2. STATISTICĂ MATEMATICĂ - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/curs/master/statistica.pdf · Statistică...

2. STATISTICĂ MATEMATICĂ

2.1. Teoria selecţiei

Definiţie 2.1.1. Numim colectivitate sau populaţie o mulţime C de

elemente care este cercetată din punct de vedere a uneia sau mai multor

caracteristici (proprietăţi), elementele colectivităţii fiind numite indivizi, iar

numărul indivizilor unei colectivităţi se va numi volumul colectivităţii.

Observaţie 2.1.2.

1) Problema esenţială a statisticii matematice este de a stabilii legea

de probabilitate pe care o urmează caracteristica X.

2) Caracteristicile sunt de tip discret şi de tip continuu.

Definiţie 2.1.3. Numim selecţie (sondaj) o subcolectivitate a

colectivităţii cercetate C, iar numărul elementelor selecţiei poartă numele de

volumul selecţiei (sondajului).

Definiţie 2.1.4. O selecţie se numeşte repetată sau bernoulliană dacă

după examinarea individului acesta se reintroduce în colectivitate, în caz

contrar selecţia este nerepetată.

Observaţie 2.1.5. Dacă volumul colectivităţii C este mult mai mare

decât volumul selecţiei atunci selecţia nerepetată poate fi considerată ca fiind

selecţie repetată. În continuare considerăm numai selecţii repetate.

Definiţie 2.1.6. Numim date de selecţie relative la caracteristica X

valorile obţinute pentru indivizii care intră în selecţie privind caracteristica X.

Dacă selecţia este de volum n vom nota datele de selecţie prin x1, x2,…,xn.

Definiţie 2.1.7. Datele de selecţie x1, x2,…,xn sunt valorile unor

variabile aleatoare, respectiv X1, X2,…,Xn care se vor numi variabile de

selecţie.

Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică 2

Observaţie 2.1.8.

1) Dacă selecţia este repetată atunci X1, X2,…,Xn sunt independente

şi identic repartizate cu X (urmează aceeaşi lege de probabilitate ca X).

2) Dacă datele de selecţie x1, x2,…,xn au valorile distincte x'1,

x'2,…,x'N atunci , unde f⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

N21

N21

f...ff'x...'x'x

:X i = frecvenţa apariţiei valorii

x'i, se va numi distribuţia empirică de selecţie a lui X.

3) Dacă X este de tip continuu se obişnuieşte să se facă o grupare a

datelor de selecţie în clase astfel: , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

N21

N21

f...ff'x...'x'x

:X2

aa'x i1ii

+= − , fi

este frecvenţa datelor de selecţie din intervalul ,)a,a[ i1i− ,nf...ff N21 =+++

n = volumul selecţiei.

Această grupare se face chiar şi pentru cazul când X este de tip

discret.

Definiţie 2.1.9. Dacă avem funcţia numim funcţie de

selecţie sau statistică, variabila aleatoare

RR:h n →

)X,...,X,X(hZ n21n = iar valoarea

numerică )x,...,x,x(hz n21n = o numim valoarea funcţiei de selecţie.

Definiţie 2.1.10. Numim medie de selecţie funcţia de selecţie

definită prin ,Xn1X

n

1kk∑

=

= iar valoarea numerică ,xn1x

n

1kk∑

=

= o numim

valoarea mediei de selecţie.

Observaţie 2.1.11.

1) Dacă X urmează legea normală ),m(N σ atunci media de selecţie

X urmează legea normală )n

,m(N σ .

Demonstraţie:

Statistică matematică 3

Avem ca variabile de selecţie X1, X2, ..., Xn urmează şi ele legea

normală ),( σmN . Funcţia caracteristică a variabilei Xk este de forma

)()()( 2

22

attdaret XaX

timt

X kϕϕϕ

σ

==−

2

22

21 )( n

tantim

Xn

etatuncik

−

=ϕ

şi obţinem ntimtn

tntimn

k

n

kX

nX

nX eettt

kn

kk

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕϕϕ−

−

==∑ ==== ∏∏=

adică X urmează legea normală ),(n

mN σ .

2) Dacă X urmează legea normală ),m(N σ atunci statistica

n

mXZσ−

= urmează legea normală N(0,1).

Demonstraţie:

Statistica mnXnZσσ

−=

Conform observaţiei 1, dacă se consideră caracteristica X care

urmează legea normală ),( σmN , atunci media de selecţie X urmează legea

normală )(n

mN σ .

0)()()( =−=−= mmnmnXMnZMσσσ

1)()()()( 22

22

22

22 ===−=−

=n

nXDnmXDnnmXDZD σσσσσ

adică Z urmează legea N(0,1).

3) Dacă X1, X2 independente urmează legea normală

atunci statistica 2,1i),,m(N ii =σ


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ

−−−= urmează legea normală N(0,1).

Demonstraţie:

Funcţiile caracteristice ale mediilor de selecţie /X şi //X sunt

respectiv /

2/2/

/2)( n

timt

X etσ

ϕ−

= şi //

2//2//

//2)( n

timt

X etσ

ϕ−

= /X şi //X fiind

independente rezultă )()()( ////// ttt XXXX −− = ϕϕϕ unde

//

2//2//

////2)()( n

titm

XX ettσ

ϕϕ−−

− =−= , iar )()( ///

///

//////)(

)( tet XXmmit

mmXX −−−

−−− = ϕϕ

Avem succesiv =

+

== −−−

+

−−− )()()(

//

2//

/

2/)()()()( //////

//

2//

/

2/

//////

nn

ttt mmXX

nn

mmXXZσσ

ϕϕϕσσ

=

+

= −

+

−−

)(

//

2//

/

2/)(

)(

/////

2//

/

2/

///

nn

te XXnn

mmit

σσϕ

σσ

=

+

−

+

= −

+

−−

)()(

//

2//

/

2/

//

2//

/

2/

)(

/////

2//

/

2/

///

nn

t

nn

te XXnn

mmit

σσϕ

σσϕ

σσ

2)(2)(2

)(2

//

2//

/

2///

2//2

//

2//

/

2/

//

//

2//

/

2//

2/2

//

2//

/

2/

/

//

2//

/

2/

///

tnn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeee−+

−

+

−

+−

++

−−

==σσ

σ

σσσσσ

σσσσ

adică Z urmează legea N(0,1).

Definiţie 2.1.12. Numim moment de selecţie de ordin k funcţia de

selecţie ∑=

=n

k

kik X

n 1

1σ , iar valoarea numerică ∑=

=n

k

kik x

n 1

1σ o numim

valoarea momentului de selecţie de ordin k.


Definiţie 2.1.13. Numim moment centrat de selecţie de ordin k

funcţia de selecţie ( )kn

iik XX

n∑=−=

1

1µ iar ∑=

−=µn

1i

kik )xx(

n1 o numim

valoarea momentului centrat de selecţie de ordin k.

Observaţie 2.1.14.

1) Dacă X urmează legea normală ),m(N σ atunci:

statistica

1n

mXT2

−µ

−= urmează legea Student cu n-1 grade de libertate.

statistica 222 n

Hσµ

= urmează legea cu n-1 grade de libertate 2χ

2) Funcţia de selecţie ∑=

−−

=σn

1k

2k

2)XX(

1n1 se numeşte dispersia

de selecţie; atunci statisticile din observaţia anterioară devin:

n

mXTσ−

= şi

2

22 )1n(H

σσ−

= .

3) Momentul centrat de selecţie kµ de ordin k, pentru n mare,

urmează legea normală

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − )(1, 2

2 kkk nN σσσ

Definiţie 2.1.15. Numim funcţie de repartiţie de selecţie funcţia de

selecţie definită prin Rx,n

)x(K)x(F n

n ∈∀= , unde este numărul

valorilor variabilelor de selecţie mai mici decât x.

)x(K n


Teorema lui Glivenko 2.1.16. Dacă se consideră caracteristica X ce

are funcţia de repartiţie teoretică F şi fie funcţia de repartiţie de selecţie nF ,

atunci P( 1)0)x(F)x(Fsuplim nRxn

==−∈∞→

.

Teorema lui Kolmogorov 2.1.16. Fie caracteristica X de tip

continuu, care are funcţia de repartiţie teoretică F şi fie funcţia de repartiţie

de selecţie nF , iar )x(F)x(Fsupd nRx

n −=∈

, atunci

∑∞

−∞=

−

∞→>−==<⋅

k

xk2knn

.0x,e)1()x(K)xdn(Plim22

Observaţie 2.1.17. Funcţia K(x) se numeşte funcţia lui Kolmogorov

şi are valorile tabelate.

Exemplul 2.1.18. Se consideră un eşantion de 20 de clienţi, care

intră într-un magazin alimentar, pentru a cerceta frecvenţa X cu care clienţii

fac apel la serviciile magazinului de-a lungul unei săptămâni şi respectiv

pentru cercetarea cheltuielilor lunare Y în mii lei ale clienţilor, pentru

procurarea de bunuri alimentare. S-au obţinut următoarele date de selecţie

pentru X şi respectiv Y.

X: 1,2,1,4,3,2,5,6,1,2,3,2,3,4,6,2,4,3,1,2;

Y: 9,90,101,88,85,77,102,100,86,97,76,121,113,110,96,9,2,108,112,103,109.

Se cere:

a) distribuţiile empirice de selecţie pentru fiecare din caracteristicile

X şi Y;

b) mediile de selecţie, momentele centrate de selecţie de ordinul al

doilea şi dispersiile de selecţie pentru caracteristicile X şi Y;

c) funcţiile de repartiţie de selecţie pentru X şi Y.

Rezolvare:


a) Se observă că datele de selecţie pentru caracteristica X au N = 6

valori distincte, deci distribuţia empirică de selecţie pentru X este:

X: . Pentru caracteristica Y toate datele de

selecţie sunt distincte. Vom face o grupare a datelor de selecţie

corespunzătoare caracteristicii Y. Anume, prima clasă cuprinde valorile

datelor de selecţie în intervalul [70,80), a doua clasă cuprinde valorile din

intervalul [80,90) etc. După efectuarea acestei grupări, distribuţia empirică de

selecţie a lui Y devine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛213464654321

Y: . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛136442

125115105958575

b) Mediile de selecţie pentru cele două caracteristici sunt:

∑ ∑= =

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅==20

1k

6

1kkkk .85,2]625143342614[

201f'x

201x

201x

∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=6

1kkk .5,98]125111531056954854752[

201'yf

201y

Valorile momentelor centrate de selecţie de ordinul doi pentru cele

două caracteristici sunt respectiv:

∑ ∑= =

−⋅+−⋅=−=−=µ20

1k

6

1k

222kk

2k2 )85,22(6)85,21(4[

201)x'x(f

201)xx(

201)X(

.3275,2])85,26(2)85,25(1)85,24(3)85,23(4 2222 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+

∑ ∑= =

−⋅+−⋅=−⋅=−=20

1

6

1

22222 )5,9885(4)5,9875(2[

201)'(

201)(

201)(

k kkkk yyfyyYµ

5,182])5,98125(1)5,98115(3)5,98105(6)5,9895(4 2222 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+ Valorile dispersiilor de selecţie se calculează imediat, dacă se

cunosc momentele centrate de selecţie de ordinul doi.

45,2)(1920)(

191)( 2

220

1

2 =⋅=−= ∑=

XxxXk

k µσ .


105,192)Y(1920)yy(

191)Y( 2

20

1k

2k

2 =µ⋅=−=σ ∑=

.

Astfel, se poate obţine 57,1)X()X( 2 =σ=σ şi respectiv

86,13)Y()Y( 2 =σ=σ .

c) Funcţiile de repartiţie de selecţie pentru cele două caracteristici

sunt respectiv:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤<≤<≤<≤<≤<

≤

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤<≤<≤<≤<≤<

≤

=

.125xdaca,1125y115daca,20/19115y105daca,20/16105y95daca,20/1095y85daca,20/685y75daca,20/2

75ydaca,0

)y(F

.6xdaca,16x5daca,20/185x4daca,20/174x3daca,20/143x2daca,20/102x1daca,20/4

1xdaca,0

)x(F 2020

2.2. Teoria estimaţiei

Se consideră caracteristica X care urmează legea de probabilitate

dată prin funcţia de probabilitate f(x;λ ), λ parametru necunoscut, unde f este

funcţia densitate de probabilitate dacă X este de tip continuu, respectiv

funcţia de frecvenţă dacă este de tip discret.

Teoria estimaţiei are ca scop evaluarea parametrilor de care depinde

legea de probabilitate a lui X, folosind datele de selecţie şi

bazându-ne pe rezultatele teoretice relative la variabilele de selecţie

.

n21 x,...,x,x

n21 X,...,X,X


Definiţie 2.2.1. Se numeşte funcţie de estimaţie (punctuală) sau

estimator al parametrului funcţia de selecţie (statistica)

cu ajutorul căreia se trag concluzii relative la .

λ

)X,...,X,X( n21∗∗ λ=λ λ

Definiţie 2.2.2. Spunem că funcţia de estimaţie este estimator

consistent dacă 0,1)(Plimn

>ε∀=ε<λ−λ∗∞→

, adică

, iar valoarea numerică

se numeşte estimaţie consistentă pentru

λ⎯→⎯λ∗ Pn21 )X,...,X,X( )x,...,x,x( n21

∗λ

λ .

Definiţie 2.2.3. Spunem că funcţia de estimaţie este estimator

absolut corect pentru λ dacă şi când n , iar

valoarea numerică se numeşte estimaţie absolut corectă

pentru .

λ=λ∗ )(M 0)(D2 →λ∗ ∞→

)x,...,x,x( n21∗λ

λ

Definiţie 2.2.4. Spunem că funcţia de estimaţie este estimator corect

pentru dacă şi , iar valoarea numerică

se numeşte estimaţie corectă pentru

λ λ=λ∗∞→

)(Mlimn

0)(Dlim 2

n=λ∗

∞→

)x,...,x,x( n21∗λ λ .

Definiţie 2.2.5. Se numeşte distorsiunea (deplasarea) estimatorului

diferenţa M( , iar dacă distorsiunea este nulă, estimatorul se

numeşte nedeplasat.

∗λ λ−λ∗ ) ∗λ

Propoziţie 2.2.6. Dacă este un estimator

absolut corect pentru

)X,...,X,X( n21∗∗ λ=λ

λ , atunci estimatorul este consistent.

