantelimitazione.Nessunainformazionedelleforzeall’internodelnucleosononecessarie.Ilnucleoètra:atocomeunascatolaneradicuileproprietàdegliautosta7devonoesseremisura7perdescriverelasezioned’urto.

Sca:eringelas7coa

b

a

b

R

Inastrofisica->limitedellebasseenergiedescrizionenonrela7vis7ca

Ingenerelafunzioned’ondaΨ(r)chedescriveilmotorela7vodelleduepar7celleincollisionesoddisfaun’equazionediSchroedingeramoltecomponen7,incorrispondenzadeidiversicanalidireazione(elas7ciedinelas7ci).

Conm=(ma*mb)/(ma+mb),Eenergiadicollisione(energianelc.m.).LecondizioneAlcontornosono:

Sca:eringelas7coabassaenergiaa

b

a

R

b

Lafunzioned’ondaΨpuòesseresviluppatainautofunzionidelmomentoangolare.LosviluppoinarmonichesferichediΨcorrispondeaunosviluppodelleampiezzadisca:ering:

Perl’ortogonalitàdelleautofuzionidelmomentoangolarelasezioned’urtointegratapuòesserescri:a: σ=Σ σl=Σ4π(2l+1)|fl|2

Sidimostrachenellimitedellebasseenergie,perpotenzialichedecresconorapidamenteconr,quindiilcontributodominantevienedal=0.Neseguecheperk->0:A)  lasezioned’urtodifferenzialeèisotropicaB)  lasezioned’urtoelas7catendeaunacostante

Sca:eringinelas7ciA

B

C

D

Ra bReazioneesoenerge7ca:MA+MB>MC+MDReazioneendoenerge7ca:MA+MB<MC+MD

Ψ=(Ψa,Ψb,…)

Ψ! = !(!!!!) + !!!(Θ) !!!!!

! !! canaleelas7co

Ψ! = !!!!!!!!!!!!!!!!!"(Θ) !!!!!

! !! neglialtricanali(b≠a) !!!ℏ = !2!!! = !!!!!!!!!!!

!!

kimpulsoassociatoalmotorela7vodelleduepar7celle

dσ!! = !!!!"!! !!!! !Ω! !!dovepAepCsonol’impulsodelproieVleedellapar7cellaprodo:arispeVvamente

Sca:eringinelas7ciabassaenergiaA

B

C

D

Ra b

Nellimitedellebasseenergiesolol’ondaScontribuisceetu:eleampiezzefabtendonoavaloricostan7(purchéilpotenzialedecrescavelocemeteconr)

dσ!! = !!!!"!! !!!! !Ω! !!A)  perreazioniesotermichechepossoavvenireadenergiearbitrariamentepiccole,poichéfabtendeaunvalorecostanteepCaunlimitefinito

σ!! = ! !"#$! !!B)perreazioniendotermiche,esisteunasogliadienergiaΔ.

! = !! !!!!!!

> Δ!! impulsostatofinaleèdatoda: !! !!!!!!

= ! − Δ!!L’impulsopCnellostatofinaleèproporzionaleakbedunquea(E-Δ)1/2.CiòimplicacheinunprocessoinondaSilcomportamentodellasezioned’urtoinprossimitadellasogliaè:

σ!" = !!"#$!(! − Δ)!!!!

Sca:eringinelas7ci

Reazionirisonan%:Avvengonoinduestep1.  Formazionedelnucleocomposto2.  Decadimentodelnucleocomposto

Reazionidire:e:Transizionedire:anellostatolegatoQuestetransizionipossonoavvenireaqualsiasienergiadelproieVle

Questereazionipossonoavveniresoloadeterminateenergie:risonanze

Breit-Wigner

Sezionid’urtoevelocitàdireazioneLasezioned’urtoesprimelaprobabilitàd’interazioneperunafissataenergiadicollisione.Inunplasma,sihageneralmenteunadistribuzionedienergiedicollisione,inquestocasoinvecedisezioned’urtoèmegliou7lizzareilconce:odivelocitàdireazione.

