2. STATISTIC MATEMATIC

2.1. Teoria seleciei

Definiie 2.1.1. Numim colectivitate sau populaie o mulime C de

elemente care este cercetat din punct de vedere a uneia sau mai multor

caracteristici (proprieti), elementele colectivitii fiind numite indivizi, iar

numrul indivizilor unei colectiviti se va numi volumul colectivitii.

Observaie 2.1.2.

1) Problema esenial a statisticii matematice este de a stabilii legea

de probabilitate pe care o urmeaz caracteristica X.

2) Caracteristicile sunt de tip discret i de tip continuu.

Definiie 2.1.3. Numim selecie (sondaj) o subcolectivitate a

colectivitii cercetate C, iar numrul elementelor seleciei poart numele de

volumul seleciei (sondajului).

Definiie 2.1.4. O selecie se numete repetat sau bernoullian dac

dup examinarea individului acesta se reintroduce n colectivitate, n caz

contrar selecia este nerepetat.

Observaie 2.1.5. Dac volumul colectivitii C este mult mai mare

dect volumul seleciei atunci selecia nerepetat poate fi considerat ca fiind

selecie repetat. n continuare considerm numai selecii repetate.

Definiie 2.1.6. Numim date de selecie relative la caracteristica X

valorile obinute pentru indivizii care intr n selecie privind caracteristica X.

Dac selecia este de volum n vom nota datele de selecie prin x1, x2,,xn.

Definiie 2.1.7. Datele de selecie x1, x2,,xn sunt valorile unor

variabile aleatoare, respectiv X1, X2,,Xn care se vor numi variabile de

selecie.

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 2

Observaie 2.1.8.

1) Dac selecia este repetat atunci X1, X2,,Xn sunt independente

i identic repartizate cu X (urmeaz aceeai lege de probabilitate ca X).

2) Dac datele de selecie x1, x2,,xn au valorile distincte x'1,

x'2,,x'N atunci , unde f

N21

N21

f...ff'x...'x'x

:X i = frecvena apariiei valorii

x'i, se va numi distribuia empiric de selecie a lui X.

3) Dac X este de tip continuu se obinuiete s se fac o grupare a

datelor de selecie n clase astfel: ,

N21

N21

f...ff'x...'x'x

:X2

aa'x i1ii

+= , fi

este frecvena datelor de selecie din intervalul ,)a,a[ i1i ,nf...ff N21 =+++

n = volumul seleciei.

Aceast grupare se face chiar i pentru cazul cnd X este de tip

discret.

Definiie 2.1.9. Dac avem funcia numim funcie de

selecie sau statistic, variabila aleatoare

RR:h n

)X,...,X,X(hZ n21n = iar valoarea

numeric )x,...,x,x(hz n21n = o numim valoarea funciei de selecie.

Definiie 2.1.10. Numim medie de selecie funcia de selecie

definit prin ,Xn1X

n

1kk

=

= iar valoarea numeric ,xn1x

n

1kk

=

= o numim

valoarea mediei de selecie.

Observaie 2.1.11.

1) Dac X urmeaz legea normal ),m(N atunci media de selecie

X urmeaz legea normal )n

,m(N .

Demonstraie:

Statistic matematic 3

Avem ca variabile de selecie X1, X2, ..., Xn urmeaz i ele legea

normal ),( mN . Funcia caracteristic a variabilei Xk este de forma

)()()( 222

attdaret XaXtimt

X k

==

2

22

21 )( n

tantim

Xn

etatuncik

=

i obinem ntimtn

tntimn

k

n

kX

nX

nX eettt kn

kk

22

11

11

222

22

1

)()()(

== ==== =

adic X urmeaz legea normal ),(n

mN .

2) Dac X urmeaz legea normal ),m(N atunci statistica

n

mXZ

= urmeaz legea normal N(0,1).

Demonstraie:

Statistica mnXnZ

=

Conform observaiei 1, dac se consider caracteristica X care

urmeaz legea normal ),( mN , atunci media de selecie X urmeaz legea

normal )(n

mN .

0)()()( === mmnmnXMnZM

1)()()()( 222

22

222 ====

=

nnXDnmXDnnmXDZD

adic Z urmeaz legea N(0,1).

3) Dac X1, X2 independente urmeaz legea normal

atunci statistica 2,1i),,m(N ii =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 4

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

+

= urmeaz legea normal N(0,1).

Demonstraie:

Funciile caracteristice ale mediilor de selecie /X i //X sunt

respectiv /2/2

/

/2)( n

timt

X et

= i //2//2

//

//2)( n

timt

X et

= /X i //X fiind

independente rezult )()()( ////// ttt XXXX = unde

//

2//2//

////2)()( n

titm

XX ett

== , iar )()( //////

//////)(

)( tet XXmmit

mmXX

=

Avem succesiv =+

== +

)()()(

//

2//

/

2/)()()()(//////

//

2//

/

2/

//////

nn

ttt mmXX

nn

mmXXZ

=

+

= +

)(

//

2//

/

2/)(

)(

/////

2//

/

2/

///

nn

te XXnn

mmit

=

+

+

= +

)()(

//

2//

/

2/

//

2//

/

2/

)(

/////

2//

/

2/

///

nn

t

nn

te XXnn

mmit

2)(2)(2

)(2

//

2//

/

2///

2//2

//

2//

/

2/

//

//

2//

/

2//

2/2

//

2//

/

2/

/

//

2//

/

2/

///

tnn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeee+

+

+

++

==

adic Z urmeaz legea N(0,1).

Definiie 2.1.12. Numim moment de selecie de ordin k funcia de

selecie =

=n

k

kik Xn 1

1 , iar valoarea numeric =

=n

k

kik xn 1

1 o numim

valoarea momentului de selecie de ordin k.

Statistic matematic 5

Definiie 2.1.13. Numim moment centrat de selecie de ordin k

funcia de selecie ( )kn

iik XXn==

1

1 iar =

=n

1i

kik )xx(n

1 o numim

valoarea momentului centrat de selecie de ordin k.