Demonstraţie:

Din ipoteză avem că şi folosind inegalitatea lui Cebîşev

pentru λ

λλ =)( *M

* obţinem ( ) 2

*2* )(1

ελελλ DP −≥<− , pentru orice ε > 0.


Deoarece din inegalitatea lui Cebîşev se obţine 0)(lim *2 =∞→

λDn

( ) 1lim * =<−∞→

ελλPn

, pentru orice ε > 0, deci λ* este un estimator consistent

pentru parametrul λ.

Observaţie 2.2.7.

1) Se arată că momentul de selecţie kσ de ordin k este estimator

absolut corect pentru momentul teoretic );( kk XM=σ

Demonstraţie:

Într-adevăr

kk

n

ik

n

i

kn

i

ki

n

i

kik n

nn

XMn

XMn

Xn

MM σσσσ =====⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑∑

==== 1111

1)(1)(11)( ,

respectiv

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑

==

n

i

ki

n

i

kik XD

nX

nDD

1

22

1

22 )(11)(σ

0)()()(1 2

2

2

1

22 →=== ∑

= nXD

nXnDXD

n

kkn

i

k ,

când n → ∞ se obţine că kσ este estimator absolut corect pentru kσ .

2) Momentul centrat de selecţie de ordin doi 2µ este estimator

corect pentru momentul centrat teoretic de ordin doi , adică

pentru dispersia teoretică;

)X(D22 =µ

Demonstraţie:

Avem succesiv

)()(11)(1)( 222

2

12 XDXD

nn

nnXX

nMM

n

kk →

−=

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

µµ când

n → ∞, respectiv


0)3)(1()1()( 22343

2

22 →

−−−

−= µµµ

nnn

nnD când n → ∞ şi rezultă că 2µ

este un estimator corect pentru 2µ .

3) Dispersia de selecţie 2σ este estimator absolut corect pentru

dispersia teoretică . )X(D2

Demonstraţie:

Folosind relaţia 22

1µσ

−=

nn se obţine

)()(11

)(11

)( 2222

2 XDXDn

nn

nMn

nn

nMM =−

−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= µµσ , respectiv

0)(11

)( 22

2

2222 →⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= µµσ D

nn

nnDD , când n → ∞ şi deci 2σ

este un estimator absolut corect pentru dispersia teoretică.

Definiţie 2.2.8. Numim cantitate de informaţie relativ la parametrul

expresia: λ

I(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ∂λ∂

⋅=λ2),x(flnMn) .

Observaţie 2.2.9. Se arată că estimatorul absolut corect al lui λ

verifică inegalitatea Rao-Cramer

∗λ

)(I1)(D2

λ≥λ∗ .

Definiţie 2.2.10. Estimatorul absolut corect pentru parametrul λ

se numeşte eficient dacă

∗λ

)(I1)(D2

λ=λ∗ , iar raportul

)(D)](I[)(e 2

1

∗

−∗

λλ

=λ se

numeşte eficienţa estimatorului . ∗λ


Aplicaţie 2.2.11. Să se arate că media de selecţie ∑=

=n

jjX

nX

1

1

constituie un estimator absolut corect şi eficient al parametrului λ din

repartiţia Poisson.

Rezolvare:

Ţinând seama că variabila aleatoare X are repartiţia Poisson cu

avem: λ== )()( 2 XDXM

λλ =⋅===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑

=== nnXM

nXM

nX

nMXM

n

j

n

jj

n

jj

111)(1)(11)(

0)(1)(11)( 21

22

1

22

1

22 →=⋅===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑

=== nnnXD

nXD

nX

nDXD

n

j

n

jj

n

jj

λλ

când n → ∞ şi deci media de selecţie este un estimator absolut corect al lui λ.

Pentru determinarea cantităţii de informaţie avem:

!);(

xexf

xλλ λ−= , !lnln);(ln xxxf −+−= λλλ

λλλ xxf

+−=∂

∂ 1);(ln iar

)(121

)(1)(2121);(ln

22

222

22

λλλ

λλ

λλλλλλ

++⋅−=

=+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ XMXMxxMxfM

Rezultă cantitatea de informaţie λλ

λλ nxfnMI =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=2);(ln)(

Întrucât egalitatea )(

1)(2

λIXD = este verificată rezultă că X este

un estimator eficient al lui λ.


Exemplul 2.2.12. La un control de calitate se verifică diametrul

pieselor prelucrate de un strung. Pentru a se realiza acest control s-a efectuat

o selecţie de 18 piese şi s-a obţinut că diametrul X al pieselor are următoarele

dimensiuni (în cm):

Diametru 3,98 3,99 4,00 4,01 4,02

Nr. Piese 4 3 5 3 3

Să se determine:

a) o estimaţie absolut corectă pentru diametrul mediu al pieselor

realizate;

b) o estimaţie corectă şi una absolut corectă pentru dispersia

diametrelor faţă de diametrul mediu.

Rezolvare:

a) Distribuţia empirică de selecţie a caracteristicii X este:

X: . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3353402,401,400,499,398,3

Diametrul mediu este media teoretică M(X)=m. Dar se cunoaşte că

un estimator absolut corect pentru media teoretică m este media de selecţie

∑=

=n

1kkX

n1X

Prin urmare, valoarea mediei de selecţie ∑=

=n

1kkx

n1x este o estimaţie

absolut corectă pentru media teoretică m.

Se obţine:

02,4301,4300,4599,3398,34(181x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= = 3,9989.

b) Deoarece un estimator corect al dispersiei teoretice este

momentul centrat de selecţie de ordinul doi

)X(D2

2µ , rezultă că o estimaţie corectă


pentru dispersia teoretică este valoarea momentului centrat de selecţie de

ordinul doi, adică:

+−⋅+−⋅+−⋅=−=µ ∑=

222n

1k

2k2 )9989,34(5)9989,399,3(3)9989,398,3(4[

181)xx(

n1

422 10877,1)9989,302,4(3)9989,301,4(3 −⋅=−⋅+−⋅+ .

O estimaţie absolut corectă pentru dispersia teoretică este:

42

2 10987,11718 −⋅=⋅= µσ .

Exemplul 2.2.13. Fie caracteristica X ce urmează legea normală

N(m, ), unde mσ R∈ este cunoscut, iar 0>σ este necunoscut. Se consideră o

selecţie repetată de volum n. Să se arate că funcţia de selecţie

V= ∑=

−n

kmX

n 121 π este o funcţie de estimaţie absolut corectă pentru

parametrul )X(D2=σ .

Rezolvare:

Arătăm că M(V)=σ şi . Avem 0)V(Dlim 2

n=

∞→

=−=−=−= ∑∑==

)(2

1)(2

1)m(2

1)(11

mXnMn

mXMn

XMn

VMn

kk

n

k

πππ

)mX(M2

−π

= . Deoarece X urmează legea normală N(m,σ ), avem că

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−

=⋅−=−=− dxemxdxxmxmXMmx

2

2

2)(

21)()( σ

πσρ

σππ

σσσπσ

22

22

1 2 ==⋅∫∞

∞−

−tdtet

t

dacă s-a făcut schimbarea de variabilă

tmx=

−σ

.


Prin urmare, avem M(V) = σ=σπ

⋅π 22

, deci prima condiţie este

satisfăcută.

Pentru verificarea celei de-a doua condiţii, scriem succesiv:

⇒−=−=−= ∑∑==

n

k

n

kk mXD

nmXD

nmXD

nVD

1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()( πππ

0)(lim 2 =⇒∞→

VDn

Metoda verosimilităţii maxime 2.2.14.

Considerăm caracteristica X supusă cercetării ca având funcţia de

probabilitate f(x; ),...,, s21 λλλ . Variabilele de selecţie sunt

independente şi identic repartizate, rezultă că vectorul aleator ( )

va avea funcţia de probabilitate

n21 X,...,X,X

n21 X,...,X,X

şi care se

numeşte funcţie de verosimilitate.

∏=

=n

isisn XfXXXV

1212121 ),...,,;(),...,,;,...,,( λλλλλλ

Spunem că estimatorii sunt de verosimilitate

maximă pentru

)X,...,X,X( n21ii∗∗ λ=λ

s,1i,i =λ dacă realizează maximul funcţiei de verosimilitate.

Determinarea estimatorilor de verosimilitate maximă se va face

rezolvând sistemul s,1i,0V

i

==λ∂∂ , care de regulă se înlocuieşte cu

s,1i,0Vln

i

==λ∂

∂ numit sistem de verosimilitate maximă.

Observaţie 2.2.15.

1) Se arată că un estimator eficient este un estimator de

verosimilitate maximă.


2) Un estimator de verosimilitate maximă este estimator consistent,

iar pentru valori mari ale lui n este o variabilă aleatoare ce urmează legea

normală N( , unde ))](I[, 1−λλ λ este parametrul estimat.

Exemplul 2.2.16. Să se determine estimatorii de verosimilitate

maximă pentru valoarea medie şi abaterea standard dacă se consideră

caracteristica X, care urmează legea normală N(m,σ ).

Rezolvare:

M(X) = m şi σ=σ )X( , f(x; m, 2

2

2)mx(

e2

1) σ

−−

πσ=σ . Pentru a scrie

sistemul de verosimilitate maximă avem:

ln f(x; m,σ ) = - ln 2

2

2)mx(ln2

σ−

−σ−π , de unde

2

mxm

),m;x(flnσ−

=∂

σ∂ , iar 3

2)mx(1),m;x(flnσ−

+σ

−=σ∂

σ∂ .

Se obţine:

∑ ∑ ∑= = =

−=−

=∂

∂=

∂∂ n

k

n

k

n

kk

kk mXmXm

mXfmV

1 1 122 )(1),;(lnln

σσσ .

∑∑ ∑== =

−+−=−

+−=∂

∂=

∂∂ n

kk

n

k

n

k

kk mXmXmXfV1

22

1 133

2

])([1])(1[),;(lnln σσσσσ

σσ

sau:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+σ−

=−

∑

∑

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1kk

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

µ=−=σ

==⇒

∑

∑

=

∗

=

∗

2

n

1k

2k

n

1kk

)XX(n1

XXn1m

.

Exemplul 2.2.17. Se consideră caracteristica X ce urmează legea

binomială, adică are distribuţia teoretică:

Xm,0k)k,m(P

k

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, unde P(m,k) = cu parametrul ,p1q,qpC kmkk

m −=−


p necunoscut. Folosind o selecţie de volum n, se cere: )1,0(∈

a) estimatorul de verosimilitate maximă pentru p; ∗p

b) să se arate că estimatorul este un estimator absolut corect

pentru parametrul p;

∗p

c) să se arate că estimatorul este un estimator eficient pentru

parametrul p.

∗p

Rezolvare:

a) Funcţia de probabilitate pentru caracteristica X este

f(x; p) = m,0x,)p1(pC xmxxm =− − . Pentru a scrie ecuaţia de verosimilitate

maximă ∑=

=∂

∂n

1k

k 0p

)p;X(fln , avem că

ln f(x; p) = ln , de unde )p1ln()xm(plnxCxm −−++

p1xm

px

p)p;x(fln

−−

−=∂

∂ . Aşadar ecuaţia verosimilităţii maxime este:

∑=

=−−

−n

1k

kk 0)p1Xm

pX( , adică 0

p1Xn

p1mn

pXn

=−

+−

− , unde ∑=

=n

1kkX

n1X .

Ecuaţia verosimilităţii maxime se mai scrie 0XpmpX)p1( =+−− ,

de unde se obţine estimatorul de verosimilitate maximă

Xm1)X,...,X,X(pp n21 == ∗∗ pentru parametrul p.

Pentru aceasta avem, în primul rând, că:

pmpm1)X(M

m1)X(M

m1)p(M =⋅===∗ , iar apoi pentru dispersie se poate

scrie succesiv: ==== ∑ ∑= =

∗n

k

n

kk XD

nmXD

nmXD

mpD

1 1

222

222

22

2 )(1)(1)(1)(

∞→→==== nmnpq

nmmpq

nmXDXnD

nm,0)()(1

22

22

22.


Prin urmare, s-a obţinut M( ) = p şi , deci

estimatorul este estimator absolut corect pentru parametrul p.

∗p 0)X(Dlim 2

n=

∞→

∗p

c) Cantitatea de informaţie relativă la parametrul p se poate calcula

după cum urmează:

=−

=−−

=∂

∂= )X(D

)p1(pn])mpX[(M

)p1(p1n])

p)p;X(fln[(nM)p(I 2

222

222

)p1(pmn)p1(mp

)p1(pn

22 −=−

−= .

Pe de altă parte, am văzut că ,)p(I

1)p(D2 =∗ deci estimatorul

este estimator eficient pentru parametrul p.

∗p

Metoda momentelor 2.2.18.

Fie caracteristica X care are funcţia de probabilitate

f(x; s21 ,...,, λλλ ). Această metodă de estimare a parametrilor constă

în determinarea parametrilor , i = iλ s,1 din condiţiile că momentele iniţiale

teoretice ale lui X au ca estimatori absolut corecţi momentele de selecţie de

ordin corespondent. Astfel se obţine sistemul de ecuaţii kk σσ = , k = s,1 din

care se obţin estimaţii pentru parametrii s21 ,...,, λλλ .

Exemplul 2.2.19. Se consideră caracteristica X, care urmează legea

gamma de parametrii a>b>0 necunoscuţi. Vom estima aceşti parametri,

folosind metoda momentelor, pe baza datelor de selecţie. n21 x,...,x,x

Funcţia densitate de probabilitate a caracteristicii X este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

>Γ=

−−

0xdaca,0

0xdaca,exb)a(

1)b,a;x(f

bx

1aa , unde Γ este funcţia lui Euler de


speţa a doua, adică ∫∞ −−=Γ0

x1a dxex)a( .

În cazul de faţă este vorba de doi parametri, deci sistemul de ecuaţii

este format din două ecuaţii, anume 11 σσ = şi 22 σσ = .

Vom calcula momentul teoretic iniţial kσ de ordin k:

∫ ∫∞

∞−

∞ −−+ ⋅−+−+==Γ

== akakabdxexba

dxbaxfx kbx

kaa

kk )...2)(1(...

)(1),;(

0

1σ

Rezultă sistemul:

⎩⎨⎧

+==

)1(22

1

aabab

σσ care are soluţia

1

212

212

21 ,

σσσ

σσσ −

=−

= ∗∗ ba , care

reprezintă estimatorii pentru parametrii a şi b.

Metoda intervalelor de încredere 2.2.20.