IndicandoconnpenTlepar7celleproieVleebersaglioperunitàdivolume,sevèlalorovelocitàrela7va,ilnumerodiinterazioniperunitàditempoèdatada:R=npnTσpT(v)VReazionepersecondor=npnTσpT(v)velocitàdireazionepersecondoecm3

Sef(v)èladistribuzionedellevelocitàrela7ve,Ilnumerodiinterazioneperunitàditempoedivolumeè:

! ! !! = !1!!

< ! >!= !!!!! !!" ! !" ! !" = !!!! < !!"! >!!dove<σpTv>èdefinitacomelavelocitàdireazioneperlacoppiadipar7celle

DistribuzionedivelocitàdeinucleiPerlamaggiorpartedelleapplicazioni(peresempionellestelle)proieVliebersagliosonosempreinequilibriotermicofraloroeseguonoladistribuzionedellevelocitàdiMaxwell-Boltzmann.Laprobabilitàf(v)ditrovareunapar7cellaconvelocitàcompresafravev+dvè

! ! !! = !1!!!(!) = !4! !!!"#

!! !!!!

!!!!!" !! con

DistribuzionedivelocitàdeinucleiSipuòdimostrarechelevelocitàrela7vafraduepar7celleèdistribuitanellostessomodo.

! = ! !!!!!!!!!

!!!(!) = !4! !!!"#

!! !!!!

!!!!!"!! con

Poichélesezionid’urtosonoingenereespresseinterminidell’energiadicollisione,ÈpiùconvenienteesprimereladistribuzionediMaxwell-Boltzmanninfunzionedell’energia.ConsiderandocheEèfunzionediv(E=½mv2)quindidv=vdEricavo

!! ! !" = !!! ! !"# = !! ! 2!"!" ⇒ !! ! = !!(!) !!! !!

!!(!)!" = ! !!"

!!

!! !

! !!"!"!!

VelocitàdireazionemediatesullaMaxwell-Boltzmann

< !! >= ! !!!

!! !!"

!!! ! !!!

!!"!"!!

Questaequazioneènecessariaperstabilirel’evoluzionechimicadelplasma.Ilmassimodell’integrandoesprimel’energiaallaqualeèpiùprobabileilprocesso

Collisionifrapar7cellecariche

!! ! = !!!!!!! !!

RepulsioneCoulombiana

adistanzenucleari(Rn=r0A⅓)conr0≈1fm,larepulsionecolumbianaèdata:

!! = !! !! = !!!!!!

!!!!!!!

Perlareazionep+po:eniamo:εc=550keVèT=6.4x109°K

Sequestafosselatemperaturadell’ammassogassoso,tu:ecoppieppsubirebberolareazionecontemporaneamente(oquasi)equindilastellainvecedibruciarel’H“lentamente”lobrucerebbemoltovelocemente.Sequestofosseilcasononavremmopiùstelle

Collisionifrapar7cellecaricheSecondolafisicaclassica,laminimadistanzaRCallaqualepossonoavvicinarsinucleiconEnergiaEèdatadata

!! = !!!!!!! !!

poichéquestaquan7tàèingenerale>>RN,classicamentelereazioninuclearinonpossonoavvenirealleenergie7pichedeiplasmiastrofisici

Nellestelle,comenelbigbang,lapossibilitàdireazioninuclearièstre:amentecollegataall’effe:otunnel

Osservazioni

Lafrazionedi(coppiedi)par7cellepercuil’energiadicollisioneèpiùgrandediεCèdatadall’integraledidP/dEoltreεC

PerεC≈550keVeT≈1keV(nell’internodelsole)εC/kT≈550equindif<103exp(-1000)≈10-275,daconfrontarsiconilfa:ochenelsoleilnumerodipar7celleèdell’ordinedi1057(eintu:ol’universovisibilecirca1070)

!(!!)!" = ! !!"

!!

!! !

! !!"!"!

!! !!

Lapenetrazionea:raversolabarieraCoulombiana

Ilproblemadifaravvicinareduenuclei,finoadistanzenuclearipereffe:otunnel,èanalogoaldecadimentoα,spiegatodaGamowinterminediuncoefficienteditrasmissionedatoda

! = !!!!!!!!!!!

