ELEMENTI TEORIJE NAPONARAVNO STANJE NAPONA

SAVIJANJE SILAMA

OTPORNOST MATERIJALA I

Normalni napon

Smiui napon

Totalni napon u ravnisa normalom n u taki M

NAPON U PRESENOJ RAVNI

Ukupni totalni napon se moe razloiti na tri komponente:

U pravcu normale na presek normalni napon nu ravni presekatangencijalnoj ravni smiui napon n

koji moe da se razloi na komponente u ravni preseka u pravcima l, m nl, nm

Intenzitet totalnog napona:

n n nl nm = + + 2 2

n n n = + Ukupni totalni napon:

Pojam napona vezan je za odreenu taku i ravan kojoj pripada ta taka.

Nekom drugom preseku kroz taku M tela odgovarae neki drugi napon

Takvih preseka koji se mogu povui kroz proizvoljnu taku tela ima bezbroj, pa e prema tome za tu taku postojati bezbroj totalnih napona. Skup svih totalnih napona u toj taki naziva se stanjem napona.

Ovaj problem se, meutim moe uprostiti, jer te vrednosti podleu vezama, nisu potpuno nezavisne, tako da je dovoljno da se za usvojen Dekartov koordinatni sistem u prostoru, u okolini take, posmatraju ukupni naponi u ravnima ije su normale ose koordinatnog sistema.

Stanje napona u proizvoljnoj taki tela izloenog dejstvuspoljnjih sila je odreeno ako su poznati vektori napona za svepresene ravni kroz tu taku.Skup svih tih vektora odreuje stanje napona u toj taki.

STANJE NAPONA U OKOLINI TAKE

nStanje napona u nekoj taki je poznato

ako je poznat vektor naponaza bilo koju presenu ravan u toj taki.

Treba pokazati da je za poznavanje vektora naponaza proizvoljnu presenu ravan potrebno znativektore napona za bilo koje tri nekomplenarnepresene ravni u toj taki.

KOMPONENTALNI NAPONI. TENZOR NAPONA

dAdF

AFlim zz

0Az=

=

dAdF

AFlim xx

0Azx=

=

dAdF

AF

lim yy0Azy

=

=

.

Normalni napon

Smiui ili tangencijalni napon

dAdF

AFlim zz

0Az=

=

dAdF

AFlim xx

0Azx=

=

dAdF

AF

lim yy0Azy

=

=

Normalni napon

Smiui ili tangencijalni napon

Indeks z uz oznaava pravac normale presene ravni, ime je definisana povrina A.

zx zy

gde z definie povrinu A, a x i y pravce komponenata smiueg napona.

Dva indeksa se koriste u obeleavanju komponenata smiueg napona

Intenzitet sile koja deluje tangentno napovrinu A po jedinici povrine, je smiuinapon (tau). Komponente smiueg naponasu:

Intenzitet sile koja deluje normalno na povrinu A po jedinici povrine se definie kao normalni napon (sigma).

Ako je normalna sila, ili napon usmeren odelementarne povrine A, tj. u smeru normalepresene ravni, radi se o naponu zatezanja, aako je usmeren prema njoj, onda je to naponpritiska.

kji zzyzxz

++=

Ravan xOy je ravan sa normalom z, a napon u njoj je z

Ravan yOz je ravan sa normalom x, a napon u njoj je x

kji yzyyxy

++=

Ravan xOz je ravan sa normalom y, a napon u njoj je y

kji xzxyxx

++=

Za poznavanje stanja napona u jednoj taki tela izloenog dejstvu spoljnjih sila potrebnoje poznavati napone u tri meusobno upravne ravni, na osnovu kojih se moe odreditiukupni napon u proizvoljnoj ravni koja prolazi kroz zadatu taku deformisanog tela.

KOMPONENTALNI NAPONI. TENZOR NAPONA

kji xzxyxx

++=

kji yzyyxy

++=

kji zzyzxz

++=

.

Ako kroz proizvoljnu taku O napregnutog tela postavimo trimeusobno upravne ravni, onda devet komponentalnih napona

x y z, ,

xy xz yx yz zx zy, , , , ,

tri normalna

i est smiuihkoje se javljaju u tim ravnima potpuno odreuju naponsko stanje u okolini take O.

Ako je poznato ovih devet veliina onda moemo da odredimovektor napona za bilo koju ravan koja prolazi kroz taku O.

