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UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA.

CONTROL II

PLANTA DE TERCER ORDEN MEDIANTE UN

CIRCUITO ELECTRÓNICO.

- Gerardo Guacaneme Valbuena Cód. 9920553.

- Jonathan Mesa P. Cód. 20012005107.

- Jonathan Sánchez Ortega Cód. 20032005132.

OBJETIVOS:

- Diseñar e implementar un circuito electrónico que tenga un

comportamiento de tercer orden con un par de polos

complejos conjugados dominantes y un polo real ubicado a

una distancia de por lo menos 5 veces la parte real de los

complejos conjugados.

- Obtener una aproximación de dicho sistema a un modelo de

segundo orden a partir de la respuesta a un escalón.

- Realizar un trazado experimental del lugar geométrico de las

raíces LGR.

- Realizar un trazado experimental del diagrama de Bode.

PROCEDIMIENTO:

Para el diseño de un sistema electrónico que tenga una

respuesta de tercer orden, hemos dividido el mismo en tres

partes consistentes en:

- Circuito de orden 2.

- Circuito de orden 1.

- Sumador y control proporcional.

El esquema de bloques de la planta se muestra en la figura 1.

Figura 1. Esquema de bloques de la planta de tercer orden.

Para la elaboración del primer bloque, el circuito de orden 2,

hemos tenido en cuenta dos criterios, el primero de ellos que el

máximo sobrepico del sistema ante una entrada tipo paso

estuviese en el 25% del valor de estado estable, esto con el fin

de tener un buena visualización del mismo en el osciloscopio

al momento de efectuar las mediciones. El segundo criterio

escogido fue el tiempo de sobrepico el cual escogimos

arbitrariamente de 1ms ya que con este tiempo tenemos una

ventana óptima de visualización en el osciloscopio.

Considerando que la función característica de un sistema de

orden dos está dada por [1]:

El porcentaje de sobrepico está dado por la ecuación:

Conociendo el valor porcentual de sobrepico despejamos el

valor de Xi ξ, la ecuación queda entonces como:

Despejando para PO % = 25 %.

El tiempo de sobrepico está determinado por la expresión:

Conociendo ξ y despejamos :

Estos resultados los usaremos para determinar el valor de los

componentes del circuito. Para el caso del bloque de segundo

orden hemos escogido un circuito filtro pasa-bajos con

amplificador operacional tipo Sallen Key [2]. La función de

transferencia está dada por la expresión:

Donde la ganancia K está dada por:

El circuito del filtro se muestra en la figura 2. Reordenando los

términos de la ecuación característica:

Rápidamente observamos que:

2

Despejando los valores numéricos de (4) y (6) en (9) y (10):

Ahora podemos encontrar los valores de los componentes del

circuito, arbitrariamente escogimos el valor del capacitor de

0.1 µF. Los componentes pasivos del filtro Sallen Key quedan

así:

Escogimos el amplificador operacional dual TL072 de Texas

Instruments para el diseño de este filtro, igualmente para los

demás bloques de la planta.

Fig. 2. Circuito de segundo orden Sallen Key.

Fig. 3. Respuesta del circuito de segundo orden ante una entrada escalón de

3V mediante simulación en PSpice (lazo abierto).

Con los valores resultantes podemos reemplazar en la

ecuación (1) para así hallar de forma analítica la ubicación de

los polos complejos conjugados:

Tomando la parte real de los polos complejos conjugados y

multiplicándola por una valor superior de 5, escogimos 10

veces ese valor. La ubicación del polo real del bloque de

primer orden será en:

Considerando que la función característica de un sistema de

primer orden está dada por [1]:

El producto de los bloques de primer y segundo orden nos

entrega la función de transferencia del sistema de tercer orden

en lazo abierto:

Como condición dada, sabemos que el producto , es decir,

la ganancia total en lazo abierto debe ser uno:

Despejando el valor de tao (τ) a partir de las ecuaciones (13) y

(14) tenemos:

El circuito de primer orden que usaremos se muestra en la

figura 3. La respuesta de este circuito es de la forma [3]:

Comparando las ecuaciones (14) y (18) y reemplazando los

respectivos valores hallados en (16) y (17) tenemos que:

Como en el caso anterior asumimos el valor del capacitor en

39 nF, de modo que los componentes del filtro quedan así:

U1A

TL072/301/TI

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

V1

12Vdc

V212Vdc

0

0

V3

TD = 0.0005

TF = 0.000001PW = 0.1PER = 0.2

V1 = 0

TR = 0.000001

V2 = 3

R1

2.92k

R2

2.92k

R3

4.7k

R4

5.6k

C1

100n

C2

100n

0 0

V

V

3

Como vemos en la ecuación (18) este circuito genera una

salida invertida, por lo cual se hace necesario colocar un

inversor de ganancia uno justo después de la salida del

amplificador operacional. Se usó un circuito inversor con

amplificador de ganancia uno y resistores iguales de 5.1 KΩ.

Fig. 4. Circuito de primer orden incluyendo el inversor.

