Mathcad - 2008-11-03آ  Disco com furo girando com velocidade د‰ Raio interno= a Raio externo =...

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  • Disco com furo girando com velocidade ω

    Raio interno= a Raio externo = b

    Estado Plano de tensão

    (1) Fase elástica: 0 < p < ple

    (i) Cinemática : u(r)

    εr r( ) r u r( )d

    d = εθ r( )

    u r( ) r

    = (1)

    (ii) Equilíbrio σr a( ) 0=

    r σr

    d d

    σr σθ−

    r + ρ ω

    2 − r⋅= (2)

    σr b( ) 0=

    (iii)Relação Constitutiva - Material elástico linear. εz

    ν

    E − σr σθ+( )⋅= 0= σz 0=

    εr 1 E

    σr ν σθ⋅−( )⋅= εθ 1E σθ ν σr⋅−( )⋅=

    σr E

    1 ν2−( ) εr ν εθ⋅+( )⋅= σθ E

    1 ν2−( ) εθ ν εr⋅+( )⋅=

    σr σθ− εθ− εr+( ) E ν 1+( )

    ⋅= ou σr σθ− u r( )− r r

    u r( )d d

    +⎛⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎠

    E ν 1+( )

    ⋅= (3)

  • r σr

    d d

    E

    1 ν2−( ) 2r u r( )d

    d

    2 ν

    r u r( )

    r ⎛⎜ ⎝

    ⎞⎟ ⎠

    d d

    ⋅+ ⎡⎢ ⎢⎣

    ⎤⎥ ⎥⎦

    ⋅= (4) condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

    2r u r( )d

    d

    2 u r( )

    r2 −

    1 r r

    u r( )d d

    ⋅+ 1 ν2−( ) ρ ω2⋅ r⋅

    E −=

    ou equivalentemente:

    r 1 r r

    u r( ) r⋅( )d d

    ⋅⎡⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    d d

    1 ν2−( ) ρ ω2⋅ r⋅ E

    −=

    u r( ) C1 r⋅ C2 r

    + 1 ν2−( ) ρ⋅ ω2⋅ r3⋅

    8 E⋅ −=

    εr r( ) r u r( )d

    d = C1

    C2

    r2 −

    ⎛ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎠

    3 1 ν2−( )⋅ ρ⋅ ω⋅ r2⋅ 8 E⋅

    −= εθ r( ) u r( )

    r = C1

    C2

    r2 +

    1 ν2−( ) ρ⋅ ω⋅ r2⋅ 8 E⋅

    −=

    σr 3 ν+( )− ρ ω

    2 ⋅ r2⋅

    8 ⋅

    E

    1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

    C2

    r2 ⋅−

    ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    ⋅+=

    condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

    3 ν+( )− ρ ω

    2 ⋅ a2⋅

    8 ⋅

    E

    1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

    C2

    a2 ⋅−

    ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    ⋅+ 0=

    3 ν+( )− ρ ω

    2 ⋅ b2⋅

    8 ⋅

    E

    1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

    C2

    b2 ⋅−

    ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    ⋅+ 0=

    Donde conclue-se que: C2 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ ρ ω

    2 ⋅

    8 E⋅ ⋅ a2⋅ b2⋅= C1 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅

    ρ ω 2

    8 E⋅ ⋅ a2 b2+( )⋅=

  • Assim :

    u r( ) ρ ω

    2 ⋅

    8E 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ a2 b2+( )⋅ r⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ a2⋅ b

    2

    r ⋅+ 1 ν2−( ) r3⋅−⎡⎢

    ⎤ ⎥ ⎦

    ⋅=

    σr a 2 b2+ r2−

    a2 b2⋅

    r2 −

    ⎛⎜ ⎜ ⎝

    ⎞⎟ ⎟ ⎠

    3 ν+( )⋅ ρ ω

    2 ⋅

    8 ⋅= σθ a

    2 b2+ 1 3 ν⋅+ 3 ν+

    r2⋅− a2 b2⋅

    r2 +

    ⎛⎜ ⎜ ⎝

    ⎞⎟ ⎟ ⎠

    3 ν+( )⋅ ρ ω

    2 ⋅

    8 ⋅=

    Variáveis Adimensionais:

    U r( ) u r( )

    ρ ω 2

    ⋅ a3⋅ 8 E⋅

    ⎛ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎠

    = Tr r( )

    σr

    3 ν+( ) ρ ω

    2 ⋅ a2⋅

    8 ⋅

    ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    = Tθ r( ) σθ

    3 ν+( ) ρ ω

    2 ⋅ a2⋅

    8 ⋅

    ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    =

    Resultados para : a 1:= b α a⋅:= ν 0.3:=

    r ξ( ) ξ α 1−( )⋅ 1+[ ] a⋅:= R ξ( ) r ξ( )

    a :=

    Tr ξ( ) 1 α 2

    + R ξ( )2− α

    2

    R ξ( )2 −:= Tθ ξ( ) 1 α

    2 +

    1 3 ν⋅+ 3 ν+

    R ξ( )2⋅− α

    2

    R ξ( )2 +:=

    U ξ( ) 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ 1 α2+( )⋅ R ξ( )⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ α 2

    R ξ( ) ⋅+ 1 ν2−( ) R ξ( )3⋅−⎡⎢

    ⎤ ⎥ ⎦

    :=

  • ξ 0 0.01, 1..:= O parâmetro de forma α está definido no final do arquivo.