Observaie 2.1.14.

1) Dac X urmeaz legea normal ),m(N atunci:

statistica

1n

mXT2

= urmeaz legea Student cu n-1 grade de libertate.

statistica 222 nH

= urmeaz legea cu n-1 grade de libertate 2

2) Funcia de selecie =

=n

1k

2k

2)XX(

1n1 se numete dispersia

de selecie; atunci statisticile din observaia anterioar devin:

n

mXT

= i

2

22 )1n(H

= .

3) Momentul centrat de selecie k de ordin k, pentru n mare,

urmeaz legea normal

)(1, 22 kkk n

N

Definiie 2.1.15. Numim funcie de repartiie de selecie funcia de

selecie definit prin Rx,n

)x(K)x(F nn = , unde este numrul

valorilor variabilelor de selecie mai mici dect x.

)x(K n

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 6

Teorema lui Glivenko 2.1.16. Dac se consider caracteristica X ce

are funcia de repartiie teoretic F i fie funcia de repartiie de selecie nF ,

atunci P( 1)0)x(F)x(Fsuplim nRxn

==

.

Teorema lui Kolmogorov 2.1.16. Fie caracteristica X de tip

continuu, care are funcia de repartiie teoretic F i fie funcia de repartiie

de selecie nF , iar )x(F)x(Fsupd nRx

n =

, atunci

=

>==

Statistic matematic 7

a) Se observ c datele de selecie pentru caracteristica X au N = 6

valori distincte, deci distribuia empiric de selecie pentru X este:

X: . Pentru caracteristica Y toate datele de

selecie sunt distincte. Vom face o grupare a datelor de selecie

corespunztoare caracteristicii Y. Anume, prima clas cuprinde valorile

datelor de selecie n intervalul [70,80), a doua clas cuprinde valorile din

intervalul [80,90) etc. Dup efectuarea acestei grupri, distribuia empiric de

selecie a lui Y devine:

213464654321

Y: .

136442

125115105958575

b) Mediile de selecie pentru cele dou caracteristici sunt:

= =

=+++++===20

1k

6

1kkkk .85,2]625143342614[20

1f'x201x

201x

=

=+++++==6

1kkk .5,98]125111531056954854752[20

1'yf201y

Valorile momentelor centrate de selecie de ordinul doi pentru cele

dou caracteristici sunt respectiv:

= =

+===20

1k

6

1k

222kk

2k2 )85,22(6)85,21(4[20

1)x'x(f201)xx(

201)X(

.3275,2])85,26(2)85,25(1)85,24(3)85,23(4 2222 =++++

= =

+===20

1

6

1

22222 )5,9885(4)5,9875(2[20

1)'(201)(

201)(

k kkkk yyfyyY

5,182])5,98125(1)5,98115(3)5,98105(6)5,9895(4 2222 =++++ Valorile dispersiilor de selecie se calculeaz imediat, dac se

cunosc momentele centrate de selecie de ordinul doi.

45,2)(1920)(

191)( 2

220

1

2 === =

XxxXk

k .

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 8

105,192)Y(1920)yy(

191)Y( 2

20

1k

2k

2 === =

.

Astfel, se poate obine 57,1)X()X( 2 == i respectiv

86,13)Y()Y( 2 == .

c) Funciile de repartiie de selecie pentru cele dou caracteristici

sunt respectiv:

>= necunoscut. Considerm

statistica

n

mXT

= , unde =

=n

1kkXn

1X i =

=n

1k

2k

2 )XX(1n

1 care

urmeaz legea Student cu n-1 grade de libertate. Determinm intervalul

( ) cu P(21 t,t )tTt 21

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 22

=

+

Statistic matematic 23

A = (2

22

1

21

2121 nn

z)XX +

i B = 2

22

1

21

2121 nn

z)XX( ++

.

b) Presupunem abaterile standard == 21 necunoscute.

Considerm statistica

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

+

+

= , unde

1X i 2X sunt mediile de selecie definite anterior, iar 2

1 i 2

2 dispersiile

de selecie =

=1n

1k

21k1

1

21 )XX(1n

1 i =

=2n

1k

22k2

2

22 )XX(1n

1 , care

urmeaz legea Student cu n = 2nn 21 + grade de libertate. La fel ca n

aplicaia 2. se determin intervalul astfel nct )t,t( 21 =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 24

=

Statistic matematic 25

m este , unde )m,m( 212

11z

nxm

= i

212

zn

xm

+= ;

21

z

se

determin astfel nct 475,02

1,2

1)z(2

1=

=

, folosind tabelele cu

valorile funciei Laplace, 96,1z2

1=

.

077,23)4,2323,2352,2371,2362349,2278,2237,221(351

x =+++++++=

Rezult 881,2296,13535,0077,23m1 == ,

273,2396,13535,0077,23m2 =+= , adic )273,23;881,22(m .

Exemplul 2.2.24. Pentru recepionarea unei mrfi ambalat n cutii,

se efectueaz un control, prin sondaj, privind greutatea X a unei cutii. Pentru

22 cutii cntrite s-a obinut distribuia empiric de selecie, relativ la

caracteristica X:

24535213,32,31,30,39,28,27,2

:X .

Folosind probabilitatea de ncredere 0,98, s se determine un interval

de ncredere pentru valoarea medie a greutii cutiilor, presupunnd c X

urmeaz legea normal ),m(N .

Rezolvare:

Deoarece abaterea standard )X(D2= este necunoscut, conform

aplicaiei 2. intervalul de ncredere pentru m este (m1,m2) unde

21,1n1

tn

xm

= i

21,1n2

tn

xm

+= . Pentru n-1=21 i 98,01 =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 26

din tabelul cu valorile funciei de repartiie a legii Student se determin

158,2t2

1,1n=

.

Folosind distribuia empiric de selecie se obine:

( ) 032,33,322,341,350,339,258,227,21221x =++++++= iar

167,0)xx(f211 7

1k

2kk ==

=

Obinem: 942,2518,222167,0032,3m1 == ;

122,3518,222167,0032,3m2 =+= adic )122,3;942,2(m .