Fig. 5. Respuesta ante una entrada escalón del circuito de tercer orden en lazo

abierto mediante simulación en PSpice.

Conociendo ya todos los valores del sistema en lazo abierto

podemos reunir estos datos numéricos para encontrar la

función característica de la planta, la misma está dada, para el

sistema de segundo orden:

Para el sistema de primer orden:

Para la planta en lazo abierto:

Para el control proporcional debemos tener en cuenta las

restricciones en la ganancia para que el circuito con

realimentación opere con sus polos en lado izquierdo del plano

complejo. Usando Matlab calculamos la ubicación de los

polos en el plano s.

Fig. 6. Arriba: ubicación de LGR en Matlab. Abajo: ubicación detallada de

los polos

Mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz podemos

establecer el rango de estabilidad del sistema:

Esto nos indica que la mayor ganancia que podemos aplicar

sin entrar en inestabilidad será menor a 4.11. Para el sumador

U1B

TL072/301/TI

+5

-6

V+8

V-4

OUT7

R5

4.055k

R6

1.85k

0

C3

39n

U2A

TL072/301/TI

+3

-2

V+8

V-4

OUT1

R7

5.1k

R8

5.1k

0

V1

12Vdc

V212Vdc

0V3

TD = 0.0005

TF = 0.000001PW = 0.1PER = 0.2

V1 = 0

TR = 0.000001

V2 = 1

0

R9

100k

VV

4

y el control proporcional usaremos un circuito sumador con

ganancia como el mostrado en la figura 7.

Fig. 7. Circuito sumador con ganancia.

La salida de este circuito está dada por [3]:

Donde:

Se ha escogido arbitrariamente:

De modo que la ecuación (26) queda como:

De aquí podemos hallar del valor del máximo que será la

resistencia que variaremos para cambiar el valor de la

ganancia, el valor máximo se dará cuando la ganancia sea casi

4.11 (ecuación (24))

Para efectos prácticos usaremos un potenciómetro de 250 KΩ

en paralelo con una resistencia fija de 33 KΩ, esto nos da un

equivalente de 29.15 KΩ que es menor que el valor en el cual

empieza la inestabilidad. El diagrama completo del circuito se

encuentra en el Anexo 1.

De los datos recopilados en el laboratorio, al observar la

respuesta para cada uno de los puntos así como la respuesta en

lazo abierto obtuvimos la siguiente tabla:

K PO %

LA 1,00 1,20 0,95 26,32

0,371 0,84 0,35 0,25 42,79

1,134 0,68 0,75 0,47 59,00

2,630 0,55 1,25 0,72 73,29

3,565 0,51 1,41 0,76 84,87

3,736 0,49 1,45 0,77 88,34

Tabla 1: datos de tiempo pico, voltaje pico y tiempo de establecimiento

tomados experimentalmente en laboratorio.

A partir de los datos de la tabla podemos calcular los polos

característicos de un sistema de segundo orden usando las

ecuaciones (4) y (6), igualmente al resolver la expresión

general para un sistema de segundo orden se obtienen las

ecuaciones para la parte real e imaginaria de los polos, estas

son:

Con estos datos obtenemos la tabla 2:

K ξ ω

LA 0,391 3413,48 1335,00 3141,59

0,37 0,261 3874,13 1010,63 3739,99

1,13 0,166 4684,70 775,95 4619,99

2,63 0,098 5739,87 565,09 5711,99

3,56 0,052 6168,38 321,68 6159,99

3,74 0,039 6416,41 253,10 6411,41

Tabla 2: ξ ω y los valores absolutos de la parte real e imaginaria de los polos

complejos conjugados.

Podemos observar para el caso de lazo abierto (LA en las

tablas 1 y 2) que el valor obtenido experimentalmente se

encuentra a una buena proximidad del valor teórico:

Ahora sólo resta determinar el valor del tercer polo en las

mediciones efectuadas en lazo cerrado, para ello usaremos la

propiedad que nos indica que “el lugar geométrico de las

raíces de G(s) es el lugar geométrico de puntos en el plano s

donde la fase de G(s) es 180°” De este modo calculamos los

ángulos de apertura de cada ubicación de polos respecto al

lazo abierto, las ecuaciones para hallar los ángulos son:

V1

12Vdc

V212Vdc

0V4

TD = 0.0005

TF = 0.000001PW = 0.1PER = 0.2

V1 = 0

TR = 0.000001

V2 = 10

R10

100k

R14

2.55k

0

U3B

TL072/301/TI

+5

-6

V+8

V-4

OUT7

R11

30k

R12

2k

R13

5.1kR15

5.1k

0

5

Fig. 14. Método para la obtención del tercer polo en el sistema de lazo cerrado

Al calcular sobre los datos anteriores tenemos que:

α β θ s3

61,5396 87,3013 31,1591 -14240,86111

69,2859 85,8802 24,8339 -14996,22591

73,3254 85,0300 21,6446 -15817,21713

71,4422 83,7826 24,7751 -16483,7303

71,6920 83,5387 24,7693 -16859,70537 Tabla 3: Calculo de los ángulos entre la ubicación de los polos para una

ganancia dada y la ubicación en lazo abierto. Se obtiene el tercer polo sobre el

eje real.

