Serie 6

Respuesta en frecuencia

a lazo abierto

Respuesta en frecuencia

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )]Re[

]Im[

]Im[]Re[ 22

jG

jGarctgjGdeángulo

jGjGjGdemódulojG

ω

ωωφ

ωωωω

==

+==

( )tAsenr ω= ( ) ( )φωω += tsenjGAcF(s)

1.- La respuesta última (en estado estacionario) de un sistema lineal a una entrada

sinusoidal (A sen ωt) es también sinusoidal.

2.-El cociente entre la amplitud de salida y la de entrada se llama relación de magnitudes

(RM) y es función de la frecuencia ω. RM es el módulo de la función de transferencia

cuando s = ωj.

3.- La onda de salida está desfasada respecto de la de entrada por un ángulo ϕ, llamado

desfasaje, que es función de la frecuencia ω.

G(s)

Determinación experimental de parámetros

P

A

A´

∆t

A

ARM

´= t

P∆

°=

360φ

Se introduce una señal sinusoidal de amplitud y frecuencia conocidas. Se registran la salida y

la entrada. Se espera el estado estacionario en la salida. Del registro se obtienen RM y ϕ.

A

A´

tiempo

RM y φ para diferentes sistemas

Retardo

puroe (-Ls) -L ω (180° / П)1

(°)

G = Π(Gi)

GT = Π(Gi)

RMT = Π(RMi)

φT = Σ (φi)

Sistemas en

serie

Diagrama de Bode

RM vs. ω

φ vs. ω

φ

RM

ω

Diagrama de Bode de un sistema de primer orden

-90

0

1

RM

φ

ωω = 1/T

Pendiente -1

Diagrama de Bode de otros sistemas simples

0.01

1.00

100.00

10000.00

0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000

Pendiente -1

RM

1

Pendiente +1

RM vs. ω

G1(s) = exp (-2 s) G3(s) = 1 / sG2(s) = (10s+1)

ω

Diagrama de Bode de otros sistemas simples

Ø

-270.00

-225.00

-180.00

-135.00

-90.00

-45.00

0.00

45.00

90.00

135.00

180.00

0.001 0.010 0.100 1.000 10.000 100.000

φ vs. ω

ω

G1(s) = exp (-2 s) G3(s) = 1 / sG2(s) = (10s+1)

Diagrama de Bode de un sistema de 2o orden con ξ < 1

dB = 20 log RMG

Ejemplo 1: G(s) = 1 / ((10s+1)(5s+1)(2s+1))

Pendiente -1

0.00

0.00

0.00

0.00

0.10

10.00

0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.00001/2 ω

RM

1

1/51/10

Pendiente -3Pendiente -2

Pendiente -1

RM vs. ω

G1(s) = 1 G2(s) = 1 / (10s+1) G3(s) = 1 / (5s+1) G4(s) = 1 / (2s+1)

Ejemplo 1: G(s) = 1 / ((10s+1)(5s+1)(2s+1))

-270.00

-225.00

-180.00

-135.00

-90.00

-45.00

0.00

0.001 0.010 0.100 1.000 10.000 100.000

ω

φ

1/21/51/10

φ vs. ω

G1(s) = 1 G2(s) = 1 / (10s+1) G3(s) = 1 / (5s+1) G4(s) = 1 / (2s+1)

Ejemplo 2

RM

φ

ω

Pendiente +1Pendiente 0 Pendiente -1

Pendiente -2

Identificación de sistemas

Introducir señales sinusoidales en sistemas industriales puederesultar ténicamente interesante, pero económicamente inviable.

Por ello, se han desarrollado varios métodos que proporcionanresultados similares a la respuesta en frecuencias, sin afectardemasiado el sistema en funcionamiento.

1)Métodos aleatorios: No se usan entradas en especial. Se hace un estudio estadístico de las vaiables de entrada y salida por tiemposprolongados.

2) Métodos pseudo-aleatorios: Se usan entradas aleatorias, pero de características bien definidas, como el ruido blanco gaussiano (señalaleatoria sin correlación en el tiempo, con distribución gaussiana), óperiódicas de forma pseudo-aleatoria.

3) Métodos basados en señales conocidas: Se usan señales conocidas(escalón, pulso, etc.) y en base a la respuesta se calcula la respuestaen frecuencias del sistema.

Los métodos de identificación permiten obtener los parámetros de los modelos.

Test de pulsos

PROCESO

G(s) = Y(s) / X(s)

Entrada Salida

tiempotiempo

Entrada

X(t)

Salida

Y(t)

Y(s)X(s)

∫

∫∞

−

∞

−

==

0

0

*)(

*)(

)(

)()(

dtetX

dtetY

sX

sYsG

st

st

∫

∫∞

−

∞

−

==

0

0

*)(

*)(

)(

)()(

dtetX

dtetY

jX

jYjG

jt

jt

ω

ω

ω

ωωjs ω=

∫∫

∫∫∞∞

∞∞

−−−

−

=

00

00

)(*)()cos(*)(

)(*)()cos(*)(

)(

dttsentXjdtttX

dttsentYjdtttY

jG

ωω

ωω

ω (II)

(I)

Las cuatro integrales que figuran en la expresión (II) deben ser calculables, sin

errores. Por lo tanto, tendrán un valor finito.

Para ello, el pulso debe reunir ciertas condiciones:

1.- Debe nacer en 0 y terminar en 0 en un tiempo razonable.

2.- No debe presentar discontinuidades

El procedimiento es el siguiente:

a.- Se elige una frecuencia.

b.- Se calculan las cuatro integrales, usando para cada tiempo los valores de Y(t) y

X(t) que se sacan de los gráficos y los valores calculados de sen(wt) y cos(wt).

Puede aplicarse un método como el de Simpson (cálculo del área bajo la curva

entre dos límites conocidos, dividiendo en N subáreas para calcular su valor,

asumiendo cada subárea como un pequeño trapecio).

c.- Con las 4 integrales se calcula el complejo resultante para esa frecuencia.

d.- El módulo del complejo es la RM.

e.- El ángulo que forma el vector complejo con el eje real es el desfasaje.

f.- Se repite el calcula para todas las frecuencias de interés.

g.- Con los módulos y los desfasajes calculados, se construye el diagrama de Bode.

Procedimiento