Mathcad - discogirando · 2008-11-03 · Disco com furo girando com velocidade ω Raio interno= a...

Disco com furo girando com velocidade ω

Raio interno= a Raio externo = b

Estado Plano de tensão

(1) Fase elástica: 0 < p < ple

(i) Cinemática : u(r)

εr r( )ru r( )d

d= εθ r( )

u r( )r

= (1)

(ii) Equilíbrioσr a( ) 0=

rσr

dd

σr σθ−

r+ ρ ω

2− r⋅= (2)

σr b( ) 0=

(iii)Relação Constitutiva - Material elástico linear.εz

ν

E− σr σθ+( )⋅= 0= σz 0=

εr1E

σr ν σθ⋅−( )⋅= εθ1E

σθ ν σr⋅−( )⋅=

σrE

1 ν2

−( )εr ν εθ⋅+( )⋅= σθ

E

1 ν2

−( )εθ ν εr⋅+( )⋅=

σr σθ− εθ− εr+( ) Eν 1+( )

⋅= ou σr σθ−u r( )−

r ru r( )d

d+⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

Eν 1+( )

⋅= (3)

rσr

dd

E

1 ν2

−( ) 2ru r( )d

d

2ν

ru r( )

r⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

dd

⋅+⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅= (4) condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

2ru r( )d

d

2 u r( )

r2−

1r r

u r( )dd

⋅+1 ν

2−( ) ρ ω

2⋅ r⋅

E−=

ou equivalentemente:

r1r r

u r( ) r⋅( )dd

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

dd

1 ν2

−( ) ρ ω2

⋅ r⋅E

−=

u r( ) C1 r⋅C2

r+

1 ν2

−( ) ρ⋅ ω2

⋅ r3⋅

8 E⋅−=

εr r( )ru r( )d

d= C1

C2

r2−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 1 ν2

−( )⋅ ρ⋅ ω⋅ r2⋅

8 E⋅−= εθ r( )

u r( )r

= C1C2

r2+

1 ν2

−( ) ρ⋅ ω⋅ r2⋅

8 E⋅−=

σr 3 ν+( )−ρ ω

2⋅ r2⋅

8⋅

E

1 ν2

−( )1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

r2⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅+=

condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

3 ν+( )−ρ ω

2⋅ a2

⋅

8⋅

E

1 ν2

−( )1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

a2⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅+ 0=

3 ν+( )−ρ ω

2⋅ b2

⋅

8⋅

E

1 ν2

−( )1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

b2⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅+ 0=

Donde conclue-se que: C2 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ρ ω

2⋅

8 E⋅⋅ a2

⋅ b2⋅= C1 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅

ρ ω2

⋅

8 E⋅⋅ a2 b2

+( )⋅=

Assim :

u r( )ρ ω

2⋅

8E1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ a2 b2

+( )⋅ r⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ a2⋅

b2

r⋅+ 1 ν

2−( ) r3⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=

σr a2 b2+ r2−

a2 b2⋅

r2−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

3 ν+( )⋅ρ ω

2⋅

8⋅= σθ a2 b2

+1 3 ν⋅+

3 ν+r2⋅−

a2 b2⋅

r2+

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

3 ν+( )⋅ρ ω

2⋅

8⋅=

Variáveis Adimensionais:

U r( )u r( )

ρ ω2

⋅ a3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=Tr r( )

σr

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a2

⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

= Tθ r( )σθ

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a2

⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

=

Resultados para : a 1:= b α a⋅:= ν 0.3:=

r ξ( ) ξ α 1−( )⋅ 1+[ ] a⋅:= R ξ( )r ξ( )

a:=

Tr ξ( ) 1 α2

+ R ξ( )2−

α2

R ξ( )2−:= Tθ ξ( ) 1 α

2+

1 3 ν⋅+

3 ν+R ξ( )2

⋅−α

2

R ξ( )2+:=

U ξ( ) 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ 1 α2

+( )⋅ R ξ( )⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅α

2

R ξ( )⋅+ 1 ν

2−( ) R ξ( )3

⋅−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=

ξ 0 0.01, 1..:= O parâmetro de forma α está definido no final doarquivo.