Exemplul 2.2.25. Masa de carne ambalat n produse de 1000 grame

de mainile M1 i M2 este o caracteristic X1, ce urmeaz legea normal

i respectiv o caracteristic X),m(N 11 2 ce urmeaz legea normal

. Cntrind 100 de pachete din cele produse de maina M),m(N 22 1 s-a

obinut valoarea medie de selecie 1007x1 = grame,iar din cntrirea a 150

pachete de la maina M2 s-a obinut 1002x 2 = grame.

Folosind probabilitatea de ncredere 0,98, s se determine intervalul

de ncredere pentru diferena m1-m2 , dac se tie c abaterile standard sunt

i 31 = 42 = .

Rezolvare:

Conform aplicaiei 3. a) intervalul de ncredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde

( )2

22

1

21

2121 nn

zxxA +=

i ( )2

22

1

21

2121 nn

zxxB ++=

iar

Statistic matematic 27

2

1z

se determin a.. 49,0

21z

21

=

=

.

Folosind tabelul cu valorile funciei lui Laplace obinem

33,2z2

1=

.

Deci :

975,315016

100933,25B

975,315016

100933,25A

=++=

=+=)025,6;975,3(mm 21

Exemplul 2.2.26. Fie caracteristica X1 ce urmeaz legea normal

N(m, ) i care reprezint vnzrile n milioane lei pe sptmn la

magazinele alimentare n oraul A i X

2 vnzrile n milioane lei la

magazinele alimentare din oraul B i care urmeaz legea normal N(m2, ).

S-au efectuat dou sondaje, respectiv pentru X

1 i X2 i s-au obinut

urmtoarele date de selecie:

X1: 226,5;224,1;218,6;220,1;228,8;229,6;222,5.

X2: 221,5;230,2;223,4;224,3;230,8;223,8.

Cu probabilitatea de ncredere 0,95 s se construiasc un interval de

ncredere pentru diferena m1-m2, dac 0> este necunoscut.

Rezolvare:

Conform aplicaiei 3. b) intervalul de ncredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde StxxA2

1,n21 =

i StxxB

21,n

21 =

dac

( ) ( )[ ]22221121

21 1n1n2nn

n1

n1

S ++

+=

21,n

t

iar se determin a..

21tF

21,n

n

=

.

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 28

Pentru 96,01 = i n=1 obinem 201,2t2

1,n=

.

Calculm:

( )

( )

( )

( )

)619,3;326,6(mm619,3259,2201,2353,1B

325,6259,2201,2353,1A:zultRe

259,2)951,145765,176(11

61

71

S

951,14xx51

765,17xx61

667,2258,2238,2303,2244,2232,2305,22161x

314,2245,2226,2298,2281.2206,2181,2245,22671x

21

6

1k

22k2

22

7

1k1k1

21

2

1

=+===

=++

=

==

==

=+++++=

=++++++=

=

=

Exemplul 2.2.27. Fie caracteristica X ce reprezint timpul de

producere a unei reacii chimice, msurat n secunde. Dac X urmeaz legea

normal ),m(N i avnd o selecie repetat de volum n=11, cu datele de

selecie: 4,21;4,03;3,99;4,05;3,89;3,98;4,01;3,92;4,23;3,85;4,20. S se

determine intervalul de ncredere pentru dispersia i pentru

abaterea standard

)X(D22 =

)X(D2= , cu probabilitatea de ncredere 0,95.

Rezolvare:

Conform aplicaiei 4. intervalul de ncredere pentru este 2

( )2221 , unde 22

1,1n

221 h

)1n(

= i 2

2,1n

222 h

)1n(

= iar 2

21,1n

h i 2

2,1n

h

se

Statistic matematic 29

determin folosind tabelele de valori pentru funcia de repartiie a legii cu

n-1 grade de libertate.

2

Avem: i 5,20h 2 975,0;10 = 25,3h2

025,0;10 =

=

==

=+++=

11

1k

2k

2017,0)xx(

101

033,4)20,4...03,421,4(111x

Rezult: 008,05,20017,0102

1 =

= i 052,025,,3017,0102

2 =

=

)052,0;008,0(2 i )228,0;089,0( .

2.3. Verificarea ipotezelor statistice

Definiie 2.3.1. Numim ipotez statistic o presupunere relativ la o

caracteristic X a unei populaii C, fie privind legea de probabilitate a lui X,

fie privind parametrii de care depinde aceast lege.

Metoda prin care o ipotez statistic ce trebuie verificat se accept

sau se respinge, poart numele de test (criteriu) statistic.

Observaie 2.3.2.

1) Dac testul statistic se refer la parametrii de care depinde legea

de probabilitate a lui X spunem c avem un test parametric.

2) Dac testul statistic se refer la natura legii de probabilitate atunci

spunem c avem un test de concordan . Considernd caracteristica X cu

legea de probabilitate ),;x(f parametru necunoscut, ipoteza principal ce

se face asupra lui o numim ipotez nul i o notm A:H0 , iar orice

alt ipotez ce se face relativ la parametrul o numim ipotez admisibil i

o notm ,...2,1i,Ai . :Hi =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 30

Observaie 2.3.3.

1) n continuare, relativ la parametrul , vom considera doar dou

ipoteze: ipoteza nul A:H0 , i o ipotez alternativ 11 A:H .

2) Verificarea ipotezei nule n ipoteza alternativ pentru o

probabilitate de risc se face determinnd o regiune U nR numit regiune

critic a.. P(X1,X2,,Xn) U =)H0 . Din modul cum construim aceast

regiune critic U obinem diferite teste de verificare a ipotezei statistice H0.

3) Probabilitatea de risc se mai numete i nivel de semnificaie a

testului.

Definiie 2.3.4. Numim eroare de genul I respingerea unei ipoteze

adevrate, iar probabilitatea de producere a acestei erori este

)X,...,X,X((P n21 U =)H0 i poart numele de riscul furnizorului.

