Lineare Dynamik mit Abaqus

A. Niemunis, C. Grandas, S. ChrisopoulosIBF-Karlsruhe

Karlsruhe, 2014

Ubung zu komplexen Zahlen: zeigen ii = e−π/2

Freier Schwinger ohne Dampfungm

k

x

u

(1)Gesucht u(t) aus der Gleichgewichtsgleichung Lineare GDG., konstante m, k + 2 AB notig.

mu + ku = 0 oder u + ω2nu = 0 mit ωn =

√k

m(1)

Mit dem Ansatz u(t) = Ceλt ergibt (1) algebraische Gl. λ2Ceλt + ω2nCeλt = 0

daher λ1,2 = ±iωn und damit u(t) = C1eiωnt + C2e

−iωnt (2)

Konstanten C1,C2 sind komplex. Aus AB: u(0) = u0 und u(0) = v0 folgt:

u0 = C1 + C2

v0/(iωn) = C1 − C2

d.h.C1,2 =

1

2(u0 + iv0/ω)

u(t) =1

2(u0 − iv0/ω)eiωnt +

1

2(u0 + iv0/ω)e−iωnt

Mit der trig. Darstellung eiωnt = cos(ωnt) + i sin(ωnt)

u(t) =1

2(u0 − iv0/ωn) [cos(ωnt) + i sin(ωnt)] +

1

2(u0 + iv0/ωn) [cos(ωnt)− i sin(ωnt)]

u(t) = u0 cos(ωnt) + v0/ωn sin(ωnt) (3)

Bei reellen AB ist die Losung u(t) reell und kein ”reeller Teil der Losung”

Freier Schwinger mit Dampfungm

k

cx

u

(2)Bewegungsgleichung mu + cu + ku = 0 umgewandelt zur kanonischen Form

u + 2ξωnu + ω2nu = 0 mit ωn =

√k

mund ξ =

c

2mωnckrit = 2mωn = 2

√mk

Das Dampfungsmaß ξ = Teil der krit. Dampfung, i.d.R. 1%− 10%, in der Geot. ξ = D = A/(4πγamplτampl)

Ansatz u(t) = Ceλt ergibt algebraische Gl. λ2Ceλt + λ2ξωnCeλt + ω2nCeλt = 0

daher λ1,2 = −ξωn ± ωn

√ξ2 − 1 und u(t) = C1e

(ωnξ+iωd )t + C2e(ωnξ−iωd )t (4)

Oszillation nur wenn iωd = ωn

√ξ2 − 1 wirklich imaginar ist, d.h. fur ξ2 < 1.

Mit reellen AB: u(0) = u0 und u(0) = v0 erhalt man die reelle Losung

u(t) = Ue−ξωnt cos(ωd t − θ) mit : (5)

gedampfte naturliche Frequenz ωd = ωn

√1− ξ2

Phasenverschiebung tan θ = (v0 + ξωnu0)/(ωdu0)

Amplitude U = u0

√1 +

(v0 + ξωnu0

ωdu0

)2

Freier Schwinger mit Dampfungm

k

cx

u

(3)

Mathematica Losung von u + 2ξωnu + ω2nu = 0 ergibt (4)

DSolve[u’’[t] + 2 x w u’[t] + w^2 u[t] == 0, u[t], t]

und u(t) = C1e(ωnξ+iωd )t + C2e

(ωnξ−iωd )t mit den AB: u(0) = u0 und u(0) = v0

L = C1 E^(t*(I wd - w x)) + C2 E^(t ( -I wd - w x)) ;

solu = Solve[(L/.t-> 0)== u0, (D[L,t]/. t-> 0)== v0,C1,C2]// Simplify

Ls = L /. solu[[1]]

ergibt die reelle Losung (5) in einer aquivalenten Form

u(t) = u0e−ξωnt

[cos(ωd t) +

(v0 + u0ωnξ

ωdu0

)sin(ωd t)

](6)

Eine aquivalente direkte Mathematica Losung ist auch moglich:

de = u’’[t] + 2 \[Xi] w u’[t] + w^2 u[t] == 0; IC1 = u[0] == u0; IC2 = u’[0] == v0;

DSolve[ de, IC1, IC2 , u[t], t] // FullSimplify

Schwinger mit harmon. Belastungm

k

cx

u

p cosΩt

(4)Bewegungsgleichung wird durch die Belastung p cos Ωt inhomogen:

mu + cu + ku = p cos Ωt (7)

Die homogene Losung (4) muss durch eine partikulare Losung (erzwungene

Schwingung) erweitert werden: u(t) + up(t). Der Ansatz up(t) = ZeiΩt mit einerkomplexen Amplitude Z = Ue−iθ ergibt up = iZΩeiΩt , up = −Ω2ZeiΩt und

−mΩ2ZeiΩt + ciΩZeiΩt + kZeiΩt = peiΩt oder −mΩ2Z + cΩiZ + kZ = p (8)

mit ausgeklammertem eiΩt 6= 0.

