Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquidoGià nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di diffusione di particelle α da nuclei pesanti ricavò che il nucleo è assimilabile ad una sfera di raggio ≈ 10-13 cm. Successivamente il raggio dei nuclei fu stimato da una analisi della relazione empirica tra le vite medie τ degli α-emettitori e l’energia cinetica Tα delle particelle α emesse, che fu trovata essere del tipo:

lnτ + a⋅lnTα = costantedove il parametro a è tale che, come vedremo quando studieremo in maggior dettaglio il decadimento alfa, per un piccolo intervallo di variabilità di Tα (tra 4 e 9 MeV) la vita media varia invece enormemente (tra 10-7 s e 1010 y). Fu trovata la relazione: r = r0⋅A1/3, con r0 ≈ 1.3 fm.La densità numerica dei nucleoni risulta allora essere:

n =

AV

=3A

4πr03A

=3

4πr03 ≈ 1038 cm-3

e, non dipendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei.

Anche la densità massica della materia nucleare risulta indipendente da A e costante per tutti i nuclei:

ρ =

MV

A ⋅mp

V=

3 ⋅mp

4πr03 ≈ 1014 g⋅cm-3

Il fatto che la densità sia costante, ci dice che la materia nucleare è incomprimibile, e questa proprietà indica una somiglianza tra la materia nucleare ed un liquido. Questa analogia segue anche dalla dipendenza quasi lineare esistente tra l’energia di legame di un nucleo ed il suo numero di massa, che può essere paragonata alla dipendenza lineare dell’energia di vaporizzazione di un liquido dalla sua massa. Inoltre la proprietà di saturazione delle forze nucleari (che segue dal fatto che B/A ≈ cost.) rende l’analogia più completa poichè la stessa proprietà è anche posseduta dalle forze chimiche di legame delle molecole in un liquido. Su queste basi Bohr, Wheeler e Frenkel svilupparono il modello a goccia del nucleo, che portò alla formula semiempirica per l’energia di legame ottenuta da Weiszacker. Questo modello fu in grado di spiegare un grande numero di fenomeni, compresi alcuni aspetti del decadimenti beta, il fenomeno della fissione nucleare e le leggi del decadimento alfa.

Modello a goccia di liquido (Weiszacher)Questo modello molto semplice è in grado di spiegare, mediante pochi parametri empirici, importanti proprietà dei nuclei. Abbiamo già visto che se riportiamo in grafico il numero dei neutroni N=A-Z contenuti nel nucleo in funzione di Z per tuttii nuclei stabili, si ottiene il diagramma mostrato in figura

la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N

Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z.

Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l’energia di legame per nucleone sia costante:

BA ≈ cost → B ∝ A (1)

Il fatto che l’energia di legame per nucleone non dipenda da A indica una importante proprietà delle forze nucleari: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone all’interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli “a contatto”) e non con tutti gli A nucleoni.

Questa peculiarità delle forze nucleari spiega la salita iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di “plateau” successiva.

Diverso è il caso delle forze elettriche, il cui range è infinito: l’energia potenziale elettrica di una sfera di raggio R contenente una carica Ze uniformemente distribuita è data da:

U

el= dU

el= V( r) ⋅ dq( r)

0

R

∫ =q( r)

r⋅ dq( r)

0

R

∫∫

dove: q( r) = 4

3πρ

elr3

e dq(r)= ρel4 π r2dr

sostituendo, integrando, e notando che ρ

el=

3Q4πR3

=3Ze4πR3 , si ottiene:

U

el=

35

Q2

R=

3Z2e2

5R (2)

L’energia potenziale per unità di carica vale quindi

dUel

dZ=

6Ze2

5R , e aumenta linearmente

con Z.

Partendo dalla analogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell’energia di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la compongono:

B = α ⋅A − β ⋅A2/ 3 − γ ⋅ Z( Z − 1)

A1/ 3− ζ ⋅

A −2Z( )2A

Analizziamo ora i vari termini:

• αA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione (1) precedente.

