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BioRobotikLabor.de 1 Parameterschätzung des linearen Modells Übersicht aller identifizierten Parameter - aus dem Frequenzgang - aus der statischen Messung und - aus der frei gedämpften Schwingung System reagiert in verschiedenen Betriebssituationen: Ventile auf (Frequenzgang) und Ventile zu (aus freier Schwingung) mit versch. Zeitkonstanten ω n und Dämpfungen ζ -> System müsste sowohl - für die Zielannäherung (Ventile auf) als auch - für den Arbeitspunktbetrieb (Ventile zu) betrachtet werden -> bei linearem System nicht möglich • Im Betrieb (Positionierung, Bahnverfolgung) Ventile überwiegend angesteuert/offen -> Parameter aus Frequenzgang verwenden

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Parameterschätzung des linearen Modells

Übersicht aller identifizierten Parameter- aus dem Frequenzgang- aus der statischen Messung und- aus der frei gedämpften Schwingung

• System reagiert in verschiedenen Betriebssituationen: Ventile auf (Frequenzgang) und Ventile zu (aus freier Schwingung) mit versch. Zeitkonstanten ωn und Dämpfungen ζ

-> System müsste sowohl - für die Zielannäherung (Ventile auf) als auch - für den Arbeitspunktbetrieb (Ventile zu) betrachtet werden

-> bei linearem System nicht möglich• Im Betrieb (Positionierung, Bahnverfolgung) Ventile überwiegend angesteuert/offen-> Parameter aus Frequenzgang verwenden

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Parameterschätzung des linearen Modells – Koppelbeziehungen

• Abweichungen des physikalischen System von den über die Messdaten angepasstenÜbertragungsfunktionen können über die Koppelbeziehungen quantifiziert werden

• Verhältnisse geben Auskunft, wie gut oder in welche Richtung die Optimierung die Anpassung der G11/12 und D11/21an die Messdaten x und y vorgenommen hat

1. -> selbe Größenordnung aber-> relativ ungenau

2. -> ausreichend gut für einenstatischen Versuch

920.0534.0!

===Nn

Zn

Z

N

ωω

ζζ

( ) 026.0030.022!

−=−=−= ∆∆ Nn

Zn

p

S

Sp

V

V

V

Vωω

ϕϕ

Ursachen/Analyse:• Da in 2. Kopplung die ωn einen großen Anteil ausmachen, scheint in 1. Kopplung das Verhältnis der relativen Dämpfungsgrade ζ ungenau getroffen zu sein.- Ausgleichsfunktion bei Optimierung hat die Resonanzüberhöhung im Frequenzgangschlecht getroffen -> großer Spielraum beim ‚rüber-‘legen der Funktion

-> mehr Messpunkte im mittleren Frequenzbereich (Stabilität, Einschwingverhalten)- Optimierung hat die über die Kopplungen zusätzlich eingeführten Freiheitsgrade zur Anpassung der Übertragungsfunktionen an die Messdaten schlecht genutzt

- Optimierungs-Verfahren sieht nur die Qualitäts-Funktion, unabhängig vom physikalischen Modell

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Zustandsraummodell mit identifizierten Parametern

• Mit physikalischen Parametern:

( ) ( )T

Ju

m

PAPκPp

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

pV

pl

+

Φ

+

−−=

∆0

1

0

2

0

0

02

0

2

010

0

00

0

00

2

ϕϕ

ϕϕ

&&

• Ersetzt durch identifizierte Parameter des schwingungsfähigen Systems 2.O, VZ2:

( )0

002

m

PAPPV V

p

Φ=∆κ ( )

Jm

rfPAPPV pV

0

002 Φ=

κϕ

( )JV

rLhPV S

p0

002 ′=∆

κJ

V S 1=ϕ

J

rf lZn

22 2=ω

Jfr l

Z

22

δζ =J

krNn

22 2=ω

kJrN

22

δζ =

• folgt:

( )TVu

Vp

V

VV

V

p

S

pNn

Zn

p

p

Nn

NZn

+

+

−−=

∆ ∆∆

∆ 0

0

0

0

00

2

010

22

22

ϕ

ϕ

ϕ ϕϕ

ωω

ωζωϕϕ

&&

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Zustandsraummodell mit identifizierten Parametern

• Trotz Ungenauigkeiten (immer bei linearer Modellbildung) kann die Dynamik des Teststandes und die zugrundeliegenden physikalischen Gleichungen hinreichend genau durch ein lineares parametrisches Modell dritter Ordnung beschrieben werden.