Fie caracteristica X care are funcţia de probabilitate f(x; , unde θ

este parametrul necunoscut. Metoda constă în determinarea a două funcţii de

selecţie

)θ

n,1i),X,...,X,X( n21ii =θ=θ astfel încât P( 21 θ<θ<θ ) = 1- ,

unde nu depinde de

α

α θ şi poartă numele de probabilitate de risc, iar 1- se

numeşte probabilitate de încredere. Intervalul aleator (

α

), 21 θθ poartă numele

de interval de încredere pentru parametrul θ .

De regulă, pentru a construi un interval de încredere pentru

parametrul se caută determinarea unei statistici θ );X,...,X,X(ZZ n21nn θ=

a cărei lege de probabilitate să fie cunoscută şi să nu depindă de . Se

determină apoi un interval numeric ( astfel încât P(

θ

)z,z 21 2n1 zZz << ) = 1-

. Din α 2n1 zZz << se exprimă inegalitatea 21 θ<θ<θ şi de aici intervalul

aleator ( este determinat. Intervalul este cu atât mai bun cu cât are

lungimea mai mică şi cu cât 1-α este mai mare.

), 21 θθ


Aplicaţii 2.2.21.

1. Interval de încredere pentru valoarea medie teoretică dacă

dispersia teoretică este cunoscută.

Se consideră caracteristica X care urmează legea normală N(m, )

cu m necunoscut şi

σ

R∈ 0>σ cunoscut. Vom determina un interval de

încredere pentru m cu o probabilitate de încredere 1-α dată şi cunoscând

datele de selecţie , respectiv variabilele de selecţie

corespunzătoare.

n21 x,...,x,x n21 X,...,X,X

Considerăm statistica

n

mXZn σ−

= , unde ∑=

=n

1kkX

n1X , care

urmează legea normală N(0,1) ce nu depinde de parametrul necunoscut m.

Deci putem determina intervalul ( astfel încât P()z,z 21 )zZz 2n1 << = 1-

adică

α

α−=Φ−Φ 1)z()z( 12 , ∫−

π=Φ

x

02t

dte21)x(

2

este funcţia lui Laplace şi

care are valorile tabelate. Intervalul are lungime minimă când este simetric

faţă de origine adică 2

112 zzz α−=−= . Rezultă că

21)z(

21

α−=Φ α

− şi folosind

tabelele de valori pentru funcţia Laplace găsim 2

1z α− .

Am obţinut P( α−=<σ−

<− α−

α− 1)z

n

mXz2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1 α−

α−

σ+<<

σ− = 1-α . Deci intervalul de

încredere pentru media teoretică m este ( , unde )m,m 212

11 zn

Xm α−

σ−= şi


212 z

nXm α

−

σ+= , iar ∑

=

=n

1kkX

n1X .

Observaţie 2.2.22. Când X nu urmează legea normală, dar volumul

selecţiei este mare (n>30) şi se cunoaşte 0)X( >σ=σ atunci statistica

= nZ

n

mXσ− , unde m=M(X) necunoscută, este aproximativ repartizată

normal N(0,1). Deci se poate considera pentru m acelaşi interval de încredere

obţinut mai sus.

2. Interval de încredere pentru valoarea medie teoretică dacă

dispersia teoretică este necunoscută.

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m, )σ cu m=M(X)

parametru necunoscut şi 0)X(D2 >=σ necunoscută. Considerăm

statistica

n

mXTσ−

= , unde ∑=

=n

1kkX

n1X şi ∑

=

−−

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 care

urmează legea Student cu n-1 grade de libertate. Determinăm intervalul

( ) cu P(21 t,t )tTt 21 << = 1- , adică α α−=− −− 1)t(F)t(F 11n21n , unde

∫ ∞−

+−

+Γπ

+Γ

=x

21n2

n ds)ns1(

)2n(n

)2

1n()x(F este funcţia de repartiţie a legii Student

cu n grade de libertate şi care are valorile tabelate, iar )x(F1)x(F nn −=− .

Deci 12

1,1n2 ttt −== α−−

se determină astfel încât 2

1)t(F2

1,1n1nα

−=α−−

− , apoi

putem scrie α−=<σ−

<− α−−

α−−

1)t

n

mXt(P2

1,1n2

1,1n sau


α−=σ

+<<σ

− α−−

α−−

1)tn

Xmtn

X(P2

1,1n2

1,1n. Adică, intervalul de

încredere pentru m este unde )m,m( 212

1,1n1 tn

Xm α−−

σ−= şi

21,1n2 t

nXm α

−−

σ+= .

3. Intervalul de încredere pentru diferenţa mediilor a două populaţii

Fie două populaţii 1ζ şi 2ζ la care se analizează aceeaşi

caracteristică şi care pentru este ce urmează legea normală N( ,

iar pentru

1ζ 1X ),m 11 σ

2ζ este ce urmează legea normală N2X ),m( 22 σ . Vom determina

un interval de încredere pentru diferenţa mediilor 21 mm − cu probabilitatea

de încredere 1-α folosind datele de selecţie relativ la

caracteristica , respectiv relativ la caracteristica .

1n11211 x,...,x,x

1X2n22221 x,...,x,x 2X

a) Presupunem abaterile standard ( ), 21 σσ cunoscute. Statistica

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ

−−−= , unde ,X

n1X,X

n1X

21 n

1kk2

22

n

1kk1

11 ∑∑

==

== urmează

legea normală N(0,1). Se determină intervalul ( astfel încât

P( = 1-

)z,z 21

)zZz 21 << α la fel ca în aplicaţia 1.

Deci: α−=<σ

+σ

−−−<− α

−α

−1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

22

1

21

212121

2

22

1

21

2121 nn

zXXmmnn

zXXP σσσσαα ++−<−<+−−

−−

adică intervalul de încredere pentru 21 mm − este (A,B) unde


A = (2

22

1

21

2121 nn

z)XX σ+

σ−− α

− şi B =

2

22

1

21

2121 nn

z)XX( σ+

σ+− α

−.

b) Presupunem abaterile standard σ=σ=σ 21 necunoscute.


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

−+⋅

σ−+σ−

−−−= , unde

1X şi 2X sunt mediile de selecţie definite anterior, iar 21σ şi 2

2σ dispersiile

de selecţie ∑=

−−

=σ1n

1k

21k1

1

21 )XX(

1n1 şi ∑

=

−−

=σ2n

1k

22k2

2

22 )XX(

1n1 , care

urmează legea Student cu n = 2nn 21 −+ grade de libertate. La fel ca în

aplicaţia 2. se determină intervalul astfel încât )t,t( 21 α−=<< 1)tTt(P 21

adică α−=<+

−+

σ−+σ−

−−−<− α

−α

−1)t

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21,n

21

21

222

211

2121

21,n

.

Rezultă intervalul de încredere (A,B) pentru 21 mm − unde

A = St)XX(2

1,n21 ⋅−− α−

şi St)XX(B2

1,n21 ⋅+−= α−

cu

2nn

n1

n1

])1n()1n[(S21

21222

211

2

−+

+⋅σ−+σ−= .

4. Intervalul de încredere pentru dispersia teoretică

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m,σ ). Considerăm

statistica 2

22 )1n(H

σσ−

= unde ∑=

−−

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 , iar ∑=

=n

1kkX

n1X ,

ce urmează legea cu n-1 grade de libertate. Pentru probabilitatea de

încredere 1- se poate determina intervalul ( , astfel încât

2χ

α )h,h 22

21


α−=<< 1)hHh(P 22

221 .

2

2,1n

21 hh α

−= se determină din relaţia

2)h(F 2

11nα

=− şi

2

21,1n

22 hh α

−−= se determină din relaţia

21)h(F 2

21nα

−=− , unde

este funcţia de repartiţie a legii cu n grade de libertate )x(Fn2χ

∫−−

Γ=

x

02t1

2n

2nn dtet

)2n(2

1)x(F care are valorile tabelate.

Deci )h)1n(h(P 222

22

1 <σ

σ−< sau

α−=σ−

<σ<σ− 1)

h)1n(

h)1n((P 2

1

22

22

2

, adică s-a obţinut intervalul de

încredere ( pentru , unde ), 22

21 σσ 2σ 2

21,1n

22

1 h)1n(

α−−

σ−=σ şi 2

2,1n

22

2 h)1n(

α−

σ−=σ , iar

intervalul de încredere pentru abaterea standard σ este ),( 21 σσ .

Exemplul 2.2.23. Relativ la populaţia ζ se cercetează caracteristica

X privind media teoretică M(X) = m. Ştiind că dispersia teoretică a

caracteristicii X este , să se stabilească un interval de încredere

pentru media teoretică m cu probabilitatea de încredere 1-

35,0)X(D2 =

α = 0,95, utilizând

distribuţia empirică de selecţie:

X: . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25764731

4,233,232,231,230,239,228,227,22

Rezolvare:

Folosind aplicaţia 1., intervalul de încredere pentru media teoretică


m este , unde )m,m( 212

11 zn

xm α−

σ−= şi

212 z

nxm α

−

σ+= ;

21

z α−

se

determină astfel încât 475,02

1,2

1)z(2

1=

α−α−=Φ α

−, folosind tabelele cu

valorile funcţiei Laplace, 96,1z2

1=⇒ α

−.

077,23)4,2323,2352,2371,2362349,2278,2237,221(351

x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Rezultă 881,2296,13535,0077,23m1 =⋅−= ,

273,2396,13535,0077,23m2 =⋅+= , adică )273,23;881,22(m∈ .

Exemplul 2.2.24. Pentru recepţionarea unei mărfi ambalată în cutii,

se efectuează un control, prin sondaj, privind greutatea X a unei cutii. Pentru

22 cutii cântărite s-a obţinut distribuţia empirică de selecţie, relativ la

caracteristica X:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24535213,32,31,30,39,28,27,2

:X .

Folosind probabilitatea de încredere 0,98, să se determine un interval

de încredere pentru valoarea medie a greutăţii cutiilor, presupunând că X

urmează legea normală ),m(N σ .

Rezolvare:

Deoarece abaterea standard )X(D2=σ este necunoscută, conform

aplicaţiei 2. intervalul de încredere pentru m este (m1,m2) unde

21,1n1 t

nxm α

−−

σ−= şi

21,1n2 t

nxm α

−−

σ+= . Pentru n-1=21 şi 98,01 =α−


din tabelul cu valorile funcţiei de repartiţie a legii Student se determină

158,2t2

1,1n=α

−−.

Folosind distribuţia empirică de selecţie se obţine:

( ) 032,33,322,341,350,339,258,227,21221x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= iar

167,0)xx(f211 7

1k

2kk =−=σ ∑

=

Obţinem: 942,2518,222167,0032,3m1 =⋅−= ;

122,3518,222167,0032,3m2 =⋅+= adică )122,3;942,2(m∈ .

Exemplul 2.2.25. Masa de carne ambalată în produse de 1000 grame

de maşinile M1 şi M2 este o caracteristică X1, ce urmează legea normală

şi respectiv o caracteristică X),m(N 11 σ 2 ce urmează legea normală

. Cântărind 100 de pachete din cele produse de maşina M),m(N 22 σ 1 s-a

obţinut valoarea medie de selecţie 1007x1 = grame,iar din cântărirea a 150

pachete de la maşina M2 s-a obţinut 1002x 2 = grame.

Folosind probabilitatea de încredere 0,98, să se determine intervalul

de încredere pentru diferenţa m1-m2 , dacă se ştie că abaterile standard sunt

şi 31 =σ 42 =σ .

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 3. a) intervalul de încredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde

( )2

22

1

21

2121 nn

zxxA σ+

σ−−= α

− şi ( )

2

22

1

21

2121 nn

zxxB σ+

σ+−= α

− iar


2

1z α

− se determină a.î. 49,0

21z

21

=α−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ α

−.

Folosind tabelul cu valorile funcţiei lui Laplace obţinem

33,2z2

1=α

−.

Deci :

975,315016

100933,25B

975,315016

100933,25A

=++=

=+−=)025,6;975,3(mm 21 ∈−⇒

Exemplul 2.2.26. Fie caracteristica X1 ce urmează legea normală

N(m, ) şi care reprezintă vânzările în milioane lei pe săptămână la

magazinele alimentare în oraşul A şi X

σ

2 vânzările în milioane lei la

magazinele alimentare din oraşul B şi care urmează legea normală N(m2, ).

S-au efectuat două sondaje, respectiv pentru X

σ

1 şi X2 şi s-au obţinut

următoarele date de selecţie:

X1: 226,5;224,1;218,6;220,1;228,8;229,6;222,5.

X2: 221,5;230,2;223,4;224,3;230,8;223,8.

Cu probabilitatea de încredere 0,95 să se construiască un interval de

încredere pentru diferenţa m1-m2, dacă 0>σ este necunoscut.

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 3. b) intervalul de încredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde StxxA2

1,n21 ⋅−−= α

− şi StxxB

21,n

21 ⋅−−= α−

dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n1

n1

S σ−+σ−−+

+=

21,n

t α−

iar se determină a.î.

21tF

21,n

nα

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−.


Pentru 96,01 =α− şi n=1 obţinem 201,2t2

1,n=α

−.

Calculăm:

( )

( )

( )

( )

)619,3;326,6(mm619,3259,2201,2353,1B

325,6259,2201,2353,1A:zultăRe

259,2)951,145765,176(11

61

71

S

951,14xx51

765,17xx61

667,2258,2238,2303,2244,2232,2305,22161x

314,2245,2226,2298,2281.2206,2181,2245,22671x

21

6

1k

22k2

22

7

1k1k1

21

2

1

−∈−⇒=⋅+−=−=⋅−−=

=⋅+⋅+

=

=−=σ

=−=σ

=+++++=

=++++++=

∑

∑

=

=

Exemplul 2.2.27. Fie caracteristica X ce reprezintă timpul de

producere a unei reacţii chimice, măsurat în secunde. Dacă X urmează legea

normală ),m(N σ şi având o selecţie repetată de volum n=11, cu datele de

selecţie: 4,21;4,03;3,99;4,05;3,89;3,98;4,01;3,92;4,23;3,85;4,20. Să se

determine intervalul de încredere pentru dispersia şi pentru

abaterea standard

)X(D22 =σ

)X(D2=σ , cu probabilitatea de încredere 0,95.