Fur Belastung aus mehreren Harmonischen∫p(Ω) cos(Ωt)dΩ ist (8)-rechts

eine Schwingungsgleichung in der Frequenzdomane. Die p(Ω) Beitrage konnenunterschiedliche Phasen ψ haben also p = Pe−iψ ist i.Allg. komplex.

Gl. (8)-rechts wird abgekurzt als

αZ = p mit α = (k −mΩ2) + cΩi oder α = m(ω2n − Ω2 + 2iΩξωn) (9)

wobei ω2n = k/m und 2ξωn = c/m

Schwinger mit harmon. Belastungm

k

cx

u

p cosΩt

(4)

Z = p/α findet man aus ( Division komplexer Zahlen z1/z2 = z1 z2/|z2|2 und |z| =√zz )

Z = pα/|α|2 mit α = (k −mΩ2)− cΩi und |α|2 = (k −mΩ2)2 + (cΩ)2 (10)

Der Betrag |Ue−iθ| = U = |Z | der Amplitude ( Aus |z| =√zz und z1z2 = z1 z2 )

U =|p||α| =

|p|√(k −mΩ2)2 + (cΩ)2

=|p|

m√

(ω2n − Ω2)2 + (2Ωξωn)2

(11)

Die Phase θ finden wir aus

Z = Ue−iθ =pα

|α|2 d.h. aus θ = − arg(pα) (12)

Im Sonderfall p ∈ R gilt mit θ = − arg(α), d.h.

tan θ = − Im(α)

Re(α)=

cΩ

k −mΩ2=

2Ωξωn

ω2n − Ω2

Schwinger mit harmon. Belastungm

k

cx

u

p cosΩt

(5)

Die Amplitude U der partikularen Losung up(t) wird graphisch in Abhangigkeitvom Frequenzverhaltnis r = Ω/ωn und mit der statischen AmplitudeU0 = |p|/k normiert. Unsere Losung hat die Formtan θ =

2ξr

1− r 2mit ξ = c/(2mωn)

U = Ds(r)U0 mit Ds =[(1− r 2)2 + (2ξr)2

]−1/2(13)

Der Vergroßerungsfaktor Ds wird geplottet :

x

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0

1

10

100

1000

Animate[

LogLogPlot[((1-r^2)^2 +(2 x r)^2)^(-1/2),r,0.1,10,

PlotRange -> 0.1, 1000], x, 0.0001, 0.99,

AnimationRunning -> False]

Log-Log Bode Plot

Schwinger mit Erregung am Auflager

m

k

cx

u

u U cosΩtbb = (6)

Der Anhangspunkt bewegt sich harmonisch: ub(t) = Ub cos(Ωt) d.h.ub(t) = Ube

iΩt(anstatt von peiΩt ). Die Gleichgewichtsgleichung ist

mu + c(u − ub) + k(u − ub) = 0 oder (14)

mu + cu + ku = cub + kub (15)

Die partikulare Losung findet man mit gleichem Ansatz wie bei der Kraft peiΩt

d.h. ZeiΩt mit der komplexen Amplitude Z = Ue−iθ:

−mΩ2ZeiΩt + ciΩZeiΩt + kZeiΩt = (ciΩ + k)UbeiΩt

−mΩ2Z + ciΩZ + kZ = (ciΩ + k)Ub

abgekurzt zu αZ = βUb. Ein Vergleich der Betrage αZαZ = ββU2b fuhrt zu

ZZ

U2b

=ββ

ααoder

U2

U2b

=(cΩ)2 + k2

(k −mΩ2)2 + (cΩ)2=

(2ξr)2 + 1

(1− r 2)2 + (2ξr)2

Aus Ue−iθ = Z = βUb/α = αβUb/|α|2 folgt tan θ = − Im(αβ)

Re(αβ)mit

α = k −mΩ2 − ciΩ und β = ciΩ + k

Schwinger mit Erregung am Auflager

m

k

cx

u

u U cosΩtbb = (7)Vergroßerungsfaktor

Db(r) =U

Ub=

[(2ξr)2 + 1

(1− r 2)2 + (2ξr)2

]1/2

wird geplottet zusammen mit Ds(r):

x

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0

1

10

100

1000

x

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0

1

10

100

1000

Log-LogBode Plot

Animate[

LogLogPlot[ ((1-r^2)^2 +(2 x r)^2)^(-1/2),

( (2 x r)^2 + 1)^1/2* ((1-r^2)^2 +(2 x r)^2)^(-1/2),

r,0.1,10,

PlotRange -> 0.1, 1000], x, 0.0001, 0.99,

AnimationRunning -> False]

Mehrere Freiheitsgrade

mm 31

1

1

k

cm2

2

2

k

c

u u13u2

p cosΩt p cosΩt2 3p cosΩt1

c

k

(8)

Element-Krafte (auf Massen 1, 2)

Feder F k1 = ku2 − ku1 = −F k

2

Dampfer F c1 = cu2 − cu1 = −F c

2

Direkte Krafte auf Masse i

Tragheit Fmi = −mi ui

Feder Fmi = kui

Dampfer F ci = c u2

Gleichgewichtbedingungen−(Fm

i +∑

F ci +∑

F ki ) = pi :

m1u1 + c1u1 − c2u2 + k1u1 − k2u2 = p1

m2u2 − c1u1 + c2u2 − k1u1 + k2u2 = p2

. . .