ℏ! !!

DovePènotocomefa:orediGamowe! = !!!

!!!!

L’equazionepuòesserescri:a:

! = !!!!!!!ℏ! !! dove !! = ! !!!!!

!

ℏ !!

Questaespressioneèo:enutainun’approssimazionesemiclassicatrascurandol’estensionedelnucleo.(Perunatra:azionepiùprecisavedereLandaueRolfs)

Scaledell’energieCoulombiane

! = !!!!!!

!!!! !! = !!!!!!!!!con

!! = ! !!!!!!

ℏ !! ! = !!!!!!!!!!!!

!!

mNmassadelnucleone

!! = !!!!! !!!!!!!!!

!! !!

!! = !!!!!!!!! ≈ 500!!"#!! αcostantedistru:uraiperfine

Sezionid’urtodifusioneLesezionid’urtodifusionedinucleicontengono3termini:

untermineproporzionaleallalunghezzadiDeBrogliealquadrato(1/k2),edunqueinversamenteproporzionaleall’energiadicollisioneE

laprobabilitàdia:raversamentodellabarriera,P(E)

unterminecheesprimelaprobabilitàdiinterazionenucleare,unavoltasuperatalabarriera

! ! = ! ! !! !!

!!! !!

Ilfa:oreS(E)sichiamafa@oreastrofisico,edesprimel'intensitàdell’interazione.LesuedimensionisonoL2E,l’unitadimisurapiùcomunementeu7lizzataèMeVbarn

Esempio! ! = ! ! !! !!

!!! !!

Lasezioned’urtoσ(E)diunareazioneindo:adapar7cellecarichedecrescerapidamentealdiminuiredell’energia.Quindiperavereilvaloredellasezioned’urtoabasseenergiesifaun’estrapolazione.

Ordinedigrandezzadeifa:oriastronomiciE’convenienteconsiderareS(E),chehauncomportamentodebolmentevariabileconl’energia,rispe:oaσ,checambiadiordinidigrandezzaperpiccolevariazionidell’energiadicollisione

Perciascunareazioneilfa:oreastrofisicocara:erizzal’intensita’dellaforzaingioco.

IlpiccodiGamow! ! = ! ! !! !!

!!! !!Sitra:adiinserire

nell’espressioneperlavelocitàdireazione

< !! >= ! !!!

!! !!"

!!! ! !!!

!!"!"!!

< !" >= ! !!"

!! !!"

!!! ! ![!

!!"!!!

!!!

!!]!"!!

S(E)èunafunzionedebolmentevariabile,mentreidueesponenzialivarianomolto,econtendenzecontrastan7:-ilterminedipenetrazionefavorisceleenergiealte-ladistribuzionediMB,chedecresceesponenzialmentealcresceredell’energia

Quindilarapidadecrescitadellasezioned’urtoabassaenergiaèdovutaall’esponenziale,chevienechiamatofa:oredivelocitàGamow,edèproporzionaleallaprobabilitàdipenetrazionedellarepulsionecoulombiana

PosizionedelmassimodelpiccoGamow

Nell’ipotesicheSsiaunafunzionelentamentevariabile,

< !" >= ! !!"

!! ! !!!"

!!

![!!!"!!!

!!!

!!]!"!

! !!

Pertrovarelaposizionedelmassimodevodunquestudiarelafunzioneentroilsegnodiintegrale.Poichél’esponenzialeèunafunzionemonotona,bastatrovareilpuntodistazionarietàdi

! = ! !!" +!!!

!!!!

!"!" = !0!!

!! = !! !"

!! !!

!! !!!

PoichéEC>>kTsihaE0>kT

Ades,perT=1.5x1070KsihakT=1.2keVe:p+p:E0=5.9keVα+12C:E0=56keV16O+16O:E0=237keV•NotarecomeE0crescarapidamenteall’aumentarediZ

AltezzadelpiccoGamowIlvaloredell’integrandoI(E)nelpuntodimassimo,Imax,sioVenedalvaloredifperE=E0:

!!"# = !!!! !! = ! !!!!!" !!