Definiie 2.3.5. Numim eroare de genul II admiterea unei ipoteze

false, iar probabilitatea de producere a acestei erori este

)X,...,X,X((P n21 U =)H1 i poart numele de riscul beneficiarului.

Definiie 2.3.6. Se numete puterea testului probabilitatea de

respingere a unei ipoteze false, adic U = )X,...,X,X((P)( n21~

)H1 unde

~:H1 = sau . = 1)(

~

Observaie 2.3.7. Nu exist o metod general de construire a

regiunii critice U, care ne duce la testul de verificare a ipotezei nule H0, dar

se cunosc clase de probleme pentru care s-au construit astfel de regiuni critice

i corespunztor lor avem teste de verificare a ipotezelor statistice.

Testul Z 2.3.8.

Fie caracteristica X ce urmeaz legea normal ),m(N cu Rm

necunoscut i 0> cunoscut. Vrem s verificm ipoteza nul H0:m=m0 n

Statistic matematic 31

ipoteza alternativ 01 mm:H cu probabilitatea de risc le de

xn.

Considerm statistica

i date

selecie x1, x2,

,Xn1mX n== X,

n

Z1k

k=

ce urmeaz legea

normal N(0,1). Deci pentru dat putem determina intervalul

2121

, zz a.. =

21

21

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 32

intervalului de ncredere

21

21

z,z pentru statistica Z n continuare nu

vom pune n eviden de fiecare dat regiunea critic U ci numai intervalul de

i pentru o caracteristic X ce nu urmeaz

legea no

ncredere pentru statistica utilizat.

2) Testul Z se poate folosi

rmal atunci cnd volumul seleciei este mare (n>30).

3) Deoarece ipoteza alternativ este 01 mm:H testul Z se numete

testul Z bilateral. Dac se consider H1:m

Statistic matematic 33

avnd o selecie repetat de volum n=40, care ne d distribuia empiric de

selecie .

81012642017151311

:X

Rezolvare:

Deoarece n=40>30 i este cunoscut, folosim testul Z pentru

verificarea ipotezei nule H

3=

0:m=16 cu alternativa .16m:H1

Pentru =0,01 folosind testul se determin 995,02

1zz =

a..

( ) 495,02

1z 995,0 =

= . Se obine z0,995=2,58, care ne d intervalul numeric

pentru statistica 8)(-2,58;2,5

n

mXZ

= . Calculm

( ) 8,15)20817101512136114401x =++++=

422,0

403

168,15

n

mxz ==

= .

Deoarece z = - 0,422 ( )58,2;58,2 ipoteza se accept. Testul T(Student) 2.3.11.

Fie caracteristica X ce urmeaz legea normal N(m, ) cu i 0>

Rm necunoscui. Relativ la media teoretic m=M(X) facem ipoteza nul

H0:m=m0 cu ipoteza alternativ 01 mm:H ; probabilitatea de risc fiind iar

variabilele de selecie x1,x2,,xn.

Pentru verificarea ipotezei nule considerm statistica

( ) ,XX1n

1,Xn1X,

n

mXTn

1k

2

k2

n

1kk

==

==

= ce urmeaz legea Student

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 34

cu n-1 grade de libertate. Deci se determin intervalul numeric

2

1,1n2

1,1nt,t a.. =

Statistic matematic 35

de valori se determin 2

1,1nt

a.. 975,0

21tF

21,1n1n

=

=

. Se obine

t14;0,975 =2,145. Prin urmare intervalul numeric pentru statistica

n

mXT

=

este (-2,145;2,145).

Calculm 4,76)76...8560(151x =+++=

686,116)xx(141 n

1k

2k

2==

=

291,1

1580,10

804,76

n

mxt 0 ==

=

ntruct -1,291 )145,2;145,2( , ipoteza ca media de ocupare zilnic

a unitii hoteliere este de 80% se accept.

Teste pentru compararea a dou medii 2.3.14.

Fie dou populaii C2 i C2 cercetate din punct de vedere al aceleiai

caracteristici anume X1 pentru C1 care urmeaz legea normal i

C

),m(N 11

2 care urmeaz , C),m(N 22 1 i C2 fiind independente.

Vrem s verificm ipoteza nul H0:m1=m2 n ipoteza alternativ

cu probabilitatea de risc i seleciile de volum n211 mm:H 1 i n2 din

cele dou populaii.

a) Testul Z (dac 21 , sunt cunoscute)

Considerm statistica

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

+

= care urmeaz legea

normal N(0,1).

Pentru dat se determin intervalul numeric

2

12

1z,z ,astfel nct

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 36

=

Statistic matematic 37

3) Se calculeaz

21

21

222

211

21

n1

n1

2nn

)1n()1n(

xxt+

+

+

=

( ) ( )====

=

===2121 n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

21

n

1kk2

2

2

n

1kk1

1

1 xx1n

1;xx1n

1;xn1x;x

n1x

4) Dac 2

1,ntt

< atunci ipoteza 21 mm = este admis, altfel este

respins.

c) Testul T (dac 21 necunoscute)

Considerm statistica

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

+

= care urmeaz

legea Student cu n grade de libertate, n este dat de

+

=

+

=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

;1)1(

11

nn

ncn

cn

cn

.

Pentru statistica T se determin intervalul numeric

2

1,n2

1,nt;t

a.. =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 38

;1)1(

11

2

2

1

2

+

=n

cn

cn

+

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc ;

( ) ( )==

=

=21 n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

21 xx

1n1;xx

1n1

==

==21 n

1kk2

2

2

n

1kk1

1

1 xn1x;x

n1x

3) Se calculeaz

2

22

1

21

21

nn

xxt

+

=

4) Dac 2

1,ntt

< atunci ipoteza 21 mm = este admis, altfel este

respins

Exemplul 2.3.15. La o unitate de mbuteliere a laptelui exist dou

maini care efectueaz aceast operaie n sticle de 1l. Pentru a cerceta

reglajul de mbuteliere la cele dou maini s-au efectuat dou selecii relative

la sticlele mbuteliate n cele dou maini i s-au obinut datele de selecie: /kX 990 995 1000 1005 1010

//kX 985 990 995 1000 1005 1010

/kf 7 9 11 8 5

//kf 5 5 6 7 6 4

Folosind nivelul de semnificaie 05,0= , s se verifice dac

mediile de umplere a sticlelor de ctre cele dou maini sunt aceleai, n

cazul n care abaterile standard sunt 61 = ml i 5,72 = ml.