• Da die Ü-Funktionen durch physikalische Modelle motiviert sind, kann auch einZustandsraummodell des antagonistischen Muskelpaares angegeben werden.

• Zur Regelung können Ü-Funktionen o. Zustandsraummodell herangezogen werden.

( )TVu

Vp

V

VV

V

p

S

pNn

Zn

p

p

Nn

NZn

+

+

−−=

∆ ∆∆

∆ 0

0

0

0

00

2

010

22

22

ϕ

ϕ

ϕ ϕϕ

ωω

ωζωϕϕ

&&

• Die identifizierten Parameter ζZ und V∆pS gehen nicht in das Zustandsraummodell

ein, sondern ergeben sich aus den Koppelbeziehungen.• Da sie aber Teil der Zählerpolynome von G11 bzw. D11 sind, sind Abweichungender Ü-Funktionen sowohl von u als auch von T auf Druckdifferenz ∆p zu erwarten.

• Wenn Winkel φ geregelt werden soll, wirkt ∆p nur indirekt oder unterlagert auf φ• Theoretisch weicht natürlich das Ü-Verhalten des obigen Modells aufgrund der schwach erfüllten Koppelbeziehungen von den Messungen des Frequenzganges ab.

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares

Entwicklung einer robusten Regelungdes physikalisch modellierten antagon. MP• Untersucht werden 2 Reglerstrukturen, die auf der PID-Reglerstruktur basieren• PID-Regler/-Ansatz vereint die Vorteile eines:- Proportional-Reglers: verzögerungsfreies und schnelles Eingreifen,- Integral-Reglers: verschwindende Regelabweichung, gleiches Verhältnis vonStellgeschwindigkeit zu Regelfehler bei Stellgrößenänderung und

- Differential-Reglers: gleiches Verhältnis von Änderungsgeschwindigkeit zu Regelabweichung bedeutet schnelles Reagieren auf eine Stellgrößenänderung

Regelziele und Randbedingungen• Allg. ausgelegte Reglerstrukturen funktionieren in verschiedenen Arbeitssituationen und Aufgabenbereichen zumeist recht gut bis auf eine relativ langsame Ausregelzeit

• Je robuster ausgelegt, desto allgemeingültigere Aufgaben, desto langs. Reaktionszeit• Mit Einschränkung des Arbeitsbereiches folgen wesentlich bessere Regelgüten• Aus dem Einsatz in Robotersystemen ergeben sich folgende Kriterien-> Positionierung unter Stabilität und Sollwertfolge(Bahnverfolgung)-> Greifen und Transportieren unter Störkompensation und Robustheit bei ∆J

-∆J überproportional hoch -> Variation der Parameter im Betrieb (Gain scheduling)• Zusätzlich betrachten: Nichtlinearitäten (Ventilansteuerung, Hysterese), MC-basierte Implementierbarkeit etc. -> robuste Störkompensation -> kaskadierte Reglerstruktur

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares - Regelziele

• im Bildbereich (komplexe s-Halbebene, Wurzelort)- Winkelabstand des dominierenden Polpaares von der imaginären Achse= Maß für die Anzahl der Schwingungen innerhalb der AbklingzeitkonstanteΨζ = 27 Grad -> ωntr = 1.75 -> ωn = 19.5 Hz(1)

- relativer Dämpfungsgrad ζ = 0.6 ± 0.1(1)

(1) Hartmann, I. und Landgraf, C.: Grundlagen der Linearen Regelungstechnik I und II, 1992, Berlin, Papyrus-Druck GmbH

( ) ( )( )22,122

2

1,2

ζζωωζω

ω −±−=++

= jsss

VsG n

nn

n

mit d=ζ, ω0=ωn und Ψζ=Φd

Folgende Regelziele sollen erfüllt werden:• im Zeitbereich (Sprungantwort)- Anstiegszeit tr [s] = minimal- Überschwingweite Mp = 1.2·∆φ- Beruhigungszeit T1% = 0.6 s- Lagefehler e1∞ = 0- Geschwindigkeitsfehler e2∞ = 0.02

• im Frequenzbereich(Bode-Diagramm)- Durchtrittsfrequenz ωc ~ erwartete Störungen- Phasenrand Ψr > 0

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares - Regelziele

Regelziele und Zusammenhänge für System mit dominierendem Polpaar:

• Antagonistische MP verhält sich aber nicht wie ein rein schwingungsf. System 2.O.• Ist über mehrere zusätzliche Pol- und Nullstellen definiert-> aMP ist über Kennwerte quantitativ bewertbar, aber die verhaltenstechnischen und

rein subjektiven Bewertungskriterien einer harmonischen Gesamtbewegung sind darüber nicht beschreibbar (z.B. Kurvenform, Maximalwerte, Oberschwingungen)

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Handwerkszeug

• PID-Regler (GPID):

s

KsKsKsK

s

KKsT

sTKG IPD

DI

Pvn

pPID

++=++=

++=

211

• Abschätzung der Parameter mit heuristischer Entwurfsmethode von Ziegler-Nichols(1)

(1) Ziegler, J.G. und Nichols N.B.: Optimum settings for automatic controllers. Transaction on ASME, 1942, Vol.64, p. 759-768

Ziegler und Nichols Variante 2:• Vorgehen:- Strecke über P-Regler schließen- Verstärkung erhöhen bis Dauerschwingung am Ausgang- konstante Periode Tkrit und ReglerverstärkungKkrit ablesen

• Kenngrößen bilden Grundlage zur Berechnung der Parameter der Reglertypen:

kritPID

vZieNic

kritPID

nZieNic

kritPIDp

ZieNic

kritPD

nZieNic

kritPDp

ZieNic

kritPI

nZieNic

kritPIp

ZieNic

kritPp

ZieNic

TTTTKKPID

TTKKPD

TTKKPI

KKP

⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

12.0,50.0,60.0:

15.0,55.0:

85.0,45.0:

50.0:

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Handwerkszeug

• Reglerentwurf und Analyse im Zeitbereich(Sprungantwort) ermöglichen- Minimierung des Fehlers zw. Soll- und Ist-Verhalten durch Optimierung verfeinertdie durch die obigen Entwurfsverfahren gefundenen Regler

- Beschränkungen gehen in Form von Nebenbedingungen in Optimierung ein-> ∆ zw. Signal und Schranke quadriert, gewichtet u. summiert liefert Gütefunktional-> Fehler gleich Null, wenn keine Bedingung verletzt (z.B. SQP Optim. Tbx Matlab)

=> Regler am theor. Modell entwerfen u. optimieren u. am realen Versuchsstand testen=> Sprungantwort RS(s) = 1/sund Rampenantwort RR(s) = 1/s2 untersuchen

-> Sollwertfolge beantwortet dann den Geschwindigkeits-/Schleppfehler e2∞

• Reglerentwurf und Analyse im Bildbereich(Wurzelort) ermöglichen - leichten Zugang zur Stabilität Re(s) < 0 u. Dämpfung ζ des offenen und geschl. RK-> erste Wahl jedes Regelungstechnikers

• Reglerentwurf und Analyse im Frequenzbereich(Bode) der Ü-Fkt. ermöglichen- frequenzabhängige Begutachtung über Durchtrittsfrequenz ωc = ω(Betrag=0)als Grenzfrequenz zw. Signalverstärkung und -dämpfung und an dieser Stelle auch

- Betrachtung des Phasenrandes Ψr = Phase(ω=ωc) als Gütemaß des dyn. Verhaltens- beide Kennwerte liefern direkte Analogien für das Ü-Verhalten im Zeitbereich- Betragsgang kann ich drei Frequenzbereiche unterteilt werden:1. stationärer Regelfehler, 2. Einschwingverhalten, 3. hochfreq. Störunterdrückung-> Einfluss auf versch. Regelziele (z.B. Betragsoptimum zur Einstellung v. G u. D)

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

• Einfache Regelschleife mit Fehler e= φsoll - φist -> Betrachtung nur von G21 und D21

• Für G21(s) kann nach Ziegler-Nichols v2 für den geschlossenen Regelkreis mit P-Regler die kritische Verstärkung Kkrit = 0.039 und die Periodendauer Tkrit = 0.6s simulativ bestimmt werden.

