Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014

Versao: A

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,

∮

S

~B ·d ~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 ,

∮

C

~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt, ~µ = IA n , ΦB = LI , uB =

1

2

B2

µ0

.

∫du

(u2 + a2)3/2=

1

a2u

(u2 + a2)1/2+ C

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. Considere um solenoide ideal de raio Rsol e uma es-pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha queResp > Rsol (ou seja, a espira esta fora do solenoide).Pelo solenoide passa uma corrente nao-estacionariaI(t). Denotando a indutancia mutua do sistema porM , as auto-indutancias do solenoide e da espira porLsol e Lesp, e o campo produzido pelo solenoide emseu exterior por Bext, qual das afirmacoes abaixo everdadeira?

(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.

(b) M depende de I(t).

(c) M = 0 pois Bext = 0.

(d) Lsol depende de I(t).

(e) M depende de Rsol.

(f) Lesp depende de Rsol.

2. A figura a seguir mostra a secao reta de tres fios queconduzem correntes estacionarias, com intensidade demesmo modulo I, que atravessam o plano da figuracom sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-entadas indicadas pelas letras a ate d sao apresentadasna figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-ona a circulacao do campo magnetico Ci =

∮

i~B · d~l

(i = a, b, c, d) em cada curva e

(a) Cb < Ca = Cc < Cd.(b) Ca < Cb < Cc < Cd.(c) Ca < Cb = Cd < Cc.(d) Cd < Cc = Ca < Cb.(e) Ca = Cc < Cb = Cd.

1

3. Por um condutor cilındrico macico e infinito de raioR passa uma corrente estacionaria e axial I uniforme-mente distribuıda atraves de sua secao reta. O campomagnetico ~B a uma distancia radial s do eixo do con-dutor, em coordenadas cilındricas (s, ϕ), e igual a

(a) ~B(s < R) =µ0iIs

2πR2s e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(b) ~B(s < R) =µ0Is

2πR2ϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(c) ~B(s < R) =µ0I

2πss e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(d) ~B(s < R) =µ0I

2πsϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

4. Seja uma superfıcie esferica S, dividida em duas me-tades S1 e S2 por um grande cırculo C. A partir dalei de Ampere, podemos afirmar que

(a) O fluxo do campo magnetico atraves de S1 eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(b) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e proporcional ao a intensidade de correnteatraves de S.

(c) A circulacao do campo magnetico ao longode C e proporcional a intensidade de correnteatraves de S2.

(d) O fluxo do campo magnetico atraves de S eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(e) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e nula.

5. Um proton (carga +e, massa m), um deuteron(carga +e, massa 2m), e uma partıcula alfa (carga+2e, massa 4m) entram numa regiao com campo

magnetico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o proton semove numa circunferncia de raio R, podemos dizerque os raios das orbitas circulares do deuteron Rd eda partıcula alfa Rα sao, respectivamente:

(a) Rd =√2R e Rα =

√2R.

(b) Rd = 2R e Rα = 2R.

(c) Rd = 2R e Rα = R/2.

(d) Rd =√2R/2 e Rα =

√2R/2.

(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.

6. Considere dois aneis circulares, um condutor e outroisolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos aum campo magnetico variavel no tempo, perpendi-cular ao plano dos aneis. Estando os dois aneis emrepouso, em qual deles surgira uma forca eletromo-triz induzida? Em qual deles surgira uma correnteinduzida?

(a) Em nenhum dos aneis. Em nenhum dos aneis.

(b) Em nenhum dos aneis. Somente no anel con-dutor.

(c) Somente no anel condutor. Somente no anelcondutor.

(d) Em ambos os aneis. Somente no anel condutor.

(e) Em ambos os aneis. Em ambos os aneis.

7. Uma espira circular move-se de baixo para cima nadirecao de um ima permanente fixo, assim como nafigura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera:

(a) no sentido horario e a forca na espira sera paracima

(b) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara cima

(c) no sentido horario e a forca na espira sera parabaixo

(d) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara baixo

(e) no sentido horario e a forca na espira sera zero

(f) no sentido anti-horario e a forca na espira serazero

2

8. Considere um plano infinito com uma densidade su-perficial de corrente ~K = Kx. Sabendo que esse planocontem os eixos X e Y (que sao perpendiculares entresi) e e perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativasabaixo e verdadeira? (Obs.: simetria plana e a sime-tria de translacao nas direcoes X e Y , e simetria axiale a simetria de rotacoes em torno de um eixo dado)

(a) Pela simetria plana, o campo magnetico sem-pre aponta na direcao z.

(b) Pela simetria axial em torno de Z, o modulo docampo magnetico independe das coordenadasx e y.

(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campomagnetico sempre aponta na direcao z.

(d) Pela simetria plana, o modulo do campomagnetico independe das coordenadas x e y.