Rezolvare:

Caracteristicile X1 i X2 ce reprezint cantitatea de lapte (n ml)

coninut de o sticl mbuteliat de prima main, se consider ca urmnd

Statistic matematic 39

legile de probabilitate normale N(m1, 6) i N(m2; 7,5).

Verificarea ipotezei nule N0:m1=m2 cu alternativa , se

va face cu testul Z.

211 mm:H

Folosind nivelul de semnificaie 01,0= se determin din tabele

valoarea 995,02

1zz =

a.. 495,0

21z

21

=

=

. Se obine ,

care ne d intervalul (-2,58; 2,58) pentru statistica

58,2z 995,0 =

2

22

1

21

2121 nn)]mm()XX[(Z

+

= .

Calculm: 375,999)10105...99599907(401x1 =+++=

424,997)10104...99059855(331x 2 =+++=

209,133

25,564036)424,997375,999(

nn)xx(z

2

22

1

21

21 =+=

+

=

Deoarece )58,2;58,2(209,1z = , rezult c mediile de umplere a

sticlelor nu difer semnificativ pentru cele dou maini.

Exemplul 2.3.16.

Se cerceteaz dou loturi de ulei pentru automobile, din punct de

vedere al vscozitii, obinndu-se datele de selecie: /kX 10,27 10,28 10,29 10,30 10,32

//kX 10,26 10,27 10,29 10,30 10,31

/kf 3 2 1 1 1

//kf 3 2 1 1 1

Analizele fcndu-se cu acelai aparat, se consider c abaterile

standard sunt aceleai. Considernd nivelul de semnificaie 05,0= ; s se

verifice dac mediile de vscozitate pentru cele dou laturi nu difer

semnificativ.

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 40

Rezolvare:

Caracteristicile X1 i X2, ce reprezint vscozitile pentru cele dou

loturi de ulei, se consider c urmeaz fiecare legea normal, respectiv

i ),m(N 1 ),m(N 2 , cu abaterea standard 0> necunoscut.

Verificarea ipotezei nule 210 mm:H = cu alternativa ,

se va face cu testul T, deoarece abaterea standard

211 mm:H

este necunoscut.

Folosind nivelul de semnificaie 05,0= , se determin folosind tabelele,

valoarea 2

1,nt

, a..

21tF

21,nn

=

, unde n=n1+n2-2. Adic se obine

intervalul pentru statistica ,145,2t 975,0;14 = 145)(-2,145;2,

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T+

+

+

= care urmeaz legea Student cu n

grade de libertate.

Calculm:

285,10)32,101...28,10227,103(81x1 =+++=

289,10)31,103...27,20126,102(81x 2 =+++=

( ) 4n

1k

21k1

1

21 10143,3xx

1n1 1

=

=

=

( ) 4n

1k

22k2

2

22 10983,4xx

1n1 2

=

=

=

397,0

81

8114

10)881,34001,22(289,10285,10

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)xx(t4

21

21

222

211

21 =++

=

+

+

+

=

Statistic matematic 41

Deoarece )145,2;145,2(397,0t = , rezult c vscozitile medii ale celor

dou loturi de ulei nu difer semnificativ.

Testul 2 privind dispersia 2.3.17. Fie caracteristica X ce urmeaz legea normal N(m, ) cu parametri

Rm i necunoscui. Vrem s verificm ipoteza nul n

raport cu ipoteza alternativ cunoscnd probabilitatea de risc

i o selecie de volum n.

0> 202

0 :H =

,:H 202

1

Considerm caracteristica ( ) 22n

1k

2k2

2 )1n(XX1H

=

=

=

care

urmeaz legea cu n-1 grade de libertate, i se determin pentru aceasta

intervalul numeric

2

=

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 42

Exemplul 2.3.18. Se efectueaz o selecie repetat de volum n=12

relativ la caracteristica X ce urmeaz legea normal ),m(N , obinndu-se

distribuia empiric de selecie

.

12111111215,12,118,06,02,002,04,05,0

:X

S se verifice, cu nivelul de semnificaie 05,0= , ipoteza nul

, cu alternativa 5,0)x(D:H 220 == .5,0:H2

1

Rezolvare:

Se utilizeaz testul . La nivelul de semnificaie ; se

determin intervalul

2 05,0=

2

21;1n

2

2;1n

h;h , pentru statistica 2

2)1n(H

= , care

urmeaz legea cu n-1 grade de libertate; folosind tabelele de valori din 2

( ) = 025,0hF 2 025,0;1111 82,3h 2 025,0;11 = i ( ) 9,21h975,0hF 2 975,0;112 975,0;1111 == Deci, intervalul pentru statistica este (3,82;21,9). 2H

Calculm [ ] 4167,05,11...)4,0(2)5,0(1121x =+++=

( ) 518,0xx1n

1 n

1k

2

k

2=

=

=

; 396,115,0518,011)1n(h 2

0

22 =

=

=

Deoarece , ipoteza nul fcut relativ la

dispersia teoretic este acceptat.

)9,21;82,3(396,11h 2 =

Testul F (Sndcor - Fischer) 2.3.19.

Fie dou populaii C1 i C2 referitor la care ne intereseaz

caracteristicile: X1 ce urmeaz ),m(N 11 i X2 ce urmeaz . Cu

probabilitatea de risc vrem s verificm ipoteza nul n

),m(N 22 22

210 :H =

Statistic matematic 43

raport cu ipoteza alternativ , considernd cte o selecie din

fiecare populaie, respectiv de volum n

22

211 :H

1 i n2.

Statistica 22

22

21

21F

= urmeaz legea Sndcor - Fischer cu

i 1nm 1 = 1nn 2 = grade de libertate, iar intervalul numeric pentru

aceast statistic

21;n,m

2;n,m

f,f se determin a..