(Variante 2) GPID

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

• Anforderungen an:- Anstiegszeit, - Überschwingweite und - Beruhigungszeit nicht erfüllt

-> Optimierung notwendig• Parameter aus Ziegler-Nicholsdienen als Startkonfiguration

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

Theorie:

( ) ( ) ( ) ( )( )222

2

212 N

nNn

N

IPDPID

sss

KsKsKVsGsGsL

ωωζϕ

ϕ++

++==

( ) ( )( )

( )( ) IPD

Nn

Nn

N

IPD

soll KVsKVsKVss

KsKsKV

sL

sLsT

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ωωζϕϕ

+++++

++=

+==

2234

2

21

( ) ( )( ) ( ) IPD

Nn

Nn

N

S

KVsKVsKVss

sV

sL

sD

TsS

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

ωωζϕ

+++++=

+==

2234

2

21

21

mit dem Regler GPID(s) folgt für den Regelfehler e(s):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sT

sGsG

sDs

sGsGse

PIDsoll

PID 21

21

21 11

1

+−

+= ϕ

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

• Ü-Funktionen von Soll- bzw. Störgröße zum Fehler:

( ) ( )( )

( )( ) IPD

Nn

Nn

N

Nn

Nn

N

sollsoll

KVsKVsKVss

sss

s

sesE

ϕϕϕωωζωωζ

ϕ +++++++⋅==

2234

22

2

2

( ) ( )( ) ( )sSsT

sesEstör ϕ−==

• Sollwertfolge Esoll und Störunterdrückung Estör des geschlossenen RK können vorab für die Testsignale Sprung RS(s) = 1/sund Rampe RR(s) = 1/s2 über den Grenzwertsatz der Laplace-Transformation untersucht werden:

( ) ( ) ( )[ ] 0limlim /0

=⋅⋅=→∞→

sRsEste RSsolls

sollt

( ) ( ) ( )[ ] 0limlim /0

=⋅⋅=→∞→

sRsEste RSstörs

stört

( ) ( )[ ] 0limlim0

=⋅=→∞→

sEstest

->

• Unter der Annahme, dass der geschlossene RK stabil ist, folgt bzw. unterdrückt die Reglerstruktur eine Führungsgröße bzw. Störung aus Sprung oder Rampenfunktion

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

• Nennerpolynom (bestimmt das Verhalten) der Strecken ohne Regler (offener Kreis)hat dominierendes Polpaar, definiert über ζ und ωn plus zusätzlichen Pol bei Null-> P-Regler schafft es nicht, dass nah an der imaginären Achse liegende Polpaar

zu stabilisieren• Linien konstanter Dämpfung zeigen: - Start: KP = 0 bei ζ = 0.09 und für steigende KP wird Dämpfung ζ immer schlechter- Nur bei relativ kleinem KP = 0.1 ist ζ = 0.07 und ζωn = 2.5-> und so das System über die Pole des geschlossenen RK ( ) ausreichend stabil-> führt aber zu einer langen Beruhigungszeit T1% = 3s

alle optimierten Parameter mal 10

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – reine Winkelrückführung

Versuch:

• PA-Regler: Für kleine Kp = 0.10 stimmen Simulation und Versuch gut überein• PB-Regler: Für größere Kp = 0.26 zwingt PB die Strecke zum Schwingen und T1%↓

• Messungen zeigen ggü. Simulation bessere Dämpfung der aufmodul. Schwingung

• Für PID-Regler zeigt Systemverhalten eine sehr starke Anregung der Eigenfrequenz• Inakzeptables Verhalten für Lagefehler und Beruhigungszeit (wird nicht eingesetzt)

PID-Regler:

Zwei P-Regler:

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Vorzüge einer Kaskadenregelung:• Einfacher und übersichtlicher Entwurf• Frühzeitige Ausregelung von (Eingangs-)Störgrößen durch inneren schnelleren

Hilfsregelkreis, bevor diese sich auf trägeren Hauptregelkreis auswirken• Einfache Begrenzung eingebetteter Hilfs-/Zwischengrößen• Verbesserung der Regelfähigkeit durch Verkleinerung von Verzögerungen im

inneren Hilfsregelkreis• Verringerung des Einflusses eventuell vorhandener Nichtlinearitäten der Stellgliederdurch den inneren Regelkreis

• Einfache Inbetriebnahme von innen nach außenMotivation :• Stellgröße u wirkt nur direkt auf die Druckdifferenz ∆p und nicht auf den Winkel φ• Druckänderung im Muskel wird zur (bzw. ist) die Ursache der Winkeländerung• Regelgröße Druck für den schnelleren inneren Hilfsregelkreis -> Kompensation der:- Stellgröße der nichtlinearen PWM-Ansteuerung und- nichtlinearen Effekte im Muskel (Hysterese etc.)-> diese wirken sich so nur abgeschwächt und in geringerem Umfang auf die

