PERTES PAR COURANTS DE FOUCAULT ET … · fréquence et au carré de l'épaisseur des tôles. 3 PF...
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Laboratoire d'actionneurs intégrés (LAI) ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE PERTES PAR COURANTS DE FOUCAULT ET HYSTÉRÉSIS DANS LE FER 1) Fer massif Soit une structure ferromagnétique massive de section carrée (a . a) et de hauteur h, parcourue par un flux alternatif de pulsation ω (ω = 2 πf) (Fig. 1). On peut écrire : Φ= Bds = Ba 2 ∫∫ L'équation de tension induite peut s'écrire : u = o = Ri + dΨ/dt o = Ri + dΦ/dt o = Ri + a 2 dB/dt (1) B = ˆ B sin ωt En complexe, l'équation (1) peut s'écrire : I = jω B a 2 /R I = ωBa 2 /R En approchant la résistance R par la ligne moyenne de densité de courant et par la section moyenne, on peut écrire (Fig. 2) : R ≅ ρl S R = ρ4a 2 1 2 ah = 4ρ h Les pertes Joule qui en résultent valent : P Jm = RI 2 = ω 2 B 2 a 4 h 4ρ a h a Φ Figure 1 a a s R J Figure 2
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Laboratoire d'actionneurs intégrés (LAI) ÉCOLE POLYTECHNIQUEFÉDÉRALE DE LAUSANNE
PERTES PAR COURANTS DE FOUCAULT ET HYSTÉRÉSIS DANS LE FER
1 ) Fer massif
Soit une structure ferromagnétique massive desection carrée (a . a) et de hauteur h, parcourue parun flux alternatif de pulsation ω (ω = 2 πf)(Fig. 1).
On peut écrire :
Φ = Bds = Ba2∫∫L'équation de tension induite peut s'écrire :
u = o = Ri + dΨ/dt
o = Ri + dΦ/dt
o = Ri + a2dB/dt (1)
B = B̂ sin ωt
En complexe, l'équation (1) peut s'écrire :
I = jωBa2/R
I = ωBa2/R
En approchant la résistance R par la lignemoyenne de densité de courant et par la sectionmoyenne, on peut écrire (Fig. 2) :
R ≅ ρl
SR
= ρ4a 212
ah= 4ρ
h
Les pertes Joule qui en résultent valent :
PJm = RI2 = ω2B2a4h
4ρ
a
ha
Φ
Figure 1
a
a
sR
J
Figure 2
2
2 ) Fer feuilleté
Si la branche ferromagnétique est décomposéeen tôles parallèles au champ magnétique (Fig. 3),il en résulte des pertes par tôle qui valent (indice1) :
Φ1 = Bae
e = a/N
Φ1 = Ba2/N
I1 = ωBa2/NR1
R1 = résistance d'une tôle
Conformément à la figure 4, la résistance d'unetôle peut s'exprimer comme suit :
R1 = ρl1
S1
= ρ (a +
aN)
h a
2N =
2ρ (N + 1)h
e
a
Figure 3
Φi
Figure 4
Les pertes Joule pour une tôle valent alors :
PJ1 = R1I12 =
ω2 B2 a
4
N2 R1
= ω
2 B2 a
4 h
2 ρ N2 (N + 1)
Pour N tôles, les pertes totales valent alors :
PJN = NR1I12 ~=
ω2 B
2 a
2 h
2 ρ a2
N2
a/N = e = épaisseur d'une tôle
PJN = ω
ρ
2 2 2
2B a h
e2 = 2 Pjm e2
a2
On peut aussi écrire :
PJN = kp ω2B2e2
Les pertes par courants de Foucault sont proportionnelles au carré de l'induction, au carré de lafréquence et au carré de l'épaisseur des tôles.
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PF = CF ffo
2B̂
B̂o
2eeo
2
m
fo = fréquence de référence (50 Hz en général)
B̂o = induction de référence (1 ou 1,5 T)
eo = épaisseur de référence (0.5 mm en général)
m = masse de fer
CF = coefficient de pertes par courants de Foucault W / kg[ ]
3 ) Pertes par hystérésis
Les pertes par hystérésis sontgénérées en parcourant un cycled'hystérésis, partiel ou complet.
HdB∫ = énergie magnétique
volumique
=̂ surface d'un cycle (Fig. 5)
Les pertes par hystérésis sontproportionnelles au carré del'induction et à la fréquence.
PH = CH ffo
ˆ
ˆB
Bo
2
m
B
H
Figure 5
4 ) Pertes totales
Les pertes fer totales (PF tot) peuvent être exprimées comme suit :
PF tot = ffo
B̂
B̂o
2
CF
ffo
eeo
2
+ CH
m
