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### Transcript of Mathcad - 2008-11-03آ  Disco com furo girando com velocidade د‰ Raio interno= a Raio externo =...

• Disco com furo girando com velocidade ω

Raio interno= a Raio externo = b

(1) Fase elástica: 0 < p < ple

(i) Cinemática : u(r)

εr r( ) r u r( )d

d = εθ r( )

u r( ) r

= (1)

(ii) Equilíbrio σr a( ) 0=

r σr

d d

σr σθ−

r + ρ ω

2 − r⋅= (2)

σr b( ) 0=

(iii)Relação Constitutiva - Material elástico linear. εz

ν

E − σr σθ+( )⋅= 0= σz 0=

εr 1 E

σr ν σθ⋅−( )⋅= εθ 1E σθ ν σr⋅−( )⋅=

σr E

1 ν2−( ) εr ν εθ⋅+( )⋅= σθ E

1 ν2−( ) εθ ν εr⋅+( )⋅=

σr σθ− εθ− εr+( ) E ν 1+( )

⋅= ou σr σθ− u r( )− r r

u r( )d d

+⎛⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

E ν 1+( )

⋅= (3)

• r σr

d d

E

1 ν2−( ) 2r u r( )d

d

2 ν

r u r( )

r ⎛⎜ ⎝

⎞⎟ ⎠

d d

⋅+ ⎡⎢ ⎢⎣

⎤⎥ ⎥⎦

⋅= (4) condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

2r u r( )d

d

2 u r( )

r2 −

1 r r

u r( )d d

⋅+ 1 ν2−( ) ρ ω2⋅ r⋅

E −=

ou equivalentemente:

r 1 r r

u r( ) r⋅( )d d

⋅⎡⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

d d

1 ν2−( ) ρ ω2⋅ r⋅ E

−=

u r( ) C1 r⋅ C2 r

+ 1 ν2−( ) ρ⋅ ω2⋅ r3⋅

8 E⋅ −=

εr r( ) r u r( )d

d = C1

C2

r2 −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

3 1 ν2−( )⋅ ρ⋅ ω⋅ r2⋅ 8 E⋅

−= εθ r( ) u r( )

r = C1

C2

r2 +

1 ν2−( ) ρ⋅ ω⋅ r2⋅ 8 E⋅

−=

σr 3 ν+( )− ρ ω

2 ⋅ r2⋅

8 ⋅

E

1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

r2 ⋅−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⋅+=

condições de contorno: σr a( ) 0= σr b( ) 0=

3 ν+( )− ρ ω

2 ⋅ a2⋅

8 ⋅

E

1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

a2 ⋅−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⋅+ 0=

3 ν+( )− ρ ω

2 ⋅ b2⋅

8 ⋅

E

1 ν2−( ) 1 ν+( ) C1⋅ 1 ν−( )

C2

b2 ⋅−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⋅+ 0=

Donde conclue-se que: C2 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ ρ ω

2 ⋅

8 E⋅ ⋅ a2⋅ b2⋅= C1 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅

ρ ω 2

8 E⋅ ⋅ a2 b2+( )⋅=

• Assim :

u r( ) ρ ω

2 ⋅

8E 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ a2 b2+( )⋅ r⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ a2⋅ b

2

r ⋅+ 1 ν2−( ) r3⋅−⎡⎢

⎤ ⎥ ⎦

⋅=

σr a 2 b2+ r2−

a2 b2⋅

r2 −

⎛⎜ ⎜ ⎝

⎞⎟ ⎟ ⎠

3 ν+( )⋅ ρ ω

2 ⋅

8 ⋅= σθ a

2 b2+ 1 3 ν⋅+ 3 ν+

r2⋅− a2 b2⋅

r2 +

⎛⎜ ⎜ ⎝

⎞⎟ ⎟ ⎠

3 ν+( )⋅ ρ ω

2 ⋅

8 ⋅=

U r( ) u r( )

ρ ω 2

⋅ a3⋅ 8 E⋅

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

= Tr r( )

σr

3 ν+( ) ρ ω

2 ⋅ a2⋅

8 ⋅

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

= Tθ r( ) σθ

3 ν+( ) ρ ω

2 ⋅ a2⋅

8 ⋅

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

=

Resultados para : a 1:= b α a⋅:= ν 0.3:=

r ξ( ) ξ α 1−( )⋅ 1+[ ] a⋅:= R ξ( ) r ξ( )

a :=

Tr ξ( ) 1 α 2

+ R ξ( )2− α

2

R ξ( )2 −:= Tθ ξ( ) 1 α

2 +

1 3 ν⋅+ 3 ν+

R ξ( )2⋅− α

2

R ξ( )2 +:=

U ξ( ) 1 ν−( ) 3 ν+( )⋅ 1 α2+( )⋅ R ξ( )⋅ 1 ν+( ) 3 ν+( )⋅ α 2

R ξ( ) ⋅+ 1 ν2−( ) R ξ( )3⋅−⎡⎢

⎤ ⎥ ⎦

:=

• ξ 0 0.01, 1..:= O parâmetro de forma α está definido no final do arquivo.

