Probabilitat

Bioestadística - Medicina Curs 2012-13 URV 1

Probabilitat


Esdeveniments

Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació.

L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori

Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica AUn esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral

Operacions amb esdeveniments: Esdeveniment contrari (Ᾱ) Unió d’esdeveniments (A U B) Intersecció d’esdeveniments (A ∩ B)


Ω espai mostral

A

B

Ω espai mostral

A

B

UNIÓ

Ω espai mostral

A

B

INTERSECCIÓ

Ω espai mostral

Ω espai mostral

AA

Esdeveniments


Exemple

En una classe tenim 10 alumnes: Una dona de 18 anys Dos dones de 19 anys Una dona de 20 anys Una dona de 21 anys Una dona de 24 anys Un home de 18 anys Un home de 19 anys Un home de 20 anys Un home de 27 anys


Exemple

Experiment: Triar a l’atzar un alumne de la classe

Espai Mostral: Ω = { D18, D19, D20, D21, D24, H18, H19, H20,

H27 }

ATENCIO! No tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de sortir. El resultat “D19” te el doble de probabilitat de que la resta de resultats.


Definició de probabilitat

La probabilitat d’un esdeveniment A és el valor límit, quan repetim indefinidament un experiment, del quocient entre el nombre de vegades que es presenta l’esdeveniment A i el nombre de vegades que repetim l’experiment


Definició de probabilitat

Si repetim infinitament un experiment, la probabilitat de un esdeveniment A es la freqüència relativa de dit esdeveniment


Exemple

Quina es la probabilitat de ser home? Esdeveniment H: Ser home.

P(H) =Nombre de casos que compleixen la

característica H

----------------------------------------------------------------

Nombre de casos

P(H) = 4 / 10


Exemple

Quina es la probabilitat de tindre entre 18 i 20 anys? Esdeveniment A: Tindre entre 18 i 20 anys.

P(A) =Nombre de casos que compleixen la

característica A

----------------------------------------------------------------

Nombre de casos

P(A) = 7 / 10


Propietats de la probabilitat

P(Ω) = 1

P(Ø) = 0

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A) + P(Ᾱ) = 1P(Ᾱ) = 1 – P(A)

P(A U B) = p(A) +P(B) - P(A ∩ B)


Exemple: En una mostra de 1000 individus elegits a l’atzar entre una població de malalts d’osteoporosi,760 són dones

Quin percentatge de dones hi ha a la mostra?

760/1000=0,76=76%

Si elegim un individu de la població, quina probabilitat hi ha que sigui dona

P(dona)=0’76

Quina és la probabilitat que escollit un individu a l’atzar d’aquesta població sigui home?

P(home)= 1-0,76 = 0,24

Propietats de la probabilitat


Probabilitat condicionada

)(

)()(

Bp

BApBAp

S’anomena probabilitat de A condicionada a B,al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :

)()()()()( ABpApBApBpBAp


Exemple: De la mostra anterior de 1000 malalts d’osteoporosi, tenim 270 fumadors dels quals 190 son dones.

Quina probabilitat hi ha de que sigui una dona i que sigui fumadora? P(dona ∩ fumar) = P(dona) P(fumar|dona) = 0.76 x 0.25 = 0,19

Quina probabilitat hi ha de que sigui un home i que sigui fumador? P(home ∩ fumar) = P(home) P(fumar|home) = 0.24 x 0.333 = 0,08

Elegim a un individu a l’atzar de la població de malalts.


Quina es la probabilitat de que un malalt sigui fumador si sabem que es dona?

P(fumar|dona) = P(dona ∩ fumar) / P(dona) = 0.19/0.76 = 0,25 Quina es la probabilitat de que un malat fumador sigui dona? P(dona|fumar) = P(dona ∩ fumar) / P(fumar) = 0.19/0.27 = 0,704



Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre: P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Dos esdeveniments A i B son equiprobables si: P(A) = P(B)

Dos esdeveniments A I B son incompatibles si: P(A ∩ B) = 0


B

A

P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’10

Probabilitat de A sabent que ha succeït B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0’8

P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’08

B

A



A

B

A

B

Probabilitat de A sabent que ha succeït B?

P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0’005

P(A) = 0’25P(B) = 0’10P(A∩B) = 0

P(A|B)=0’05 P(A|B)=0



)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp BABABAB k 21

Ω

A1B AkA2

Teorema de la probabilitat total

Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω


Teorema de Bayes

iii

iii ABpAp

BAp

Bp

BApBAp

)()(

)(

)(

)()(

Ω

A1B AkA2

El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment


Quin percentatge de fumadors hi ha en total?

P(F) = P(F∩D) + P(F∩H) = P(F|D) P(D) + P(F|H) P(H)

= 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13%

Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador Quina és la probabilitat de que sigui un home?

P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46%

Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%.

Teorema de Bayes


Expressió del problema en forma d‘arbre

Estudiant

Dona

No fuma

Home

Fuma

No fuma

Fuma

0’7

0’1

0’20’3

0’8

0’9 P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2 = 0’13

P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F) = 0’06 / 0’13


Combinatoria


Combinatoria

Permutacions

Sense repetició

Amb repetició


Combinatoria

Variacions

Sense repetició


Combinatoria

Combinacions

Sense repetició

Probabilitat

Documents

Transcript of Probabilitat