(e) Pela simetria axial em torno de X , o campomagnetico sempre aponta na direcao x.

3

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

Todas as respostas devem ter ampla justificativa!

1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionaria I no sentido

anti-horario, e sujeita a um campo magnetico externo estacionario e uniforme ~B0 = B0x. A espira se encontra noplano XY , conforme a figura.

(a) [0,6 ponto] Calcule as forcas ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a direitado quadrado, exercidas pelo campo magnetico externo.(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnetico ~µ associado a espira e calcule o vetor torque ~τ que o

campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.(c) [1,4 pontos] Determine o campo magnetico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).

2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutancia desprezıvel, tem lados a e b e resistencia R.Um fio retilıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e colocado ao longo do eixo Z auma distancia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retilıneo em um ponto P e dado por ~B = B(s)ϕ, onde s ea distancia de P ao fio e ϕ e o vetor unitario que “circula”em torno do fio, encontre B(s).(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magnetico atraves da espira, tomando y como o unitario normal a superfıcie.(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forca eletromotriz induzida na espira?

4

Gabarito para Versao A

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. (e)

2. (a)

3. (b)

4. (c)

5. (b)

6. (d)

7. (c)

8. (d)

1

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

1. Resolucao:(a) Ambas as forcas podem ser obtidas da expressao geral

~F = I

∫

~dl× ~B.

No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto

~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)

Ja no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e uniforme, a integral simplifica-se bastante

~F2 = I

∫

l.v.d.

~dl× ~B0 = I

∫

l.v.d.

dyB0(−z) = IB0(−z)

∫

l.v.d.

dy

ou seja,

~F2 = −2IB0az (2)

(b) O momento magnetico da espira e dado por

~µ = IAquad z ⇒ ~µ = 4Ia2z (3)

e o torque entao pode ser obtido de

~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(z× x) ⇒ ~τ = 4Ia2B0y (4)

(c) Devido a simetria de rotacoes multiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnetico produzidopor um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos entao o lado vertical a direita. Temos

d~ℓ = dy y , ~rP = ~r = ay , ~r′ = ax + yy

donde

~r−~r′ = −ax + (a− y)y ⇒ |~r−~r′| =√

a2 + (y − a)2

e logo

d~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 =µ0I

4π

(dy y)× [−ax + (a− y)y]

[a2 + (y − a)2]3/2= −µ0I

4π

dy(−a)(−z)

[a2 + (y − a)2]3/2

Integrando, temos

~Bl.v.d. =

∫

l.v.d.

d~B =µ0Ia

4πz

∫ 2a

0

dy

[a2 + (y − a)2]3/2=

µ0Ia

4πz

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2(5)

onde no ultimo passo fizemos a substituicao u = y − a. Utilizando o resultado∫

du

[a2 + u2]3/2=

1

a2u√

u2 + a2⇒

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2=

1

a22a√2a

=

√2

a2

que, substituıdo em (5), leva a

~Bl.v.d. =µ0

√2I

4πaz

e, por fim, temos

~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B =µ0

√2I

πaz (6)

�

2

2. Resolucao:

(a) Ja sabendo que ~B = Bϕ e que nao ha efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicandoa lei de Ampere. Para isso, basta tracar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular acirculacao de ~B

∫

C

~B · ~dl =∫

C

(B(s)ϕ) · (dlϕ) =∫

C

B(s)dl

1︷ ︸︸ ︷

(ϕ) · ϕ) = B(s)

∫

C

dl = B(s)× 2πs,

donde, aplicando a lei de Ampere, temos

∫

C

~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) =µ0I

2πs. (7)

(b) O fluxo do campo magnetico atraves da espira e dado por

Φm =

∫

S

~B · ~dA

onde S e a area retangular delimitada pela espira. Como o plano da espira e perpendicular ao vetor unitario ϕ esabendo que nesse plano particular temos ϕ = y, podemos fazer ~B = By, ~dA = dAy e entao

Φm =

∫

S

(By) · (dAy) =∫

S

BdA

1︷ ︸︸ ︷

(y · y) =∫

S

Bdxdy =

∫

S

(µ0I

2πx

)

dxdy

=µ0I

2π

∫ a

0

dy

∫ x0+b

x0

dx

x=

µ0Ia

2π

[

log x

]x0+b

x0

ou seja,

Φm =µ0Ia

2πlog

(x0 + b

x0

)

(8)

(c) A forca eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos

ε = −dφm

dt= − d

dt

µ0

I0 cosωt︷︸︸︷

I(t) a

2πlog

(x0 + b

x0

)

= −µ0a

2πlog

(x0 + b

x0

)d

dtI0 cosωt

donde

ε =µ0aωI02π

sin(ωt) log

(x0 + b

x0

)

(9)

�

3

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014

Versao: B

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,

∮

S

~B ·d ~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 ,

∮

C

~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt, ~µ = IA n , ΦB = LI , uB =

1

2

B2

µ0

.