0 2 4 6 8 10 0

16.667 33.333

50 66.667 83.333

100 116.667 133.333

150 166.667 183.333

200 216.667 233.333

250

0

Tr ξ( )

Tθ ξ( )

r ξ( ) 0 2 4 6 8 10

600 660 720 780 840 900 960

1.02 10 3

× 1.08 10

3 ×

1.14 10 3

× 1.2 10

3 ×

1.26 10 3

× 1.32 10

3 ×

1.38 10 3

× 1.44 10

3 ×

1.5 10 3

×

U ξ( )

r ξ( )

• Para a solução por Elementos Finitos

Para adimensionalizar o problema faça : E 1:= ρ 1:= ω 1:=

Número de elementos e número de nós por elementos: Definidos no final do arquivo

nno nnoel 1−( ) nel⋅ 1+:= Número total de nós nno 5=

Número de nós apoiados igual a zero. Nao ha condições essenciais• neste problema Numero de nos com Cargas Nodais e número dos nós• carregados iguais a zero . Não há cargas nodais, somente carga de corpo

q x( ) 1 ν2−( ) ρ ω2⋅ x⋅

E :=

x1 a:= x2 b:=

i 0 nno 1−..:= ζi x1 i( ) x2 x1−

nel nnoel 1−( )⋅ ⋅+:= Coordenadas nodais para

malha uniforme ζmax max ζ( ):= ζmax 10= x x1 x1 0.01+, x2..:=

ζmim min ζ( ):= ζmim 1= ie 1 nel..:= in 1 nno..:= ig 1 nnoel..:=

• 2 4 6 8 10 0

2

4

6

8

10

q x( )

x

Barras/nos

ζmim ζmax

Step1 - Cria as matrizes tais que a coluna "ie" de coor contem as cordenadas nodais do elemento "ie" e inci as incidencias nodais.

inciig 1− ie 1−, nnoel 1−( ) ie 1−( )⋅ 2 ig 1−( )⋅+:= incinnoel 1− ie 1−, ie 1−( ) nnoel 1−( )⋅ 1+:=

coorig 1− ie 1−, ζ inciig 1− ie 1−, ( ):=

STEP 2 - CONDIÇÕES DE CONTORNO E NUMERO DE EQUAÇÕES (neste caso este procedimento é desnecessário, foi mantido apenas para preservar a estrutura geral de um programa de EF)

cond k( ) j 0←

j

:= IDin 1− cond in 1−( ):=

ID neq 0←

aux IDk 1−←

neq neq 1+←

IDk 1− neq←

aux 0=if

IDk 1− 0← otherwise

k 1 nno..∈for

ID

neq ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

:=

neq ID1:= id2 ID0:=

neq 5=

• STEP 3- DEFINIÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E SUAS DERIVADAS

v s( ) 1 s2−( ) δ nnoel 3, ( )⋅:= dv s( ) s v s( )d

d 0→:=

N s( )

1 s− 2

v s( ) 2

1 s+ 2

v s( ) 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 2

s 2

s 2

1 2

+

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:= dN s( ) s N s( )0

d d

s N s( )1

d d

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

1 2

1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:=

a) Mapeamento

N2 s( ) N s( )

1 2

s 2

s 2

1 2

+

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:= N3 s( )

N s( )0

N s( )1

v s( )

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 2

s 2

s 2

1 2

+

0

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:= Ng s( ) if nnoel 2= N2 s( ), N3 s( ), ( )( )

1 2

s 2

s 2

1 2

+

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:=

dN2 s( ) dN s( )

1 2

1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:= dNg s( ) if nnoel 2= dN2 s( ), dN3 s( ), ( )

1 2

1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:=dN3 s( )

dN s( )0

dN s( )1

dv s( )

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 2

1 2

0

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

→:=

X s ie, ( ) coor ie 1− 〈 〉

Ng s( )⋅:= dX s ie, ( ) coor ie 1− 〈 〉

dNg s( )⋅( ):=

b) Jacobiano J s ie, ( ) dX s ie, ( ):= s 1− 0.9−, 1..:=

STEP 4- CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DE CARGA

B s ie, ( ) dNg s( )T( ) J s ie, ( ) 1−⋅⎡⎣ ⎤⎦:=

MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

• MATRIZES E VETORES ELEMENTARES i 1 nnoel..:= j 1 nnoel..:=

KE ie( ) n ie←

auxi 1− j 1−, 1−

1

sB s n, ( )0 i 1−, B s n, ( )0 j 1−, ⋅ X s n, ( )⋅ ν B s n, ( )0 i 1−, Ng s( )j 1−⋅ B s n, ( )0 j 1−, Ng s( )i 1−⋅+( )⋅+ Ng s( )i 1− X s n, ( )

Ng s( )j 1−⋅+ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

J s n, ( )⋅ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡

d←

j 1 nnoel..∈for

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

FE ie( ) n ie←

auxi 1− 1−

1 sq X s n, ( )( ) Ng s( )i 1−⋅ J s n, ( )⋅ X s n, ( )⋅

⌠ ⎮ ⌡

d←

i 1 nnoel..∈for

aux

:=

• MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

K

auxi 1− j 1−, 0←

j neq∈for

i neq∈for

nos inci n 1− 〈 〉