Vorlesungsskript Numerical Hydraulics

21

2 Druckstossgleichungen

2.1 Allgemeine Druckstossgleichungen

2.1.1 Herleitung der allg. Druckstossgleichungen Bei der allgemeinen Druckstossgleichung gehen wir von der Bewegungsgleichung (1-73) aus. Der

Reibungsterm wird umgeschrieben zu: Dv

gRvgIghy

R 224

22 λλ =⋅=⋅ .

02

sin1 =+−∂∂+

∂∂+

∂∂

Dvv

gxp

xvv

tv λ

αρ

(2-1)

v: querschnittsgemittelte Geschwindigkeit parallel zur Rohrachse, D: Durchmesser

Beachte: |v|v erhält gegenüber v2 das Vorzeichen! Die Kontinuitätsgleichung ist wie in Gleichung (1-77) definiert:

0)( =∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

xAv

tA

Axv

xv

tρρρρ

(2-2)

Da sowohl die Dichte als auch die Querschnittsfläche nur Funktionen des Drucks sind, kann Gleichung (2-2) umformuliert werden zu:

0=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

xp

dpdAv

Atp

dpdA

Axv

xp

dpdv

tp

dpd ρρρρρ

(2-3)

Zusammenfassen der einzelnen Terme und dividieren durch ρ führt zu:

01 =∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +xv

xpv

tp

dpdA

dpdA

Aρρ

ρ (2-4)

Die Ableitungen nach dem Druck können weiter umgeformt werden. Dazu werden die folgenden

Gleichungen und Zusammenhänge benötigt:

( )24

:2 D

dDdADADAA ππ =∴== (2-5)

Die Kompressibilität des Rohrs (bei Vernachlässigung der Querdehnung):

σdD

dD

ERohr=1

wobei σ die Normalspannung im Rohr in tangentialer Richtung ist,

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22

Die Kesselformel (mit Wandstärke e des Rohres):

Dep ⋅= σ2

(2-6)

Deddp 2σ=∴ (2-7)

DeEDed

dDDDdp

dDdDdA

AdpdA

A Rohr /1

224112 ===

σπ

π (2-8)

Die Kompressibilität des Wassers: dp

d

EW

ρρ

=1

'11111EEE

eDdpd

dpdA

AdpdA

dpdA

A wRohr

=+=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∴ ρ

ρρρ

ρ (2-9)

Dabei ist E’ der effektive E-Modul des kombinierten Systems Rohr-Fluid. Die Kontinuitätsgleichung lässt sich nach Umformung letztlich wie folgt schreiben:

0'1 =

∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂

xv

xpv

tp

E, mit 2

1'1

cE ρ= , d.h.

ρ'Ec = (2-10)

Die Gleichungen (2-1) und (2-10) stellen die Druckstossgleichungen dar. Sie werden of auch in einer anderen Form geschrieben, die dann auf die Charakteristiken und eine alternative Lösungsmethode führt. Durch Linearkombinationen der beiden Gleichungen (2-1) und (2-10) in der Form (ρ(2-1)+ ργc2(2-10)) folgt:

( ) 02

sin12 =+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂+

Dvv

gtp

xpv

tv

xvcv

ρλαρ

γγγρ (2-11)

Mit c1±=γ werden aus (2-11) zwei spezielle Linearkombinationen ausgewählt:

02

sin1 =+−+Dvv

gdtdpcdt

dv ρλαρρ , mit

c1=γ (2-12)

Für Gleichung (2-12) gilt: cvdtdx += (c+-Charakteristik)

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23

02

sin1 =+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+

Dvv

gdtdpcdt

dv ρλαρρ , mit

c1−=γ (2-13)

Für Gleichung (2-13) gilt: cvdtdx −= (c--Charakteristik)

2.2 Linearisierte Druckstossgleichungen

2.2.1 Herleitung der linearisierten Druckstossgleichungen Für die linearisierten Druckstossgleichungen gehen wir von folgenden Vereinfachungen aus: • Keine Reibung (IR = 0). Die Bewegungsgleichung ist also verlustfrei. • Vernachlässigung der konvektiven Beschleunigung. • Ebenes Rohr (sin α = 0) Die Bewegungsgleichung (2-1) lässt sich durch diese Vereinfachungen folgendermassen schreiben:

01 =∂∂+

∂∂

xp

tv

ρ (2-14)

Die Geschwindigkeit v entspricht der querschnittsgemittelten Geschwindigkeit parallel zur Rohrachse um. Die Kontinuitätsgleichung (1-77) wird durch die obigen Vereinfachungen zu:

0'1 =

∂∂+

∂∂

xv

tp

E (2-15)

Der Term xpv∂∂ entfällt infolge der Linearisierung.