Kel =[

k −k−k k

]Cel =

[c −c−c c

]Mel =

[m 00 m

](16)

Beachte zwei Arten von Feder und zwei Arten von Dampfer.

Mehrere Freiheitsgradem1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(8b)

Die globalen Matrizen sind

K =

k −k 0 0 . . .−k 2k −k 0 . . .

0 −k 2k + k −k . . .

. . .

C =

c −c 0 0 . . .−c 2c −c 0 . . .

0 −c 2c + c −c . . .

. . .

M =

m 0 0 0 . . .0 m −0 0 . . .0 0 m 0 . . .

. . .

Das zusammengesetzte Gleichungssystem

M · u + C · u + K · u = p (17)

wird entkoppelt. Dafur werden zunachst die sog. Bewegungsmoden φα aus derfreien und ungedampften Schwingung

M · u + K · u = 0 mit u = Ueiωt (18)

und mit komplexer Amplituden U = U0eiθ gefunden.

Mehrere Freiheitsgradem1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(9)

Eigenvektoren Uα der undedampften freien Schwingung sind

K · U = ω2M · U oder[M−1 ·K− ω2 1

]· U = 0 (verallgemeinertes) Eigenvertproblem

Das Eigensystem vom unsymmetrischen Produkt (M−1·K) ist reell u.Eigenwerte positiv, weil K und M positiv definit und symmetrisch sind!Eigenvektoren U sind nicht orthogonal: fur α 6= β gilt UαT · Uβ 6= 0, aber:

UαT ·M · Uβ = 0 und UαT ·K · Uβ = 0 fur α 6= β (19)

Mit den normierten Eigenvektoren = Moden φαdf= Uα/

√UαT ·M · Uα hat die

M−Orthogonalitat und K−Orthogonalitat die Form:

φαT ·M · φβ = δαβ und φαT ·K · φβ = δαβω2α (keine Summe uber α )

Wir definieren auch die modale Matrix Φ mit Moden φβ in Zeilen.

Drei Herleitungenm1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(9)

Das Eigensystem von (M−1·K) ist reell, wenn K und M positiv definit undsymmetrisch sind, weil mit der Cholesky Zerlegung gilt:

M = L · LT ⇒ K · u = λL · LT · u ⇒ L−1 · K · u = λLT · u ⇒[L−1 · K · L−T ] · y = λy , wobei y = (LT · u).Die Losung ist reell dank der Symmetrie von [L−1 ·K ·L−T ] (u. positiv wenn K positiv)

Gl. (19) gilt fur zwei beliebige Eigenvektoren Uα, Uβ , α 6= β mit Eigenwertenλα 6= λβ und mit symmetrischen M,K, weil

K ·Uα= λαM ·Uα

K ·Uβ= λβM ·Uβ

⇒

Uβ ·K ·Uα= λαUβ ·M ·Uα

Uα ·K ·Uβ= λβUα ·M ·Uβ

⇒a = λαb

a = λβb

⇒ a = b = 0

φαT ·K · φβ = δαβω2α gilt fur α 6= β aufgrund von (19). Fur α = β gilt

K · Uα = ω2αM · Uα ⇒ UαT ·K · Uα = ω2

αUαT ·M · Uα ⇒ φαT ·K · φα = ω2α

Entkopplung der Eigenmodenm1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(10)

Nun wird die ursprungliche Gleichung M · u + C · u + K · u = p mit

u(t) = Ueiωt =∑α

φαηα(t) = ΦT · η

ausgedruckt, wobei die Koeffizienten ηα(t) bei Moden φα die neuenUnbekannten sind. Nach dem Vormultiplizieren mit Φ erhalten wir dasentkoppelte System

Φ ·M ·ΦT · η + Φ · C ·ΦT · η + Φ ·K ·ΦT · η = Φ · p (20)

oder M∗ · η + C∗ · η + K∗ · η = p∗, (21)

weilM∗ = Φ ·M ·ΦT = diag(1, 1, . . . ) und K∗ = Φ ·K ·ΦT = diag(ω2

1 , ω22 , . . . )

diagonal sind. Mit der Annahme C = c1M + c2K (sog. Rayleigh Dampfung) istauch C∗ = Φ · C ·ΦT diagonal. Die Belastung ist p∗ = Φ · pDie Umwandlung η(t) = Φ−T · u(t) und t∗ = Φ · t · ΦT wird als die sog. ”subspace projektion” bezeichnet.

