Potencia compleja de un complejo.

Dados z1, z2 ∈ C, se llama potencia de base z1 y exponente z2 al conjunto de numeroscomplejos dados por exp(z2 ln z1). Escribiendo z1 en forma exponencial (z1 = ρ1e θ1i) y z2 enforma binomica (z2 = a2 + b2i) la expresion general resulta:

zz21 = e(a2 + b2i) [ln ρ1 + (θ1 + 2kπ)i] = ea2 ln ρ1 − b2(θ1 + 2kπ)︸ ︷︷ ︸

∞ modulos

e[a2(θ1 + 2kπ) + b2 ln ρ1] i︸ ︷︷ ︸∞ argumentos

Esta expresion se simplifica en algunos casos particulares:

1. z2 ∈ R (b2 = 0). El exponente es un numero real, por lo que hay un unico valor parael modulo ρa2

1 . El exponente puede ser

a) Racional: z2 ∈ Q (a2 =pq ; p ∈ Z, q ∈ N).

zz21 = e(a2 ln ρ1) e

(a2θ1 +

p

q2kπ

)i

= ρa21 eϕi

k = 0 =⇒ ϕ = a2θ1

k = 1 =⇒ ϕ = a2θ1 +pq 2π

...

k = q =⇒ ϕ = a2θ1 +p¢q

2π¢q

El argumento para k = q es el de k = 0, incrementado en un numero enterode veces 2π, por lo que determina el mismo numero complejo. El de k = q + 1determina el mismo complejo que el de k = 1, etc. Ası pues, la potencia racional(p/q) de un complejo da como resultado q complejos de igual modulo1.

Ejemplo. (1 + i)1/2 =

(√2e

π4

i)1/2

=⇒ z1 = 21/4eπ8

i; z2 = 21/4e

9π8

i.

b) Irracional: z2 ∈ R \Q (a2 /∈ Q). Al ir dando valores a k, no se repiten los com-

plejos a partir de uno dado, por lo que se obtienen infinitas soluciones de igual

modulo. Ejemplo. (1 + i)√

3 =

(√2e

π4

i)√

3

=√

2√

3e

�√3π4

+√

3 2πk

�i, k ∈ Z.

2. z2 ∈ C \ R (b2 6= 0). El exponente es un numero complejo no real.

En este caso el modulo vale ea2 ln ρ1 − b2(θ1 + 2kπ), k ∈ Z, expresion que toma infini-tos valores. Ademas, segun el valor de a2, tendremos –como en el apartado 1– distintoscasos para el argumento:

a) a2 = 0 (exponente imaginario puro). Hay un solo argumento de valor b2 ln ρ1,por lo que los afijos de las infinitas soluciones estan situados en la misma recta.

b) a2 = p/q . Hay q argumentos que no difieren en un numero entero de veces 2π.

En este caso, los afijos de las infinitas soluciones estan distribuidos en q rectas.

c) a2 /∈ Q . Hay ∞ argumentos, cada uno correspondiente a un valor del modulo.

Ejemplo. 1( 13+i) = e[ 1

30−1(0+2kπ)] e[ 1

3(0+2kπ)+1·0]i = e−2kπe

2kπ3

i, k ∈ Z.

Resultan infinitos modulos y tres argumentos (θ1 = 0, θ2 = 2π3 , θ3 = 4π

3 ). Los afijos

estan situados en tres rectas, que forman angulos de 0, 2π3 y 4π

3 radianes con OX.

1La potencia entera da un unico resultado: za =(ρeθi

)a= ρaeaθi. Ejemplo: z−2 = 1

z2 = 1ρ2e−2θi.