F ( ( ) ( ) ( )( )) ( )MgR - control.tu-berlin.deVL_EntwurfUndRegelungBionischer... · Wenn ein...

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1

Linearisierung des n.l. Modells eines antagonistischen Muskelpaares

• Zustandsraummodell von linearen zeitinvarianten Systemen, allgemeine Notation

Cxy

eTbuAxx

=++=&

( ) TMgRrFFJ ++−+−= 21ϕδϕ &&&• In Ruhelage φ0 linearisierter Drallsatz:

• Mit F1,2 linearisiert in Ruhelage L0, P0:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )TMgRJ

rlflfpfpfrPLfPLfJ llpp ++−+−+−+−= 1

,,1

2121002001 2121ϕδϕ &&&

( ) 2,12,1002,12,1 2,12,1, pflfPLfF pl ++=

• System in Ruhe: alle F über Diff. in elastomech. Vorspannung f(L0,P0) kompensiert• Für kleine Lasten (M->0) sind p = P-P0 und l = L-L0 in beiden Muskeln sehr gering-> p1 ≈ p2 und l1 ≈ l2-> fp1 ≈ fp2 = fp bzw. fl1 ≈ fl2 = fl

• Unter Einführung des Differenzdruckes ∆p = p1-p2 sowie l1 = -φr und l2 = φrund der Beziehung der kinematischen Kopplung vereinfacht sich der Drallsatz zu

( )( )TrrfpfJ lp +−∆+−= ϕϕδϕ 21

&&&I.

Basisbeziehung I.: Drallsatz

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2

• Differenz der thermodyn. Beziehung beider Muskeln linearisiert um die Ruhelage

II.

Basisbeziehung II.: Thermodynamik

−−

−=−=∆

0

2

0

20

0

1

0

1021 V

V

m

mP

V

V

m

mPppp

&&

&&

&&& κκ

• Durch Ersetzen der jeweiligen- Massenströme:

- geometrischen Volumenbeziehung:

- kinematischen Kopplungen:

( ) ( )

′+Φ=∆ ϕκ &&

0

0

0

002

V

rLhu

m

PAPPp PWMV

( )PAPum VPWM Φ=&

( )LLhV && ′=l1 = (L1-L0) = -φr, l2 = (L2-L0) = φr


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3

Basisbeziehung I.: Drallsatz

( ) ( )

′+Φ=∆ ϕκ &&

0

0

0

002

V

rLhu

m

PAPPp PWMVBasisbeziehung II.: Thermodynamik

( )( )TrrfpfJ lp +−∆+−= ϕϕδϕ 21

&&&

( ) ( )T

Ju

m

PAPκPp

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

pV

pl

+

Φ

+

∆

′

−−=

′

∆0

1

0

2

0

0

02

0

2

010

0

00

0

00

2

ϕϕ

ϕϕ

&&

Lineares Gesamtmodell 3. Ordnung

• Param. κ, J, r und Φ(P0) sowie L0, V0, P0 und m0 können errechnet/gemessen werden• Reibungskoeff. δ, partielle Ableitgn. fl und fp und h‘(L0) müssen identifiziert werden• Zustandsgrößen (φ,φ‘,∆p) ergeben Vektor x• Eingänge sind die Stellgröße Pulsweite u = uPWM und evtl. Störung T• Ausgänge sind die Zustände ∆p und φ


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4

• Aus Struktur des lin. Sys. können folgende Eigenschaften näher untersucht werden:- stationäres Verhalten- Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit

0== Axx&

- für verschwindet die mittlere Spalte von A und es folgt Gleichgewichtsbeziehung

-> Der resultierende Drehgelenkwinkel und der dafür verantwortliche Differenzdruck stehen für jede Gleichgewichtslage in einem festen Verhältnis zueinander!