Die Gleichungen (2-14)und (2-15) werden als linearisierte Druckstossgleichungen bezeichnet. Wird Gleichung (2-14) partiell nach x und Gleichung (2-15) partiell nach t abgeleitet und die neue Gleichung (2-15)* von der neuen Gleichung (2-14) * subtrahiert, so erhält man die Wellengleichung:

(2-14)*- (2-15)* liefert !

0'2

2

.

2

2

2

=∂∂⋅−

∂∂

−

xpE

tp

geschwreitungsWellenausbc

ρ

(2-16)

Die Lösungen dieser Gleichung sind vom Typ f(x-ct) oder F(x+ct).

2.2.2 Allgemeine Lösung Die allgemeine Lösung der linearisierten Druckstossgleichungen hat die Form:

p = p0 + F(x + ct) + f(x – ct) (2-17)

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24

( ) ( )( )ctxfctxFc

vv −−+−=ρ1

0 (2-18)

F(x+ct) entspricht einer in x-Richtung zurücklaufenden Welle, f(x-ct) einer in positiver x-Richtung vorwärtslaufenden Welle.

2.2.3 Joukowski-Stoss

Man spricht vom Joukowski-Stoss, falls an einem Schieber zum Zeitpunkt t=0 die Fluidsäule schlagartig abgebremst wird. Im Oberstrom ist nur die zurücklaufende Welle (vom Typ F(x+ct)) zu finden. Die Geschwindigkeit v am Schieber ist gleich Null. Der maximale Druckstoss Δp, tritt auch ein, wenn die Schliesszeit ts kleiner als die Rohrperiode 2L/c ist. Die Lösungen der Druckstossgleichungen (2-17) und (2-18) vereinfachen sich zu:

Δp = p – p0 = F(x +ct) (2-19)

( )ctxFc

v +−=−ρ1

0 (2-20)

Aus den Gleichungen (2-19) und (2-20) folgt:

Δp = ρcv0 (2-21)

Beispiel für den Joukowski-Stoss • EW = 2000 MN/m2 • ERohr = 200’000 MN/m2 • L = 100 m • d = 1 m • e = 0.02 m • Q0 = 1 m3/s Bestimme Δp und c!

2.3 Numerische Lösung mit Differenzenmethode Die numerische Lösung erfordert eine Diskretisierung in Raum und Zeit. Sei Δx der Ortsschritt und Δt der Zeitschritt. In Bewegungsgleichung und Kontinuitätsgleichung werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Im folgenden wird die einfachste Differenzenmethode beschrieben, das explizite Verfahren. Ausserdem wird ein horizontales Rohr angenommen und es werden der Übersichtlichkeit halber die Reibungsverluste vernachlässigt. Das Rohr wird in N Abschnitte der Länge Δx=L/N eingeteilt. Damit existieren N+1 Knoten längs des Rohres. Man erhält mit einem oberen Index j für die Zeit und einem unteren Index i für den Ort

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25

tvv

tv j

iji

Δ−=

∂∂ +1

tpp

tp j

iji

Δ−=

∂∂ +1

xvv

xv j

iji

Δ−=

∂∂ −1

xvv

xv j

iji

Δ−=

∂∂ −1

Hier wurde bereits eine Näherung gemacht, indem für die Differenzenbildung im Ort die Werte zur alten Zeit j verwendet wurden. Einsetzen dieser Ausdrücke in (2-1) und (2-10) liefert für die Knoten j=2 bis N.