• βA2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una sfera di densità uniforme e raggio R=r0A1/3, si ricava che la superficie esterna del nucleo

vale 4πR2 = 4πr02A2/ 3 . I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è ovviamente

proporzionale appunto ad A2/3, risultano meno legati di quelli che si trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno.

• γ ⋅ Z( Z − 1)

A1/ 3 rappresenta il termine coulombiano di repulsione tra i protoni confinati

all’interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera uniformemente carica,

l’energia potenziale di tale distribuzione vale: U =

35

Q2

R=

3Z2e2

5R=

3Z2e2

5r0A1/ 3 e naturalmente

va a diminuire (vedi segno meno) l’energia di legame. Naturalmente per Z=1 non c’è repuslione.

• ζ ⋅

A − 2Z( )2A è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di

liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A<40) essi tendono ad eguagliarsi. Questo significa che nuclei per i quali Z=A/2 sono più stabili e quindi hanno più alta energia di legame: deviazioni dall’uguaglianza Z=A/2 per eccesso o per difetto (vedi dipendenza quadratica) portano ad una diminuzione (vedi segno meno). Gli |N-Z| nucleoni in eccesso sono considerati responsabili di un deficit di energia di legame del nucleo.

La frazione di volume nucleare interessata è quindi |N-Z|/A e il deficit totale di energia di legame è proporzionale al prodotto:

ζ ⋅ N − Z ⋅

N − Z

A= ζ ⋅

N − Z( )2A

= ζ ⋅A − 2Z( )2

A

Vediamo ora di ricavare i coefficienti da considerazioni approssimate ma semplici. In realtà la procedura utilizzata è più raffinata ma più complessa, e comunque non porta a differenze sostanziali rispetto alla nostra.

Il termine dovuto alla correzione coulombiana si ricava direttamente:

γ =

3e2

5r0

= 0.667 MeV

La dipendenza di Z = Z(A) per i nuclei stabili risulta essere la seguente:

Z =

A2 + 0.015A2/ 3 (3)

Per questo valore di Z l’energia di legame è massima, e quindi:

dBdZ = 0.

Dalla relazione:

dBdZ

= −2γ ZA1/ 3

+ 4ζA − 2Z( )

A= 0 si ricava:

γζ= 2

A − 2Z( )ZA2/ 3 .

Se eliminiamo Z tramite la (3), notando che A − 2Z( ) = 0.015 ⋅Z ⋅A2/ 3 , sparisce anche la

dipendenza da A e si ricava:

γζ =0.03 e quindi, noto γ , si trova: ζ= 22.2 MeV

La curva

BA

= f A( ) deve avere il massimo ad A=60.

Figura 1.6 andamento di B/A in funzione di A

Dalla relazione:

ddA

BA

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

A=60= 0 con:

BA

= α − β ⋅A−1/ 3 − γ ⋅Z2

A4/ 3− ζ

A − 2Z( )2A2 , si ottiene:

β =

6025

γ , e quindi β = 16 MeV.

Imponendo infine, sempre da osservazioni sperimentali, che

BA =8.8 MeV per A=60 e

Z=28 si ricava α = 15.2 MeV. Finalmente:

B = 15.2 ⋅A − 16.0 ⋅A2/ 3 −

0.667 ⋅Z2

A1/ 3− 22.2

A − 2Z( )2A

Vi è un ultimo termine, anche questo indipendente dalla analogia con la goccia di liquido. I nuclei possono essere divisi in tre gruppi per quanto riguarda la loro stabilità. Il primo gruppo contiene i nuclei più stabili, quelli con Z ed N entrambi pari (per questo detti “pari-pari”), mentre il secondo gruppo contiene i nuclei meno stabili “pari-dispari” e “dispari-pari”, aventi A dispari.

Infine il terzo gruppo contiene i nuclei “dispari-dispari” che di regola sono instabili (i nuclei dispari-dispari stabili sono solo quattro: 2H, 6Li, 10B, 14N). Per questo motivo, un cambio di un’unità nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un nucleo pari-pari in uno dispari-dispari (o viceversa), e fa quindi variare bruscamente l’energia di legame.