( )0

02

0

2

010

0

00

2

=

∆

′

−−=

′

∆ p

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

p

pl ϕϕ

ϕϕ

&&

( ) ( )T

Ju

m

PAPκPp

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

pV

pl

+

Φ

+

∆

′

−−=

′

∆0

1

0

2

0

0

02

0

2

010

0

00

0

00

2

ϕϕ

ϕϕ

&&

rf

f

p l

p

2=

∆ϕ0=ϕ&


• Stationäres Verhalten:- mit u = 0 und T = 0 lassen sich die Zustände über bestimmen,für die sich das System im stationären Zustand (Gleichgewicht) befindet

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5

• Notwendige und hinreichende Bedingung für vollständige Steuerbarkeit ist, dass diequadratische (Steuerbarkeits-)Matrix den vollen Rang besitzt

( ) ( )T

Ju

m

PAPκPp

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

pV

pl

+

Φ

+

∆

′

−−=

′

∆0

1

0

2

0

0

02

0

2

010

0

00

0

00

2

ϕϕ

ϕϕ

&&

[ ]bAbAAbbS n 12 ... −= mit O = 3 -> [ ]bAAbbS 2=

−=→

=

−−=

5435

53253

53

54

321

0

0

00

0

0

,

00

010

ξξξξξξξξξ

ξξ

ξξξξξ SbA

• Für ξ ≠ 0 besitzt S den Rang 3, was gleich die Ordnung des Systems ist-> Ohne Kenntnis der Parameter A und b folgt die vollständige Steuerbarkeit rein aus

der Struktur des Zustandsraummodells


• Steuerbarkeit: ein System ist- vollständig steuerbar, wenn alle Zustandsvariablen xi durch mindestens eine Eingangsgröße ui beeinflussbar sind

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6

• Notwendige und hinreichende Bedingung für vollständige Beobachtbarkeit ist, dass die quadratische (Beobachtbarkeits-)Matrix den vollen Rang besitz

[ ]12 ... −= nCACACACB mit O = 3 -> [ ]2CACACS =

[ ]

−−=→=

−−=

3214

321 010

001

001,

00

010

ξξξξξξξ BCA

• Für ξ ≠ 0 besitzt B den Rang 3, was der Ordnung des Systems entspricht-> Ohne Kenntnis des Parameters A und Messung des Ausgangswinkels φ folgt die

vollständige Beobachtbarkeit rein aus der Struktur des Zustandsraummodells

C besteht hier nur ausdem Winkel des anta-gonistischen Muskel-paares


• Beobachtbarkeit: ein System ist- vollständig beobachtbar, wenn sich alle Zustandsvariablen xi aus den Ausgangsgrößen yi ermitteln (messen) oder schätzen (beobachten) lassen

( ) ( )T

Ju

m

PAPκPp

V

rLhκPJ

rf

J

δ

J

rf

pV

pl

+

Φ

+

∆

′

−−=

′

∆0

1

0

2

0

0

02

0

2

010

0

00

0

00

2

ϕϕ

ϕϕ

&&

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• Für lineare zeitinvariante Systeme (Zeit t erscheint nicht explizit in den Gleichungen) haben Steuer- und Beobachtbarkeitsmatrix eine gewisse praktische Bedeutung

1. Wenn ein System vollständig steuerbar ist, so lassen sich alle seine xi durch die ui

steuern und es kann weder ein stabiler noch ein instabiler Anteil der Eigenbewegung des Systems auftreten, der nicht im Ausgangsverlauf erkennbar wäre (= Maß für die erzielte Qualität oder Güte einer späteren Regelung).

2. Wenn ein System vollständig beobachtbar ist, so kann das Verhalten der xi aus Messungen der Ausgangsgrößen yi ermittelt werden, ohne diese selbst zu messen.

Praktische Bedeutung der Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrix

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Übertragungsfunktionen des lin. Modells eines antagon. Muskelpaares

• Lösung des linearen zeitinvarianten (LTI) Zustandsmodells durch Anwendung derLaplace-Transformation und somit Übertragung der Zustandsgleichungen in den Frequenzbereich bzw. Bildbereich

• Laplace-Transformation:= Abbildung reellwertiger Originalfunktionen auf komplexwertige Bildfunktionen- Vorteil liegt in der Übertragung von Differentiation und Integration aus dem reellen Original- in einfache algebraische Operationen in den komplexwertigen Bildbereich

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sdUsXCsY

seTAsEsbUAsEsXT

OO

+=

−+−= −− 11

duCxy

eTbuAxx

+=++=&

Laplace

s – komplexe VariableEO – Einheitsmatrix mit Rang OCT – transponierter Ausgangsvektorb – möglicher Durchgriff

• Erstellen/bestimmen aller möglichen Übertragungsfunktionen- von allen Eingangsgrößen U(s) zu allen Ausgangsgrößen Y(s) = Führungsübertragungsfunktionen G (guidance), F (Führung?)