0'1

01

111

111

=Δ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−+

Δ−

=Δ−+

Δ−+

Δ−

−−+

+++

xvv

xppv

tpp

E

xpp

xvvv

tvv

ji

ji

ji

jij

i

ji

ji

ji

ji

ji

ji

jij

i

ji

ji

ρ

Dies liefert 2(N-1) Gleichungen für die Unbekannten 11, ++ j

iji vp (i=2,...,N). Die übrigen 4

Gleichungen erhält man aus Randbedingungen (in der Druckstossanwendung Druck am Behälter für i=1 und v=0 für i=N+1) und je eine Gleichung aus dem obigen Gleichungspaar, die erste Gleichung für i=1 und die zweite Gleichung für i=N+1. Die Lösung ist wegen des gewählten expliziten Schemas trivial. Sie verlangt allerdings wegen des expliziten Schemas einen sehr kleinen Zeitschritt. Die Druckfront wird durch numerische Diffusion stark aufgeweitet. Das Ergebnis ist ungenau. Aus diesem Grund wenden wir uns der Charakteristikenmethode zu.

2.4 Numerische Lösung mit Charakteristikenmethode Die numerische Lösung der Differentialgleichungen des Druckstosses erfordert wieder die Dis-kretisierung des Rohres, allerdings in einer Weise, die auf der Ausbreitung der Druckwellen basiert. Eine Grösse an der Stelle xi zum Zeitpunkt t+Δt wird durch zwei Beiträge berechnet, den Beitrag der an der Stelle xi+1 zur Zeit t startete und durch die Rückwärtscharakteristik übertragen wird, und jenem der von xi-1 durch die Vorwärtscharakteristik übertragen wird (Abb. 2-A).

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26

Abb. 2-A: Charakteristikenmethode

Im Folgenden wird angenommen, dass: c >> v, α = 0

Die Charakteristiken sind dann: cdtdx ±=

Die zu modellierende Strecke wird in N gleiche Teilstrecken Δx aufgeteilt. Die Knoten werden von 1 bis (N+1) durchnumeriert.

Bei der Diskretisierung gilt: Δx= cΔt, NLx =Δ

Die vollständigen Ableitungen der Geschwindigkeit nach der Zeit lassen sich diskretisiert schreiben als: Für die Vorwärtscharakteristik:

cxv

tx

xv

dtdv

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

tv

tv

(2-22)

tvv

tv j

iji

Δ−=

∂∂ +1

(2-23)

tcvv

xvv

xv j

iji

ji

ji

Δ−

=Δ−

=∂∂ −− 11 (2-24)

tvv

tvvvv

dtdv j

iji

ji

ji

ji

ji

Δ−

=Δ

−+−= −

+−

+1

11

1

(2-25)

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27

Für die Rückwärtscharakteristik:

cxv

tx

xv

dtdv

∂∂−

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

tv

tv

(2-26)

tvv

tv j

iji

Δ−

=∂∂ +1

(2-27)

tcvv

xvv

xv j

iji

ji

ji

Δ+−

=Δ−

=∂∂ ++ 11 (2-28)

( )tvv

tvvvv

dtdv j

iji

ji

ji

ji

ji

Δ−

=Δ

+−−−= +

++

+1

11

1

(2-29)

Entsprechende Ausdrücke lassen sich für die Ableitungen des Drucks schreiben. Damit lauten die Druckstossgleichungen in Differenzenform für die Knoten 2 bis N:

02

1 1111

11

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−+

Δ− −−−

+−

+

Dvv

tpp

ctvv

ji

ji

ji

ji

ji

ji

λρ

(2-30)

02

1 1111

11

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−−

Δ− +++

++

+

Dvv

tpp

ctvv

ji

ji

ji

ji

ji

ji

λρ

(2-31)

Die Linearisierung des Reibungsterms erfolgt durch Verwendung des Geschwindigkeitsausdrucks zum alten Zeitpunkt, um Terme mit der Unbekannten 1+j

iv in der zweiten Potenz zu vermeiden.

2.5 Anfangs- und Randbedingungen Zum Lösen müssen noch Anfangs- und Randbedingungen spezifiziert werden. Bei den diskretisierten Gleichungen (2-30) und (2-31) gilt Gleichung (2-30) auch für i=N+1 und Gleichung (2-31) für i=1. Dies liefert zwei Gleichungen, die die Grössen p und v an den Randknoten miteinander verknüpfen. Zusammen mit den zwei Randbedingungen und den Anfangswerten für Druck und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt j=0 ist die Integration in der Zeit möglich. Vom Zeitniveau j=0 führen die Gleichungen (2-30) und (2-31) zusammen mit den Randbedingungen zum Zeitniveau j=1. Dieses wird dann Startniveau für den nächsten Zeitschritt, u.s.w. Randbedingungen können folgendermassen angegeben werden:

2.5.1 Arten von Randbedingungen

• p(Rand) vorgegeben (auch zeitvariabel p(t)) • v(Rand) vorgegeben (auch zeitvariabel v(t))

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28

• Funktionaler Zusamenhang v(p) oder p(v) auf Rand vorgegeben.