Nach der Entkopplungm1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(11)

Die Zeilen von (21) d.h. M∗ · η + C∗ · η + K∗ · η = p∗ sind mit diagonalenM∗,C∗ und K∗ entkoppelt. Jede Zeile α ist eine skalare DG

1ηα(t) + 2ξαωαηα(t) + ω2αηα(t) = p∗α(t) mit (22)

mit 2ξα = c1/ωα + c2ωα aus C = c1M + c2K (23)

Harmonische Belastungen pβ = Pβei(Ωt+θβ ) mit gleicher Kreisfrequenz Ω und

unterschiedlichen Phasen θβ projizieren wir als

p∗α =∑β

Φαβpβei(Ωt+θβ ) = P∗αe

iΩt mit komplexen Amplit. P∗α =∑β

Φαβpβeiθβ

Die AB fur η(t) in (21) findet man aus der Projektion η(0) = Φ−T · u0 undη(0) = Φ−T · u0. Eine Inversion von Φ ist einfach Φ−1 = M · ΦT .

Die modalen Losungen in Abaqus R© :fur nicht harmonisches p = Modal dynamic analysisfur harmonisches p = Steady-state linear dynamic analysis

Mehrere Freiheitsgrade Bsp.m1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(12)

Die konventionelle Steifigkeit∗, Massenmatrix und Rayleigh Dampfung:

Ltot = 10.0; Emod = 1000.0; r = 2; A = 1; c1 = 0.01; c2 = 0.01;

nelem = 140; Lelem = Ltot/nelem; nnode = nelem + 1;

u0 = Array[0 &, nnode]; v0 = Array[0 &, nnode];

Kelem = (Emod A/Lelem) 1, -1, -1, 1;

Melem = (r A Lelem/2) 1, 0, 0, 1;

Mglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Kglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Do[Mglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Melem;

Kglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Kelem;, i, 1, nelem];

Kglob[[1, 1]] = (Emod A/Lelem)*10^6; (* FIXED node *)

Cglob = c1 Mglob + c2 Kglob (* Rayleigh DAMPING *);

Bezeichnungen:

P,Pt,Pit,W,p,Kglob,Mglob=

= Φ,ΦT ,Φ−T ,Ω, p,K,M

Modale Zerlegung (Diagonalisierung, ”subspace projection”):

Uglobtilde = Eigenvectors[Inverse[Mglob].Kglob] // N;(*eigenvectors in rows*)

P = Table[Uglobtilde[[i]]/Sqrt[Uglobtilde[[i]].Mglob.Uglobtilde[[i]]], i,1,nnode]// N // Chop;

Pt = Transpose[P]; Pit = P.Mglob // Chop;

MglobStar= P.Mglob.Pt//N//Chop; CglobStar= P.Cglob.Pt//N//Chop; KglobStar= P.Kglob.Pt//N//Chop;

W= 2*2*Pi; p = Array[0 &, nnode]; p[[nnode]] = 10 Sin[W t]; pStar = P.p;

∗Steifigkeit modifiziert fur die Einspannung RB am Knoten Nr 1

Mehrere Freiheitsgrade Bsp.m1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(13)Modale AB und analytische Losungen (einzeln) der entkoppelten Gleichungen:nsol = Array[0 &, nnode]; n0 = (Pit.u0); dn0 = (Pit.v0);

Do[

eq = MglobStar[[i,i]]*n’’[t]+CglobStar[[i,i]]*n’[t]+ KglobStar[[i,i]]*n[t]- pStar[[i]]==0;

IC1 = n[0] == n0[[i]]; IC2 = n’[0] == dn0[[i]];

nsol[[i]] = n[t] /. DSolve[eq, IC1, IC2, n[t], t][[1]],

i, 1, nnode]

Frames = Table[Pt.(nsol /. t -> i/100) // Chop, i, 0, 1000];

Animate[ListPlot[Frames[[i,All]],Joined -> True,PlotRange ->-0.1,0.1/3, AxesLabel->"x","u"],

i,0,1000,1]

i

10 20 30 40x

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

u

Bezeichnungen:

nsol, P, Pit, u0, v0 = η(t), u(t), u(t)

Modal dynamic analysis (p nicht harmonisch) (14)Entkoppelte Gleichungen mit nicht harmonischer Belastung p∗(t)

1ηα(t) + 2ξαωαηα(t) + ω2αηα(t) = p∗α(t) mit 2ξα = c1/ωα + c2ωα (24)

konnen in kleinen Zeit-Inkrementen ∆t = t1 − t0 integriert werden mit AB:η(t0) , η(t0) und angenommen eine lineare Anderung von p∗α(t)

p∗α(t) = p∗α(t0) + ∆p∗α (t − t0)/∆t (25)

Aus jede Zeile α in (24) wird ein Gleichungspaar gebildet ηα(t1)

ηα(t1)

=

a11 a12

a21 a22

· ηα(t0)

ηα(t0)

+

b11 b12

b21 b22

· p∗α(t0)

p∗α(t1)

(26)

Die Koeffizienten aij , bij findet man aus dem Mathematica Skript.