- von allen Störgrößen T(s) zu allen Ausgangsgrößen Y(s)= Störübertragungsfunktionen D (disturbance)

( )( ) ( )

( )( ) ( )sDsT

sY

sGsU

sY

=

=

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• Führungsübertragungsfunktionendes Einganges Pulsweite u = uPWM auf - den Ausgang ∆p- den Ausgang φ

-> die Funktionen ergeben die Zeilen der Übertragungsmatrix G(s)

mit (erste Zeile berücksichtigt ∆p, zweite φ)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )su

ssG

su

spsG

ϕ=∆= 2111 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sdUsXCsY

seTAsEsbUAsEsXT

OO

+=

−+−= −− 11

duCxy

eTbuAxx

+=++=&

Laplace

( ) ( ) bAsECsG 1−−=

=

001

100C

• Störübertragungsfunktionen der Eingangsstörung T auf - den Ausgang ∆p- den Ausgang φ

-> die Funktionen ergeben die Zeilen der Übertragungsmatrix D(s)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )sT

ssD

sT

spsD

ϕ=∆= 2111 ,

( ) ( ) eAsECsD 1−−=

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10

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )2

00022

22000

11 22

22

11

11

rfLhPVrfsJss

rfsJsPAPPm

sN

sZsG

pl

lV

G

G

⋅′⋅−++++⋅Φ⋅==

κδδκ

( ) ( )( )

( )( )( )2

00022

00021 22

2

21

21

rfLhPVrfsJss

rfPAPPm

sN

sZsG

pl

pV

G

G

⋅′⋅−++⋅Φ⋅

==κδ

κ

( ) ( )( )

( )( ) 2

00022

00011 22

2

11

11

rfLhPVrfsJs

rLhPV

sN

sZsD

plD

D

⋅′⋅−++⋅′⋅==κδ

κ

( ) ( )( ) ( ) 2

0002221 22

1

21

21

rfLhPVrfsJssN

sZsD

plD

D

⋅′⋅−++==

κδ


• Mithilfe der Übertragungsfunktionen G11(s), G21(s), D11(s) und D21(s) lässt sich der Signal-flußgraph der Übertragungsfunktionen eines antagonistischen Muskelpaares zeichnen

• Durch Einsetzen der Systemgrößen A, b, e, C folgt

•

1m•

2m

P2P1

Tφ

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11

( ) ( ) ( )( )2000

22 222111

rfLhPVrfsJsssNsN plGG ⋅′⋅−++== κδ

( ) ( ) ( ) 2000

22 222111

rfLhPVrfsJssNsN plDD ⋅′⋅−++== κδ


• Die letzten beiden Summanden der Nennerpolynome haben über die Herleitung der Federsteifigkeit k:=dF/dL eine physikalische Bedeutung

• Wird die Polytropenbeziehung P(V/m)κ = konst. nach L abgeleitet und Null gesetzt

01

001

=⋅

+

→=′

+

→=′

−

Vmm

VP

m

VP

m

VP

m

VP

m

VP &&&

κκκκκ

κ

• Folgt mit die partielle Ableitung im Arbeitspunkt zu:

( )( ) dL

dV

mV

mV

m

P

dL

dP

dL

dV

mm

VP

m

V

dL

dP ⋅⋅−=→=⋅

+

−−

κ

κκκ κκ11

01

( )0

00

V

LhP

dL

dV

V

m

m

P

dL

dP ′−=⋅⋅−= κκ

( )LLhV && ′= dLdPP =&

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Übertragungsfunktionen des lin. Modells eines antagon. Muskelpaares( )