Questo effetto non è ovviamente spiegabile con una analogia idrostatica e si deve introdurre un ulteriore termine “ad hoc”: esso è espresso come δA-4/3.

La formula completa per l’energia di legame B risulta allora:

B = α ⋅A − β ⋅A2/ 3 − γ ⋅ Z( Z − 1)

A1/ 3− ζ ⋅

A −2Z( )2A

+ δ ⋅A−4/ 3

il valore di δ, dedotto ancora una volta da un confronto sperimentale, è dato dalla seguente espressione:

δ =+34 pari− pari0 A dispari

−34 dispari− dispari

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Noto B, possiamo ricavare il valore della massa nucleare m(Z,A) = Zmp + (A-Z)mn – B.

B = α ⋅A − β ⋅A2/ 3 − γ ⋅ Z( Z − 1)

A1/ 3− ζ ⋅

A −2Z( )2A

+ δ ⋅A−4/ 3

m( Z,A) = Zm

p+ A − Z( )mn

− α ⋅A + β ⋅A2/ 3 + γ ⋅ Z( Z − 1)A1/ 3

+ ζ ⋅A −2Z( )2

A− δ ⋅A−4/ 3

Calcoli più raffinati forniscono i seguenti valori numerici per le costanti della formula:

costante valore (MeV)α 15.75β 17.8γ 0.71δ 0, ±34ζ 23.7

Dalla formula che fornisce il valore dell’energia di legame B, si ricava immediatamente la formula di B/A:

BA

= α − β ⋅A−1/ 3 − γ ⋅ Z( Z − 1)A4/ 3

− ζ ⋅A −2Z( )2

A2+ δ ⋅A−7/ 3

Il contributo al valore di B/A dei vari termini nel modello a goccia

Applicazioni del modello a goccia

Utilizzando i coefficienti in tabella è possibile calcolare, noti Z ed A, l’energia di legame di qualsiasi nucleo con un errore relativo dell’ordine del percento. Il calcolo della massa è sorprendentemente preciso, con un errore di 10-4.

Il modello a goccia permette di calcolare l’energia di separazione di un protone (εp), di un neutrone (εn), o di una particella alfa (εα), ossia la minima energia che si deve fornire ad un nucleo per strappare un protone, un neutrone o una particella alfa.

m(Z,A) + εp = m(Z-1,A-1) + mp

Dal momento che: m(Z,A) = Z mp + (A-Z) mn - B(Z,A) e che: m(Z-1,A-1) = (Z-1) mp + (A-Z) mn - B(Z-1,A-1)

si ottiene: εp = m(Z-1,A-1) + mp – m(Z,A) = B(Z,A) – B(Z-1,A-1)

Analogamente: εn = B(Z,A) – B(Z,A-1) εα = B(Z,A) – B(Z-2,A-4) – B(4He)

Il modello a goccia è anche usato per derivare una condizione che lega A e Z per tutti i nuclei stabili rispetto al decadimento beta. La formula che fornisce la massa di un nucleo:

m( Z,A) = Zm

p+ A − Z( )mn

− α ⋅A + β ⋅A2/ 3 + γ ⋅ Z( Z − 1)A1/ 3

+ ζ ⋅A −2Z( )2

A− δ ⋅A−4/ 3

presenta una dipendenza di tipo parabolico della massa nucleare da Z, ad A fissato.

dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari

Il nucleo più stabile ha un maggior difetto di massa e quindi massa più piccola. Pertanto il valore Z0 che corrisponde a questo nucleo può essere determinato trovando il minimo della curva. Differenziando rispetto a Z l’espressione della massa ed uguagliando a zero:

dmdZ

= mp− m

n+ 2γ ⋅Z ⋅A−1/ 3 −

2ζA

A2− Z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0

da cui si ricava: Z =

A mp− m

n+ ζ( )

2ζ + 2γA2/ 3

che, sostituendo i valori numerici, diviene: Z =

A1.97 + 0.015A2/ 3

Se si usa questa espressione per calcolare Z0 per gli isobari stabili per decadimento beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z0 differisce al più di ±1 dal valore sperimentale.