DE1 = ed’[t] + 2 x w ed[t] + w^2 e[t] == p0 + (p1 - p0) (t-t0)/dt; DE2 = ed[t] == e’[t];

IC1 = e[t0] == e0; IC2 = ed[t0] == ed0;

solu = DSolve[DE1,DE2,IC1,IC2 , e[t], ed[t], t ] // Simplify ;

es, eds = ( e[t], ed[t] //. solu[[1]] ) /. Sqrt[w^2 (- 1 + x^2)] -> I wd ;

es1, eds1 = es, eds * Sqrt[w^2 (-1 + x^2)] / (I wd) // FullSimplify ;

eq1 = Coefficient[es1- a11 *e0 - a12 ed0 - b11 p0 - b12 p1, e0,ed0,p0,p1]==0,0,0,0;

eq2 = Coefficient[eds1- a21 *e0 - a22 ed0 - b21 p0 - b22 p1, e0,ed0,p0,p1]==0,0,0,0;

sol1 = Solve[eq1, a11, a12, b11, b12] // FullSimplify

sol2 = Solve[eq2, a21, a22, b21, b22] // FullSimplify

Bezeichnungen: e[t], ed[t], x, w, wd = η(t), η(t), ξ, ω, ωd = ω√

1− ξ2

p∗ nicht harmonisch (14a)

Mit Bezeichnungen: ω = ωα, ξ = ξα d = ∆t, ωd = ω√

1− ξ2 und erhalten wir aij und bij in der Form

a11 =e−dωξ(ωξ sin(dωd ) + ωd cos(dωd ))

ωd

a12 =e−dωξ sin(dωd )

ωd

a21 = −ω2e−dωξ sin(dωd )

ωd

a22 =e−dωξ(ωd cos(dωd )− ωξ sin(dωd ))

ωd

b11 =e−dωξ

(−ω

(dωξ + 2ξ2 − 1

)sin(dωd ) + 2ωdξe

dωξ − ωd (dω + 2ξ) cos(dωd ))

dω3ωd

b12 =e−dωξ

(ω(

2ξ2 − 1)

sin(dωd ) + ωd

(−edωξ

)(2ξ − dω) + 2ωdξ cos(dωd )

)dω3ωd

b21 =e−dωξ

(ωd

(−edωξ

)+ ω(dω + ξ) sin(dωd ) + ωd cos(dωd )

)dω2ωd

b22 =e−dωξ

(ωd e

dωξ − ωξ sin(dωd )− ωd cos(dωd ))

dω2ωd

Direkte Methode (steady-state) (16)

Die homogene (ohne Belastung) Losung der diskreten Bilanzgl. (17) mit AB:u(0) = 0 und u(0) = 0 ware u ≡ 0 (keine Eigenschwingung)∗. Wir sucheneine partikulare (erzwungene) Losung von

M · u + C · u + K · u = PeiΩt in der Form u = UeiΩt (27)

Die phys. Belastung der reelle Teil∗∗ der komplexen Belastung PeiΩt ist, wobeiPβ = Pβ0e

iθβ und θβ ,Pβ0 ∈ R. Die AB sind fur die partikulare Losung nichtnotig.Faktor eiΩt kann in (27) ausgeklammert werden[−Ω2M + iΩC + K

]·U = P ⇒ U =

[−Ω2M + iΩC + K

]−1

· P (28)

erfolgt mit einem Solver fur komplexe Gleichunssysteme.Die Losung (=Amplituden) Uβ = Uβ0e

iθβ ist zeitunabhangig und komplex.

*Mit anderen AB muss M · u + C · u + K · u = 0 gelost werden und die erhaltene homogene Losung wird zur

partikularen Losung addiert. Die durch p eingefuhrte Energie wird aber keine Eigenschwingung anfachen! Die

partikulare Losung entspricht schon dem angefachtem Zustand (deshalb ”steady-state”).

**Deshalb ist die phys. Losung nur der reelle Teil der komplexen Losung d.h up(t) = Re(Uβeiωt ) mit Uβ ∈ C

Direkte Methode (17)

Die Matrix[−Ω2M + iΩC + K

]in (28) wird als dynamische Steifigkeit (oder

komplexe Impedanz) bezeichnet und hangt wesentlich von der Kreisfrequenz Ωder Belastung ab!Aus der komplexen Losung

Uβ = Uβ0eiθβ fur β = 1, 2, . . . (29)

kann man sowohl die einzelnen Amplituden Uβ0 = |Uβ | als auch ihre Phasentan(θβ) = arg(Uβ) bestimmen. Die physikalische Bewegungsgleichung desFreiheitsgrades β ist der reelle Teil

upβ(t) = Uβ0 cos(Ωt + θβ), (30)

weil wir die physikalische Belastung als der reelle Teil von PeiΩt definiert haben.

