Musterlosungen zur Serie 2

1. Aufgabe Berechnen Sie fur die folgenden Funktionen f : R R und die folgendenTeilmengen X R jeweils die Bildmengen f(X) und die Urbildmengen f1(X):(a) f(x) = sin x, X = {0}.(b) f(x) = cos x, X =

[0,

2

].

(c) f(x) = x2, X = (0, 1].

Losung

(a) f(X) = {sin x : x {0}} = {sin 0} = {0}f1(X) = {x R : sin x = 0} = {k : k Z}

(b) f(X) = {cos x : x [0, /2]} = [0, 1]f1(X) = {x R : cos x [0, /2]} = {x R : cos x 0} == {y + 2k : y [/2,/2], k Z}

(c) f(X) = {x2 : x (0, 1]} = (0, 1]f1(X) = {x R : x2 (0, 1]} = [1, 0) (0, 1]

2. Aufgabe Ist die Abbildung f : R (R \ {0}) R R, die definiert ist durch

f(x, y) =

(xy,

x

y

),

injektiv oder surjektiv?

Losung Wir habenf(1, 1) = (1, 1) = f(1,1).

Also ist f nicht injektiv.Die Abbildung f ist auch nicht surjektiv, denn z.B. liegt (1,1) nicht im Bild von f . Inder Tat, angenommen es gabe ein Paar (x, y) R (R \ {0}) mit f(x, y) = (1,1), d.h.mit

xy = 1 undx

y= 1.

Daraus wurde folgen xy

= xy, und wir erhielten den Widerspruch y2 = 1.

3. Aufgabe Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Angabe eines Gegenbeispiels), dafur alle Mengen X, Y und Z und alle Abbildungen f : X Y und g : Y Z diefolgenden Behauptungen richtig sind:

(a) Wenn f und g injektiv sind, so ist auch g f injektiv.(b) Wenn f und g surjektiv sind, so ist auch g f surjektiv.(c) Wenn g f injektiv ist, so ist auch f injektiv.

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(d) Wenn g f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv.(e) Wenn g f und f injektiv sind, so ist auch g injektiv.(f) Wenn g f und g surjektiv sind, so ist auch f surjektiv.Losung Die Aussage (a) ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt: Es seien injektive f, ggegeben sowie x1, x2 X mit (g f)(x1) = (g f)(x2). Nach Definition der Verknupfunghaben wir g(f(x1)) = g(f(x2)). Da g injektiv ist, folgt f(x1) = f(x2). Da auerdem finjektiv ist, mu x1 = x2 sein.

Die Aussage (b) ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt: Es seien surjektive f, g gegebensowie und z Z. Zu zeigen ist, da ein x X existiert mit (g f)(x) = z. Da g surjektivist, existiert ein y Y mit g(y) = z. Da f surjektiv ist, existiert x X mit f(x) = y.Folglich haben wir (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z.Wir zeigen da die Aussage (c) wahr ist, indem wir zeigen

wenn f nicht injektiv ist, so ist g f nicht injektiv.

Wenn f nicht injektiv ist, dann existieren x1, x2 X mit x1 6= x2 und f(x1) = f(x2).Folglich ist

(g f)(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = (g f)(x2).

Also ist g f nicht injektiv.Die Aussage (d) ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt: Es sei z Z gegeben. Da g fsurjektiv ist, existiert ein x X mit z = (g f)(x). Setze y := f(x) Y . Dann gilt

g(y) = g(f(x)) = (g f)(x) = z.

Also ist g surjektiv.

Die Aussage (e) ist falsch, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:

X = Z = {1}, Y = {1, 2}, f(1) = g(1) = g(2) = 1.

Offenbar sind g f und f injektiv, aber g ist nicht injektiv.Die Aussage (f) ist auch falsch, wie das Gegenbeispiel aus (e) zeigt. Dort sind g f undg surjektiv, jedoch f nicht.

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