Se A è dispari, il termine δ della formula della massa vale zero, e la funzione m(Z) assume valori singoli.

dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari

Fissato A, esiste quindi un unico valore di Z0 che corrisponde ad un isobaro stabile.Il nucleo con Z=Z0+1 decade β+ nel nucleo Z0, mentre il nucleo con Z=Z0-1 decade β- nel nucleo Z0. La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z0±2) che decadono β± nei nuclei (A,Z01).

Se però A è pari la funzione m(Z) assume due valori diversi perchè δ = ±34 a seconda che il nucleo sia dispari-dispari (+34) o pari-pari (-34)

dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari

La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore a nuclei (meno stabili) con Z dispari.

La figura a) mostra che, poichè due nuclei contigui sulla stessa parabola differiscono di due unità in Z, possono esistere fino a tre isobari stabili per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una carica Z0±2 in un nucleo con carica Z0±1 non è energeticamente possibile, e una transizione diretta da Z0±2 a Z0 tramite un doppio decadimento beta è estremamente improbabile.

dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari

Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che differisce per ±1 in numero atomico, tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili.In effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2H, 6Li, 10B, 14N. In questi casi i nuclei isobari sono disposti come in figura b). Ovviamente in questo caso gli isobari pari-pari devono essere instabili.

dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari

Per esempio i nuclei 14C e 14O si trovano al di sopra del nucleo stabile 14N

disposizione relativa dei nuclei 14C, 14O e 14N sul piano m-Z

Il modello a goccia può ovviamente essere anche usato per calcolare l’energia del decadimento β-.Assumendo nulla la massa del neutrino si ha:

Eβmax = m(Z,A) – m(Z+1,A).

Poichè: m(Z,A) = Zmp + (A-Z)mn - B(Z,A)e m(Z+1,A) = (Z+1)mp + (A-Z-1)mn -B(Z+1,A),

L’energia cinetica delle particelle beta emesse risulta allora essere:Tβmax = Eβmax - me = m(Z,A) – m(Z+1,A) – me = mn – mp – me + B(Z+1,A) – B(Z,A)

Sostituendo i valori numerici:

Tβmax = B(Z+1,A) – B(Z,A) + 0.7824

Analoghe formule si possono dedurre per decadimento β+ e cattura elettronica ε.

Stella di neutroniUna stella di neutroni può essere schematizzata come un nucleo gigantesco, con una densità dell’ordine di 1014 g⋅cm-3, contenente A ≈ 1057 nucleoni, il 95% dei quali neutroni. Con una estrapolazione ardita dell’ambito di validità della formula semiempirica, calcolare la massa ed il raggio di una stella di neutroni, considerandola come un nucleo costituito di soli neutroni. Utilizzando le formule del modello a goccia:

B = α ⋅A − β ⋅A2/ 3 − γ ⋅ Z2

A1/ 3− ζ ⋅

A −2Z( )2A

+ δ ⋅A−4/ 3

che per Z=0 diviene: B = α ⋅A − β ⋅A2/ 3 − ζ ⋅A + δ ⋅A−4/ 3 , si ottiene B = - 1.27·1044 Joule.

Nella convenzione adottata per l’energia del legame, un segno meno significa repulsione e corrisponde quindi ad un lieve aumento di massa:

m(0,A) = Amn - B = 1.67·1029 kg.

Si vede che l’equivalente in massa B/c2 = 1.4·1027 kg corrisponde all 1% del valore della massa.

Il raggio della stella risulta pari a:

R = r0⋅A1/ 3 = 6 km

Per A ≈ 1057 bisogna però tenere conto del contributo dell’energia gravitazionale:

U

grav= 3

5Gm2

R = 1.9·1044 Joule

che è attrattiva e prevale su Bnucl repulsiva.