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 4. intervalul de încredere pentru este 2σ

( )22

21 ,σσ unde 2

21,1n

221 h

)1n(

α−−

σ−=σ şi 2

2,1n

222 h

)1n(

α−

σ−=σ iar 2

21,1n

h α−−şi 2

2,1n

h α−

se


determină folosind tabelele de valori pentru funcţia de repartiţie a legii cu

n-1 grade de libertate.

2χ

Avem: şi 5,20h 2975,0;10 = 25,3h 2

025,0;10 =

∑=

=−=σ

=+++=

11

1k

2k

2017,0)xx(

101

033,4)20,4...03,421,4(111x

Rezultă: 008,05,20017,0102

1 =⋅

=σ şi 052,025,,3017,0102

2 =⋅

=σ

)052,0;008,0(2 ∈σ⇒ şi )228,0;089,0(∈σ .

2.3. Verificarea ipotezelor statistice

Definiţie 2.3.1. Numim ipoteză statistică o presupunere relativă la o

caracteristică X a unei populaţii C, fie privind legea de probabilitate a lui X,

fie privind parametrii de care depinde această lege.

Metoda prin care o ipoteză statistică ce trebuie verificată se acceptă

sau se respinge, poartă numele de test (criteriu) statistic.

Observaţie 2.3.2.

1) Dacă testul statistic se referă la parametrii de care depinde legea

de probabilitate a lui X spunem că avem un test parametric.

2) Dacă testul statistic se referă la natura legii de probabilitate atunci

spunem că avem un test de concordanţă . Considerând caracteristica X cu

legea de probabilitate θθ),;x(f parametru necunoscut, ipoteza principală ce

se face asupra lui θ o numim ipoteză nulă şi o notăm A:H0 ∈θ , iar orice

altă ipoteză ce se face relativ la parametrul θ o numim ipoteză admisibilă şi

o notăm ,...2,1i,Ai . :Hi =∈θ


Observaţie 2.3.3.

1) în continuare, relativ la parametrul θ , vom considera doar două

ipoteze: ipoteza nulă A:H0 ∈θ , şi o ipoteză alternativă 11 A:H ∈θ .

2) Verificarea ipotezei nule în ipoteza alternativă pentru o

probabilitate de risc α se face determinând o regiune U nR⊂ numită regiune

critică a.î. P(X1,X2,…,Xn)∈ U α=)H0 . Din modul cum construim această

regiune critică U obţinem diferite teste de verificare a ipotezei statistice H0.

3) Probabilitatea de risc α se mai numeşte şi nivel de semnificaţie a

testului.

Definiţie 2.3.4. Numim eroare de genul I respingerea unei ipoteze

adevărate, iar probabilitatea de producere a acestei erori este

∈)X,...,X,X((P n21 U α=)H0 şi poartă numele de riscul furnizorului.

Definiţie 2.3.5. Numim eroare de genul II admiterea unei ipoteze

false, iar probabilitatea de producere a acestei erori este

∉)X,...,X,X((P n21 U β=)H1 şi poartă numele de riscul beneficiarului.

Definiţie 2.3.6. Se numeşte puterea testului probabilitatea de

respingere a unei ipoteze false, adică U ∈=θπ )X,...,X,X((P)( n21

~)H1 unde

~:H1 θ=θ sau . β−=θπ 1)(

~

Observaţie 2.3.7. Nu există o metodă generală de construire a

regiunii critice U, care ne duce la testul de verificare a ipotezei nule H0, dar

se cunosc clase de probleme pentru care s-au construit astfel de regiuni critice

şi corespunzător lor avem teste de verificare a ipotezelor statistice.

Testul Z 2.3.8.

Fie caracteristica X ce urmează legea normală ),m(N σ cu Rm∈

necunoscut şi 0>σ cunoscut. Vrem să verificăm ipoteza nulă H0:m=m0 în


ipoteza α alternativă 01 mm:H ≠ cu probabilitatea de risc ş le de

xn.


i date

selecţie x1, x2, …

,Xn1mX n

∑=−

= X,

n

Z1k

k=σ

ce urmează legea

normală N(0,1). Deci pentru α dat putem determina intervalul

⎟⎠

⎜⎝ −−

21

21 αα ⎟

⎞⎜⎛− , zz a.î. α−=⎟

⎠⎜⎝

α−

α−

21

21

⎟⎞

⎜⎛

<<− 1zZzP .

Se de te regiunea critică Ufineş nR∈ prin:

U ∑=

α−

α−⎪

⎨ ⎜⎜⎝−

σ∈=

1

nn21 zR)u,...,u,u( =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎩

⎪⎧

⎟⎟⎠

⎞⎛∉

− n

1kk

21

2

0 un1u,z,

n

mu.

tfel am obţinut: As

ααα

αασ

=∉=

==∈),...,2,1(( nXXXP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∉

−

−−

−−

02

12

1

02

12

1

,

,)0

HZP

PH

zz

Hzz

n

mX

Folosind regiunea critică U vom respinge ipoteza nulă H0 dacă

(x1, x2,…,xn)∈ U adică ⎟⎠

⎜⎝σ α

−α

−2

12

1

n

⎟⎞

⎜⎛−∉

−= 0 z,z

mxz şi o admitem dacă

∉)x,...,x,x( n21 U adică ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∈

σ−

= α−

α−

21

21

0 z,z

n

mxz .

Observ .

1) Deoarece regiunea critică U corespunde complementarei

aţie 2.3.9


intervalului de încredere ⎟⎟⎠

⎞⎜⎛⎜− α

−α

−2

12

1z,z pentru statistica Z în continuare nu

vom pune în evidenţă de fiecare dată regiunea critică U ci numai intervalul de

şi pentru o caracteristică X ce nu urmează

legea no

⎝

încredere pentru statistica utilizată.

2) Testul Z se poate folosi

rmală atunci când volumul selecţiei este mare (n>30).

3) Deoarece ipoteza alternativă este 01 mm:H ≠ testul Z se numeşte

testul Z bilateral. Dacă se consideră H1:m<m testul Z unilateral

dreapta. De exemplu pentru testul Z unilateral dreapta intervalul de încredere

pentru statistica Z devine )z,( 1 α−−∞ unde z

0 vom avea

1-α este determinat a.î..

α−=Φ α− 21)z( 1 .

Etapele aplicării testului:

1) Se consideră: mm,, = n210 x,...,x,x,σα

2) Se determină 2

1z α

−a.î.

21z

21

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ α

−

3) Se calculează )x,...,x,x(n1x,

n

mxz n21

0 =σ−

=

4) Dacă 2

1 α−

< zz atunci ipoteza m=m0 este admisă, în caz contrar

este respinsă.

plul 2.3.10. Caracteristica X reprezintă cheltuielile lunare în

mii lei p

Exem

entru abonamentele la ziare şi reviste ale unei familii. Să se verifice,

cu nivelul de semnificaţie α=0,01 dacă media acestor cheltuieli lunare pentru

o familie este de 16 mii lei, ştiind că abaterea standard este 3=σ mii lei şi


având o selecţie repetată de volum n=40, care ne dă distribuţia empirică de

selecţie . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛81012642017151311

:X

Rezolvare:

Deoarece n=40>30 şi este cunoscută, folosim testul Z pentru

verificarea ipotezei nule H

3=σ

0:m=16 cu alternativa .16m:H1 ≠

Pentru α=0,01 folosind testul se determină 995,02

1zz =α

− a.î.

( ) 495,02

1z 995,0 =α−

=Φ . Se obţine z0,995=2,58, care ne dă intervalul numeric

pentru statistica 8)(-2,58;2,5

n

mXZσ−

= . Calculăm

( ) 8,15)20817101512136114401x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

422,0

403

168,15

n

mxz −=−

=σ−

= .

Deoarece z = - 0,422 ( )58,2;58,2−∈ ipoteza se acceptă.

Testul T(Student) 2.3.11.

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m,σ ) cu şi 0>σ

Rm∈ necunoscuţi. Relativ la media teoretică m=M(X) facem ipoteza nulă

H0:m=m0 cu ipoteza alternativă 01 mm:H ≠ ; probabilitatea de risc fiind α iar

variabilele de selecţie x1,x2,…,xn.

Pentru verificarea ipotezei nule considerăm statistica

( ) ,XX1n

1,Xn1X,

n

mXTn

1k

2

k2

n

1kk ∑∑

==

−−

=σ=σ−

= ce urmează legea Student


cu n-1 grade de libertate. Deci se determină intervalul numeric

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− α

−−α

−−2

1,1n2

1,1nt,t a.î. α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<− α

−−α

−−1tTtP

21,1n

21,1n

, iar complementara

acestui interval ne defineşte regiunea critică U.

Etapele aplicării testului T:

1) Se consideră n210 x,...,x,x;mm; =α

2) Se determină 2

1,1nt α

−− a.î.

21tF

21,1n1n

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−−

3) Se calculează ( )∑∑==

−−

=σ=σ−

=n

1k

2

k

2n

1kk

0 xx1n

1,xn1x,

n

mxt

4) Dacă 2

1,1ntt α

−−< ipoteza m=m0 este admisă, altfel este respinsă.

Observaţie 2.3.12. Deoarece ipoteza alternativă H1:este

testul T prezentat se numeşte testul T bilateral, există şi teste unilaterale.

0mm ≠

Exemplul 2.3.13. Caracteristica X reprezintă gradul de ocupare

zilnică a unei unităţi hoteliere (în procente). Să se verifice, cu nivelul de

semnificaţie α=0,05, ipoteza că media de ocupare zilnică a hotelului este dată

prin m=80%, dacă dintr-o selecţie efectuată în 15 zile ale anului s-au obţinut

următoarele date de selecţie (în procente):

60,85,90,75,84,78,92,56,77,82,65,79,83,65,76.

Rezolvare:

Putem considera că X urmează legea normală ),m(N σ cu m şi

necunoscuţi. Ipoteza nulă ce se face este H

σ

0:m=80, cu alternativa

. 80m:H1 ≠

Deoarece σ este necunoscută, folosind testul T, cu α=0,05 şi tabelele


de valori se determină 2

1,1nt α

−− a.î. 975,0

21tF

21,1n1n =

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−− . Se obţine

t14;0,975 =2,145. Prin urmare intervalul numeric pentru statistica

n

mXTσ−

=

este (-2,145;2,145).

Calculăm 4,76)76...8560(151x =+++=

686,116)xx(141 n

1k

2k

2=−=σ ∑

=

291,1

1580,10

804,76

n

mxt 0 −=

−=

σ−

=

Întrucât -1,291 )145,2;145,2(−∈ , ipoteza ca media de ocupare zilnică

a unităţii hoteliere este de 80% se acceptă.

Teste pentru compararea a două medii 2.3.14.

Fie două populaţii C2 şi C2 cercetate din punct de vedere al aceleiaşi

caracteristici anume X1 pentru C1 care urmează legea normală şi

C

),m(N 11 σ

2 care urmează , C),m(N 22 σ 1 şi C2 fiind independente.

Vrem să verificăm ipoteza nulă H0:m1=m2 în ipoteza alternativă

cu probabilitatea de risc α şi selecţiile de volum n211 mm:H ≠ 1 şi n2 din

cele două populaţii.

a) Testul Z (dacă 21 ,σσ sunt cunoscute)


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ

−−−= care urmează legea

normală N(0,1).

Pentru α dat se determină intervalul numeric ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− α

−α

−2

12

1z,z ,astfel încât


α−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<− α

−α

−1zZzP

21

21

.


1) Se consideră 212n222211n1121121 mm;x,...,x,x;x,...,x,x;, =σσ

2) Se determină 2

1z α

− a.î.

21z

21

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ α

−

3) Se calculează ∑∑==

==σ

+σ

−=

21 n

1kk2

2

2

n

1kk1

1

1

2

22

1

21

21 xn1x;x

n1x,

nn

xxz

4) Dacă 2

1zz α

−< ipoteza 21 mm = este admisă, altfel este respinsă.

b) Testul T (dacă σ=σ=σ 21 necunoscute)


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T+

−+

σ−+σ−

−−−=

care urmează legea Student cu 2nnn 21 −+= grade de libertate.

Pentru statistica T se determină intervalul numeric ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− α

−α

−2

1,n2

1,nt,t

a.î. α−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<− α

−α

−1tTtP

21,n

21,n


1) Se consideră . 2n222211n11211 x,...,x,x;x,...,x,x;α

2) Se determină 2

1,nt α

− a.î. 2nnn,

21tF 21

21,nn −+=

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−


3) Se calculează

21

21

222

211

21

n1

n1

2nn

)1n()1n(

xxt+

−+

σ−+σ−

−=

( ) ( )∑∑∑∑====

−−

=σ−−

=σ==2121 n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

21

n

1kk2

2

2

n

1kk1

1

1 xx1n

1;xx1n

1;xn1x;x

n1x

4) Dacă 2

1,ntt α

−< atunci ipoteza 21 mm = este admisă, altfel este

respinsă.

c) Testul T (dacă 21 σ≠σ necunoscute)


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ

−−−= care urmează

legea Student cu n grade de libertate, n este dat de

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=−

−+

−=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

;1)1(

11

nn

ncn

cn

cn σσ

σ

.

Pentru statistica T se determină intervalul numeric ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− α

−α

−2

1,n2

1,nt;t

a.î. α−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<− α

−α

−1tTtP

21,n

21,n

.


1) Se consideră ;x,...,x,x;x,...,x,x; 2n222211n11211α

2) Se determină 2

1,nt α

−− a.î.

21tF

21,nn

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

− unde


;1)1(

11

2

2

1

2

−−

+−

=n

cn

cn

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc ;

( ) ( )∑∑==

−−

=σ−−

=σ21 n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

21 xx

1n1;xx

1n1

∑∑==

==21 n

1kk2

2

2

n

1kk1

1

1 xn1x;x

n1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

−=

4) Dacă 2

1,ntt α

−< atunci ipoteza 21 mm = este admisă, altfel este

respinsă

Exemplul 2.3.15. La o unitate de îmbuteliere a laptelui există două

maşini care efectuează această operaţie în sticle de 1l. Pentru a cerceta

reglajul de îmbuteliere la cele două maşini s-au efectuat două selecţii relative

la sticlele îmbuteliate în cele două maşini şi s-au obţinut datele de selecţie: /kX 990 995 1000 1005 1010 //

kX 985 990 995 1000 1005 1010

/kf 7 9 11 8 5 //

kf 5 5 6 7 6 4

Folosind nivelul de semnificaţie 05,0=α , să se verifice dacă

mediile de umplere a sticlelor de către cele două maşini sunt aceleaşi, în

cazul în care abaterile standard sunt 61 =σ ml şi 5,72 =σ ml.