∫du

(u2 + a2)3/2=

1

a2u

(u2 + a2)1/2+ C

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. Considere um solenoide ideal de raio Rsol e uma es-pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha queResp > Rsol (ou seja, a espira esta fora do solenoide).Pelo solenoide passa uma corrente nao-estacionariaI(t). Denotando a indutancia mutua do sistema porM , as auto-indutancias do solenoide e da espira porLsol e Lesp, e o campo produzido pelo solenoide emseu exterior por Bext, qual das afirmacoes abaixo everdadeira?

(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.

(b) M depende de I(t).

(c) M = 0 pois Bext = 0.

(d) Lsol depende de I(t).

(e) M depende de Rsol.

(f) Lesp depende de Rsol.

2. Seja uma superfıcie esferica S, dividida em duas me-tades S1 e S2 por um grande cırculo C. A partir dalei de Ampere, podemos afirmar que

(a) O fluxo do campo magnetico atraves de S1 eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(b) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e proporcional ao a intensidade de correnteatraves de S.

(c) A circulacao do campo magnetico ao longode C e proporcional a intensidade de correnteatraves de S2.

(d) O fluxo do campo magnetico atraves de S eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(e) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e nula.

1

3. A figura a seguir mostra a secao reta de tres fios queconduzem correntes estacionarias, com intensidade demesmo modulo I, que atravessam o plano da figuracom sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-entadas indicadas pelas letras a ate d sao apresentadasna figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-ona a circulacao do campo magnetico Ci =

∮

i~B · d~l

(i = a, b, c, d) em cada curva e

(a) Cb < Ca = Cc < Cd.(b) Ca < Cb < Cc < Cd.(c) Ca < Cb = Cd < Cc.(d) Cd < Cc = Ca < Cb.(e) Ca = Cc < Cb = Cd.

4. Um proton (carga +e, massa m), um deuteron(carga +e, massa 2m), e uma partıcula alfa (carga+2e, massa 4m) entram numa regiao com campo

magnetico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o proton semove numa circunferncia de raio R, podemos dizerque os raios das orbitas circulares do deuteron Rd eda partıcula alfa Rα sao, respectivamente:

(a) Rd =√2R e Rα =

√2R.

(b) Rd = 2R e Rα = 2R.

(c) Rd = 2R e Rα = R/2.

(d) Rd =√2R/2 e Rα =

√2R/2.

(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.

5. Por um condutor cilındrico macico e infinito de raioR passa uma corrente estacionaria e axial I uniforme-mente distribuıda atraves de sua secao reta. O campomagnetico ~B a uma distancia radial s do eixo do con-dutor, em coordenadas cilındricas (s, ϕ), e igual a

(a) ~B(s < R) =µ0iIs

2πR2s e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(b) ~B(s < R) =µ0Is

2πR2ϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(c) ~B(s < R) =µ0I

2πss e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(d) ~B(s < R) =µ0I

2πsϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

6. Considere um plano infinito com uma densidade su-perficial de corrente ~K = Kx. Sabendo que esse planocontem os eixos X e Y (que sao perpendiculares entresi) e e perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativasabaixo e verdadeira? (Obs.: simetria plana e a sime-tria de translacao nas direcoes X e Y , e simetria axiale a simetria de rotacoes em torno de um eixo dado)

(a) Pela simetria plana, o campo magnetico sem-pre aponta na direcao z.

(b) Pela simetria axial em torno de Z, o modulo docampo magnetico independe das coordenadasx e y.

(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campomagnetico sempre aponta na direcao z.

(d) Pela simetria plana, o modulo do campomagnetico independe das coordenadas x e y.

(e) Pela simetria axial em torno de X , o campomagnetico sempre aponta na direcao x.

2

7. Considere dois aneis circulares, um condutor e outroisolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos aum campo magnetico variavel no tempo, perpendi-cular ao plano dos aneis. Estando os dois aneis emrepouso, em qual deles surgira uma forca eletromo-triz induzida? Em qual deles surgira uma correnteinduzida?

(a) Em nenhum dos aneis. Em nenhum dos aneis.

(b) Em nenhum dos aneis. Somente no anel con-dutor.

(c) Somente no anel condutor. Somente no anelcondutor.

(d) Em ambos os aneis. Somente no anel condutor.

(e) Em ambos os aneis. Em ambos os aneis.

8. Uma espira circular move-se de baixo para cima nadirecao de um ima permanente fixo, assim como nafigura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera:

(a) no sentido horario e a forca na espira sera paracima

(b) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara cima

(c) no sentido horario e a forca na espira sera parabaixo

(d) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara baixo

(e) no sentido horario e a forca na espira sera zero

(f) no sentido anti-horario e a forca na espira serazero

3

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

Todas as respostas devem ter ampla justificativa!