0

00

V

LhP

dL

dP ′−= κ

( )dL

dPff

dL

dP

dP

dF

dL

dL

dL

dF

dL

PLdF

dL

dFk pl +=⋅+⋅=== ,

:

• Partielle Ableitung im Arbeitspunkt:dLdPP =&

• Mit der Federsteifigkeit:

• Und einsetzen von dP/dL folgt: ( )

0

00

V

LhPffk pl

′−= κ

( ) ( ) ( )( )2000

22 222111

rfLhPVrfsJsssNsN plGG ⋅′⋅−++== κδ

( ) ( ) ( )

′−++==

0

0022 22111 V

LhPffrsJssNsN plDD

κδ

( ) ( ) ( )

′−++==

0

0022 22111 V

LhPffrsJsssNsN plGG

κδ

( ) ( ) ( )22 22111

krsJsssNsN GG ++== δ

( ) ( ) ( ) 2000

22 222111

rfLhPVrfsJssNsN plDD ⋅′⋅−++== κδ

( ) ( ) 22 22111

krsJssNsN DD ++== δ

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( ) ( ) ( )22 22111

krsJsssNsN GG ++== δ

( ) ( ) 22 22111

krsJssNsN DD ++== δ

schwingungsfähige Systeme zweiter Ordnung wobei G11(s) und G21(s) um einen Pol bei Null erweitert sind

=

( ) ( )( ) 1,0,1,2

22,122

2

≤>−±−=++

= ζωζζωωζω

ωnn

nn

n jsss

VsG

• Das einfachste schwingungsfähige Übertragungsverhalten kann über die Übertragungsfunktion mit konjugiert komplexem Polpaar beschrieben werden.

mit ωn der natürliche Kreisfrequenz und ζ dem Dämpfungsgrad

• Darstellung ermöglicht:- lineare Stabilitätsuntersuchungen in der komplexen Pol- und Nullstellenebene und- gibt Auskunft über die Dämpfung des Systems und- welche Kennwerte im Zeit- und Frequenzsystem zu erwarten sind

• Die physikalischen Parameter der Übertragungsfunktionen G11(s), G21(s), D11(s) und D21(s) können unter gewissen Bedingungen zu den bekannten Parametern Kreisfrequenz und Dämpfungsgrad sowie den jeweiligen Verstärkungsfaktoren zusammengefasst werden.

-> G(s) in die Regelungsnormalform von G11(s), G21(s), D11(s) und D21(s) überführen!

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( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )22

22

2000

22

22000

112

2

22

22

11

11

Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

pl

lV

G

G

sss

ssV

rfLhPVrfsJss

rfsJsPAPPm

sN

sZsG

ωωζωωζ

κδδκ

++

++=

⋅′⋅−++++⋅Φ⋅== ∆

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )222

00022

00021

222

2

21

21

Nn

Nn

Npl

pV

G

G

sss

V

rfLhPVrfsJss

rfPAPPm

sN

sZsG

ωωζκδκ ϕ

++=

⋅′⋅−++⋅Φ⋅

==

( ) ( )( )

( )( ) 222

00022

00011

222

2

11

11

Nn

Nn

N

Sp

plD

D

ss

V

rfLhPVrfsJs

rLhPV

sN

sZsD

ωωζκδκ

++=

⋅′⋅−++⋅′⋅== ∆

( ) ( )( ) ( ) 222

0002221

222

1

21

21

Nn

Nn

N

S

plD

D

ss

V

rfLhPVrfsJssN

sZsD

ωωζκδϕ

++=

⋅′⋅−++==

mit: (.)Z – Zählerpolynom, (.)N – Nennerpolynom, (.)S – Störverstärkungsfaktoren

-> 8 physikalisch motivierte (schwingungsfähiges System 2. Ordnung) Parameter:

( )0

002

m

PAPPV V

p

Φ=∆κ ( )