OSNOVNI STAV ANALIZE NAPONA. STAV O KONJUGOVANOSTI SMIUIH NAPONA

yxxy =

zyyz =

xzzx =

Smiui naponi na dvema meusobno upravnim povrimausmereni su upravno na pravu dobijenu presekom tih povri,istog su intenziteta sa smerovima ka ili od presene prave.

Osnovni stav analize napona - stav o konjugovanosti smiuih napona

Stav o konjugovanosti napona smicanja: U dvema meusobno upravnim ravnima komponente napona smicanja koje su normalne na presenu pravu tih ravni jednake su po veliini, a obe imaju smer ili ka presenoj ravni ili od nje.

yxxy =

zyyz =

xzzx =

Ako je poznato devet veliina:

od ega je samo est razliitih jer je na osnovu stava o konjugovanosti napona:

tj. ako su poznati komponentalni naponi za tri meusobno upravne ravni stanje napona u toj taki je potpuno odreeno.Komponentalni naponi se nazivaju komponente tenzora napona i predstavljaju se u obliku kvadratne eme matrica tenzora napona ili tenzor napona.Na osnovu zakona o konjugovanosti smiuih napona matrica tenzora napona je simetrina u odnosu na glavnu dijagonalu.Tenzor napona je simetrian tenzor drugog reda.

( )

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

S

Tenzor napona za prostorno stanje napona

x y z, , xy xz yx yz zx zy, , , , ,

yxxy = zyyz = xzzx =

Komponentalni naponi koji lee na glavnoj dijagonali matrice tenzora napona, deluju normalno na presene ravni i nazivaju se normalni naponi, dok komponentalni naponi koji se nalaze van glavne dijagonale deluju u presenim ravnima i stoga se nazivaju tangencijalni ili smiui naponi.

( )

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

S

Znak komponentalnih napona odreuje se prema konvenciji o znaku napona:Na elementu povrine sa smerom spoljne normale u smeru koordinatne ose pozitivnikomponentalni naponi deluju u pozitivnom smeru koordinatnih osa.U suprotnom sluaju, tj. kada je spoljna normala orijentisana suprotno od koordinatne ose,pozitivan napon dejstvuje u smeru suprotnom od pozitivnog smera koordinatne ose.Odavde sledi da e normalni napon biti usvojen kao pozitivan ako zatee presenu ravan,a negativan ako je pritiska.

Vektori napona za sve mogue presene ravni kroz datu takuobrazuju u optem sluaju jedan prostorni skup vektora, a takvonajoptije stanje se naziva prostorno stanje napona (troosno).

Postoje sluajevi kada vektori napona za sve mogue presene ravni lee u jednoj ravni ravno ili dvoosno stanje napona, odnosno kada svi ti vektori imaju isti pravac, kolinearni su linearno, ili jednoosno stanje napona(aksijalno naprezanje, isto pravo savijanje itd.).

( )

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

S

RAVNO (DVOOSNO) STANJE NAPONAAko naponi u nekoj taki za bilo koju presenu ravan lee u jednoj ravni stanje napona je ravno.

Stanje napona u nekoj taki u sluaju ravnog stanja napona je u potpunosti odreeno poznavanjem triju komponenti napona x, y i xy (xy =yx).

TENZOR NAPONA PRI RAVNOM STANJU NAPONA

( )

=

yyx

xyxS

Stanje napona u taki na povrini aviona je ravno.

xy = yx

Primeri ravnog stanja napona

Ako su poznati naponi u ravnima upravnim na napregnutu ravan xOymoe se odrediti normalni i smiui napon u bilo kojoj ravni ija normala zaklapa ugao sa osom x primenom sledeih izraza:

( ) ( )x y x y xy1 1 cos 2 sin 22 2 = + + + ( )x y xy1 sin 2 cos 22 =

GLAVNI NAPONI I GLAVNE OSE PRI RAVNOM STANJU NAPONA

Pri rotaciji kose ravni, tj. pri promeni ugla izmeu normale i koordinatnih osa, naponi se menjaju prema ovim formulama.Postoje ravni u kojima se ne javljaju smiui naponi.Te ravni se nazivaju glavne ravni, a normalni naponi za te ravni su glavni naponi.