1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionaria I no sentido

anti-horario, e sujeita a um campo magnetico externo estacionario e uniforme ~B0 = B0x. A espira se encontra noplano XY , conforme a figura.

(a) [0,6 ponto] Calcule as forcas ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a direitado quadrado, exercidas pelo campo magnetico externo.(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnetico ~µ associado a espira e calcule o vetor torque ~τ que o

campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.(c) [1,4 pontos] Determine o campo magnetico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).

2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutancia desprezıvel, tem lados a e b e resistencia R.Um fio retilıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e colocado ao longo do eixo Z auma distancia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retilıneo em um ponto P e dado por ~B = B(s)ϕ, onde s ea distancia de P ao fio e ϕ e o vetor unitario que “circula”em torno do fio, encontre B(s).(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magnetico atraves da espira, tomando y como o unitario normal a superfıcie.(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forca eletromotriz induzida na espira?

4

Gabarito para Versao B

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. (e)

2. (c)

3. (a)

4. (b)

5. (b)

6. (d)

7. (d)

8. (c)

1

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

1. Resolucao:(a) Ambas as forcas podem ser obtidas da expressao geral

~F = I

∫

~dl× ~B.

No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto

~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)

Ja no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e uniforme, a integral simplifica-se bastante

~F2 = I

∫

l.v.d.

~dl× ~B0 = I

∫

l.v.d.

dyB0(−z) = IB0(−z)

∫

l.v.d.

dy

ou seja,

~F2 = −2IB0az (2)

(b) O momento magnetico da espira e dado por

~µ = IAquad z ⇒ ~µ = 4Ia2z (3)

e o torque entao pode ser obtido de

~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(z× x) ⇒ ~τ = 4Ia2B0y (4)

(c) Devido a simetria de rotacoes multiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnetico produzidopor um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos entao o lado vertical a direita. Temos

d~ℓ = dy y , ~rP = ~r = ay , ~r′ = ax + yy

donde

~r−~r′ = −ax + (a− y)y ⇒ |~r−~r′| =√

a2 + (y − a)2

e logo

d~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 =µ0I

4π

(dy y)× [−ax + (a− y)y]

[a2 + (y − a)2]3/2= −µ0I

4π

dy(−a)(−z)

[a2 + (y − a)2]3/2

Integrando, temos

~Bl.v.d. =

∫

l.v.d.

d~B =µ0Ia

4πz

∫ 2a

0

dy

[a2 + (y − a)2]3/2=

µ0Ia

4πz

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2(5)

onde no ultimo passo fizemos a substituicao u = y − a. Utilizando o resultado∫

du

[a2 + u2]3/2=

1

a2u√

u2 + a2⇒

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2=

1

a22a√2a

=

√2

a2

que, substituıdo em (5), leva a

~Bl.v.d. =µ0

√2I

4πaz

e, por fim, temos

~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B =µ0

√2I

πaz (6)

�

2

2. Resolucao:

(a) Ja sabendo que ~B = Bϕ e que nao ha efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicandoa lei de Ampere. Para isso, basta tracar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular acirculacao de ~B

∫

C

~B · ~dl =∫

C

(B(s)ϕ) · (dlϕ) =∫

C

B(s)dl

1︷ ︸︸ ︷

(ϕ) · ϕ) = B(s)

∫

C

dl = B(s)× 2πs,

donde, aplicando a lei de Ampere, temos

∫

C

~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) =µ0I

2πs. (7)

(b) O fluxo do campo magnetico atraves da espira e dado por

Φm =

∫

S

~B · ~dA

onde S e a area retangular delimitada pela espira. Como o plano da espira e perpendicular ao vetor unitario ϕ esabendo que nesse plano particular temos ϕ = y, podemos fazer ~B = By, ~dA = dAy e entao

Φm =

∫

S

(By) · (dAy) =∫

S

BdA

1︷ ︸︸ ︷

(y · y) =∫

S

Bdxdy =

∫

S

(µ0I

2πx

)

dxdy

=µ0I

2π

∫ a

0

dy

∫ x0+b

x0

dx

x=

µ0Ia

2π

[

log x

]x0+b

x0

ou seja,

Φm =µ0Ia

2πlog

(x0 + b

x0

)

(8)

(c) A forca eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos

ε = −dφm

dt= − d

dt

µ0

I0 cosωt︷︸︸︷

I(t) a

2πlog

(x0 + b

x0

)

= −µ0a

2πlog

(x0 + b

x0

)d

dtI0 cosωt

donde

ε =µ0aωI02π

sin(ωt) log

(x0 + b

x0

)

(9)

�

3

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014

Versao: C

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,

∮

S

~B ·d ~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 ,

∮

C

~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt, ~µ = IA n , ΦB = LI , uB =

1

2

B2

µ0

.