Ladipendenzadallatemperaturaètramitelavariabile

! = !!!!" = (!!)

!! !!

!"

!!!!

Nellestessecondizionidiprima(T=1.5x1070KossiakT=1.2keV)p+p:E0=5.9keV;Imax=1.110-6α+12C:E0=56keV;Imax=310-5716O+16O:E0=237keV;Imax=610-239

Poiché’<σv>e’proporzionaleaImax,ques7numerimostranolagerarchiadellacombus7onenellestelle

LarghezzadelpiccoOgnifunzioneacampanapuòesserelocalmenteapprossimataconunaGaussianaintornoalsuomassimo:

! ! = ! !!"#!!!!!! !!! !!

Lasemilarghezzaδdellagaussianacorrispondeaquandolafunzionesiriducea1/erispe:oalvaloredimassimo.

Sviluppandoilfa:oredivelocitàdiGamowf(E)siricavache

! = − !!" !!

!! = !

! !!!"!!!!

CioèδècircalamediageometricafraE0ekTLasuadipendenzadallatemperatura:poichéE0αT2/3nesegueδαT5/6

Valoredell’integraleNell’approssimazioneGaussiana! ! = ! !!"#!!

!!!! !!! !!

< !" >= ! !!"

!! ! !!!"

!!

![!!!"!!!

!!!

!!]!"!

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! ! !!!! = ! !!"# ![!

!!!!!

!! ]!"!! !! Seδ <<Epossospostarel’estremoinferiorea-∞

< !" >!≅ !2 !!

!! ! !! !

!"!!!!

!!!!" !!

ilcontributoallavelocitàdireazionevienedallecollisionivicinoaEo;èquestalaregionecheoccorrestudiareinlaboratorioperpredirel’efficienzadiunareazione

Lavelocitàdellereazionitermonuclearidipendefortementedallatemperatura,principalmentetramiteiltermineesponenziale

!!"#! ! = !!!!!!!!" !!!

Velocitàdireazioneinfunzionedellatemperatura

< !" >!≅ !2 !!

!! ! !! !

!"!!!!

!!!!" !! ! = !

! !!!"!!!! !! = !

! !"!! !!

!! !!!

Ognifunzioney,perpiccolevariazionidiunparametroxintornoax0puòessereespressainterminidiunapotenza:y=y(xo)(x/xo)α

Perdeterminarel’esponenteαosservochederivandoamboImembri:dy/dx=α(y/x)

Dacuiαèladerivatalogaritmicanelpuntoxo:α=(dy/dx)x/y=dlny/dlnx

Ladipendenzadallatemperaturadi<σv>e’principalmenteneltermineesponenziale,percui

ln<σv>=cost–3Eo/kT=cost-3AT-1/3

Pergliesempiconsue7(kT=1.2keV)p+p:E0=5.9keVαpp=4.9;α+12C:E0=56keVαC=4716O+16°E0=237keVαΟ=20

! = !"(!"!!"!)!" != !!!

!! = !!

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Velocitàdireazioneinfunzionedellatemperatura

< !" >!≅ !2 !!

!! ! !! !

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!!!!" !! ! = !

! !!!"!!!! !! = !

! !"!! !!

!! !!!

Abbiamovistochelevelocitàdireazione,intornoaunatemperaturaT,possoessereparametrizzatecome<σv>=cTα

Doveilcoefficienteαèdatoapprossima7vamentedaα=Eo/kT=c’T-1/3

Poichéαvarialentamenteconlatemperatura,αcara:erizzalareazione

Ivaloridiαcresconoalcresceredellecarichedeinucleireagen7epossonoesseregrandi

Quindipiccolevariazioniditemperaturadannograndivariazionidellevelocitàdireazione,dacui:unastellanonbruciaundeterminatoelementofinchénonharaggiuntounatemperaturadiinnescolestellesonorela7vamenteinsensibiliaivaloridiS,poichél’efficaciadiunareazionedipendeprincipalmentedaT

sesimisuranolevelocitàdireazioneinunastella(adesempiorivelandoineutriniemessinellareazione)sistamisurandolatemperaturadellastellanellazonadiproduzione