( )x y xy1 sin 2 cos 22 = ( ) ( )x y x y xy1 1 cos 2 sin 22 2 = + + +

( ) ( )x y x y xy1 1 cos 2 sin 22 2 = + + + ( )x y xy1 sin 2 cos 22 =

Postoji odreeni poloaj = kada normalni napon dostie ekstremnu vrednost. Ugao se moe odrediti diferenciranjem izraza za normalni napon po uglu i izjednaavanjem sa nulom

( )

= 2cos2sin

212

dd

xyyx

d 2 0d

= =

( ) 02cos2sin21

xyyx = cos2

yx

xy22tg

= 22 = 21 +pi 212

pi+=

.

U presenim ravnima u kojimanormalni napon dostie ekstremnuvrednost smiui napon je jednak nuli.

Ravni u kojima se javljaju ekstremne vrednosti normalnih napona meusobno ortogonalne.

( )=Ekstremne vrednosti glavnih napona se zovu glavni naponi, a ravni u kojima se oni javljaju ravni glavnih napona ili glavne ravni.

Pravci sa kojima su ti naponi paralelni zovu se pravci glavnih napona, a odgovarajue ose ose glavnih napona ili glavne ose. Glavni naponi se oznaavaju sa 1 i 2, pri emu je 1=max, a 2=min.

Kako je funkcija neprekidna i periodina sa periodom pi, jedna vrednost je maksimum, a druga je minimum.

212pi

+=

yx

xy22tg

=

Izrazi za odreivanje glavnih napona pri ravnom stanju napona:

2xy

2yxyx

minmax,2,1 22+

+==

Konstrukcija Mohr-ovog kruga napona

o

(x+y )x

xy

C (x,xy)

o1

y

xy

D (y, xy)

2 1

M(n,n)

2

(x-y )

Glavni naponi pri ravnom stanju naprezanja

o

(x+y )x

xy

C (x,xy)

o1

y

xy

D (y, xy)

2 1

(x-y )

R

21

22

Maksimalan smiui napon i pravci glavnih napona

o

(x+y )x

xy

C (x,xy)

o1

y

xy

D (y, xy)

2 1

(x-y )

R

21

22

1

pravac glavnog napona 1

2

pravac glavnog napona 2

max

min

SMIUI NAPONI FORMULA URAVSKOG

SAVIJANJE GREDE SILAMA

OTPORNOST MATERIJALA I

TANGENCIJALNI (SMIUI) NAPONINaponi koji deluju u ravni poprenog preseka se nazivaju tangencijalni ili smiui naponi

Usled komplementarne prirode napona smicanja elementarni deo grede izloen je kako dejstvu tangencijalnog napona u poprenom preseku tako i tangencijalnom naponu u podunom preseku grede.

Ako se greda savija pod dejstvom sila koje deluju u glavnoj ravni yz pored momenta savijanja u presecima grede se javljaju i transverzalne sile.U ovom sluaju moment savijanja M nije konstantan, kao to je to bio sluaj kod istog savijanja, nego se menja du ose grede.Pri savijanju silama se u poprenom preseku grede pored normalnih napona zjavljaju i smiui naponi zy. Ekvivalent smiuim naponima u poprenom preseku grede je trensverzalna sila.Smiui i normalni naponi u poprenom preseku grede su rasporeeni neravnomerno, pa je neravnomerna i ugaona deformacija po poprenom preseku grede.To znai da pri savijanju silama, za razliku od istog pravog savijanja, popreni preseci grede ne ostaju ravni - u ovom sluaju ne vai Bernulijeva hipoteza.

SAVIJANJE SILAMA

Iako je hipoteza o ravnim presecima naruena kod grede optereene silama, tj. izloene savijanju i smicanju istovremeno, smatraemo da je krivljenje preseka zanemarljivo. Ovo tvrenje je uglavnom tano za grede ija je irina poprenog preseka mala u odnosu na duinu grede.

Transverzalna sila izaziva smicanje Moment savijanja izaziva savijanje

Lom i oteenja usled smiuih napona

Smiui (tangencijalni) napon grede izloene savijanju silama se ne moe odrediti iz uslova ravnotee.Iz grede se isee element duine dz izmeu dva bliska poprena preseka.

Zatim se element presee pomou ravni A1B1BA na rastojanju y od neutralnog sloja, tj. od ravni xy i odvoji se gornji deo.

RASPODELA SMIUIH NAPONA FORMULA URAVSKOG

y

U toj presenoj ravni deluje smiui napon .