∫du

(u2 + a2)3/2=

1

a2u

(u2 + a2)1/2+ C

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. A figura a seguir mostra a secao reta de tres fios queconduzem correntes estacionarias, com intensidade demesmo modulo I, que atravessam o plano da figuracom sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-entadas indicadas pelas letras a ate d sao apresentadasna figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-ona a circulacao do campo magnetico Ci =

∮

i~B · d~l

(i = a, b, c, d) em cada curva e

(a) Cb < Ca = Cc < Cd.(b) Ca < Cb < Cc < Cd.(c) Ca < Cb = Cd < Cc.(d) Cd < Cc = Ca < Cb.(e) Ca = Cc < Cb = Cd.

1

2. Considere um plano infinito com uma densidade su-perficial de corrente ~K = Kx. Sabendo que esse planocontem os eixos X e Y (que sao perpendiculares entresi) e e perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativasabaixo e verdadeira? (Obs.: simetria plana e a sime-tria de translacao nas direcoes X e Y , e simetria axiale a simetria de rotacoes em torno de um eixo dado)

(a) Pela simetria plana, o campo magnetico sem-pre aponta na direcao z.

(b) Pela simetria axial em torno de Z, o modulo docampo magnetico independe das coordenadasx e y.

(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campomagnetico sempre aponta na direcao z.

(d) Pela simetria plana, o modulo do campomagnetico independe das coordenadas x e y.

(e) Pela simetria axial em torno de X , o campomagnetico sempre aponta na direcao x.

3. Considere dois aneis circulares, um condutor e outroisolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos aum campo magnetico variavel no tempo, perpendi-cular ao plano dos aneis. Estando os dois aneis emrepouso, em qual deles surgira uma forca eletromo-triz induzida? Em qual deles surgira uma correnteinduzida?

(a) Em nenhum dos aneis. Em nenhum dos aneis.

(b) Em nenhum dos aneis. Somente no anel con-dutor.

(c) Somente no anel condutor. Somente no anelcondutor.

(d) Em ambos os aneis. Somente no anel condutor.

(e) Em ambos os aneis. Em ambos os aneis.

4. Seja uma superfıcie esferica S, dividida em duas me-tades S1 e S2 por um grande cırculo C. A partir dalei de Ampere, podemos afirmar que

(a) O fluxo do campo magnetico atraves de S1 eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(b) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e proporcional ao a intensidade de correnteatraves de S.

(c) A circulacao do campo magnetico ao longode C e proporcional a intensidade de correnteatraves de S2.

(d) O fluxo do campo magnetico atraves de S eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(e) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e nula.

5. Por um condutor cilındrico macico e infinito de raioR passa uma corrente estacionaria e axial I uniforme-mente distribuıda atraves de sua secao reta. O campomagnetico ~B a uma distancia radial s do eixo do con-dutor, em coordenadas cilındricas (s, ϕ), e igual a

(a) ~B(s < R) =µ0iIs

2πR2s e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(b) ~B(s < R) =µ0Is

2πR2ϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(c) ~B(s < R) =µ0I

2πss e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(d) ~B(s < R) =µ0I

2πsϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

6. Um proton (carga +e, massa m), um deuteron(carga +e, massa 2m), e uma partıcula alfa (carga+2e, massa 4m) entram numa regiao com campo

magnetico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o proton semove numa circunferncia de raio R, podemos dizerque os raios das orbitas circulares do deuteron Rd eda partıcula alfa Rα sao, respectivamente:

(a) Rd =√2R e Rα =

√2R.

(b) Rd = 2R e Rα = 2R.

(c) Rd = 2R e Rα = R/2.

(d) Rd =√2R/2 e Rα =

√2R/2.

(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.

2

7. Considere um solenoide ideal de raio Rsol e uma es-pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha queResp > Rsol (ou seja, a espira esta fora do solenoide).Pelo solenoide passa uma corrente nao-estacionariaI(t). Denotando a indutancia mutua do sistema porM , as auto-indutancias do solenoide e da espira porLsol e Lesp, e o campo produzido pelo solenoide emseu exterior por Bext, qual das afirmacoes abaixo everdadeira?

(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.

(b) M depende de I(t).

(c) M = 0 pois Bext = 0.

(d) Lsol depende de I(t).

(e) M depende de Rsol.

(f) Lesp depende de Rsol.

8. Uma espira circular move-se de baixo para cima nadirecao de um ima permanente fixo, assim como nafigura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera:

(a) no sentido horario e a forca na espira sera paracima

(b) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara cima

(c) no sentido horario e a forca na espira sera parabaixo

(d) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara baixo

(e) no sentido horario e a forca na espira sera zero

(f) no sentido anti-horario e a forca na espira serazero

3

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

Todas as respostas devem ter ampla justificativa!