Estos valores si tienen unas variaciones importantes respecto a

los valores simulados (Fig. 6). Esto se debe primordialmente a

que una pequeña variación en la medición del tiempo de

establecimiento genera igualmente ligeros cambios en el PO

%, pero estos se ven reflejados de manera importante en la

ubicación de los polos mediante LGR.

Fig. 15. Ubicación de los polos complejos conjugados en el plano s obtenidos

experimentalmente.

Para graficar el diagrama de bode de la planta en lazo abierto,

fueron tomados los siguientes datos haciendo variación de la

frecuencia a una señal de entrada senoidal.

f A T_f T T/ms g

10 2 0 0,100 100000 0,00

50 2 280 0,020 20000 5,04

100 2 340 0,010 10000 12,24

200 2,08 320 0,005 5000 23,04

500 2,52 460 0,002 2000 82,80

600 2,16 512 0,002 1666,67 110,59

800 1,28 524 0,001 1250 150,91

900 1 490 0,001 1111,11 158,76

1000 0,76 520 0,001 1000 187,20

2000 0,2 280 0,001 500 201,60

Tabla 3: Valores de magnitud y fase tomados experimentalmente en el

laboratorio.

A partir de estos valores se graficó el diagrama de magnitud y

fase (Fig. 15) y se coloca el diagrama simulado para efectuar

la comparación (Fig. 14).

Fig. 15. Respuesta en frecuencia para la planta en lazo abierto mediante

simulación en Matlab.

-8000,00

-6000,00

-4000,00

-2000,00

0,00

2000,00

4000,00

6000,00

8000,00

0,00500,001000,001500,00

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

10 100 500 800 1000

Series1

6

Fig. 15. Respuesta en frecuencia para la planta en lazo abierto experimental a partir de la tabla 3.

REFERENCIAS

[1] Katsuhiko Ogata, “Ingeniería De Control Moderna” Prentice Hall, 1998, pp. 136-159.

[2] Texas Instruments, “Analysis of the Sallen-Key Architecture” Application note SLOA024A, pp. 4–8.

[3] Richard Dorf y James Svoboda, “Circuitos Eléctricos, Introducción al análisis y Diseño” Alfaomega, 2000, pp. 635–643.

[4] G.F. Franklin, J. D. Powell, A. Emarni, “Control de Sistemas Dinámicos Con Retroalimentación” Addison Wesley Iberoamericana, 1991, pp. 128–172.

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

10 100 500 800 1000

Series1

7

Fig. 8 a. Respuesta paso de la planta en lazo abierto obtenida mediante

simulación.

Fig. 9 a. Respuesta paso de la planta en el punto 1 (ganancia 0.37) obtenida

mediante simulación.

Fig. 10 a. Respuesta paso de la planta en el punto 2 (ganancia 1.13) obtenida

mediante simulación.

Fig. 8 b. Respuesta paso de la planta en lazo abierto obtenida de forma

experimental en el laboratorio.

Fig. 9 b. Respuesta paso de la planta en el punto 1 (ganancia 0.37) obtenida de

forma experimental en el laboratorio. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 10 b. Respuesta paso de la planta en el punto 2 (ganancia 1.13) obtenida

de forma experimental en el laboratorio. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

8

Fig. 11 a. Respuesta paso de la planta en el punto 3 (ganancia 2.62) obtenida

mediante simulación.

Fig. 12 a. Respuesta paso de la planta en el punto 4 (ganancia 3.56) obtenida mediante simulación.

Fig. 13 a. Respuesta paso de la planta en el punto 5 (ganancia 3.73) obtenida

mediante simulación.

Fig. 11 b. Respuesta paso de la planta en el punto 3 (ganancia 2.62) obtenida

mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 12 b. Respuesta paso de la planta en el punto 4 (ganancia 3.56) obtenida mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 13 b. Respuesta paso de la planta en el punto 5 (ganancia 3.73) obtenida

mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

9

Anexo 1: Diagrama completo del circuito implementado.

Anexo 2: Esquema de la

baquela diseñada para el

dispositivo.

Anexo 3: Diagrama de bloques

en Simulink.

U1A

TL072/301/TI

+3

-2

V+8

V-4

OUT1

V1

12Vdc

V212Vdc

0

0

V3

TD = 0.0005

TF = 0.000001PW = 0.1PER = 0.2

V1 = 0

TR = 0.000001

V2 = 1

R1

2.92k

R2

2.92k

R3

4.7k

R4

5.6k

C1

100n

C2

100n

V

V

V

V

0

0

R9

100k

U1B

TL072/301/TI

+5

-6

V+8

V-4

OUT7

R14

2.55k

0

R5

4.055k

R6

1.85k

0

C3

39n

U2A

TL072/301/TI

+3

-2

V+8

V-4

OUT1

U2B

TL072/301/TI

+5

-6

V+8

V-4

OUT7

R7

5.1k

R8

5.1k

0

R10

30k

R11

2k

R12

5.1kR13

5.1k

0