Rezolvare:

Caracteristicile X1 şi X2 ce reprezintă cantitatea de lapte (în ml)

conţinută de o sticlă îmbuteliată de prima maşină, se consideră ca urmând


legile de probabilitate normale N(m1, 6) şi N(m2; 7,5).

Verificarea ipotezei nule N0:m1=m2 cu alternativa , se

va face cu testul Z.

211 mm:H ≠

Folosind nivelul de semnificaţie 01,0=α se determină din tabele

valoarea 995,02

1zz =α

− a.î. 495,0

21z

21

=α−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ α

−. Se obţine ,

care ne dă intervalul (-2,58; 2,58) pentru statistica

58,2z 995,0 =

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

−−−= .

Calculăm: 375,999)10105...99599907(401x1 =⋅++⋅+⋅=

424,997)10104...99059855(331x 2 =⋅++⋅+⋅=

209,133

25,564036)424,997375,999(

nn)xx(z

2

22

1

21

21 =+−=σ

+σ

−=

Deoarece )58,2;58,2(209,1z −∈= , rezultă că mediile de umplere a

sticlelor nu diferă semnificativ pentru cele două maşini.

Exemplul 2.3.16.

Se cercetează două loturi de ulei pentru automobile, din punct de

vedere al vâscozităţii, obţinându-se datele de selecţie: /kX 10,27 10,28 10,29 10,30 10,32 //

kX 10,26 10,27 10,29 10,30 10,31

/kf 3 2 1 1 1 //

kf 3 2 1 1 1

Analizele făcându-se cu acelaşi aparat, se consideră că abaterile

standard sunt aceleaşi. Considerând nivelul de semnificaţie 05,0=α ; să se

verifice dacă mediile de vâscozitate pentru cele două laturi nu diferă

semnificativ.


Rezolvare:

Caracteristicile X1 şi X2, ce reprezintă vâscozităţile pentru cele două

loturi de ulei, se consideră că urmează fiecare legea normală, respectiv

şi ),m(N 1 σ ),m(N 2 σ , cu abaterea standard 0>σ necunoscută.

Verificarea ipotezei nule 210 mm:H = cu alternativa ,

se va face cu testul T, deoarece abaterea standard

211 mm:H ≠

σ este necunoscută.

Folosind nivelul de semnificaţie 05,0=α , se determină folosind tabelele,

valoarea 2

1,nt α

−, a.î.

21tF

21,nn

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

− , unde n=n1+n2-2. Adică se obţine

intervalul pentru statistica ,145,2t 975,0;14 = 145)(-2,145;2,

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T+

−+

σ−+σ−

−−−= care urmează legea Student cu n

grade de libertate.

Calculăm:

285,10)32,101...28,10227,103(81x1 =⋅++⋅+⋅=

289,10)31,103...27,20126,102(81x 2 =⋅++⋅+⋅=

( ) 4n

1k

21k1

1

21 10143,3xx

1n1 1

−

=

⋅=−−

=σ ∑

( ) 4n

1k

22k2

2

22 10983,4xx

1n1 2

−

=

⋅=−−

=σ ∑

397,0

81

8114

10)881,34001,22(289,10285,10

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)xx(t4

21

21

222

211

21 −=+⋅+

−=

+

−+

σ−+σ−

−=

−


Deoarece )145,2;145,2(397,0t −∈−= , rezultă că vâscozităţile medii ale celor

două loturi de ulei nu diferă semnificativ.

Testul 2χ privind dispersia 2.3.17.

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m,σ ) cu parametri

Rm∈ şi necunoscuţi. Vrem să verificăm ipoteza nulă în

raport cu ipoteza alternativă cunoscând probabilitatea de risc

şi o selecţie de volum n.

0>σ 20

20 :H σ=σ

,:H 20

21 σ≠σ

α

Considerăm caracteristica ( ) 2

2n

1k

2k2

2 )1n(XX1Hσ

σ−=−

σ= ∑

=

care

urmează legea cu n-1 grade de libertate, şi se determină pentru aceasta

intervalul numeric

2χ

α−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<< α

−−α

−1hHhP 2

21,1n

22

2,1n


1) Se consideră . n2120

2i x,...,x,x;; σ=σα

2) Se determină 2

hF a.î. h,h 2

2,1n1-n

2

21,1n

2

2,1n

α=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

−−α

− şi

21hF 2

21,1n1n

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−− .

3) Se calculează ∑∑==

=−σ

=n

1kk

n

1k

2k2

0

2 xn1x,)xx(1h

4) Dacă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈ α

−−α

−

2

21,1n

2

2,1n

2 h;hh atunci ipoteza este admisă,

altfel este respinsă.

20

2 σ=σ


Exemplul 2.3.18. Se efectuează o selecţie repetată de volum n=12

relativă la caracteristica X ce urmează legea normală ),m(N σ , obţinându-se

distribuţia empirică de selecţie

. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−12111111215,12,118,06,02,002,04,05,0

:X

Să se verifice, cu nivelul de semnificaţie 05,0=α , ipoteza nulă

, cu alternativa 5,0)x(D:H 220 ==σ .5,0:H 2

1 ≠σ

Rezolvare:

Se utilizează testul . La nivelul de semnificaţie ; se

determină intervalul

2χ 05,0=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−α

−

2

21;1n

2

2;1n

h;h , pentru statistica 2

2)1n(H

σσ−

= , care

urmează legea cu n-1 grade de libertate; folosind tabelele de valori din 2χ

( ) ⇒= 025,0hF 2025,0;1111 82,3h 2

025,0;11 = şi ( ) 9,21h975,0hF 2975,0;11

2975,0;1111 =⇒=

Deci, intervalul pentru statistica este (3,82;21,9). 2H

Calculăm [ ] 4167,05,11...)4,0(2)5,0(1121x =⋅++−⋅+−⋅=

( ) 518,0xx1n

1 n

1k

2

k

2=−

−=σ ∑

=

; 396,115,0518,011)1n(h 2

0

22 =

⋅=

σσ−

=

Deoarece , ipoteza nulă făcută relativ la

dispersia teoretică este acceptată.

)9,21;82,3(396,11h 2 ∈=

Testul F (Snédécor - Fischer) 2.3.19.

Fie două populaţii C1 şi C2 referitor la care ne interesează

caracteristicile: X1 ce urmează ),m(N 11 σ şi X2 ce urmează . Cu

probabilitatea de risc α vrem să verificăm ipoteza nulă în

),m(N 22 σ

22

210 :H σ=σ


raport cu ipoteza alternativă , considerând câte o selecţie din

fiecare populaţie, respectiv de volum n

22

211 :H σ≠σ

1 şi n2.

Statistica 22

22

21

21F

σσ

σσ

= urmează legea Snédécor - Fischer cu

şi 1nm 1 −= 1nn 2 −= grade de libertate, iar intervalul numeric pentru

această statistică ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

21;n,m

2;n,m

f,f se determină a.î.

α−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<< α

−α 1fFfP

21;n,m

2;n,m

. Extremităţile intervalului se determină din

relaţiile 2

fF2

;n,mn,mα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α şi

21fF

21;n,mn,m

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−, dacă este funcţia

de repartiţie a legii "F

)x(F n,m

s" şi are valorile tabelate.

Are loc relaţia β

β−

=1,,

,,1

mnnm f

f şi de aceea tabelele pentru

sunt întocmite numai pentru valori mari ale lui

)x(F n,m

β şi pentru F>1. Dacă F<1

intervalul numeric pentru F este dat prin⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

2;,

21;,2

1;,nmf

2;,

1;1;αα

αα

mnmnnm ff

f .

Etapele aplicării testului F:

1) Se consideră:

2n222211n1121121 x,...,x,x;x,...,x,x;1nn;1nm; −=−=α

2) Se determină: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

21;n,m

2;n,m

f;f astfel încât

2fF

2;n,mn,m

α=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α şi .

21fF

21;n,mn,m

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−


3) Se calculează:

( ) ( )∑∑==

−−

=σ−−

=σσ

σ=

n

1k

22k2

2

22

n

1k

21k1

1

212

2

21 xx

1n1;xx

1n1;f

1

∑=

=1n

1kk1

1

1 xn1x , ∑

=

=2n

1kk2

2

2 xn1x .

4) Dacă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈ α

−α

21;n,m

2;n,m

f;ff atunci ipoteza este admisă,

altfel este respinsă.

22

21 σ=σ

Exemplul 2.3.20. Două strunguri produc acelaşi tip de piese.

Caracteristica cercetată este diametrul acestor piese. Se consideră două

selecţii de volum 7n1 = şi , relativ la diametrele pieselor produse de

cele două strunguri. Datele de selecţie sunt prezentate prin distribuţiile

empirice de selecţie:

9n 2 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2418,36,34,3

X1 şi . Considerând nivelul

de semnificaţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22418,37,36,35,3

X2

05,0=α ; să se verifice ipoteza nulă cu

alternativa

210 :H σ=σ

,:H 211 σ≠σ dacă se presupune că X1 şi X2 urmează legea

normală ),m(N 11 σ şi respectiv ),m(N 22 σ .

Rezolvare:

Se utilizează testul F. Se determină intervalul ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

21;n,m

2;n,m

f;f

pentru statistica F folosind tabelele de valori, a.î. 2

fF2

;n,mn,mα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α şi

21fF

21;n,mn,m

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−.


65,4f 975,0;8,6 = deoarece 975,0)65,4(F 8,6 =

18,060,51

f1f

975,0;6,8025,0;8,6 === . Rezultă intervalul (0,18;4,65)

Calculăm:

656,3)8,327,326,345,31(91x;629,3)8,326,344,31(

71x 21 =⋅+⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅=

( ) 01905,0xx1n

1 1n

1k

21k1

1

21 =−

−=σ ∑

=

; ( ) 01028,0xx1n

1 2n

1k

22k2

2

22 =−

−=σ ∑

=

.85,101028,001905,0f 2

2

21 ==

σ

σ=

Deoarece ),65,4;18,0(85,1f ∈= rezultă că ipoteza făcută privind

egalitatea dispersiilor, este admisă.

Teste de concordanţă

Testul 2χ 2.3.21.

Fie caracteristica X care are funcţia de repartiţie teoretică F. Ipoteza

statistică pe care o facem asupra caracteristicii X este că are funcţia de

repartiţie ),,...,;x(FF s10 λλ= unde s1 ,...,λλ sunt parametrii necunoscuţi.

Folosind datele de selecţie se estimează prin metoda

verosimilităţii maxime aceşti parametrii, obţinându-se Deci

ipoteza statistică devine În continuare se face o grupare a

datelor de selecţie obţinându-se distribuţia empirică de selecţie:

clasa reprezintă intervalul [a

n21 x,...,x,x

.,...,, *s

*2

*1 λλλ

).,...,;x(FF *s

*10 λλ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

N21

N21

f...ff'x...'x'x

X i'x i-1,ai). Pentru clasa x'i

avem )a(F)a(Fp 1iii −−= necunoscută, dar putem calcula

Prin urmare, ipoteza făcută asupra ).,...,;a(F),...,;a(Fp *s

*11i0

*s

*1i0

*i λλ−λλ= −


funcţiei de repartiţie devine ipoteza nulă NippH ii ,1;: *0 == în ipoteza

alternativă falsă. Valoarea numerică 01 H:H ∑=

−=

N

1i*i

*ii2

p n)p nf(h este

valoarea unei variabile aleatoare ce urmează legea cu k = N-s-1 grade

de libertate. Deci pentru probabilitatea de risc

2H 2χ

α se determină intervalul

numeric ( )21,kh,0 α− corespunzător lui a.î. 2H ( ) α−=< α− 1hHP 2

1,k2 adică

( ) α−=α− 1hF 21,kk .


1) Se consideră: ),...,;x(FF;x,...,x,x; s10n21 λλ=α

2) Se determină intervalul ( )21,kh,0 α− a.î. ( ) α−=α− 1hF 2

1,kk

– estimările de verosimilitate maximă .,...,, *s

*2

*1 λλλ

– distribuţia empirică de selecţie N,1ii

i

fx

X=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

– se calculează ),...,,;a(F),...,,;a(Fp *s

*2

*11i0

*s

*2

*1i0

*1 λλλ−λλλ= −

– k = N-s-1

3) Se calculează ∑=

−=

N

1i*i

2*ii2

pn )p nf(h

4) Dacă atunci ipoteza F = F21,k

2 hh α−< 0 este admisă, altfel este

respinsă.

Observaţie 2.3.22. Testul nu este aplicabil dacă sunt mai

mici decât 5, caz în care se recomandă o nouă grupare a datelor de selecţie.

2χ *ipn

Testul lui Kolmogorov 2.3.23.

Se consideră caracteristica X care are funcţia de repartiţie teoretică

F. Dacă )x(Fn este funcţia de repartiţie de selecţie avem că


)x(K)xd n(Plim nn=<

∞→ unde )x(F)x(Fsupd n

Rxn −=

∈ iar

este funcţia lui Kolmogorov. Se face ipoteza H∑+∞

−∞=

−−=k

xk2k 22

e)1()x(K 0

că X urmează legea de probabilitate dată de funcţia de repartiţie F. Dacă H0

este adevărată şi pentru probabilitatea de risc α se poate determina valoarea

a.î. α−1x α−=α− 1)x(K 1 . Deci avem că α−=< α− 1)xdn(P 1n sau

α−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛< α− 1

nx

dP 1n , adică dacă dn satisface inegalitatea

nx

d 1n

α−<

admitem ipoteza H0 altfel o respingem.

Etapele aplicării testului lui Kolmogorov:

1) Se consideră N21N,1ii

i f...ffn,F,f

'x:X; +++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

=

2) Se calculează a.î. α−1x α−=α− 1)x(K 1

3) Se calculează 2

aa'x;)a(F)a(Fmaxd i1iiiin

N,1in

+=−= −

=

4) Dacă α−< 1n xdn ipoteza este admisă, altfel este respinsă.

Exemplul 2.3.24. Se consideră caracteristica X ce reprezintă

rezistenţa, în ΩK , a unor tronsoane de ceramică acoperite cu carbon. Să se

verifice normalitatea lui X, folosind o selecţie de volum n=124, pentru, care

s-au obţinut datele de selecţie.