Jm

rfPAPPV pV

0

002 Φ=

κϕ

( )JV

rLhPV S

p0

002 ′=∆

κJ

V S 1=ϕ

J

rflZn

22 2=ω

Jfr l

Z

22

δζ =J

krNn

22 2=ω

kJrN

22

δζ =

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( )0

002

m

PAPPV V

p

Φ=∆κ ( )

Jm

rfPAPPV pV

0

002 Φ=

κϕ

( )JV

rLhPV S

p0

002 ′=∆

κJ

V S 1=ϕ

J

rflZn

22 2=ω

Jfr l

Z

22

δζ =J

krNn

22 2=ω

kJrN

22

δζ =

• Das Zusammenfassen der Zähler- und Nennerpolynome zu quadratischen Termen gilt nur unter der Bedingung/Voraussetzung dass:- alle ersetzten physikalischen Parameter stets positiv sind-> k, fl, r, J sind per Definition stets positiv-> partielle Ableitung des Volumens nach der Länge h‘(L0) ist stets negativ

-> 2 Gleichungen sind miteinander gekoppelt

Tu

pp

+

+

∆

−−=

′

∆ 0

0

0

0

00

010

6

54

321 ξξ

ϕϕ

ξξξξϕ

ϕ&&

• Die physikalischen Parameter ζZ und V∆p gehen nicht direkt in das Zustandsraum-modell ein, sondern ergeben sich nur indirekt aus Koppelbeziehungen.

• Die Berücksichtigung der Kopplungen und damit die Erhöhung der Freiheitsgradeermöglicht eine bessere Anpassung der Übertragungsfunktionen an die Messdaten.

• Leitet man die Übertragungsfunktionen hingegen aus dem linearen Modell ab,ergeben sich max. 6 unabhängige Parameter.

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( )0

002

m

PAPPV V

p

Φ=∆κ ( )

Jm

rfPAPPV pV

0

002 Φ=

κϕ

( )JV

rLhPV S

p0

002 ′=∆

κJ

V S 1=ϕ

J

rflZn

22 2=ω

Jfr l

Z

22

δζ =J

krNn

22 2=ω

kJrN

22

δζ =

• Die beiden Kopplungen, die den Freiheitsgrad von 8 auf 6 Parameter einschränkenerhält man über:

1. Division von ζN durch ζZ

- Einsetzen von ωnN2, ωn

Z2, V∆pS , VφS sowie

2. Einsetzen der:- Federsteifigkeit k im Arbeitspunkt,- ωn

Z2 für fl- Vφ für fp- V∆p und ωn

N2

Nn

Zn

Z

N

ωω

ζζ =

( )22 Nn

Zn

p

S

Sp

V

V

V

Vωω

ϕϕ

−= ∆∆

• Mit den 2 Verhältnissen kann untersucht werden, wie weit die (zu identifizierenden)Parameter (über den Frequenzgang und/oder der frei gedämpfte Schwingung [extra Messaufbau]) vom physikalisch motivierten Modell (8 Parameter) abweichen.

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Parameterschätzung des linearen Modells - Frequenzganganalyse

• Bei jeder gemessenen Frequenz ωi gilt für den Frequenzgang:

( ) ( )ωω jGsGjs

==

( ) ( ) ( ){ }ωϕωω jGjejGjG =

( ) ( )( ) ( )( )22 ImRe ωωω jGjGjG +=

( ) ( ) ( )( )ωωωϕ jGjGj ReImarctan=

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

11

11

01

11

1

ajajaja

bjbjbjb

jX

jY

jN

jZjG

in

inn

in

im

imm

im

i

i

i

ii ++++

++++=== −−

−−

ωωωωωω

ωω

ωωω

K

K

• Frequenzganganalyseliefert wenige Parameter, welche aber die wesentlichen Eigenschaften des Übertragungsverhaltens festlegen

• Für s = jωmit -∞ < ω < ∞ bezeichnet man die frequenzabhängige Funktion

als Frequenzgang eines LTI-Systems

• Der Frequenzgang einer komplexen Ü-Funktion kann zerlegt werden in: - Amplitudengang (Amplitudenverstärkung): [dB]

- Phasengang (Phasenverschiebung): [Grad]

• Nenner- bzw. Zählerpolynom steht für die Bildfunktion des Zeitverlaufes der Eingangs- bzw. Ausgangsgröße

• Ein verallgemeinerter Fehler der Form E(jωi) = Y(jωi) - X(jωi)G(jωi) hängt dann von den unbekannten Parametern an und bm und der Ordnung des Nenner- und Zählerpolynoms ab.