Beispiel Ebene Leitung (siehe Abb. 2-B)

Abb. 2-B: Ebene Leitung

Behälter: p = const (oder vorgegebene Zeitfunktion)

Ventil: Druckverlust als Funktion von Geschwindigkeit: stationär gvp2

2

ζ=Δ

Statt ζ kann Verlust Δp0 bei Durchflussgeschwindigkeit v0 gegeben sein. Dann gilt 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ=Δ

oo vvpp bei voller Öffnung.

Pumpe: Bei einer Pumpe ist ebenfalls p als Funktion von v gegeben Kennlinie: Δp = c1 + c2v + c2v2

2.5.2 Schliessgesetz (mit dem Schliessungsgrad τ)

Der Schliessungsgrad τ ist abhängig von der Ventilstellung, wobei die Ventilstellung ihrerseits beim Schliessvorgang eine Funktion der Zeit τ = f(t), mit 10 ≤≤τ ist (vgl. Abb. 2-C):

Abb. 2-C: Schliessungsgrad

Der Schliessungsgrad τ kann durch Vergleich mit den Strömungsbedingungen bei voller Öffnung (v0, Δp0) formuliert werden:

pp

vv o

o ΔΔ=τ (2-32)

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29

2.5.3 Säulenabriss

Falls der Druck p kleiner als der Dampfdruck des Fluids ist, kommt es zur Bildung einer Dampfblase. Der negative Druckstoss wird dadurch gemindert.

2.5.4 Beispiele für Randbedingungen

Für den Knoten 1: Behälter h1 = konst. bzw. p1 = konst. Bemerkung: h1 kann fest vorgegeben sein, es kann auch indirekt gegeben sein durch den Anfangsdurchfluss. Dann muss es aus der Anfangsbedingung (z.B. stationärer Zustand bei geöffnetem Ventil) berechnet werden.

∑Δ+= VerlusteB hhh 21 oder ∑Δ+= VerlusteB hgpp ρ21 Zu den Verlusten gehören die kontinuierlichen Verluste und die lokalen Verluste am Ventil und Auslauf. Aus der Rückwärtscharakteristik folgt für i=1 mit 11 pp j = j∀ :

( ) tDvv

ppc

vvjj

jjjj Δ⋅−−−= ++

21 22

21

121

1

λρ

Für Zeiten vor Beginn des Schliessvorgangs folgt der Randwert aus der stationären Betrachtung: h1 kann aus hB2, Δpventil und IR berechnet werden:

RventilB LIpg

hh +Δ+=ρ1

21 (2-33)

oder:

RventilB gLIppp ρ+Δ+= 21 (2-34)

instationär:

Für den Knoten N+1: Ventil

Falls t < tschliess:

schliesstt−= 1τ bei linearem Schliessgesetz (2-35)

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30

ξgvv

ppjN

jN

BjN 2

11

11

211

++

+++

+ += , mit 20

20 2vgp

τξ ⋅Δ= (2-36)

Aus Vorwärtscharakteristik:

( ) jN

jN

jN

jN

jN

jN vv

Dtcvvcpp

211

11

Δ−−−= ++

++

λρρ (2-37)

Einsetzen von 11

++jNp und lösen der quadratischen Gleichung in 1

1++jNv liefert:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Δ−−−

Δ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅Δ

+⋅Δ

−=++ tvv

Dcpvp

pv

pcv

pcv

v jN

jN

jN

jNB

jN 222 2

0

20

22

0

20

2

0

20

211

λρτρτρτ (2-38)

Falls t > tschliess:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−+=

=

++

++

tvvD

pc

vcp

v

jN

jN

jN

jN

jN

jN

21

0

11

11

λρ

ρ (2-39)

Damit stehen 2N + 2 Gleichungen für die Unbekannten 1+jiv , 1+j

ip an (N+1) Knoten zur Verfügung. Als Anfangsbedingungen müssen 0

iv , 0ip gegeben sein (z.B. stationärer Zustand)

Siehe Programm Listing: DRUCKSTOSS (ohne Reibung), ergänze Reibungsterme