0 2 4 6 8 100

16.66733.333

5066.66783.333

100116.667133.333

150166.667183.333

200216.667233.333

250

0

Tr ξ( )

Tθ ξ( )

r ξ( )0 2 4 6 8 10

600660720780840900960

1.02 103

×1.08 10

3×

1.14 103

×1.2 10

3×

1.26 103

×1.32 10

3×

1.38 103

×1.44 10

3×

1.5 103

×

U ξ( )

r ξ( )

Para a solução por Elementos Finitos

Para adimensionalizar o problema faça : E 1:= ρ 1:= ω 1:=

(a)Entrada de dados e montagem da topologia do sistema

Número de elementos e número de nós por elementos: Definidos no final doarquivo

nno nnoel 1−( ) nel⋅ 1+:= Número total de nós nno 5=

Número de nós apoiados igual a zero. Nao ha condições essenciais•neste problemaNumero de nos com Cargas Nodais e número dos nós•carregados iguais a zero . Não há cargas nodais, somentecarga de corpo

q x( )1 ν

2−( ) ρ ω

2⋅ x⋅

E:=

x1 a:= x2 b:=

i 0 nno 1−..:= ζi x1 i( )x2 x1−

nel nnoel 1−( )⋅⋅+:= Coordenadas nodais para

malha uniformeζmax max ζ( ):= ζmax 10= x x1 x1 0.01+, x2..:=

ζmim min ζ( ):= ζmim 1= ie 1 nel..:= in 1 nno..:= ig 1 nnoel..:=

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

q x( )

x

Barras/nos

ζmim ζmax

Step1 - Cria as matrizes tais que a coluna "ie" de coor contem ascordenadas nodais do elemento "ie" e inci as incidencias nodais.

inciig 1− ie 1−, nnoel 1−( ) ie 1−( )⋅ 2 ig 1−( )⋅+:= incinnoel 1− ie 1−, ie 1−( ) nnoel 1−( )⋅ 1+:=

coorig 1− ie 1−, ζ inciig 1− ie 1−, ( ):=

STEP 2 - CONDIÇÕES DE CONTORNO E NUMERO DEEQUAÇÕES (neste caso este procedimento é desnecessário, foi mantido apenas para preservar a

estrutura geral de um programa de EF)

cond k( ) j 0←

j

:= IDin 1− cond in 1−( ):=

ID neq 0←

aux IDk 1−←

neq neq 1+←

IDk 1− neq←

aux 0=if

IDk 1− 0← otherwise

k 1 nno..∈for

ID

neq⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

neq ID1:= id2 ID0:=

neq 5=

STEP 3- DEFINIÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E SUASDERIVADAS

v s( ) 1 s2−( ) δ nnoel 3, ( )⋅:= dv s( )

sv s( )d

d0→:=

N s( )

1 s−

2v s( )

2−

1 s+

2v s( )

2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

12

s2

−

s2

12

+

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:= dN s( )sN s( )0

dd

sN s( )1

dd

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

12

−

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:=

a) Mapeamento

N2 s( ) N s( )

12

s2

−

s2

12

+

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:= N3 s( )

N s( )0

N s( )1

v s( )

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

12

s2

−

s2

12

+

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→:= Ng s( ) if nnoel 2= N2 s( ), N3 s( ), ( )( )

12

s2

−

s2

12

+

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:=

dN2 s( ) dN s( )

12

−

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:= dNg s( ) if nnoel 2= dN2 s( ), dN3 s( ), ( )

12

−

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→:=dN3 s( )

dN s( )0

dN s( )1

dv s( )

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

12

−

12

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→:=

X s ie, ( ) coor ie 1−⟨ ⟩Ng s( )⋅:= dX s ie, ( ) coor ie 1−⟨ ⟩

dNg s( )⋅( ):=

b) Jacobiano J s ie, ( ) dX s ie, ( ):= s 1− 0.9−, 1..:=

STEP 4- CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DECARGA

B s ie, ( ) dNg s( )T( ) J s ie, ( ) 1−⋅⎡⎣ ⎤⎦:=

MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

KE ie( ) n ie←

auxi 1− j 1−,

1−

1

sB s n, ( )0 i 1−, B s n, ( )0 j 1−, ⋅ X s n, ( )⋅ ν B s n, ( )0 i 1−, Ng s( )j 1−⋅ B s n, ( )0 j 1−, Ng s( )i 1−⋅+( )⋅+Ng s( )i 1−