=

1. Dac F

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 44

3) Se calculeaz:

( ) ( )==

=

=

=

n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

212

2

21 xx

1n1;xx

1n1;f

1

=

=1n

1kk1

1

1 xn1x ,

=

=2n

1kk2

2

2 xn1x .

4) Dac

21;n,m

2;n,m

f;ff atunci ipoteza este admis,

altfel este respins.

22

21 =

Exemplul 2.3.20. Dou strunguri produc acelai tip de piese.

Caracteristica cercetat este diametrul acestor piese. Se consider dou

selecii de volum 7n1 = i , relativ la diametrele pieselor produse de

cele dou strunguri. Datele de selecie sunt prezentate prin distribuiile

empirice de selecie:

9n 2 =

2418,36,34,3

X1 i . Considernd nivelul

de semnificaie

22418,37,36,35,3

X2

05,0= ; s se verifice ipoteza nul cu

alternativa

210 :H =

,:H 211 dac se presupune c X1 i X2 urmeaz legea

normal ),m(N 11 i respectiv ),m(N 22 .

Rezolvare:

Se utilizeaz testul F. Se determin intervalul

21;n,m

2;n,m

f;f

pentru statistica F folosind tabelele de valori, a.. 2

fF2

;n,mn,m

=

i

21fF

21;n,mn,m

=

.

Statistic matematic 45

65,4f 975,0;8,6 = deoarece 975,0)65,4(F 8,6 =

18,060,51

f1f

975,0;6,8025,0;8,6 === . Rezult intervalul (0,18;4,65)

Calculm:

656,3)8,327,326,345,31(91x;629,3)8,326,344,31(

71x 21 =+++==++=

( ) 01905,0xx1n

1 1n

1k

21k1

1

21 =

=

=

; ( ) 01028,0xx1n

1 2n

1k

22k2

2

22 =

=

=

.85,101028,001905,0f 2

2

21 ==

=

Deoarece ),65,4;18,0(85,1f = rezult c ipoteza fcut privind

egalitatea dispersiilor, este admis.

Teste de concordan

Testul 2 2.3.21.

Fie caracteristica X care are funcia de repartiie teoretic F. Ipoteza

statistic pe care o facem asupra caracteristicii X este c are funcia de

repartiie ),,...,;x(FF s10 = unde s1 ,..., sunt parametrii necunoscui.

Folosind datele de selecie se estimeaz prin metoda

verosimilitii maxime aceti parametrii, obinndu-se Deci

ipoteza statistic devine n continuare se face o grupare a

datelor de selecie obinndu-se distribuia empiric de selecie:

clasa reprezint intervalul [a

n21 x,...,x,x

.,...,, *s*2

*1

).,...,;x(FF *s*10 =

N21

N21

f...ff'x...'x'x

X i'x i-1,ai). Pentru clasa x'i

avem )a(F)a(Fp 1iii = necunoscut, dar putem calcula

Prin urmare, ipoteza fcut asupra ).,...,;a(F),...,;a(Fp *s*11i0

*s

*1i0

*i =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 46

funciei de repartiie devine ipoteza nul NippH ii ,1;:*

0 == n ipoteza

alternativ fals. Valoarea numeric 01 H:H =

=

N

1i*i

*ii2

p n)p nf(h este

valoarea unei variabile aleatoare ce urmeaz legea cu k = N-s-1 grade

de libertate. Deci pentru probabilitatea de risc

2H 2

se determin intervalul

numeric ( )2 1,kh,0 corespunztor lui a.. 2H ( ) =< 1hHP 2 1,k2 adic ( ) = 1hF 2 1,kk .

Etapele aplicrii testului:

1) Se consider: ),...,;x(FF;x,...,x,x; s10n21 =

2) Se determin intervalul ( )2 1,kh,0 a.. ( ) = 1hF 2 1,kk estimrile de verosimilitate maxim .,...,, *s

*2

*1

distribuia empiric de selecie N,1ii

i

fx

X=

se calculeaz ),...,,;a(F),...,,;a(Fp *s*2

*11i0

*s

*2

*1i0

*1 =

k = N-s-1

3) Se calculeaz =

=

N

1i*i

2*ii2

pn )p nf(h

4) Dac atunci ipoteza F = F2 1,k2 hh < 0 este admis, altfel este

respins.

Observaie 2.3.22. Testul nu este aplicabil dac sunt mai

mici dect 5, caz n care se recomand o nou grupare a datelor de selecie.

2 *ipn

Testul lui Kolmogorov 2.3.23.

Se consider caracteristica X care are funcia de repartiie teoretic

F. Dac )x(Fn este funcia de repartiie de selecie avem c

Statistic matematic 47

)x(K)xd n(Plim nn =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 48

a) utiliznd testul de concordan , cu nivelul de semnificaie

2

;05,0=

b) utiliznd testul de concordan al lui Kolmogorov, cu nivelul de

semnificaie ;05,0=

Rezolvare:

Se cunoate c estimrile de verosimilitate maxim pentru m i

sunt respectiv

,xm* = 2* = .

Distribuia empiric de selecie pentru caracteristica X este

81013161817171411125,2975,1925,1875,1825,1775,1725,1675,1625,1

:X

Calculm

82,1)125,28...675,114625,111(124

1xm* =+++==

( ) 129,082,1x124

1 124

1k

2*k2

* === =

a) se consider valoarea numeric

=

=

N

1i*i

2*ii2

p n)p nf(h , unde N =9,

6129k;2s;maamap **

1i*

*i*

i ===

=

Se determin intervalul ( ),h,0 2 1,k pentru statistica , folosind tabelele de valori i se obine adic intervalul (0;12,59).