Mehrere Freiheitsgrade Bsp.m1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(18)Die Berechnung der konventionellen Steifigkeit Massenmatrix und RayleighDampfung bleibt unverandert. Statt der modalen Zerlegung und deranalytischen Losung der entkoppelten Gleichungen verwenden wir

die direkte Methode (fur ”steady state”)

Ltot = 10.0; Emod = 1000.0; r = 2; A = 1; c1 = 0.01; c2 = 0.01;

nelem = 140; Lelem = Ltot/nelem; nnode = nelem + 1;

u0 = Array[0 &, nnode]; v0 = Array[0 &, nnode];

Kelem = (Emod A/Lelem) 1, -1, -1, 1;

Melem = (r A Lelem/2) 1, 0, 0, 1;

Mglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Kglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Do[Mglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Melem;

Kglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Kelem;, i, 1, nelem];

Kglob[[1, 1]] = (Emod A/Lelem)*10^6; (* Fixed node *)

Cglob = c1 Mglob + c2 Kglob (*Rayleigh damping*);

W = 4*Pi; pAmpl = Array[0 &, nnode]; pAmpl[[nnode]] = 10 + 0*I ;

usolu = Inverse[- W^2 Mglob + I W Cglob + Kglob ] . pAmpl ;

uAmpls = Abs[usolu] ;

thetas = Arg[ usolu ] ;

Animate[ListPlot[uAmpls*Cos[W*t+thetas],

Joined->True,PlotRange->-0.1,0.1/3,AxesLabel->"x","u"] ,t,0,10]

Mehrere Freiheitsgrade Bsp.m1

k

cm2

2

2

k

cx

u u12

p cosΩt

p cosΩt

2

1

(19)

Out[36]=

t

10 20 30 40x

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

u

Out[36]=

t

10 20 30 40x

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

u

Die eingefuhrte Energie ist W =∫ T

0Re(p)Re(u)dt und nicht

∫ T0 pudt mit p, u ∈ C

Ohne Dampfung gilt W = 0.

An0 = usolu[[nnode]] ; Pa = pAmpl[[nnode]] ;

dW = Refine[Abs[An0]*D[Cos[Arg[An0]+ W t ],t]* Abs[Pa]Cos[ Arg[Pa] + W t ], t \[Element] Reals ]

NIntegrate[dW, t, 0, 2 Pi/W]

Bei einer modalen Losung (mit Dampfung) stellt sich die ”steady state”Losung nach einer Ubergangszeit asymptotisch ein.

FD -Losung von u,tt = c2u,xx mit v = u, ε = u,x (20)

FD= finite Differenzen, CTCS = Zentrale Ortsableitung u. Zentrale Zeitableitung

PDG:ε,t = v,x weil u,xt = u,tx

v,t = c2ε,x

RB: v = v ;. ε = ε;. v = −cε

c =

√E

ρ

t,x (xj , tn) =1

2∆x

[t(xj+1, tn)− t(xj−1, tn)

]t(xj , tn) =

t(xj , tn+1)− t(xj , tn−1)

2∆t

ε(xj , tn+1) = ε(xj , tn−1) +2∆t

2∆x

[v(xj+1, tn)− v(xj−1, tn)

]v(xj , tn+1) = v(xj , tn−1) +

2c2∆t

2∆x

[ε(xj+1, tn)− ε(xj−1, tn)

]

tn

= ?

xj

RB von Lysmer (1969)

ηE

n=1x

uε

ε > 0

n u>0

(21)

Drei Typen der RB fur die Wellengleichung u = c2u,xx mit x ∈ [0, L]:

• fixed : v(x , t) = 0 also auch u =∫vdt = 0

• free : ε(x , t) = 0 also auch σ = Eε = 0

• Lysmer : v(x , t) = −cε(x , t).

Gl. u = c2u,xx hat die allg. d’Alambert Losung u(x , t) = fL(x + ct) + fR(x − ct)

weil u = c2 [f ′′L + f ′′R]

und u,xx = f ′′L + f ′′R mit f ′ = df (t)/dt (31)fL + fR ist allgemein, d.h. kann an beliebige AB angepasst werden : fL + fR = u; c(f ′L + f ′R ) = u fur t = 0

Die Welle fL(x + ct) lauft nach links und fR(x − ct) - nach rechts.Die Dampfer-Bettung ηu bei x = L ergibt mit n = 1 den Spannungsvektor

nEε− ηu ≡ 0 oder nE(f ′L + f ′R)− ηc(f ′L − f ′R) ≡ 0 oder (32)