X s n, ( )Ng s( )j 1−⋅+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

J s n, ( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d←

j 1 nnoel..∈for

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

FE ie( ) n ie←

auxi 1−1−

1sq X s n, ( )( ) Ng s( )i 1−⋅ J s n, ( )⋅ X s n, ( )⋅

⌠⎮⌡

d←

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

K

auxi 1− j 1−, 0←

j neq∈for

i neq∈for

nos inci n 1−⟨ ⟩←

noi nosie 1−←

neqi id2noi←

continue neqi 0=if

noj nosje 1−←

neqj id2noj←

continue neqj 0=if

auxneqi 1− neqj 1−, auxneqi 1− neqj 1−, KE n( )ie 1− je 1−, +← otherwise

je 1 nnoel..∈for otherwise

ie 1 nnoel..∈for

n 1 nel..∈for

aux

:=

MONTAGEM DO VETOR DE CARGA GLOBAL F

auxi 0←

i 0 neq 1−..∈for

nos inci n 1−⟨ ⟩←

noi nosie 1−←

neqi id2noi←

continue neqi 0=if

auxneqi 1− auxneqi 1− FE n( )ie 1−+( )← otherwise

ie 1 nnoel..∈for

n 1 nel..∈for

aux

:=

STEP 5- Solução do Sistema de Equações

Uh K 1− F⋅:=

STEP 6- Pós- Processamento

Montagem do vetor U Global (UG): U agregado com os graus restritos

UG

auxi 1− 0←

i nno∈for

neqi id2n 1−←

continue neqi 0=if

auxn 1− if neq 1= Uh, Uhneqi 1−, ( )← otherwise

n 1 nno..∈for

aux

:=

Função Uh(ζ) aproximado

uh s e, ( ) error "o valor de s deve estar entre -1 e 1"( ) s 1>if

nos inci e 1−⟨ ⟩←

aux 0←

aux aux Ng s( )i 1− UG nosi 1−( )⋅+←

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

uh por elemento

inte 10:= i 1 nel..:= j 1 inte 1+( )..:= ds2

inte:=

locali 1− 1−:=dxi 1−

coor i 1−⟨ ⟩( )1 coor i 1−⟨ ⟩( )

0−⎡⎣

⎤⎦

inte:= xinte i 1−( )⋅ j+ 1− 0, coor i 1−⟨ ⟩( )

0 j 1−( ) dxi 1−⋅+:=

xinte i 1−( )⋅ j+ 1− 1, i:= xinte i 1−( )⋅ j+ 1− 2, locali 1− j 1−( ) ds⋅+:= np rows x( ):= np 41= p 0 np 1−..:=

Função DUh(ζ) aproximadoduh s e, ( ) error "o valor de s deve estar entre -1 e 1"( ) s 1>if

nos inci e 1−⟨ ⟩←

aux 0←

aux aux J s e, ( ) 1− dNg s( )i 1− UG nosi 1−( )⋅⎡⎣ ⎤⎦⋅+←

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

duh por elemento

Cálculo das tensões numéricas:

Thθ s e, ( )E

1 ν2

−( )uh s e, ( )X s e, ( )

ν duh s e, ( )⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=Thr s e, ( )E

1 ν2

−( )duh s e, ( ) ν

uh s e, ( )X s e, ( )

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

XX 0 0.01, 1..:= nnoel 2≡ nel 2≡ α 4≡ R.e= α Ri

1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Lineares

2 elementos

Cálculo das tensões:

1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40

Analítica MEFAnaliticaMEF

Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Lineares

3 elementos


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Lineares

4 elementos


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Lineares

5 elementos


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,

XX 0 0.01, 1..:= nnoel 2≡ nel 3≡ α 10≡ R.e= α Ri Parede Fina

0 2 4 6 8 10400

640

880

1.12 103

×

1.36 103

×

1.6 103

×

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Lineares

3 elementos


0 2 4 6 8 100

60

120

180

240

300


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 495

100

105

110

115

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,

Elementos Quadráticos

1 elemento


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,


2 elementos


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


1 1.6 2.2 2.8 3.4 4100

104

108

112

116

120

Analítica MEF

Funcao u(x)

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,


3 elementos


1 1.6 2.2 2.8 3.4 40

8

16

24

32

40


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,


0 2 4 6 8 100

300

600

900

1.2 103

×

1.5 103

×

Analítica MEF

Funcao u(x)

0

U ξ( )

uh xp 2, xp 1, , ( )ρ ω

2⋅ a

3⋅

8 E⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r ξ( ) xp 0, ,


1 elemento


0 2 4 6 8 100

60

120

180

240

300


Tensões

0

Tr ξ( )

Thr xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Tθ ξ( )

Thθ xp 2, xp 1, , ( )

3 ν+( )ρ ω

2⋅ a

2⋅

8⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r ξ( ) xp 0, , r ξ( ), xp 0, ,

Parede Fina

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