Dynamik der äußeren Winkelregelung aus-> innere Rückführung der schnelleren Dynamik des Drucks erlaubt insgesamt auch

eine schnellere Regelung der Position

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Signalflussgraph der kaskadierten Reglerstruktur

Gφ Gp

eφ ∆psoll

• Innere Druckschleife über Gp (Cp) und äußere Winkelschleife über Gφ (Cφ)• Fehler ep und eφ wird jeweils aus der Differenz von Soll und Ist gebildet• Störgröße T wirkt jeweils über getrennte Funktionen (D11, D21) auf beide Ausgänge

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Theorie:• Für inneren Druck-RK (.)P sind dieFührungsübertragungsfunktionen

Gφ Gp

eφ ∆psoll

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )sGsC

sGsC

sp

spsT

P

P

soll

PP

11

11

1+=

∆=

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )sGsC

sGsC

sp

ssT

P

P

soll

P

11

21

1+=

∆= ϕ

ϕ

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )sTsC

sTsC

s

spsT

P

PP

sollP

ϕϕ

ϕϕ

ϕ +==

1( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )sTsC

sTsC

s

ssT

P

P

soll ϕϕ

ϕϕϕϕ ϕ

ϕ+

==1

• Für äußeren Winkel-RK (.)φ sind die Führungsübertragungsfunktionen

• Sowie die Störübertragungsfunktionen für den inneren p- und den äußerem φ-RK

( ) ( )( )

( )( ) ( )sGsC

sD

sT

spsS

P

PP

11

11

1+=∆= ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sGsC

sGsCsDsD

sT

ssS

P

PP

11

211121 1+

−== ϕϕ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )sTsC

sTsCsSsS

sT

spsS

P

PP

PPPP

ϕϕ

ϕϕϕ

+−=∆=

1( ) ( )

( )( )

( ) ( )sTsC

sS

sT

ssS

P

P

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ+

==1

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Gφ Gp

eφ ∆psoll

• Der Regelfehler eφ der äußeren Kaskade folgt aus dem Sollwinkel und dem Winkel des Ausganges der inneren Kaskade

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sT

TsC

sSs

sTsCse

P

P

sollPϕϕ

ϕ

ϕϕϕ ϕ

+−

+=

11

1

• Mit innerem P-Regler CP(s) = K und äußerem PID-Regler Cφ = (KDs2+KPs+KI)/sfolgt:

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) IP

ZnPD

Zn

ZP

NnP

Nn

N

ZnP

Zn

ZP

NnP

Nn

N

sollsoll

KKVsKKVKVsKKVKVsKVs

KVsKVsKVss

s

sesE

ϕϕϕ

ϕ

ωωζωωζωωζωωζ

ϕ +++++++++++++== 22234

2223

2

22

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )2222234

2223

222

22Nn

Nn

NIP

ZnPD

Zn

ZP

NnP

Nn

N

SP

ZnP

SZn

ZP

SNn

SP

SNn

NSS

störssKKVsKKVKVsKKVKVsKVs

VKVKVVsKVVVsKVVVsVs

sT

sesE

ωωζωωζωωζωωζωωζ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

++++++++++

−+++++==

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

• Mit Grenzwertsatz der Laplace-Transf. folgt für eine sprungförmige Eingangsgröße:

( ) ( ) 01

limlim0

=

=→∞→ s

ssEte solls

sollt

( ) ( )I

ZnP

solls

sollt KV

V

sssEte

ϕ

ω 2

20

1limlim =

=→∞→

( ) ( ) 01

limlim0

=

=→∞→ s

ssEte störs

stört

( ) ( )I

Nn

SP

Zn

SP

störs

stört KV

VVVV

sssEte 2

2

20

1limlim

ωω

ϕ

ϕϕ −=

=→∞→

• Mit Grenzwertsatz der Laplace-Transf. folgt für eine rampenförmige Eingangsgröße:

• Verhalten des Druck-RK (innere Kaskade) ist maß-geblich durch das komplexe NS von G11(s) bestimmt

• Verlauf der komplexen Wurzelorte ist weitestgehend unabhängig von der R-Struktur• Größere Regler (PI, PID) ermöglichen sowohl keine qualitativ bessere Sollwertfolge

als auch keine besseren dynamischen Eigenschaften (Dämpfung)-> Im Weiteren bleibt der innere Druckregler deshalb nur ein P(roportional)-Regler

( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζ

ωωζ

++

++= ∆

-> Auch durch Anheben des integralen Verstärkungsfaktors KI wird der Winkelfehleresoll für eine Führungs- und Stör-Rampe zwar verringert, aber nie zu Null machen

-> Genau dieselbe bleibende Regelabweichung stellt sich auch ein, wenn der P-Reglerder inneren Kaskade (Druckregler) zu einem PI- oder PID-Regler erweitert wird

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Druck-RK (innere Kaskade) geschlossen mit P-Regler K: Links PN-Plan, Rechts Bode• Polstellenpaar (+) wieder relativ nah an d. Grenze zur Instabilität (pos. s-Halbebene)• Durch zusätzliches komplexes NS-Paar (o) in der linken offenen s-Halbebene werden für steigende Verstärkung K (P-Regler) die Pole in die Nullstellen verschoben

• Für K = 3 sind die Pole des geschlossenen RK ( ) auf dem Weg in Richtung ∞ am weitesten von der imaginären Achse entfernt -> RK ist dort am besten gedämpft

• Bode: Beide kompl. Polpaare drehen Phase um +180° und sofort wieder um -180°• Kleiner K verschiebt Durchtrittsfrequenz wc nur sehr wenig in Richtung hohe Freq.• Mit Phasenrand Ψr ≈ 90 Grad ist die Stabilität ausreichend gesichert• Druckstrecke verliert durch RK integrale Eigenschaft -> I-Anteil im Winkelregler

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

-> Innerer Druckregler Cp soll durch äußeren Winkelregler Cφ ergänzt werden• Mit Cp = 1 und mit Ziegler-Nichols v2 können Startparameter der verschiedenen

Reglertypen der äußeren Kaskade ermittelt werden: Kkrit = 0.0974, Tkrit = 0.16s(Variante 2) GPID

• Sprungantworten der Reglertypen ohne I-Anteil (P, PD) können sprungförmigen Eingangssignalen nicht folgen-> werden nicht weiter berücksichtigt

• PID-Regler zeigt bestes Übertragungs-Verhalten, da er die Eigenschaften aller Einzelregler vereint

-> Betrachtung der Reglertypen I und PID für den äußeren Winkelregler

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) I-Regler: Cp = 1 und Cφ = KI/s

• Stabilisierung über verschiedene I-Regler möglich• Für KI < 0.59 bestimmt das dom. Polpaar der Strecke das Verhalten d. Sprungantwort- Sys. ist schnell genug T1% ≈ 0.6s, größere Dämpfung ζ ≈ 0.15 als bei Winkel-Reg.- aufmodulierte Schwingung kann (evtl.) vernachlässigt werde

• Für KI ≈ 0.7 trennen sich die bis dahin rein realen PS zu einem 2. konj. kompl. PP- Sys. wird schneller, unruhiger, obwohl vom krit. PP her noch ausreichend gedämpft

• Für KI ≈ 0.9 bremst das System bei ca. 80% des Endwertes für ca. 0.1s ab• Für KI > 0.9 tritt aufmodulierte Schwingung auf, beeinflusst T1% neg. und tr pos.

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) I-Regler: Cp = 1 und Cφ = KI/s

Resultierende charakt. Kennwerte der Sprungantwort im Zeitbereich für versch. KI

• Praxis muss zeigen, wie schnell man das System über KI machen kann, ohne das Eigenwerte unerwünschte Schwingungen produzieren oder Instabilitäten auftreten

• KI > 1 erzeugt in der Simulation unerwünschtes Schwingungsverhalten (=Grenzwert)

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Gφ Gp

eφ ∆psoll

Besteht aus:• Einem inneren Druckregelkreis für ∆p mit einem einfachen P-Regler Gp = Cp und• Einem äußeren Winkelregelkreis für φmit I oder PID-Regler Gφ = Cφ

( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζ

ωωζ

++

++= ∆

s

KsKsKsK

s

KKG IPD

DI

PPID

++=++=2

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-Regler: Cp = 3.03• Reglerentwurf für 4 versch. Parameterkonfigurationen des äußeren PID-Reglers

• Für kleine Reglerverstärkungsfaktoren in der K-Normalform ist das dynamische Ver-halten allein über das dom. PP der Strecke bei ζ ≈ 0.2 (I-Regler: ζ≈0.15) verantwortl.