2H

59,12h 2 95,0;6 =

Calculele pentru se fac n tabelul: 2h

Statistic matematic 49

ia if **

mai

**

i ma *ip

*ip n *i

2*ii

p n)p nf(

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

+

11

14

17

17

18

16

13

10

8

-1,32

-0,93

-0,54

-0,16

0,23

0,62

1,01

1,40

+

-0,4066

-0,3238

-0,2054

-0,0636

-0,0910

0,2324

0,3437

0,4192

0,5000

0,0934

0,0828

0,1184

0,1418

0,1546

0,1414

0,1113

0,0755

0,0808

11,5816

10,2672

14,6816

17,5832

19,1704

17,5336

13,8012

9,3620

10,0192

0,02921

1,35712

0,36610

0,01934

0,07146

0,13414

0,04651

0,04348

0,40694

n=124 4743,2h 2 =

Valorile funciei lui Laplace se iau din tabele i se are n vedere

c )x()x( = i

==

= )()32,1(mamap *

*0

*

*1*

1

0934,05,04066,0 =+=

Deoarece rezult c se accept ipoteza

normalitii lui X.

),59,12;0(4743,2h 2 =

b) Pentru 05,0= , folosind tabelele de valori, se determin

a.. 95,01 xx = = 1)x(K 1 , adic 36,1x 95,0 = .

Ipoteza c X urmeaz legea normal , cu i

calculai anterior, este acceptat dac

),m(N ** *m

* ,xdn 1n < unde

)a(F)a(Fmaxd iinN,1i

n ==

.

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 50

Aici )x(Fn este funcia de repartiie de selecie, iar F(x) este funcia

de repartiie pentru legea normal Calculele pentru determinarea

lui d

).,m(N **

n sunt date n tabelul urmtor:

ia if =

i

1jjf

)a(F in *

*i ma F(ai) )a(F)a(F iin

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

0,0887

0,2016

0,3387

0,4758

0,6210

0,7500

0,8548

0,9355

1,0000

-1,32

-0,93

-0,54

-0,16

0,23

0,62

1,01

1,40

+

0,0934

0,1762

0,2946

0,4364

0,5910

0,7324

0,8437

0,9192

1,0000

0,0047

0,0254

0,0441

0,0394

0,0300

0,0176

0,0111

0,0163

0

dn= 0,0441

Deoarece ,36,1491,00441,0124dn n

Statistic matematic 51

Observaia 2.4.2. Se arat c aceasta este o funcie de estimaie a lui

r, adic r tinde n probabilitate ctre r, n .

Observaia 2.4.3.

1) Coeficientul de corelaie de selecie r este cuprins ntre -1 i 1.

2) Dac r = 1, atunci punctele (X1,Y1), ..., (Xn, Yn) se gsesc pe

dreapta de ecuaie

22)( yx

x

y siundexxyy

+=

sunt respectiv funciile de estimaie absolut corect ale dispersiilor X2 i

Y2, adic

1

)(,

1

)(1

2

21

2

2

=

=

==

n

yy

n

xxn

ii

y

n

ii

x

Observaia 2.4.4. Considernd funcia de regresie liniar a

variabilei Y n raport cu variabila X dat de ecuaia baxy += , unde

se obine valoarea )/( xYMy = baxy ii +=' i reziduul iii yy = ' fiind

. )/( ixYM

Mulimea valorilor i determin variabila aleatoare rezidual , care,

prin prisma definiiei funciei regresive are media nul 0)( =M . Calculnd

dispersia variabilei , pe care o numim dispersia rezidual, notnd-o R2,

avem unde dispersia

rezidual este tot una cu dispersia variabilei condiionate

)/(})]/(/{[])0[()( 2222 xYDxYMYMMD ===

xY / .

Cum avem rezult de asemenea

pentru regresia variabilei Y n raport cu variabila X.

Inversnd, se scrie i formula obinut poate fi folosit

)1( 222/ rYxY =

)1( 222 rYR =222 /1 YRr =

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 52

pentru determinarea coeficientului de corelaie r, atunci cnd regresia

variabilei Y n raport cu X i variabilele au repartiii normale. Aceast

valoare a lui r este numit coeficientului de corelaie n regresia liniar.

Exemplul 2.4.5. Fie caracteristicile:

X reprezentnd n procente suprafaa comercial de expunere a mrfurilor

spre vnzare fa de suprafaa construit i

Y reprezentnd volumul valoric al vnzrilor, raportat la metru ptrat

suprafa de prezentare a mrfurilor pe lun, n mii lei.

Acestea fiind cunoscute prin urmtoarele date de selecie:

X 10 12 15 17 26

Y 40 45 42 53 60

Se cere:

a) S se determine coeficientul de corelaie al variabilelor X i Y;

b) S se determine dreapta de regresie a lui Y fa de X;

c) Cu ajutorul dreptei de regresia de mai sus, s se fac prognoza

volumului valoric al vnzrilor Y cnd X ia valoarea 30.

Rezolvare:

Organizm calculele n tabelul urmtor:

ix iy xxi yyi 2)( xxi

2)( yyi 22 )()( yyxx ii

10

12

15

17

26

-----

80

40

45

42

53

60

-----

240

-6

-4

-1

1

10

-8

-3

-6

5

12

36

16

1

1

100

-----

154

64

9

36

25

144

-----

278

48

12

6

5

120

Statistic matematic 53

a) 165

8051 5

1

=== =i

ixx ; 485240

51 5

1===

=iiyy ; 95,0278154

191=

=r

b) Pentru dreapta de regresie a lui Y n raport cu X calculm:

=

==

=n

iix xxn 1

22 8,304

154)(1

1 de unde 5,58,30 ==x

=

==

=n

iiy yyn 1

22 6,554

278)(1

1 de unde 3,76,55 ==y

Obinem )16(5,53,795,048 = xy sau 2,273,1 += xy

c) Prognoza volumului valoric al vnzrilor se obine calculnd

valoarea lui y pentru x = 30.

Avem: 2,662,27303,16 =+=y .

2.5. Probleme rezolvate

1. Fie caracteristica X, care are distribuia empiric de selecie:

X : .

12424250,4025,4000,4075,3950,3925,39

Se cere:

a) media de selecie, momentul centrat de selecie de ordinul doi i

dispersia de selecie;

b) funcia de repartiie de selecie.