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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

11

11

01

11

1

ajajaja

bjbjbjbjG

in

inn

in

im

imm

imi ++++

++++= −−

−−

ωωωωωωω

K

K

• Bestimmung der Parameter an und bm des gemessenen Frequenzganges G(jω) überdie Minimierung des Fehlers zw. Messung Y(jω) und der Vorhersage des Modells:

E(jωi) = Y(jωi) - X(jωi)G(jωi)

• Für die allgemeine Übertragungsfunktion

mit n+m+2 Unbekannten kann ein lineares Ausgleichsproblem der Form:

formuliert werden

• Damit x aus der Systemmatrix A über die Messung y eindeutig bestimmt werden kann, muss A regulär sein (invertierbar: A vollständig gefüllt und y über Messungen vorliegen)

• Messungen y sind immer fehlerhaft -> was auch zu falschen x führt-> Anzahl der Messungen auf N > n+m+2 (1) erhöhen

2

2

2

2minmin Axye −=

(1) Isermann, R.: Identifikation dynamischer Systeme I & II. 2. Auflage ed. 1992, Berlin, Springer-Verlag

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• Simplex-Optimierung mit MKQ: Herangehensweise1. Vergleich der gemessenen Daten des Betrags-/Phasenganges des Versuchsstandes

mit den Ergebnissen der Simulation

2. Fehler bilden: und

3. Minimierung der Fehler E|| und Eφ über Variation der Parameter an und bm

des physikalischen Modells bis Abbruchkriterium erreicht- Frequenzen gleich gewichten für allgemein frequenzabhängige Identifikation- Frequenzen im Arbeitsbereich übergewichten für spezielle Anwendungen

( ) ( )ωω jGjGE SimMes .. −= ( ){ } ( ){ }ωϕωϕϕ jGjGE SimMes .. −=

• Um Betrag und Phase getrennt bewertet zu können -> wird für jeden Teil ein eigener Fehlerwert gebildet, hängen diese dann aber nicht

mehr linear von den Streckenparametern ab-> Minimum der Summe der Fehlerquadrate kann nicht mehr als lineares

Ausgleichsproblem formuliert werden-> Parameter an und bm über Simplexverfahren mit der Methode der kleinsten

Quadrate (MKQ) aus Frequenzgang identifizieren(1)

(1) Nelder, J.A. and R.A. Mead, A Simplex Method for Function Minimization. Computer Journal, 1965. 7: p. 308-313.Bjorck, A., Numerical Methods for Least Squares Problems. 1 ed. 1996, Philadelphia: SIAM: Society for Ind.a.Applied Math.. 408.Klee, V. and G.J. Minty, How Good is the Simplex Algorithm?, in Inequalities III, O. Shisha, Editor. 1972, Academic Press: New York.Schrijver, A., Theory of Linear and Integer Programming. 1998: John Wiley. 484.

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20


Verifikation durch Messung mit

• Für die 5 Parameter in G11 ist Bedingung: #Messungen=5·10 > n+m+2=5 erfüllt

( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssV

u

psG

ωωζωωζ

++

++=∆= ∆

N‘ – Anzahl verschiedener Frequenzen ωi

uPWM – Pulsweiten-Anregung, Schwingung der Amplitude 1 ∆p, φ – Messung der stationären Lösungen der Ausgangsgrößen

• Bestimmung des Betrags- und Phasengangs der G11 und G21 für N‘=10 aus jeweiligen harmonischen Schwingungen am Ausgang

• N=5 Messungen pro Frequenz ωi für stat.Signifikanz u. Messfehleruntergewichtung

(Ventile: tmin=0.7ms )