• Wird K größer -> bildet sich wieder ein 2. komplexes PP -> gr. Einfluss auf Dynamik• Für Reglerkonfig. C und D liegen beide PP auf ähnlichen relativen Dämpfungsgradenvon ζ ≈ 0.58, was für schnelles Übergangsverhalten u. geringes Überschwingen steht

A

BC D

DC

B A

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-Regler: Cp = 3.03• Reglerentwurf für 4 versch. Parameterkonfigurationen des äußeren PID-Reglers

Im Bodediagramm rechts ist PID-Reglerkonfiguration B dargestellt:• Da die innere Kaskade (aus Strecke und P-Regler) integrale Eigenschaft verloren hat-> Regelfehler nicht zwangsläufig minimiert -> Cφ muss dies Verhalten erzwingen

• PIDB-Regler liefert für kleine Frequenzen integrales Verhalten, verschlechtert aber durch komplexes PP bei 22 rad/s für größere K die Dämpfung des Systems

• Außer im Bereich um 45 rad/s ist Tφφ für ω > 10 rad/s ausreichend gedämpft-> Eigenfrequenzen leicht gedämpft, hochfreq. Störungen ausreichend unterdrückt

A

BC D

DC

B A

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-Regler: Cp = 3.03• Reglerentwurf für 4 versch. Parameterkonfigurationen des äußeren PID-Reglers

• Alle Sprungantworten zeigen fast perfektes Verhalten (innerhalb der Zielvorgaben)• Bieten innerhalb d. Grenzen noch Variationsspielraum für Verfeinerungen d. Systems

- ohne Überschwingen und Oszillation um den Endwert -> PIDB (T1%≈0.2s)- mit schneller Anstiegszeit -> PIDC und akzeptiert geringes Überschwingen

• Es existiert Korrelation zwischen kleiner Anstiegszeit, hoher Überschwingweite und langer Beruhigungszeit

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-Regler: Cp = 3.03• Reglerentwurf für 4 versch. Parameterkonfigurationen des äußeren PID-Reglers

• Wie quantifiziert, kann PID-Regler über seinen einfachen integralen Anteil einer Rampe nur folgen, aber den Fehler zu ihr nicht minimieren

• Bleibende Geschwindigkeitsfehler e2∞ können über größere I-Regler VerstärkungenKI lediglich minimiert werden, aber nie zu Null werden (Grenzwertsatz der Laplace-Transformation)

( ) ( )I

ZnP

solls

sollt KV

V

sssEte

ϕ

ω 2

20

1limlim =

=→∞→

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-Regler: Cp = 3.03

• Kennwerte im Bild-, Frequenz- und Zeitbereich versch. PID-Reglerkonfigurationen:

• Für Sprünge gewährleisten alle 4 Regler ein ausreichend gutes Ü-Verhalten:- vorgegebene Anstiegsgeschwindigkeiten werden (nur) zeitversetzt erreicht- Kompensation sprungförmiger Störungen reicht zumeist aus, da die auf z.B. Robotergelenke wirkenden Momente (z.B. beim Greifen) sprungförmig auftreten

• Für praktischen Einsatz gut geeignet, da ein breites Spektrum an Parameterkonfig‘sfür ausreichende Stabilität(-sreserve), Dämpfung, Dynamik (Zeitverhalten) sorgt

• Sind Sensordaten glatt und differenzierbar -> D-Anteil destabilisiert System nicht

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

• durch einen zusätzlichen doppelten Integrator verändert sich die Reglerstruktur

221

23

221

s

KsKsKsKsK

s

K

s

KKG IIPD

DII

PPID

+⋅+⋅+⋅=⋅+++=

• Grenzwertsatz der Laplace-Transformation zeigt, dass Regelfehler für rampenförmige Eingangssignale verschwinden

• Einstellregeln nach Ziegler-Nichols können hier nicht herangezogen werden-> aus Voroptimierungen und „spielen“ an den Parametern folgen 4 Parameterkonfigs.• Geschwindigkeitsfehler e2∞ verschwindet nur, wenn KI1 und KI2 nicht Null sind• Überführung der verschiedenen Parameterkonfigurationen durch die Gesamtverstärkung K (wie beim PID-Regler) ist hier nicht mehr möglich- für 0 < K < ∞ stellen sich verschiedene Pol-Bahnen ein-> hier nur exemplarisch die „beste“ Parameterkonfiguration (Variante D) dargestellt