Na gornji odseeni deo elementa deluju normalni naponi i +d koji se svode na nejednake rezultujue sile od kojih jedna deluje u smeru z ose, a druga u suprotnom smeru.

Radi uravnoteenja ovih sila treba u horizontalnoj presenoj ravni da deluje sila koja predstavlja rezultantu smiuih napona .

Na osnovu stava o konjugovanosti smiuih napona smiui naponi u dvema upravnim ravnima (podunom i poprenom preseku), du presenih linija tih ravni, meusobno su jednaki i deluju ka presenoj liniji ili od nje (zy= yz).

Uslov ravnotee elementa:( ) ( )

=++=AA

0dzybdAddA0Z

( ) dAddzyb'A = ( ) dAdz

dyb

1'A

=

yIM

x

=

yITy

IdzdM

dzd

xx

==

( ) ( ) ( )yb

SIT

yb

dAy

ITdA

dzd

yb1 odsx

x

'A

x'A==

=

T transverzalna sila u preseku

Sxods statiki moment odseene povrine

( )ybS

IT odsxx

=

Formula uravskog U otpornosti materijala pri ispitivanju napona u gredi savijenoj silama polazi se od hipoteze uravskog:Pri pravom savijanju grede silama, komponenta smiueg napona paralelna ravni savijanja, moe se smatrati konstantnom du pravih paralelnih sa neutralnom osom, a komponenta upravna na ravan savijanja moe se zanemariti.

Komponenta smiueg naponaparalelna ravni savijanja jekonstantna du pravih paralelnihsa neutralnom osom

Komponenta smiueg naponaupravna na ravan savijanja se moe zanemariti

Poveanjem rastojanja y smanjuje se povrina Apa se samim tim smanjuje statiki moment inercije Sods.

Za ymax A=0 i Sods=0, pa je =0.

Pribliavanjem donjoj ivici poprenog preseka, rafirana povrina se izjednaava sa povrinom celog preseka A=A,a statiki moment celog preseka u odnosu na teinu osu je jednak nuli,pa je i napon na donjoj ivici preseka =0.

U najudaljenijim takama preseka od ose x, smiui naponi su jednaki nuli.

y

PRAVOUGAONI PRESEK

3

x

bhI , b(y) b12

= =

h22

ods 2x

A y

b hS dA bd y2 4

= = =

( )ods 2

2x3

x

ST 6 hT yI b y b h 4

= =

Po visini poprenog preseka smiui napon se menja po zakonu kvadratne parabole.Na krajnjim vlaknima gde je y=h/2 smiui naponi su jednaki nuli,dok maksimalnu vrednost smiui napon ima u nivou teine ose.

( ) ( )ods 2 2

2 2xmax y 0 3 3

x

ST 6 h 6 h 3 T 3 TT y T 0I b y b h 4 b h 4 2 bh 2 bh=

= = = = = =

max

3 T2 A

=

KRUNI PRESEK

( )ods 3x 2S R sin b y 2R sin3= = 4

x

RI4

pi=

( ) ( )ods

2 2x4

x

ST 4 T R yI b y 3 R

= = pi

max 24 T 4 T3 R 3 A

= =pi

SMIUI NAPONI KOD POPRENIH PRESEKA IJA SE IRINA NAGLO MENJA

ods odsx x

x x

S ST T bI b I b b

= = =

GLAVNI NAPONI KOD SAVIJANJA SILAMAKao to je ve reeno, savijanje silama predstavlja naprezanje tapa pri kojem se u poprenim presecima javlja moment savijanja (koji nije konstantan du ose nosaa) i transferzalna (poprena) sila.Takvo naprezanje mogu izazvati razliita optereenja koja lee u ravni savijanja koja obuhvata osu tapa: koncentrisana (poprena sila i spreg) kontinualno (ravnomerno) raspodeljena.

F a F a

Kod savijanja silama na osnovu svega napred reenog zakljuuje se da su svi komponentalni naponi jednaki nuli, sem normalnog napona u pravcu ose tapa z i smiueg napona zy.

zx 0 =

z zy0 0 0xyyx ===

Pri savijanju grede silama stanje napona je ravno.