1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionaria I no sentido

anti-horario, e sujeita a um campo magnetico externo estacionario e uniforme ~B0 = B0x. A espira se encontra noplano XY , conforme a figura.

(a) [0,6 ponto] Calcule as forcas ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a direitado quadrado, exercidas pelo campo magnetico externo.(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnetico ~µ associado a espira e calcule o vetor torque ~τ que o

campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.(c) [1,4 pontos] Determine o campo magnetico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).

2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutancia desprezıvel, tem lados a e b e resistencia R.Um fio retilıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e colocado ao longo do eixo Z auma distancia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retilıneo em um ponto P e dado por ~B = B(s)ϕ, onde s ea distancia de P ao fio e ϕ e o vetor unitario que “circula”em torno do fio, encontre B(s).(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magnetico atraves da espira, tomando y como o unitario normal a superfıcie.(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forca eletromotriz induzida na espira?

4

Gabarito para Versao C

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. (a)

2. (d)

3. (d)

4. (c)

5. (b)

6. (b)

7. (e)

8. (c)

1

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

1. Resolucao:(a) Ambas as forcas podem ser obtidas da expressao geral

~F = I

∫

~dl× ~B.

No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto

~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)

Ja no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e uniforme, a integral simplifica-se bastante

~F2 = I

∫

l.v.d.

~dl× ~B0 = I

∫

l.v.d.

dyB0(−z) = IB0(−z)

∫

l.v.d.

dy

ou seja,

~F2 = −2IB0az (2)

(b) O momento magnetico da espira e dado por

~µ = IAquad z ⇒ ~µ = 4Ia2z (3)

e o torque entao pode ser obtido de

~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(z× x) ⇒ ~τ = 4Ia2B0y (4)

(c) Devido a simetria de rotacoes multiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnetico produzidopor um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos entao o lado vertical a direita. Temos

d~ℓ = dy y , ~rP = ~r = ay , ~r′ = ax + yy

donde

~r−~r′ = −ax + (a− y)y ⇒ |~r−~r′| =√

a2 + (y − a)2

e logo

d~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 =µ0I

4π

(dy y)× [−ax + (a− y)y]

[a2 + (y − a)2]3/2= −µ0I

4π

dy(−a)(−z)

[a2 + (y − a)2]3/2

Integrando, temos

~Bl.v.d. =

∫

l.v.d.

d~B =µ0Ia

4πz

∫ 2a

0

dy

[a2 + (y − a)2]3/2=

µ0Ia

4πz

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2(5)

onde no ultimo passo fizemos a substituicao u = y − a. Utilizando o resultado∫

du

[a2 + u2]3/2=

1

a2u√

u2 + a2⇒

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2=

1

a22a√2a

=

√2

a2

que, substituıdo em (5), leva a

~Bl.v.d. =µ0

√2I

4πaz

e, por fim, temos

~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B =µ0

√2I

πaz (6)

�

2

2. Resolucao:

(a) Ja sabendo que ~B = Bϕ e que nao ha efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicandoa lei de Ampere. Para isso, basta tracar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular acirculacao de ~B

∫

C

~B · ~dl =∫

C

(B(s)ϕ) · (dlϕ) =∫

C

B(s)dl

1︷ ︸︸ ︷

(ϕ) · ϕ) = B(s)

∫

C

dl = B(s)× 2πs,

donde, aplicando a lei de Ampere, temos

∫

C

~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) =µ0I

2πs. (7)

(b) O fluxo do campo magnetico atraves da espira e dado por

Φm =

∫

S

~B · ~dA

onde S e a area retangular delimitada pela espira. Como o plano da espira e perpendicular ao vetor unitario ϕ esabendo que nesse plano particular temos ϕ = y, podemos fazer ~B = By, ~dA = dAy e entao

Φm =

∫

S

(By) · (dAy) =∫

S

BdA

1︷ ︸︸ ︷

(y · y) =∫

S

Bdxdy =

∫

S

(µ0I

2πx

)

dxdy

=µ0I

2π

∫ a

0

dy

∫ x0+b

x0

dx

x=

µ0Ia

2π

[

log x

]x0+b

x0

ou seja,

Φm =µ0Ia

2πlog

(x0 + b

x0

)

(8)

(c) A forca eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos

ε = −dφm

dt= − d

dt

µ0

I0 cosωt︷︸︸︷

I(t) a

2πlog

(x0 + b

x0

)

= −µ0a

2πlog

(x0 + b

x0

)d

dtI0 cosωt

donde

ε =µ0aωI02π

sin(ωt) log

(x0 + b

x0

)

(9)

�

3

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014

Versao: D

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,

∮

S

~B ·d ~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 ,

∮

C

~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt, ~µ = IA n , ΦB = LI , uB =

1

2

B2

µ0

.