Clasa (- ;1,65) [1,65;1,70) [1,70;1,75) [1,75;1,80) [1,80;1,85) [1,85;1,90) [1,90;1,95) [1,95;2,00) [2,0;+ ∞ ) ∞

Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8


a) utilizând testul de concordanţă , cu nivelul de semnificaţie

2χ

;05,0=α

b) utilizând testul de concordanţă al lui Kolmogorov, cu nivelul de

semnificaţie ;05,0=α

Rezolvare:

Se cunoaşte că estimările de verosimilitate maximă pentru m şi

sunt respectiv

σ

,xm* = 2* µ=σ .

Distribuţia empirică de selecţie pentru caracteristica X este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛81013161817171411125,2975,1925,1875,1825,1775,1725,1675,1625,1

:X

Calculăm

82,1)125,28...675,114625,111(124

1xm* =⋅++⋅+⋅==

( ) 129,082,1x124

1 124

1k

2*k2

* =−=µ=σ ∑=

a) se consideră valoarea numerică

∑=

−=

N

1i*i

2*ii2

p n)p nf(h , unde N =9,

6129k;2s;maamap *

*1i

*

*i*

i =−−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ= −

Se determină intervalul ( ),h,0 21,k α− pentru statistica , folosind

tabelele de valori şi se obţine adică intervalul (0;12,59).

2H

59,12h 295,0;6 =

Calculele pentru se fac în tabelul: 2h


ia if *

*

σmai − ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ *

*i ma *

ip *ip n *

i

2*ii

p n)p nf( −

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

∞+

11

14

17

17

18

16

13

10

8

-1,32

-0,93

-0,54

-0,16

0,23

0,62

1,01

1,40

∞+

-0,4066

-0,3238

-0,2054

-0,0636

-0,0910

0,2324

0,3437

0,4192

0,5000

0,0934

0,0828

0,1184

0,1418

0,1546

0,1414

0,1113

0,0755

0,0808

11,5816

10,2672

14,6816

17,5832

19,1704

17,5336

13,8012

9,3620

10,0192

0,02921

1,35712

0,36610

0,01934

0,07146

0,13414

0,04651

0,04348

0,40694

n=124 4743,2h 2 =

Valorile funcţiei lui Laplace Φ se iau din tabele şi se are în vedere

că )x()x( Φ−=−Φ şi

=−∞Φ−−Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ= )()32,1(mamap *

*0

*

*1*

1

0934,05,04066,0 =+−=

Deoarece rezultă că se acceptă ipoteza

normalităţii lui X.

),59,12;0(4743,2h 2 ∈=

b) Pentru 05,0=α , folosind tabelele de valori, se determină

a.î. 95,01 xx =α− α−=α− 1)x(K 1 , adică 36,1x 95,0 = .

Ipoteza că X urmează legea normală , cu şi

calculaţi anterior, este acceptată dacă

),m(N ** σ *m

*σ ,xdn 1n α−< unde

)a(F)a(Fmaxd iinN,1i

n −==

.


Aici )x(Fn este funcţia de repartiţie de selecţie, iar F(x) este funcţia

de repartiţie pentru legea normală Calculele pentru determinarea

lui d

).,m(N ** σ

n sunt date în tabelul următor:

ia if ∑=

i

1jjf

)a(F in *

*i maσ− F(ai) )a(F)a(F iin −

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

∞+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

0,0887

0,2016

0,3387

0,4758

0,6210

0,7500

0,8548

0,9355

1,0000

-1,32

-0,93

-0,54

-0,16

0,23

0,62

1,01

1,40

∞+

0,0934

0,1762

0,2946

0,4364

0,5910

0,7324

0,8437

0,9192

1,0000

0,0047

0,0254

0,0441

0,0394

0,0300

0,0176

0,0111

0,0163

0

dn= 0,0441

Deoarece ,36,1491,00441,0124dn n <=⋅= acceptăm ipoteza că

X urmează legea normală ).,m(N ** σ

2.4. Corelaţie şi regresie

Definiţie 2.4.1. Fie (X1,Y1), ..., (Xn, Yn) o selecţie repetată de volum

n asupra vectorului aleator (X, Y). Se numeşte coeficient de corelaţie de

selecţie

∑∑∑∑

∑==

==

= ==−−

−−=

n

ii

n

iin

i

n

i

n

i yn

yxn

xundeyyxx

yyxxr

11

1

21

1

21

111 11

)()(

))((


Observaţia 2.4.2. Se arată că aceasta este o funcţie de estimaţie a lui

r, adică r tinde în probabilitate către r, n ∞→ .

Observaţia 2.4.3.

1) Coeficientul de corelaţie de selecţie r este cuprins între -1 şi 1.

2) Dacă r = ± 1, atunci punctele (X1,Y1), ..., (Xn, Yn) se găsesc pe

dreapta de ecuaţie

22)( yx

x

y siundexxyy σσσσ

−−

+=−

sunt respectiv funcţiile de estimaţie absolut corectă ale dispersiilor σX2 şi

σY2, adică

1

)(,

1

)(1

2

21

2

2

−

−=

−

−=

∑∑==

n

yy

n

xxn

ii

y

n

ii

x σσ

Observaţia 2.4.4. Considerând funcţia de regresie liniară a

variabilei Y în raport cu variabila X dată de ecuaţia baxy += , unde

se obţine valoarea )/( xYMy = baxy ii +=' şi reziduul iii yy −= 'δ fiind

. )/( ixYM

Mulţimea valorilor δi determină variabila aleatoare reziduală δ, care,

prin prisma definiţiei funcţiei regresive are media nulă 0)( =δM . Calculând

dispersia variabilei δ, pe care o numim dispersia reziduală, notând-o σR2,

avem unde dispersia

reziduală este tot una cu dispersia variabilei condiţionate

)/()]/(/[])0[()( 2222 xYDxYMYMMD ==−= δδ

xY / .

Cum avem rezultă de asemenea

pentru regresia variabilei Y în raport cu variabila X.

Inversând, se scrie şi formula obţinută poate fi folosită

)1( 222/ rYxY −=σσ

)1( 222 rYR −=σσ

222 /1 YRr σσ−=


pentru determinarea coeficientului de corelaţie r, atunci când regresia

variabilei Y în raport cu X şi variabilele au repartiţii normale. Această

valoare a lui r este numită coeficientului de corelaţie în regresia liniară.

Exemplul 2.4.5. Fie caracteristicile:

X – reprezentând în procente suprafaţa comercială de expunere a mărfurilor

spre vânzare faţă de suprafaţa construită şi

Y – reprezentând volumul valoric al vânzărilor, raportat la metru pătrat

suprafaţă de prezentare a mărfurilor pe lună, în mii lei.

Acestea fiind cunoscute prin următoarele date de selecţie:

X 10 12 15 17 26

Y 40 45 42 53 60

Se cere:

a) Să se determine coeficientul de corelaţie al variabilelor X şi Y;

b) Să se determine dreapta de regresie a lui Y faţă de X;

c) Cu ajutorul dreptei de regresia de mai sus, să se facă prognoza

volumului valoric al vânzărilor Y când X ia valoarea 30.

Rezolvare:

Organizăm calculele în tabelul următor:

ix iy xxi − yyi − 2)( xxi −2)( yyi −

22 )()( yyxx ii −−

10

12

15

17

26

-----

80

40

45

42

53

60

-----

240

-6

-4

-1

1

10

-8

-3

-6

5

12

36

16

1

1

100

-----

154

64

9

36

25

144

-----

278

48

12

6

5

120


a) 165

8051 5

1

=== ∑=i

ixx ; 485

24051 5

1=== ∑

=iiyy ; 95,0

278154191

=−

=r

b) Pentru dreapta de regresie a lui Y în raport cu X calculăm:

∑=

==−−

=n

iix xx

n 1

228,30

4154)(

11σ de unde 5,58,30 ==xσ

∑=

==−−

=n

iiy yy

n 1

226,55

4278)(

11σ de unde 3,76,55 ==yσ

Obţinem )16(5,53,795,048 −⋅=− xy sau 2,273,1 += xy

c) Prognoza volumului valoric al vânzărilor se obţine calculând

valoarea lui y pentru x = 30.

Avem: 2,662,27303,16 =+⋅=y .

2.5. Probleme rezolvate

1. Fie caracteristica X, care are distribuţia empirică de selecţie:

X : . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12424250,4025,4000,4075,3950,3925,39

Se cere:

a) media de selecţie, momentul centrat de selecţie de ordinul doi şi

dispersia de selecţie;

b) funcţia de repartiţie de selecţie.

Rezolvare:

a) Media de selecţie este:

( ) 80,395,40225,40440275,3945,39225,39151151 6

1

'

=+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅= ∑=k

kk fxx


Momentul centrat de selecţie de ordinul doi este:

( )

( ) ( ) ( )[ ] 135,0...8,3975,3928,395,3948,3925,392151

151)(

222

6

1

2'2

=+−⋅+−⋅+−⋅=

=−⋅= ∑=k

kk xxfXµ

Valoarea dispersiei de selecţie se calculează folosind momentul

centrat de selecţie de ordinul doi şi anume:

144,0)(1415)( 2

2== XX µσ

b) Funcţia de repartiţie de selecţie este:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤<

≤<≤<

≤<≤<

≤

=

50,40,150,4025,40,15/14

25,4040,15/124075,39,15/8

75,3950,39,15/650,3925,39,15/2

25,39,0

)(15

xdacaxdaca

xdacaxdaca

xdacaxdaca

xdaca

XF .

2. În urma unei selecţii de volum n = 100, privind caracteristica X s-

au obţinut următoarele date de selecţie:

xI 10,50 10,55 10,60 10,65 10,70 10,75 10,80

fI 10 12 16 21 18 14 9

Se cere:


a) o estimaţie absolut corectă pentru media teoretică m = M(X);

b) o estimaţie corectă şi una absolut corectă pentru dispersia

teoretică σ2 = D2(X).

Rezolvare:

a) Media de selecţie este un estimator absolut corect pentru media

teoretică şi prin urmare valoarea mediei de selecţie este o estimaţie absolut

corectă . Folosind datele de selecţie avem următoarea distribuţie empirică de

selecţie:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛914182116121080,1075,1070,1065,1060,1055,1050,10

:X

iar media de selecţie este:

( ) 65,10...166,101255,10105,10100

1=+⋅+⋅+⋅=x

b) O estimaţie corectă pentru dispersia teoretică este reprezentată de

valoarea momentului centrat de selecţie de ordinul doi, adică:

( ) ( )[ ] 0077,0...65,1055,101265,1050,1010100

1)( 222 =+−⋅+−⋅=Xµ

O estimaţie absolut corectă pentru dispersia teoretică este reprezentată

de valoarea dispersiei de selecţie, adică:

0078,0)(99

100)( 22

== XX µσ .

3. Fie caracteristica X, care are distribuţia teoretică X :

unde p∈(0,1) este necunoscut. Se consideră o selecţie de volum n, relativă la

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− pp 101


caracteristica X. să se arate că funcţia de selecţie V = )1(1

1−

−XnX

n, unde

∑=

=n

kkX

nX

1

1 , este o funcţie de estimaţie nedeplasată pentru p2.

Rezolvare:

Pentru caracteristica X avem M(X) = p şi D2(X) = p – p2.

Funcţia de estimaţie V este un estimator nedeplasat al parametrului

p2 dacă M(V) = p2.

Calculăm

( )

( ) ( )XMn

XMn

n

Xn

Xn

nMXnXn

MVM

11

1

11

11

11)(

2

2

−−

−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

Folosind faptul că variabilele de selecţie sunt liniar independente şi

identic repartizate cu X avem:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑===

====⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

n

k

n

kk

n

kk pXMXM

nXM

nX

nMXM

111

111 ;

( ) ( ) ( )[ ]222 XMXMXD −=

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==

−===⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

n

k

n

kk

n

kk n

ppXDn

XDn

Xn

DXD1

2

1

22

22

1

22 111

( )n

nppppn

ppXM22

222 +−

=+−

= .

Obţinem:

( ) 222

11

1pp

nnnppp

nnVM =⋅

−−

+−⋅

−=

adică, V este un estimator nedeplasat al parametrului p2.


4. Fie caracteristica X ce urmează legea lui Poisson, cu parametrul λ

> 0 necunoscut. Se consideră o selecţie repetată de volum n. Se cere:

a) estimatorul λ∗ de verosimilitate maximă pentru parametrul λ;

b) să se arate că λ∗ este estimator absolut corect pentru λ;

c) să se arate că λ∗ este estimator eficient pentru λ.

Rezolvare:

a) Ţinând seama că variabila aleatoare X are repartiţia Poisson cu

şi λ== )()( 2 XDXM!

);(x

exfxλλ λ−= , avem:

!lnln);(ln xxxf −+−= λλλ iar

λλλ xxf

+−=∂

∂ 1);(ln .

∑ ∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

∂∂

=∂

∂ n

k

n

k

kk XXfV1 1

1);(lnlnλλ

λλ

.

Ecuaţia de verosimilitate maximă devine

011

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∑

=

n

k

kXλ

, iar estimatorul de verosimilitate maximă pentru

parametrul λ este X=*λ .

b) Calculăm:

λλ =⋅===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑

=== nnXM

nXM

nX

nMXM

n

j

n

jj

n

jj

111)(1)(11)(

0)(1)(11)( 21

22

1

22

1

22 →=⋅===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑

=== nnnXD

nXD

nX

nDXD

n

j

n

jj

n

jj

λλ

când n → ∞ şi deci media de selecţie este un estimator absolut corect al lui λ.

c) Avem:


)(121

)(1)(2121);(ln

22

222

22

λλλ

λλ

λλλλλλ

++⋅−=

=+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ XMXMXXMXfM

Rezultă cantitatea de informaţie λλ

λλ nXfnMI =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=2);(ln)(

Întrucât egalitatea )(

1)(2

λIXD = este verificată, rezultă că X este

un estimator eficient al lui λ.

5. Relativ la populaţia C, se cercetează caracteristica X ce urmează

legea normală N(m,σ), cu media teoretică m = M(X) necunoscută şi dispersia

σ2=0,06. Să se determine intervalul de încredere pentru m, cu probabilitatea

de încredere 1-α = 0,9 dacă se cunosc datele de selecţie:

10.5; 10.8; 11.2; 10.9; 10.4; 10.6; 10.9; 11.0; 10.3; 10.8; 10.6; 11.3;

10.5; 10.7; 10.8; 10.9; 10.8; 10.7; 10.9; 11.0.