[nE − ηc] f ′L + [nE + ηc] f ′R ≡ 0 (33)

Wahlt man nE + ηc = 0 dann nE − ηc 6= 0 und (33) erzwingen f ′L ≡ 0, d.h. dieWelle fL(x + ct) wird verhindert. Aus nEε− ηu ≡ 0 mit nE + ηc = 0 folgt

cε+ u ≡ 0 wie in der RB Lysmer (34)

Absorbierende RB rechts, FD-Beispiel (22)omega = 4*Pi; amplitudeU = 0.2; c = 10; c2=c*c;

nmax = 320; dt = 0.01; jmax = 100; dx = 0.2;

e = Table[0, j,1,jmax, n,1,nmax];

v=Table[0,j,1,jmax,n,1,nmax];

u = Table[0, j,1,jmax, n,1,nmax] ;

imposeICe := e[[All, 1]] = 0 ; imposeICv := v[[All, 1]] = 0 ;

imposeBCv0 := Do[v[[1,n]]=If[n*dt< 2*Pi/omega,

amplitudeU*omega*Sin[omega*dt*n],0]//N,n,1,nmax];

imposeBC[where_, method_] := Module[,

If[method== "fixed", v[[where, All]]=0 ];

If[method== "free", e[[where, All]]=0 ];

If[method== "Lysmer", v[[where, All]]=-c*e[[where,All]] ];

]

getCentralXderivatives[f_, n_]:= Module[der=Array[0&,jmax],

der[[1]] = (f[[2, n ]] - f[[1, n ]])/dx;

der[[jmax]] = (f[[jmax, n]] - f[[jmax - 1, n]])/dx;

Do[ der[[j]]= (f[[j+1, n]]- f[[j-1,n]])/(2*dx),j,2,jmax-1];

der ];

imposeICe; imposeICv;

derv = getCentralXderivatives[v, 1]; dere = getCentralXderivatives[e, 1];

e[[All, 2]] = e[[All,1]]+ dt*derv ; v[[All, 2]]= v[[All,1]]+ dt*c2*dere ;

imposeBCv0; imposeBC[jmax, "Lysmer"];

Do[derv = getCentralXderivatives[v,n+1];

dere = getCentralXderivatives[e,n+1];

e[[All,n+2]] = e[[All,n]] + 2*dt*derv;

v[[All,n+2]] = v[[All,n]] + 2*dt*c2*dere;

imposeBCv0; imposeBC[jmax, "Lysmer"];, n,1,nmax-2];

u[[All,1]]=0;

Do[u[[All,n]]=u[[All,n-1]]+0.5*(v[[All,n-1]]+v[[All,n]])*dt,n,2,nmax]

Animate[ListPlot[u[[All, n]],Joined ->True,PlotRange->-1,1],n,0,nmax,1]

.

Out[48]=

n

20 40 60 80 100

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

.

Out[48]=

n

20 40 60 80 100

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

.

Out[48]=

n

20 40 60 80 100

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

.

Out[48]=

n

20 40 60 80 100

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Absorbierende RB links, Direkte Methode (22)

Eine Dampfer-Bettung ηu bei x = 0 mit n = −1 ergibtden Spannungsvektor nEε− ηu ≡ 0 d.h.

[nE − ηc] f ′L + [nE + ηc] f ′R ≡ 0 (35)

nE − ηc = 0 und (35) erzwingen f ′R ≡ 0. Die WellefR(x + ct) nach rechts wird verhindert und cε = v

Ltot = 10.0; Emod = 1000.0; r = 2; A = 1; c1 = 0.01; c2 = 0.05;

nelem = 140; Lelem = Ltot/nelem; nnode = nelem + 1;

u0 = Array[0 &, nnode]; v0 = Array[0 &, nnode];

Kelem = (Emod A/Lelem) 1, -1, -1, 1;

Melem = (r A Lelem/2) 1, 0, 0, 1;

Mglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Kglob = Array[0 &, nnode, nnode];

Do[Mglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Melem;

Kglob[[i ;; i + 1, i ;; i + 1]] += Kelem;, i, 1, nelem];

(* node No 1 not fixed anymore *)

Cglob = c1 Mglob + c2 Kglob (*Rayleigh damping*);

Cglob[[1,1]] += Emod/Sqrt[Emod/ r]; (* LYSMER damping at node 1 *)

W = 4*Pi; pAmpl = Array[0&, nnode]; pAmpl[[nnode]]= 10+0*I;

usolu = Inverse[-W^2 Mglob+ I W Cglob + Kglob].pAmpl;

uAmpls = Abs[usolu]; thetas = Arg[usolu];

Animate[ListPlot[uAmpls*Cos[W*t+thetas],

Joined->True,PlotRange->-0.1,0.1/3,AxesLabel->"x","u"],t,0,10]

.

Out[140]=

t

20 40 60 80 100 120 140x

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

u

.