    0 2 4 6 8 10 0

    16.667 33.333

    50 66.667 83.333

    100 116.667 133.333

    150 166.667 183.333

    200 216.667 233.333

    250

    0

    Tr ξ( )

    Tθ ξ( )

    r ξ( ) 0 2 4 6 8 10

    600 660 720 780 840 900 960

    1.02 10 3

    × 1.08 10

    3 ×

    1.14 10 3

    × 1.2 10

    3 ×

    1.26 10 3

    × 1.32 10

    3 ×

    1.38 10 3

    × 1.44 10

    3 ×

    1.5 10 3

    ×

    U ξ( )

    r ξ( )

  • Para a solução por Elementos Finitos

    Para adimensionalizar o problema faça : E 1:= ρ 1:= ω 1:=

    (a)Entrada de dados e montagem da topologia do sistema

    Número de elementos e número de nós por elementos: Definidos no final do arquivo

    nno nnoel 1−( ) nel⋅ 1+:= Número total de nós nno 5=

    Número de nós apoiados igual a zero. Nao ha condições essenciais• neste problema Numero de nos com Cargas Nodais e número dos nós• carregados iguais a zero . Não há cargas nodais, somente carga de corpo

    q x( ) 1 ν2−( ) ρ ω2⋅ x⋅

    E :=

    x1 a:= x2 b:=

    i 0 nno 1−..:= ζi x1 i( ) x2 x1−

    nel nnoel 1−( )⋅ ⋅+:= Coordenadas nodais para

    malha uniforme ζmax max ζ( ):= ζmax 10= x x1 x1 0.01+, x2..:=

    ζmim min ζ( ):= ζmim 1= ie 1 nel..:= in 1 nno..:= ig 1 nnoel..:=

  • 2 4 6 8 10 0

    2

    4

    6

    8

    10

    q x( )

    x

    Barras/nos

    ζmim ζmax

    Step1 - Cria as matrizes tais que a coluna "ie" de coor contem as cordenadas nodais do elemento "ie" e inci as incidencias nodais.

    inciig 1− ie 1−, nnoel 1−( ) ie 1−( )⋅ 2 ig 1−( )⋅+:= incinnoel 1− ie 1−, ie 1−( ) nnoel 1−( )⋅ 1+:=

    coorig 1− ie 1−, ζ inciig 1− ie 1−, ( ):=

    STEP 2 - CONDIÇÕES DE CONTORNO E NUMERO DE EQUAÇÕES (neste caso este procedimento é desnecessário, foi mantido apenas para preservar a estrutura geral de um programa de EF)

    cond k( ) j 0←

    j

    := IDin 1− cond in 1−( ):=

    ID neq 0←

    aux IDk 1−←

    neq neq 1+←

    IDk 1− neq←

    aux 0=if

    IDk 1− 0← otherwise

    k 1 nno..∈for

    ID

    neq ⎛ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎠

    :=

    neq ID1:= id2 ID0:=

    neq 5=

  • STEP 3- DEFINIÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E SUAS DERIVADAS

    v s( ) 1 s2−( ) δ nnoel 3, ( )⋅:= dv s( ) s v s( )d

    d 0→:=

    N s( )

    1 s− 2

    v s( ) 2

    1 s+ 2

    v s( ) 2

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    1 2

    s 2

    s 2

    1 2

    +

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:= dN s( ) s N s( )0

    d d

    s N s( )1

    d d

    ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

    ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

    1 2

    1 2

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:=

    a) Mapeamento

    N2 s( ) N s( )

    1 2

    s 2

    s 2

    1 2

    +

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:= N3 s( )

    N s( )0

    N s( )1

    v s( )

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    1 2

    s 2

    s 2

    1 2

    +

    0

    ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:= Ng s( ) if nnoel 2= N2 s( ), N3 s( ), ( )( )

    1 2

    s 2

    s 2

    1 2

    +

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:=

    dN2 s( ) dN s( )

    1 2

    1 2

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:= dNg s( ) if nnoel 2= dN2 s( ), dN3 s( ), ( )

    1 2

    1 2

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:=dN3 s( )

    dN s( )0

    dN s( )1

    dv s( )

    ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    1 2

    1 2

    0

    ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

    ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

    →:=

    X s ie, ( ) coor ie 1− 〈 〉

    Ng s( )⋅:= dX s ie, ( ) coor ie 1− 〈 〉

    dNg s( )⋅( ):=

    b) Jacobiano J s ie, ( ) dX s ie, ( ):= s 1− 0.9−, 1..:=

    STEP 4- CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DE CARGA

    B s ie, ( ) dNg s( )T( ) J s ie, ( ) 1−⋅⎡⎣ ⎤⎦:=

    MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

  • MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

    KE ie( ) n ie←

    auxi 1− j 1−, 1−

    1

    sB s n, ( )0 i 1−, B s n, ( )0 j 1−, ⋅ X s n, ( )⋅ ν B s n, ( )0 i 1−, Ng s( )j 1−⋅ B s n, ( )0 j 1−, Ng s( )i 1−⋅+( )⋅+ Ng s( )i 1− X s n, ( )

    Ng s( )j 1−⋅+ ⎡ ⎢ ⎣

    ⎤ ⎥ ⎦

    J s n, ( )⋅ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡

    d←

    j 1 nnoel..∈for

    i 1 nnoel..∈for

    aux

    :=

    FE ie( ) n ie←

    auxi 1− 1−

    1 sq X s n, ( )( ) Ng s( )i 1−⋅ J s n, ( )⋅ X s n, ( )⋅

    ⌠ ⎮ ⌡

    d←

    i 1 nnoel..∈for

    aux

    :=

  • MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

    K

    auxi 1− j 1−, 0←

    j neq∈for

    i neq∈for

    nos inci n 1− 〈 〉