Rezolvare:

Pentru caracteristica X avem următoarea distribuţie empirică de

selecţie:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛1124422211

3,112,11119,108,107,106,105,104,103,10:X

Folosind aplicaţia 1., intervalul de încredere pentru media teoretică

m este , unde )m,m( 212

11 zn

xm α−

σ−= şi

212 z

nxm α

−

σ+= ;

21

z α−

se determină astfel încât 450,02

1,2

1)(2

1=

−−=Φ

−

αααz , folosind

tabelele cu valorile funcţiei Laplace, 65,12

1=⇒

−αz .


78,10)3,11

2,111129,1048,1047,1026,1025,1024,103,10(201

=+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++=x

Rezultă 75,1065,12006,078,101 =⋅−=m ,

80,1065,12006,078,102 =⋅+=m , adică )80,10;75,10(∈m .

6. Se efectuează 12 măsurători independente asupra caracteristicii X,

rezultatele obţinute dând distribuţia empirică de selecţie

X : . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−12111111215.12.118.06.02.002.04.05.0

Folosind probabilitatea de încredere 0.95, să se determine intervalul

de încredere pentru valoarea medie teoretică m = M(X).

Rezolvare:

Deoarece abaterea standard )X(D2=σ este necunoscută, conform

aplicaţiei 2. intervalul de încredere pentru m este (m1,m2) unde

21,1n1 t

nxm α

−−

σ−= şi

21,1n2 t

nxm α

−−

σ+= . Pentru n-1=11 şi 975,0

21 =−

α

din tabelul cu valorile funcţiei de repartiţie a legii Student se determină

201,22

1,1=

−−αn

t .

Folosind distribuţia empirică de selecţie se obţine:

( ) 4,05,12,1218,06,02,0)2,0()4,0(25,0121

=+⋅+++++−+−⋅+−=x iar

719,0)(111 10

1

2 =−= ∑=k

kk xxfσ


Obţinem: 05,0201,212719,04,01 −=⋅−=m ;

85,0201,212719,04,02 =⋅+=m adică )85,0;05,0(−∈m .

7. Caracteristicile X1 şi X2 relative la două populaţii independente,

urmează fiecare legea normală, respectiv N(m1,σ1) şi N(m2, σ2), unde σ1=

0.005 şi σ2=0.0045. Relativ la aceste caracteristici s-au obţinut următoarele

date de selecţie:

X1 : 0.240; 0.240; 0.235; 0.250; 0.235;

X2 : 0.220; 0.225; 0.220; 0.225; 0.235.

Folosind probabilitatea de încredere 0.98 să se determine intervalul

de încredere pentru diferenţa m1- m2.

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 3. a) intervalul de încredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde

( )2

22

1

21

2121 nn

zxxA σ+

σ−−= α

− şi ( )

2

22

1

21

2121 nn

zxxB σ+

σ+−= α

−

iar 2

1z α

− se determină a.î. 49,0

21z

21

=α−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ α

−.

Folosind tabelul cu valorile funcţiei lui Laplace obţinem

33,2z2

1=α

−.

Valorile mediilor de selecţie pentru cele două caracteristici sunt:

( ) 240,0250,02240,02235,051

1 =+⋅+⋅=x

( ) 225,0235,02225,02220,051

2 =+⋅+⋅=x


Deci :

022,000000405,0000005,033,2015,0

008,000000405,0000005,033,2015,0

=++=

=+−=

B

A )022,0;008,0(21 ∈−⇒ mm

8. Cu datele problemei precedente, dar cu σ1 = σ2 = σ necunoscut, să

se determine intervalul de încredere pentru diferenţa m1- m2.

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 3. b) intervalul de încredere pentru m1-m2 este

(A,B) unde StxxA2

1,n21 ⋅−−= α

− şi StxxB

21,n

21 ⋅−−= α−

dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n1

n1

S σ−+σ−−+

+=

21,n

t α−

iar se determină a.î.

21tF

21,n

nα

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−.

Pentru 99,02

1 =−α şi n=8 obţinem 896,2

21,

=−αn

t .

Avem 240,01 =x , 225,02 =x şi calculăm:

( )

( )

)026,0;004,0(026,00038,0896,2015,0004,00038,0896,2015,0

:Re

0038,0)0000375,040000375,04(8

51

51

0000375,041

0000375,041

21

5

1

222

22

5

1

211

21

∈−⇒=⋅+==⋅−=

=⋅+⋅+

=

=−=

=−=

∑

∑

=

=

mmBA

zultă

S

xx

xx

kk

kk

σ

σ


9. Caracteristica X urmează legea normală N(m, σ). Se consideră o

selecţie repetată de volum n = 15 relativă la X cu datele de selecţie:

23,1; 22,8; 22,9; 23,0; 22,7; 22,9; 23,2; 22,9; 23,3; 23,2; 23,0; 22,9;

23,1; 23,2; 22,9.

Să se determine intervalul de încredere pentru dispersia σ2 = D2(X)

şi pentru abaterea standard σ, folosind probabilitatea de încredere 0,9.

Rezolvare:

Conform aplicaţiei 4. intervalul de încredere pentru este 2σ

( )22

21 ,σσ unde 2

21,1n

221 h

)1n(

α−−

σ−=σ şi 2

2,1n

222 h

)1n(

α−

σ−=σ iar 2

21,1n

h α−−şi 2

2,1n

h α−

se

determină folosind tabelele de valori pentru funcţia de repartiţie a legii cu

n-1 grade de libertate.

2χ

Avem: şi 14,292995,0;14 =h 07,42

005,0;14 =h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1322511

3,232,231,23239,228,227,22:X

00029,0)(141

23)3,232,2331,2322329,2258,227,22(151

15

1

22∑=

=−=

=+⋅+⋅+⋅+⋅++=

kk xx

x

σ

Rezultă: 00013,014,29

00029,01421 =

⋅=σ şi 00099,0

07,400029,0142

2 =⋅

=σ

)00099,0;00013,0(2 ∈⇒σ şi )031,0;011,0(∈σ .

10. Caracteristica X reprezintă media obţinută de un student care a

promovat anul întâi de studii. Să se verifice, cu nivelul de semnificaţie α =

0,05, ipoteza că media teoretică m = M(X) = 7,25, dacă se consideră σ = 1,5


şi s-a făcut un sondaj de volum n = 42, pentru care s-au obţinut datele de

selecţie

Media 5 - 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 10

Frecvenţa 5 8 18 6 5

Rezolvare:

Deoarece n=42>30 şi 5,1=σ este cunoscut, folosim testul Z pentru

verificarea ipotezei nule H0:m=7,25 cu alternativa .25,7:1 ≠mH

Distribuţia empirică de selecţie este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5618855,95,85,75,65,5

:X

Pentru α=0,05 folosind testul Z se determină 975,02

1zz =

−α a.î.

( ) 475,02

1975,0 =

−=Φ

αz . Se obţine z0,975=1,96, care ne dă intervalul numeric

pentru statistica 6)(-1,96;1,9

n

mXZσ−

= . Calculăm

( ) 45,75,955,865,7185,685,55421

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x

86,0

425,1

25,745,7=

−=

−=

n

mxz σ .

Deoarece z = 0,86 ( 96,1;96,1− )∈ ipoteza se acceptă.

11. Caracteristica X reprezintă rezistenţa la rupere a cablurilor

produse de o anumită fabrică. Considerând că X urmează legea de

probabilitate normală N(m, σ), să se verifice, folosind nivelul de semnificaţie

α = 0,05, ipoteza că media teoretică a rezistenţei la rupere a cablurilor este de


400 kg, dacă se dispune de o selecţie de volum n = 10, cu următoarele date de

selecţie: 401; 403; 398; 398; 400,5; 399; 396; 401,5; 400,5; 398,5.

Rezolvare:

Ipoteza nulă ce se face este H0:m=400, cu alternativa . 400:1 ≠mH

Deoarece σ este necunoscută, folosind testul T, cu α=0,05 şi tabelele

de valori se determină 2

1,1nt α

−− a.î. 975,0

21tF

21,1n1n =

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−− . Se obţine

t9;0,975 =2,262. Prin urmare intervalul numeric pentru statistica

n

mXTσ−

=

este (-2,262; 2,262).

Calculăm 2,400...)3995,3983982396(101

=+++⋅+=x

86,5)(91 10

1

22=−= ∑

=kk xxσ 107,0

1086,5

4002,4000 =−

=−

=

n

mxtσ

Întrucât 0,107 )262,2;262,2(−∈ , ipoteza că media de rezistenţă la

rupere a cablurilor este de 400 se acceptă.

12. Două maşini produc piese de acelaşi tip. Fie X1 dimensiunea

pieselor produse de prima maşină, respectiv X2 să fie dimensiunea pieselor

produse de a doua maşină, fiecare urmând legea normală, respectiv

N(m1,0,02) şi N(m2,0,15). Să se verifice, folosind nivelul de semnificaţie α =

0,05, ipoteza că mediile dimensiunilor pieselor (în mm) produse de cele două

maşini sunt egale, cu alternativa că ele diferă, dacă se dispune de selecţiile,

care au ca distribuţii empirice de selecţie, respectiv

X1 : şi X⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1419161105.500.595.490.4

2 : . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7148610.500.595.490.4


Rezolvare:

Verificarea ipotezei nule H0:m1=m2 cu alternativa , se

va face cu testul Z.

211 mm:H ≠

Folosind nivelul de semnificaţie 05,0=α se determină din tabele

valoarea 975,02

1zz =

−α a.î. 475,0

21

21

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

−

ααz . Se obţine ,

care ne dă intervalul (-1,96; 1,96) pentru statistica

96,1975,0 =z

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

−−−= .

Calculăm:

98,4)05,51451995,41690,411(601

1 =⋅+⋅+⋅+⋅=x

99,4)10,5751495,4890,46(351

2 =⋅+⋅+⋅+⋅=x

0025,0350225,0

600004,0)99,498,4()(

2

22

1

21

21 −=+−=+−=nn

xxz σσ

Deoarece )96,1;96,1(0025,0 −∈−=z , rezultă că mediile dimensiunilor

pieselor nu diferă semnificativ pentru cele două maşini.

13. Două maşini produc acelaşi tip de articol. Se efectuează două

selecţii de volume n1=12 şi n2=15 şi se măsoară dimensiunea produselor,

datele de selecţie sunt trecute în tabelul următor

x1k 3,5 3,6 3,7 3,8 x2k 3,4 3,6 3,8

f1k 3 4 2 3 f2k 2 4 9

Considerând nivelul de semnificaţie α = 0,01, să se verifice ipoteza

că mediile dimensiunilor articolelor produse de cele două maşini nu diferă


semnificativ, ştiind că dispersiile teoretice pentru cele două caracteristici

coincid.

Rezolvare:

Caracteristicile X1 şi X2, ce reprezintă dimensiunile articolelor

produse de cele două maşini, se consideră că urmează fiecare legea normală,

respectiv ),m(N 1 σ şi ),m(N 2 σ , cu abaterea standard 0>σ necunoscută.



211 mm:H ≠



valoarea 2

1,nt α

−, a.î.

21tF

21,nn

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

− , unde n=n1+n2-2.

Adică se obţine intervalul pentru

statistica

,787,2995,0;25 =t 787)(-2,787;2,

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T+

−+

σ−+σ−


Student cu n grade de libertate.

Calculăm:

64,3)8,337,326,345,33(121

1 =⋅+⋅+⋅+⋅=x

69,3)8,396,344,32(151

2 =⋅+⋅+⋅=x

( ) 0135,01

1 1

1

211

1

21 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ

( ) 0221,01

1 2

1

222

2

22 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ


954,0

151

121

250221,0140135,011

69,364,3

112

)1()1(

)(

21

21222

211

21

−=+⋅+⋅

−=

=+

−+

−+−

−=

nn

nn

nn

xxtσσ

Deoarece )787,2;787,2(954,0 −∈−=t , rezultă că mediile articolelor produse

de cele două maşini nu diferă semnificativ.

14. Se cercetează caracteristica X ce reprezintă diametrul pieselor

produse de o maşină (în mm). Ştiind că X urmează legea normală N(m,σ) şi

având o selecţie de volum n = 11, care ne dă distribuţia empirică de

selecţie X : , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛153265,1060,1055,1050,10

să se verifice ipoteza nulă H0 : σ2 = 0,003, cu alternativa H1 : σ2 ≠ 0,003, cu

nivelul de semnificaţie α = 0,01.

Rezolvare:

Se utilizează testul . La nivelul de semnificaţie 2χ 01,0=α ; se

determină intervalul ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−−α

−

2

21;1n

2

2;1n

h;h , pentru statistica 2

2)1n(H

σσ−

= , care

urmează legea cu n-1 grade de libertate; folosind tabelele de valori din 2χ

( ) ⇒= 005,02005,0;1010 hF 16,22

005,0;10 =h şi ( ) 21,23995,0 2995,0;10

2995,0;1010 =⇒= hhF

Deci, intervalul pentru statistica este (2,16; 23,21). 2H

Calculăm

[ ] 57,1065,1016,10555,1035,102111

=⋅+⋅+⋅+⋅=x


( ) 0021,01

11

22=−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ ; 3,7

003,00021,010)1(

20

22 =

⋅=

−=

σσnh .

Deoarece , ipoteza nulă făcută relativ la

dispersia teoretică este acceptată.

)21,23;16,2(3,72 ∈=h

15. Se cercetează aceeaşi caracteristică pentru două populaţii

independente, care este respectiv X1 pentru prima populaţie şi X2 pentru a

doua, fiecare urmând legea normală N(m1, σ1) şi N(m2, σ2). Se

consideră selecţiile de volume n1=10 şi n2=12, care ne dau distribuţiile

empirice de selecţie:

X1 : şi X⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1142229,185,18,17,1

2 : . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1224211,229,185,18,175,1

Considerând nivelul de semnificaţie α = 0,02, să se compare

dispersiile celor două populaţii.

Rezolvare:

Se utilizează testul F. Se determină intervalul ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

21;n,m

2;n,m

f;f


fF2

;n,mn,mα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α şi

21fF

21;n,mn,m

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−, m = n1-1 , n = n2 –1.

