Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen

Magnus Frühling

Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Standardnormalverteilung Verallgemeinerung Zentraler Gernzwertsatz Beispiele Quellen

Inhalt

Dichteverteilung bei stetigen (Zufalls-) Variablen

µ = Erwartungswert („Mittelwert“ einer Zufallsvariablen) σ² = Varianz π=3,14... e=2,72… Symmetrisch (um µ)

Gaußsche Normalverteilung

Stetige Zufallsvariable -> ein bestimmter Wert hat keine zuordenbare Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit Null

P(X =ℝ) = 0 Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit ->

Wahrscheinlichkeitsdichte

Wahrscheinlichkeitsdichte

Bei Standardisierung wird die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung N (0;1) gebracht

Z-Transformation:

Dichtefunktion :

Standardnormalverteilung

Ca. 68 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 1 σ um den Mittelwert.

Gut 95 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 2 σ um den Mittelwert.

99,7 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 3 σ um den Mittelwert.

Verallgemeinerung

Mit steigender Stichprobengröße und identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung nähert sich die Verteilungen der Standardnormalverteilung an.

Stichprobengröße n ≥ 30

Zentraler Gernzwertsatz

Beispiel SchraubeNIE alle gleich groß

„Atomgröße“

Massen von Körpern Körperlängen Abstand von Treppenstufen Korngrößen Teilchengeschwindigkeiten bei konstanter

Temperatur und Druck Fehlerverteilung

Beispiele

www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ ludwig-mayerhofer/ statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf

Mathematik 3.1 Cornelsen Verlag 2011 S.118ff

Quellen

http://www.rahmen-manufaktur.de/images/product_images/ original_images/1048_0.jpg

www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ludwig-mayerhofer/statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf

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