∫du

(u2 + a2)3/2=

1

a2u

(u2 + a2)1/2+ C

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. Por um condutor cilındrico macico e infinito de raioR passa uma corrente estacionaria e axial I uniforme-mente distribuıda atraves de sua secao reta. O campomagnetico ~B a uma distancia radial s do eixo do con-dutor, em coordenadas cilındricas (s, ϕ), e igual a

(a) ~B(s < R) =µ0iIs

2πR2s e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(b) ~B(s < R) =µ0Is

2πR2ϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(c) ~B(s < R) =µ0I

2πss e ~B(s > R) =

µ0I

2πss

(d) ~B(s < R) =µ0I

2πsϕ e ~B(s > R) =

µ0I

2πsϕ

(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

2. Um proton (carga +e, massa m), um deuteron(carga +e, massa 2m), e uma partıcula alfa (carga+2e, massa 4m) entram numa regiao com campo

magnetico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o proton semove numa circunferncia de raio R, podemos dizerque os raios das orbitas circulares do deuteron Rd eda partıcula alfa Rα sao, respectivamente:

(a) Rd =√2R e Rα =

√2R.

(b) Rd = 2R e Rα = 2R.

(c) Rd = 2R e Rα = R/2.

(d) Rd =√2R/2 e Rα =

√2R/2.

(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.

1

3. Considere um solenoide ideal de raio Rsol e uma es-pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha queResp > Rsol (ou seja, a espira esta fora do solenoide).Pelo solenoide passa uma corrente nao-estacionariaI(t). Denotando a indutancia mutua do sistema porM , as auto-indutancias do solenoide e da espira porLsol e Lesp, e o campo produzido pelo solenoide emseu exterior por Bext, qual das afirmacoes abaixo everdadeira?

(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.

(b) M depende de I(t).

(c) M = 0 pois Bext = 0.

(d) Lsol depende de I(t).

(e) M depende de Rsol.

(f) Lesp depende de Rsol.

4. Seja uma superfıcie esferica S, dividida em duas me-tades S1 e S2 por um grande cırculo C. A partir dalei de Ampere, podemos afirmar que

(a) O fluxo do campo magnetico atraves de S1 eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(b) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e proporcional ao a intensidade de correnteatraves de S.

(c) A circulacao do campo magnetico ao longode C e proporcional a intensidade de correnteatraves de S2.

(d) O fluxo do campo magnetico atraves de S eproporcional a circulacao de corrente atravesde C.

(e) A circulacao do campo magnetico ao longo deC e nula.

5. A figura a seguir mostra a secao reta de tres fios queconduzem correntes estacionarias, com intensidade demesmo modulo I, que atravessam o plano da figuracom sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-entadas indicadas pelas letras a ate d sao apresentadasna figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-ona a circulacao do campo magnetico Ci =

∮

i~B · d~l

(i = a, b, c, d) em cada curva e

(a) Cb < Ca = Cc < Cd.(b) Ca < Cb < Cc < Cd.(c) Ca < Cb = Cd < Cc.(d) Cd < Cc = Ca < Cb.(e) Ca = Cc < Cb = Cd.

2

6. Considere um plano infinito com uma densidade su-perficial de corrente ~K = Kx. Sabendo que esse planocontem os eixos X e Y (que sao perpendiculares entresi) e e perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativasabaixo e verdadeira? (Obs.: simetria plana e a sime-tria de translacao nas direcoes X e Y , e simetria axiale a simetria de rotacoes em torno de um eixo dado)

(a) Pela simetria plana, o campo magnetico sem-pre aponta na direcao z.

(b) Pela simetria axial em torno de Z, o modulo docampo magnetico independe das coordenadasx e y.

(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campomagnetico sempre aponta na direcao z.

(d) Pela simetria plana, o modulo do campomagnetico independe das coordenadas x e y.

(e) Pela simetria axial em torno de X , o campomagnetico sempre aponta na direcao x.

7. Considere dois aneis circulares, um condutor e outroisolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos aum campo magnetico variavel no tempo, perpendi-cular ao plano dos aneis. Estando os dois aneis emrepouso, em qual deles surgira uma forca eletromo-triz induzida? Em qual deles surgira uma correnteinduzida?

(a) Em nenhum dos aneis. Em nenhum dos aneis.

(b) Em nenhum dos aneis. Somente no anel con-dutor.

(c) Somente no anel condutor. Somente no anelcondutor.

(d) Em ambos os aneis. Somente no anel condutor.

(e) Em ambos os aneis. Em ambos os aneis.

8. Uma espira circular move-se de baixo para cima nadirecao de um ima permanente fixo, assim como nafigura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera:

(a) no sentido horario e a forca na espira sera paracima

(b) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara cima

(c) no sentido horario e a forca na espira sera parabaixo

(d) no sentido anti-horario e a forca na espira serapara baixo

(e) no sentido horario e a forca na espira sera zero

(f) no sentido anti-horario e a forca na espira serazero

3

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

Todas as respostas devem ter ampla justificativa!