63,499,0;11,9 =f deoarece 99,0)63,4(11,9 =F

19,018,511

99,0;9,1101,0;11,9 ===

ff . Rezultă intervalul (0,19; 4,63)

Calculăm:


88,1)1,21229,1285,148,1275,11(121

;83,1)219,119,148,127,12(101

2

1

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

x

x

( ) 0078,01

1 1

1

211

1

21 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ ;

( ) 0101,01

1 2

1

222

2

22 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ

.77,00101,00078,0

22

21 ===

σ

σf

Deoarece ),63,4;19,0(77,0 ∈=f rezultă că ipoteza făcută privind


16. Pentru a cerceta dacă durata de ardere a două loturi de becuri

este aceeaşi s-a luat câte un eşantion de 15 de becuri din fiecare lot, care au

fost încercate în privinţa caracteristici studiate şi s-au obţinut următoarele

rezultate:

1070; 1110; 1050; 1090; 1140; 1130; 1240; 1010; 1030; 1110; 1100; 1160;

1100; 1060; 1020;

ore de ardere pentru eşantionul din primul lot şi respectiv

1100; 1170; 990; 1180; 1140; 1130; 1110; 1090; 1100; 1130; 1220; 1030;

1010; 1130; 1110;

ore de ardere pentru eşantionul din al doilea lot.

a) folosind nivelul de semnificaţie α = 0,02, să se verifice dacă

dispersiile pentru cele două loturi nu diferă semnificativ;

b) folosind nivelul de semnificaţie α = 0,05 şi rezultatul de la

punctul precedent, să se verifice dacă duratele medii de ardere pentru cele

două loturi sunt aceleaşi.


Rezolvare:

a) Se utilizează testul F. Se determină intervalul ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

21;n,m

2;n,m

f;f


fF2

;n,mn,mα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α şi

21fF

21;n,mn,m

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−, m = n1-1 , n = n2 –1.

70,399,0;14,14 =f deoarece 99,0)70,3(14,14 =F

27,070,311

99,0;14,1401,0;14,14 ===

ff . Rezultă intervalul (0,27; 3,70)

Calculăm:

1110...)118099011701100(151

;1095...)1090105011101070(151

2

1

=++++=

=++++=

x

x

( ) 64,35691

1 1

1

211

1

21 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ ;

( ) 28,38641

1 2

1

222

2

22 =−

−= ∑

=

n

kk xx

nσ

.92,028,386464,3569

22

21 ===

σ

σf

Deoarece ),70,3;27,0(92,0 ∈=f rezultă că ipoteza făcută privind


b) Caracteristicile X1 şi X2, ce reprezintă duratele medii de ardere

pentru cele două loturi, se consideră că urmează fiecare legea normală,

respectiv ),m(N 1 σ şi ),m(N 2 σ , cu abaterea standard 0>σ necunoscută.




211 mm:H ≠



valoarea 2

1,nt α

−, a.î.

21tF

21,nn

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

− , unde n=n1+n2-2.

Adică se obţine intervalul pentru

statistica

,048,2975,0;28 =t 048)(-2,048;2,

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T+

−+

σ−+σ−


Student cu n grade de libertate.

Calculăm:

673,0

151

151

2828,38641464,356914

11101095

112

)1()1(

)(

21

21222

211

21

−=+⋅+⋅

−=

=+

−+

−+−

−=

nn

nn

nn

xxtσσ

Deoarece )048,2;048,2(673,0 −∈−=t , rezultă că duratele medii de

ardere pentru cele două loturi nu diferă semnificativ.

17. Se consideră caracteristica X ce reprezintă greutatea în grame a

unor cutii încărcate automat de un dispozitiv. Pentru verificarea normalităţii

lui X, se consideră o selecţie de volum n = 100, datele de selecţie fiind

următoarele:

Greutatea 47 – 48 48 – 49 49 – 50 50 – 51 51 – 52 52 – 53

Frecvenţa 12 18 22 21 19 8

Se cere:


a) aplicarea testului χ2, cu nivelul de semnificaţie α = 0,05, pentru

verificarea normalităţii lui X;

b) aplicarea testului lui Kolmogorov, cu nivelul de semnificaţie α =

0,05, pentru verificarea normalităţii lui X.

Rezolvare:

Se cunoaşte că estimările de verosimilitate maximă pentru m şi

sunt respectiv

σ

,xm* = 2* µ=σ .

Distribuţia empirică de selecţie pentru caracteristica X este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛81921221812

5,525,515,505,495,485,47:X

Calculăm

9,49)5,528...5,48185,4712(100

1* =⋅++⋅+⋅== xm

( ) 47,1100

1 6

1

2

2* =−== ∑

=k

ţkk xxfµσ

a) se consideră valoarea numerică

∑=

−=

N

1i*i

2*ii2

p n)p nf(

h , unde N =6,

3126;2;*

*1

*

** =−−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ= − ksmaamap ii

i σσ

Se determină intervalul ( ),h,0 21,k α− pentru statistica , folosind

tabelele de valori şi se obţine adică intervalul (0;7,81).

2H

81,7295,0;3 =h

Calculele pentru se fac în tabelul: 2h


ia if *

*

σmai − ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ *

*i ma *

ip *ip n *

i

2*ii

p n)p nf( −

48

49

50

51

52

53

12

18

22

21

19

8

-1,29

-0,61

0,07

0,75

1,42

2,11

-0,4015

-0,2291

0,0279

0,2734

0,4222

0,4826

0,0985

0,1724

0,2570

0,2455

0,1488

0,0604

9,85

17,24

25,70

24,55

14,88

6,04

0,4692

0,0335

0,5326

0,5133

1,1407

0,6360

n=100 3253,32 =h

Valorile funcţiei lui Laplace Φ se iau din tabele şi se are în vedere

că )x()x( Φ−=−Φ şi

=−∞Φ−−Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ= )()29,1(*

*0

*

*1*

1 σσmamap

0985,05,04015,0 =+−=

Deoarece rezultă că se acceptă ipoteza

normalităţii lui X.

),81,7;0(3253,32 ∈=h

b) Pentru 05,0=α , folosind tabelele de valori, se determină

a.î. 95,01 xx =α− α−=α− 1)x(K 1 , adică 36,1x 95,0 = .

Ipoteza că X urmează legea normală , cu şi

calculaţi anterior, este acceptată dacă

),m(N ** σ *m

*σ ,xdn 1n α−< unde

)a(F)a(Fmaxd iinN,1i

n −==

.

Aici )x(Fn este funcţia de repartiţie de selecţie, iar F(x) este funcţia

de repartiţie pentru legea normală Calculele pentru determinarea

lui d sunt date în tabelul următor:

).,m(N ** σ

n


ia if ∑=

i

1jjf

)a(F in *

*i maσ− F(ai) )a(F)a(F iin −

48

49

50

51

52

53

12

18

22

21

19

8

12

30

52

73

91

100

0,12

0,30

0,52

0,73

0,91

1,00

-1,29

-0,61

0,07

0,75

1,42

2,11

0,0985

0,2709

0,5279

0,7734

0,9222

0,9826

0,0215

0,0291

0,0079

0,0434

0,0122

0,0174

dn= 0,0434

Deoarece ,36,1434,00434,0100 <=⋅=ndn acceptăm ipoteza că

X urmează legea normală ).,m(N ** σ

4.6. Probleme propuse

1. Pentru a cerceta prezenţa studenţilor la un anumit curs s-a ales un

eşantion de n studenţi şi s-a înregistrat numărul absenţelor acestora la patru

cursuri consecutive.

Nr. studenţi xi 50 20 15 8 7

Nr. absenţe ni 0 1 2 3 4

a) Să se scrie distribuţia empirică de selecţie şi funcţia de repartiţie de selecţie.

b) Să se calculeze media de selecţie, momentul centrat de selecţie de

ordinul doi şi dispersia de selecţie.

c) Să se calculeze ( )4100F .

2. Fie caracteristica X ce urmează legea uniformă pe [ ]θ,0 , cu

parametrul 0>θ necunoscut. Se consideră o selecţie repetată de volum n.


a) Determinaţi estimatorul de verosimilitate maximă al

parametrului

*θ

θ .

b) Arătaţi că este un estimator nedeplasat. *θ

c) Este un estimator efficient? *θ

3. Urmărind sosirile la serviciu la o anumită instituţie unde programul

începe la ora 7, s-au cercetat la întâmplare 100 de fişe de pontaj automat şi s-

au constatat următoarele sosiri:

Ora sosirii (xi) 6,45 6,50 6,55 7 7,05 7,10 7,15

Nr.pers. (ni) 9 13 18 30 16 10 4

a) Scrieţi rezultatele sondajului ca pe o caracteristică aleatoare

reprezentând momentul sosirii la serviciu;

b) Scrieţi funcţia de repartiţie de selecţie ( )xF100 şi trasaţi-i graficul;

c) Calculaţi media de selecţie x şi dispersia de selecţie 2

σ ;

d) Luând la întâmplare o fişă de pontaj, cu ce probabilitate salariatul

va sosi înainte de ora 7.

4. Fie X o caracteristică ce urmează legea beta de parametrii p,q > 0

necunoscuţi. Să se estimeze parametrii p şi q folosind metoda momentelor, pe

baza datelor de selecţie . nxxx ,...,, 21

5. Într-o fabrică de ţesături s-a constatat că rezistenţa la rupere a unui

anumit fir textil este repartizată normal cu media m necunoscută şi dispersia

. O selecţie de volum 25 dă o medie de selecţie 6252 =σ 180=x .

Determinaţi un interval de încredere pentru media m cu

probabilitatea de încredere:

a) 90,0=α ;

b) 95,0=α ;


c) 98,0=α .

6. Dintr-o populaţie repartizată normal cu dispersia necunoscută se

face o selecţie de volum 25 obţinându-se 5,20=x şi 25,62=σ . Să se scrie

un interval de încredere pentru parametrul m cu o probabilitate de încredere:

a) 95,0=α ;

b) 98,0=α .

7. Dintr-o populaţie normal repartizată se face o selecţie de volum

16 găsindu-se xi : 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3.

Scrieţi intervalele de încredere corespunzătoare pentru media m şi respectiv

pentru dispersia cu o probabilitate de încredere 2σ 98,0=α .

8. Un producător de automobile trebuie să aleagă între două tipuri de

pneuri A şi B. Pentru a decide, face un studiu privind rezistenţa acestora la

uzură. Numărul de kilometri parcurşi cu pneuri de tip A, respectiv b, până la

uzură este o variabilă aleatoare X, respectiv Y, normală de parametri

( AAm )σ, , respectiv ( )BBm σ, .

Construiţi un interval de încredere pentru mA – mB, ştiind că:

kmA 2000=σ , kmB 5000=σ , kmx 20000= , kmy 25000= , nA = 9, nB = 21,

95,01 =−α .

9. Pentru a testa viteza cu care este absorbit pe piaţă un produs nou,

firma producătoare pune în vânzare, prin 9 magazine, loturi identice.

Cantităţile se epuizează după un număr de zile variabil după cum urmează:

Magazin i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nr.de zile xi 51 54 49 50 50 48 49 50 49


a) Să se estimeze printr-un interval de încredere 95% viteza cu care

este absorbit produsul pe piaţă (număr mediu de zile).

b) Să se determine un interval de încredere 90% pentru dispersia

numărului de zile X în care se epuizează produsul.

10. Nivelul de calciu în sângele unui adult este în medie 9,5

mgr/decilitru şi 4,0=σ . O clinică măsoară nivelul calciului la 160 de

pacienţi tineri şi găseşte 3,9=x . Verificaţi ipoteza 5,9:0 =mH faţă de

. 5,9:1 ≠mH

11. S-a stabilit experimental că nivelul colesterolului în organismul

unui adult este o variabilă aleatoare normală. O selecţie aleatoare de n = 41

adulţi a dat un nivel mediu observat al colesterolului 213=x cu 4,482=σ .

Să se testeze ipoteza H0 : m = 200 cu alternativa H1 : 200≠m la un nivel de

semnificaţie 05,0=α .

12. Măsurători independente ale rezistenţei unor piese alese din două

loturi L1 şi L2 au condus la rezultatele:

Lot L1 0,140 0,138 0,143 0,142 0,138 0,136 0,141

Lot L2 0,137 0,136 0,139 0,143 0,140 0,138 0,139

a) Să se verifice ipoteza H0 : m1 = m2 faţă de H1 : 21 mm ≠ la nivelul

de semnificaţie 01,0=α ;

b) Să se verifice faţă de la acelaşi nivel de

semnificaţie.

22

210 : σσ =H 2

2211 : σσ ≠H

Se presupune că rezistenţa este repartizată normal.

13. Se iau eşantioane din apa rezultată din răcirea la o centrală

nucleară. Se consideră că dacă temperatura apei evacuate nu depăşeşte 600C

nu constituie o primejdie pentru mediul înconjurător.


Se aleg 70 eşantioane de apă şi se măsoară temperatura fiecărui

asemenea eşantion. Se obţin rezultatele:

Temperatura în 0C 52 54 58 61 64 65

Frecvenţa 14 21 18 10 5 2

Să se verifice ipoteza faţă de la

nivelul de semnificaţie

CmH 00 60: = CmH 0

1 60: ≠

01,0=α .

14. Precizia în prelucrare a unui strung automat se verifică cu

ajutorul dispersiei dimensiunii controlate a pieselor produse. Dispersia nu

trebuie să depăşească 0,1. O selecţie extrasă la întâmplare de volum n = 25 a

dat rezultatele:

xi 3 3,5 3,8 4,4 4,5

ni 2 6 9 7 1

Presupunem că xi sunt observaţii asupra unei variabile aleatoare

normale. Să se verifice dacă strungul asigură precizia cerută, la nivelul de

semnificaţie 025,0=α .

15. În tabelul următor se dau vânzările (în mii de bucăţi) dintr-un

sortiment de marfă în 6 oraşe din România Oraşul Bucureşti Braşov Iaşi Timişoara Cluj Constanţa

Vânzările 140 120 130 160 140 130

Să se verifice că vânzările din acest sortiment reprezintă o

caracteristică repartizată uniform, folosind testul χ2, cu nivelul de

semnificaţie α = 0,05.

16. Se ţin sub observaţie n = 100 motoare electrice. Se consideră

caracteristica X, ce reprezintă numărul miilor de ore de funcţionare.

Durata 0–30 30–60 60–90 90–20 120–150 150–180 180–300

Frecvenţa 11 17 21 20 18 7 6


Să se cerceteze exponenţialitatea caracteristicii X, folosind testul lui

Kolmogorov, cu nivelul de semnificaţie α = 0,05.

2. STATISTICĂ MATEMATICĂ - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/curs/master/statistica.pdf · Statistică...

Documents

Transcript of 2. STATISTICĂ MATEMATICĂ - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/curs/master/statistica.pdf · Statistică...