Out[140]=

t

20 40 60 80 100 120 140x

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

u

.

Out[140]=

t

20 40 60 80 100 120 140x

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

u

.

Out[140]=

t

20 40 60 80 100 120 140x

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

u

Kontinuum (23)

.

−σA + (σ + σ,xdx)A− kudx − ηudx − ρAudx = 0 (36)

AEu,xx = ρAu + ku + ηu (37)

u,xx =1

c2u + κ2u +

2ξ

cu mit (38)

c2 =E

ρκ2 =

k

AEξ =

ηc

2AE(39)

AB: u(x , 0) = u0() u(x , 0) = v0(x) (40)

RB: BL(u(t, 0)) = 0 BR(u(t, L)) = 0 (41)

Ansatz fur freie harmonische Welle u(x , t) = Ue−ikx+iωt

Kontinuum (23)

Der Ansatz fur freie harmonische Welle u(x , t) = Ue−i(kx−ωt) mit:ω = 2π/T = Kreisfrequenz (T = Periode ) undk = ±2π/λ = Wellenzahl (λ = Wellenlange)ist eine d’Alambert’sche Losung u(x , t) = f (x ∓ ct) = Ue−i(x∓ct), wobeic = λ/T = ω/|k| den Betrag der Wellengeschwindigkeit bezeichnet.

0 = −u,xx +1

c2u + κ2u +

2ξ

cu mit u(x , t) = Ue−i(kx−ωt) (42)

0 =

[k2 − ω2

c2+ κ2 + iω

2ξ

c

]Ue−i(kx−ωt) (43)

Dispersionsgleichung (Frequenzdomane) k = ±√ω2/c2 − κ2 + iω2ξ/c

oder k = ± 4

√ω4

c4− 2ω2 (κ2 − 2ξ2)

c2+ κ4 e

−i 12

tan−1(

2cξω

c2κ2−ω2

)(44)

Formell k = ±(kR + ikI ) erhalten wir die Losung

u(x , t) = Ue−i[(kR+ikI )x−ωt] + Ue−i[−(kR+ikI )x−ωt] (45)

u(x , t) = Ue−kI xe−i[kR x−ωt] + UekI xe−i[−kR x−ωt] (46)

Kontinuum (23)In Mathematica mit dem Aufruf allReal[] wird angenommen, dass alle bisherbenutzte Symbole (auf der Rechten Seite) reell sind:

listQ[x_] := Length[x] > 0;

noReal[ ] := Module[, $Assumptions=True; Print[ $Assumptions]; ];

thisReal[ x_?AtomQ ] := Module[, $Assumptions = $Assumptions && x \[Element] Reals ;

Print[ $Assumptions]; ];

thisReal[ thisList_?listQ ] :=

Module[, $Assumptions = $Assumptions && ( And @@ (# \[Element] Reals & /@ thisList ) );

Print[ $Assumptions]; ];

allReal[] := Module[ ,

$Assumptions= And @@ (# \[Element] Reals & /@ (Select[ToExpression[Names["Global‘*"]],AtomQ[#]&]));

Print[ $Assumptions ] ; ];

myAbs[ a_ ] := Sqrt[ (Conjugate[a] // FullSimplify ) * a ] // FullSimplify ;

myArg[a_ ] := ArcTan[ (Im[a] // ComplexExpand ) / (Re[a] // ComplexExpand ) ] // FullSimplify ;

toExpo[a_] := myAbs[a] * Exp[ I myArg[a] // Simplify ] ;

k2 = ( \[Omega]^2 / c^2 - \[Kappa]^2 + I \[Omega] 2 \[Xi] /c );

allReal[]; toExpo[k2]

Eine Klasse der RB:

RB:u(0, t) = u0eiωt und σ(0, t) = Eu,x(L, t) = F (t)/A oder u,x = f (t) (47)

mit dem Faltungsintegral

u,x(L, t) = −∫ t

−∞G(t − τ)u(L, τ)dτ (48)

Kontinuum (23)Die ”Steady state” Losungsansatz u(x , t) = Ueiωt hat die AmplitudeU(x) = Aeiθ mit A(x) und θ(x) substituieren wir in die Bilanzgleichung

0 = u,xx −1

c2u − κ2u − 2ξ

cu (49)

Wir erhalten das folgende RWP

0 = U,xx +ω2

c2U − κ2U − iω

2ξ

cU (50)

mit RB: U(0) = U undU,x(L) + g(ω)U(L) = 0 mit g(ω) = F [G(t)]

Der Losungsansatz U(x) = A(ω)eikx fuhrt zu

U(x) = A1(ω)e−ikx + A2(ω)eikx =U

1 + q(ω)

[e−ikx + q(ω)(ω)eikx

](51)

wobei

q(ω) =ik(ω)− g(ω)

ik(ω) + g(ω)e−2ikL (52)

Kontinuum (23)

Kontinuum (23)