1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionaria I no sentido

anti-horario, e sujeita a um campo magnetico externo estacionario e uniforme ~B0 = B0x. A espira se encontra noplano XY , conforme a figura.

(a) [0,6 ponto] Calcule as forcas ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a direitado quadrado, exercidas pelo campo magnetico externo.(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnetico ~µ associado a espira e calcule o vetor torque ~τ que o

campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.(c) [1,4 pontos] Determine o campo magnetico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).

2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutancia desprezıvel, tem lados a e b e resistencia R.Um fio retilıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e colocado ao longo do eixo Z auma distancia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retilıneo em um ponto P e dado por ~B = B(s)ϕ, onde s ea distancia de P ao fio e ϕ e o vetor unitario que “circula”em torno do fio, encontre B(s).(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magnetico atraves da espira, tomando y como o unitario normal a superfıcie.(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forca eletromotriz induzida na espira?

4

Gabarito para Versao D

Secao 1. Multipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. (b)

2. (b)

3. (e)

4. (c)

5. (a)

6. (d)

7. (d)

8. (c)

1

Secao 2. Questoes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)

1. Resolucao:(a) Ambas as forcas podem ser obtidas da expressao geral

~F = I

∫

~dl× ~B.

No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto

~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)

Ja no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e uniforme, a integral simplifica-se bastante

~F2 = I

∫

l.v.d.

~dl× ~B0 = I

∫

l.v.d.

dyB0(−z) = IB0(−z)

∫

l.v.d.

dy

ou seja,

~F2 = −2IB0az (2)

(b) O momento magnetico da espira e dado por

~µ = IAquad z ⇒ ~µ = 4Ia2z (3)

e o torque entao pode ser obtido de

~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(z× x) ⇒ ~τ = 4Ia2B0y (4)

(c) Devido a simetria de rotacoes multiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnetico produzidopor um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos entao o lado vertical a direita. Temos

d~ℓ = dy y , ~rP = ~r = ay , ~r′ = ax + yy

donde

~r−~r′ = −ax + (a− y)y ⇒ |~r−~r′| =√

a2 + (y − a)2

e logo

d~B =µ0

4π

Id~ℓ× (~r−~r′)

|~r−~r′|3 =µ0I

4π

(dy y)× [−ax + (a− y)y]

[a2 + (y − a)2]3/2= −µ0I

4π

dy(−a)(−z)

[a2 + (y − a)2]3/2

Integrando, temos

~Bl.v.d. =

∫

l.v.d.

d~B =µ0Ia

4πz

∫ 2a

0

dy

[a2 + (y − a)2]3/2=

µ0Ia

4πz

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2(5)

onde no ultimo passo fizemos a substituicao u = y − a. Utilizando o resultado∫

du

[a2 + u2]3/2=

1

a2u√

u2 + a2⇒

∫ a

−a

du

[a2 + u2]3/2=

1

a22a√2a

=

√2

a2

que, substituıdo em (5), leva a

~Bl.v.d. =µ0

√2I

4πaz

e, por fim, temos

~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B =µ0

√2I

πaz (6)

�

2

2. Resolucao:

(a) Ja sabendo que ~B = Bϕ e que nao ha efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicandoa lei de Ampere. Para isso, basta tracar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular acirculacao de ~B

∫

C

~B · ~dl =∫

C

(B(s)ϕ) · (dlϕ) =∫

C

B(s)dl

1︷ ︸︸ ︷

(ϕ) · ϕ) = B(s)

∫

C

dl = B(s)× 2πs,

donde, aplicando a lei de Ampere, temos

∫

C

~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) =µ0I

2πs. (7)

(b) O fluxo do campo magnetico atraves da espira e dado por

Φm =

∫

S

~B · ~dA

onde S e a area retangular delimitada pela espira. Como o plano da espira e perpendicular ao vetor unitario ϕ esabendo que nesse plano particular temos ϕ = y, podemos fazer ~B = By, ~dA = dAy e entao

Φm =

∫

S

(By) · (dAy) =∫

S

BdA

1︷ ︸︸ ︷

(y · y) =∫

S

Bdxdy =

∫

S

(µ0I

2πx

)

dxdy

=µ0I

2π

∫ a

0

dy

∫ x0+b

x0

dx

x=

µ0Ia

2π

[

log x

]x0+b

x0

ou seja,

Φm =µ0Ia

2πlog

(x0 + b

x0

)

(8)

(c) A forca eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos

ε = −dφm

dt= − d

dt

µ0

I0 cosωt︷︸︸︷

I(t) a

2πlog

(x0 + b

x0

)

= −µ0a

2πlog

(x0 + b

x0

)d

dtI0 cosωt

donde

ε =µ0aωI02π

sin(ωt) log

(x0 + b

x0

)

(9)

�

3