Rezolvare:

a) Media de selecie este:

( ) 80,395,40225,40440275,3945,39225,39151151 6

1

'

=+++++=

== =k

kk fxx

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 54

Momentul centrat de selecie de ordinul doi este:

( )

( ) ( ) ( )[ ] 135,0...8,3975,3928,395,3948,3925,392151

151)(

222

6

1

2'2

=+++=

== =k

kk xxfX

Valoarea dispersiei de selecie se calculeaz folosind momentul

centrat de selecie de ordinul doi i anume:

144,0)(1415)( 2

2== XX

b) Funcia de repartiie de selecie este:

> 0

necunoscui. S se estimeze parametrii p i q folosind metoda momentelor, pe

baza datelor de selecie . nxxx ,...,, 21

5. ntr-o fabric de esturi s-a constatat c rezistena la rupere a unui

anumit fir textil este repartizat normal cu media m necunoscut i dispersia

. O selecie de volum 25 d o medie de selecie 6252 = 180=x .

Determinai un interval de ncredere pentru media m cu

probabilitatea de ncredere:

a) 90,0= ;

b) 95,0= ;

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 76

c) 98,0= .

6. Dintr-o populaie repartizat normal cu dispersia necunoscut se

face o selecie de volum 25 obinndu-se 5,20=x i 25,62= . S se scrie

un interval de ncredere pentru parametrul m cu o probabilitate de ncredere:

a) 95,0= ;

b) 98,0= .

7. Dintr-o populaie normal repartizat se face o selecie de volum

16 gsindu-se xi : 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3.

Scriei intervalele de ncredere corespunztoare pentru media m i respectiv

pentru dispersia cu o probabilitate de ncredere 2 98,0= .

8. Un productor de automobile trebuie s aleag ntre dou tipuri de

pneuri A i B. Pentru a decide, face un studiu privind rezistena acestora la

uzur. Numrul de kilometri parcuri cu pneuri de tip A, respectiv b, pn la

uzur este o variabil aleatoare X, respectiv Y, normal de parametri

( AAm ), , respectiv ( )BBm , . Construii un interval de ncredere pentru mA mB, tiind c:

kmA 2000= , kmB 5000= , kmx 20000= , kmy 25000= , nA = 9, nB = 21,

95,01 = .

9. Pentru a testa viteza cu care este absorbit pe pia un produs nou,

firma productoare pune n vnzare, prin 9 magazine, loturi identice.

Cantitile se epuizeaz dup un numr de zile variabil dup cum urmeaz:

Magazin i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nr.de zile xi 51 54 49 50 50 48 49 50 49

Statistic matematic 77

a) S se estimeze printr-un interval de ncredere 95% viteza cu care

este absorbit produsul pe pia (numr mediu de zile).

b) S se determine un interval de ncredere 90% pentru dispersia

numrului de zile X n care se epuizeaz produsul.

10. Nivelul de calciu n sngele unui adult este n medie 9,5

mgr/decilitru i 4,0= . O clinic msoar nivelul calciului la 160 de

pacieni tineri i gsete 3,9=x . Verificai ipoteza 5,9:0 =mH fa de

. 5,9:1 mH

11. S-a stabilit experimental c nivelul colesterolului n organismul

unui adult este o variabil aleatoare normal. O selecie aleatoare de n = 41

aduli a dat un nivel mediu observat al colesterolului 213=x cu 4,482= .

S se testeze ipoteza H0 : m = 200 cu alternativa H1 : 200m la un nivel de

semnificaie 05,0= .

12. Msurtori independente ale rezistenei unor piese alese din dou

loturi L1 i L2 au condus la rezultatele:

Lot L1 0,140 0,138 0,143 0,142 0,138 0,136 0,141

Lot L2 0,137 0,136 0,139 0,143 0,140 0,138 0,139

a) S se verifice ipoteza H0 : m1 = m2 fa de H1 : 21 mm la nivelul

de semnificaie 01,0= ;

b) S se verifice fa de la acelai nivel de

semnificaie.

22

210 : =H

22

211 : H

Se presupune c rezistena este repartizat normal.

13. Se iau eantioane din apa rezultat din rcirea la o central

nuclear. Se consider c dac temperatura apei evacuate nu depete 600C

nu constituie o primejdie pentru mediul nconjurtor.

Elemente de teoria probabilitilor i statistic matematic 78

Se aleg 70 eantioane de ap i se msoar temperatura fiecrui

asemenea eantion. Se obin rezultatele:

Temperatura n 0C 52 54 58 61 64 65

Frecvena 14 21 18 10 5 2

S se verifice ipoteza fa de la

nivelul de semnificaie

CmH 00 60: = CmH0

1 60:

01,0= .

14. Precizia n prelucrare a unui strung automat se verific cu

ajutorul dispersiei dimensiunii controlate a pieselor produse. Dispersia nu

trebuie s depeasc 0,1. O selecie extras la ntmplare de volum n = 25 a

dat rezultatele:

xi 3 3,5 3,8 4,4 4,5

ni 2 6 9 7 1

Presupunem c xi sunt observaii asupra unei variabile aleatoare

normale. S se verifice dac strungul asigur precizia cerut, la nivelul de

semnificaie 025,0= .

15. n tabelul urmtor se dau vnzrile (n mii de buci) dintr-un

sortiment de marf n 6 orae din Romnia Oraul Bucureti Braov Iai Timioara Cluj Constana

Vnzrile 140 120 130 160 140 130

S se verifice c vnzrile din acest sortiment reprezint o

caracteristic repartizat uniform, folosind testul 2, cu nivelul de

semnificaie = 0,05.

16. Se in sub observaie n = 100 motoare electrice. Se consider

caracteristica X, ce reprezint numrul miilor de ore de funcionare.

Durata 030 3060 6090 9020 120150 150180 180300

Frecvena 11 17 21 20 18 7 6

Statistic matematic 79

S se cerceteze exponenialitatea caracteristicii X, folosind testul lui

Kolmogorov, cu nivelul de semnificaie = 0,05.

4.6. Probleme propuse