2x y x y 2

1,2 max,min xy2 2 +

= = +

yx

xy22tg

=

Izrazi za odreivanje glavnih napona i pravaca glavnih osa kod ravnog stanja napona kao to je poznato glase:

Normalni napon od savijanja se odreuje na osnovu izraza:

Smiui napon se odreuje primenom formule uravskog:

( )( )ods

y xzy

x

T z SI b y

=

( )xz

x

M zy

I =

Izrazi za odreivanje glavnih napona i pravaca glavnih osa kod ravnog stanja napona kao to je savijanje silama glase:

22z z

1,2 max,min zy2 2

= = +

zy1,2

z

2tg2

=

2 2z1,2 max,min z zy

1 42 2

= = +

x y1,2 max,min

+ = =

x y

2

2

2xy2

+

x z y, 0 = =Ovde je

KONZOLA OPTEREENA SILOM NA SLOBODNOM KRAJU

T

Na podunom preseku grede prikazane su krive ije se tangente usvakoj taki nalaze u jednoj od glavnih ravni za tu taku. Ove krive senazivaju trajektorije glavnih napona. Na slici su prikazanetrajektorije glavnih napona za konzolu optereenu silom na kraju.Poznavanje ovih linija moe da bude od koristi inenjerima prilikomprojektovanja konstrukcija.

KONZOLA OPTEREENA KONTINUALNIM OPTEREENJEM

A

A

T V q 0,3 84kN0,3M V 0,3 q 0,3 30,6kNm2

= =

= =

Sile u naznaenom preseku su:Komponente napona u taki P:

( )

( )( )

2

2 4x

3odsx

2 4x

M 30,6 10 kNcmy 10cm 45,4 MPaI 67, 4 10 cm

84 kN 17,5 1,5 10,75 cmT S 35,2 MPab y I 67,5 10 cm 1cm

= = =

= = =

( ) ( )

2 2z1,2 z zy

2 2

1

2

1 42 245,4 1 45,4 4 35,2

2 219,2 MPa

64,6 MPa

= +

= +

=

=

( )zy1,2

z

2 2 35,2tg2 1,550661

45,4drugi kvadrant

+ = = =

o

12 180 arc tg1,550661 = 0

1 118,6 =

Glavni naponi u taki P: a pravci glavnih napona:

x y 45,4 0OC 22,7 MPa2 2

+ +

= = =

Glavni napini u taki P mogu se odrediti i primenom Morovih krugova napona. Kao to je prikazano na slici, centar kruga je na osi , udaljen od koordinatnog poetka za:

Taka P ima koordinte 45, 4 MPa, 35, 2 MPa = =

.

Konstruie se krug koji prolazi kroz take C i P.

Sa slike se moe sraunati poluprenik ove krunice, R=41,9, kao i veliine glavnih napona: 1=R-22,7=19,2 MPa, 2=-R-22,7=-64,6 MPa.

DIMENZIONISANJE GREDA KOD SAVIJANJA SILAMAPRORAUN VRSTOE KONTROLA NAPONA

U optem sluaju grede savijene silama mogu se javiti i normalni i smiui naponi.

Normalni napon ima najveu vrednost u preseku u kome deluje maksimalni moment savijanja i to u takama u koje su najudaljenije od neutralne linije.

Najvea vrednost smiueg napona javlja se u preseku u kome je transverzalna sila najvea i to u takama koje su na neutralnoj osi.

Prema tome, normalni i smiui naponi obino ne deluju ni u istom poprenom preseku ni u istim takama poprenog preseka.

Ako je greda optereena samo koncentrisanim silama, onda je to presek gde moment savijanja ima najveu vrednost.Meutim, kod grede optereene kontinualnim optereenjem treba izvriti detaljnu analizu.

U kojoj taki poprenog preseka treba da se trai najvei glavni napon zavisi od oblika poprenog preseka. To su obino krajnja vlakna ili vlakna koja su udaljena od neutralne ose.

Meutim, pitanje je u kom poprenom preseku treba da se oekuje najvei glavni napon.U obrascu za glavne napone figuriu i normalni napon, koji je proporcionalan momentu savijanja i tangencijalni napon koji je proporcionalan transverzalnoj sili, pa iz dijagrama momenata savijanja i transverzalnih sila treba za svaki pojedinani sluaj posebno oceniti gde e glavni napon poprimiti najveu vrednost. Kod konzole je to presek kod ukljetenja, dok kod proste grede zavisi od optereenja.

Dobijena maksimalna vrednost glavnog napona ili maksimalna vrednost smiueg napona merodavna je za dimenzionisanje grede.

dozmax

dozmax