Innerer (Druck-) P-Regler und äußerer (Winkel-) PID-I2-Regler: Cp = 5.2024

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler + äußerer (Winkel-) PID-I2-Regler: Cp = 5.2024, CφD

Nur ein PID-I2-Regler (Variante D) dargestellt • beide konjugiert komplexen Nullstellen- (NS-) und Polstellen- (PS-) Paare liegen aufeinander und bestimmen maßgeblich das Übertragungsverhalten (Ü-Verhalten)

• da das NS-Paar vom Regler stammt, wird es für versch. Konfigurationen in der s-Ebene verschoben und beeinflusst die Position und den Verlauf der Bahnen der Pole des geschl. RK (□) (Matlab/SIMULINK „sisotool“)

2

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler + äußerer (Winkel-) PID-I2-Regler: Cp = 5.2024, CφD

Nur ein PID-I2-Regler (Variante D) dargestellt • Erweiterung des Reglers um doppelten Integrator führt zu einem weicheren Frequenzverlauf bei 22 rad/s

-> für geregelte Strecke ergibt sich somit ein fast konstanter Verlauf auf der 0 dB Linie bis zu einer Frequenz von ca. 60 rad/s

-> danach dämpft die Führungsübertragungsfunktion hochfrequente Eingangsstörungen mit -40 dB/Dekade ausreichend

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler + äußerer (Winkel-) PID-I2-Regler: Cp = 5.2024

Alle 4 betrachteten PID-I2-Reglerkonfigurationen sind dargestellt • A und B erfüllen die Anforderungen an die Überschwingweite Mp < 1.2 nicht• B hat trotz höherer Überschwingweite eine geringe Beruhigungszeit T1% = 0.4s als alle anderen Konfigurationen, kann aber innerhalb einer Sekunde den e2∞ nicht min.

• A liegt trotz höherer Überschwingweite bei e2∞ mit C und D gleichauf• C, D mit Mp < 1.2 sowie A, C, D minimieren innerhalb der halben Rampenzeit e2∞

-> Korrelation zw. höherem Mp (A,B), höherem max. e2∞ (A,C), geringerem T1% (B)und Zeit für die Minimierung des e2∞ (A,C,D)

ABCD

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Innerer (Druck-) P-Regler + äußerer (Winkel-) PID-I2-Regler: Cp = 5.2024

• Forderung nach der Minimierung des Geschwindigkeitsfehlers e2∞ -> Konfig. D• D lässt im Wurzelort auch ein breites Spektrum an Parameterkonfigurationen zu, die aber nicht durch gemeinsamen Gesamtverstärkungsfaktor ineinander überführbar sind

• kl. Veränderung von K führt zu komplett untersch. Bahn der Pole des geschl. RK-> kontinuierlicher/stetiger Übergang von Systemeigenschaften ist nicht möglich• wenn schon in Theorie nicht robust -> könnte in der Praxis zu Instabilitäten führen

• Kennwerte im Bild-, Frequenz- und Zeitbereich versch. PID-I2-Reglerkonfiguration.

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Versuch

Sprungantworten: Links Iφ-Regler, Rechts PIDφ-Regler in Simulation und Versuch• I-Regler im Versuch doppelt so langes Einschwingen-> System reagiert langsamer als theoretisch erwartet (nicht modell. Nichtlinearitäten)

• PID-Regler im Versuch auch deutlich langsamer als theoretisch erwartet- über D-Anteil wird eine etwas geringere Einschwingzeit erreicht-> führt aber zu gr. stochastischer Abweichung um stat. Endwert von e1∞ < ±0.3°- Messrauschen wird durch den D-Anteils verstärkt -> „Zittern“ um die Ruhelage

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Regelung eines antagonistischen Muskelpaares – Kaskadenregelkreis

Versuch

• Abb. Links: Regler I- und PID- zeigen im Gegensatz zum PID-I2 ähnliches Verhalten- PID produziert geringeren Geschwindigkeitsfehler e2∞ durch größeren Cp = K- beide können e2∞ aber nicht minimieren

• Abb. Rechts: Theorie/Simulation und Versuch/Praxis zeigen gute Übereinstimmung- I und PID liefern konstanten e2∞ erst PID-I2 minimiert e2∞ nach ca. 0.3…0.5s - erhöhtes Rauschen auf den Messdaten durch D-Anteil-> max. Abweichung vom stat. Endwert von ca. 0.3° (auf Rampe u. im eing. Zustand)