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

V

usG

ωωζϕ ϕ

++==

1. Schritt: die Parameter ζN, ωnN des Nennerpolynoms von G11(s) und Vφ und im

2. Schritt: die Parameter ζZ, ωnZ des Zählerpolynoms vonG21(s) und V∆p identifizieren

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Betrags- und Phasengang von G11 und G21• Aus dem Verlauf können O u. Struktur d. Systems der physikal. Gl. bestätigt werden• Für Phasengang ist deutlich schlechtere Anpassung möglich als für Betragsgang-> Zurückzuführen auf unzureichend genaue Messwerte und nichtlineare Effekte

Unterer Frequenzbereich (<1Hz), stationäres Verhalten: G11 und G21

• Beide zeigen im unteren Frequenzbereich ähnliches Verhalten• Betrag verläuft mit -20 dB/Dekade und Phase zeigt -90 Grad -> Strecke zeigt integrierendes Verhalten, lässt sich bestätigen durch s im Nenner-> führt zu verschwindenden stationären Regelfehlern-> birgt Gefahr instabilen Verhaltens, da aus n.l. Physik vereinfacht hervorgegangen


( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζωωζ

++

++= ∆

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

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Mittlerer Frequenzbereich (1Hz…50Hz), Arbeitsbereich: G21

• Phase fällt bei ca. 35 rad/s von -90 auf -270 Grad ab• Betrag auch VZ2-Verhalten durch Resonanzüberhöhung u. Abfall von -60 dB/Dek.-> große Resonanzüberhöhung im F-Bereich -> große Überschwingweite im t-Bereich-> charakterisiert das Einschwingverhalten im Zeitbereich

• Wirkt als Tiefpass u. verstärkt Signale von u nach φ bis 65 rad/s um durchschn. 20 dB-> relativ große Bandbreite ωb von |G(jωb)|dB = |V|dB – 3dB


( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζωωζ

++

++= ∆

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

Oberer Frequenzbereich (>50Hz), Störunterdrückung: G21

• hochfrequente Eingangsstörungen werden erst relativ spät ausreichend gedämpft

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( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζωωζ

++

++= ∆

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

Mittlerer Frequenzbereich (1Hz…50Hz), Arbeitsbereich: G11

• Nenner identisch -> Phase muss auch bei 35 rad/s um -180 Grad nach unten drehen• Zusätzl. dreht konj. kompl. NS-Paar des Zählers bei 30 rad/s um 180 Grad nach oben• Bis auf S-Schlag bleibt Phase über gesamten Frequenzbereich bei konstant -90 Grad• Im Betragsgang tritt wieder Resonanzüberhöhung auf, aber ohne weiteren Einfluss-> gr. Überschwingweite im t-Bereich, ausgeprägtes Bandpassverhalten um 0dB

• TP-Verhalten nicht so stark wie bei G21 -> u nach ∆p nur bis 20 rad/s verstärkt-> folglich ist Bandbreite ωb auch kleiner als bei G21

Oberer Frequenzbereich (>50Hz), Störunterdrückung: G11

• hochfrequente Eingangsstörungen werden schon recht früh ausreichend gedämpft

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• Störübertragungsfunktionen D11 und D21 unterscheiden sich nur in den stationärenVerstärkungen V∆p

S und VφS von den Führungsübertragungsfunktionen G11 und G21

-> über jeweils einer Messung ermittelbar durch:

- definiertes Moment T bekannter Masse M sprunghaft auf das System geben-> statische Veränderung des Winkels φ und des Differenzdrucks ∆p ablesen

MgRV

MgR

pV SS

p

ϕϕ

∆=∆=∆ ,


• Aus dem Frequenzgang identifizierte Parameter:

( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζωωζ

++

++= ∆

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

( )2211

2 Nn

Nn

N

Sp

ss

VsD

ωωζ ++= ∆

( ) 22212 N

nNn

N

S

ss

VsD

ωωζϕ

++=

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• Zur einfachen Verifikation einiger Parameter aus der Frequenzgangsanalyse kannmit dem Versuchsaufbau die freie gedämpfte Schwingung des Muskelpaares beigeschlossenen Ventilen herangezogen werden.

• Nenner der G11 und G21 bestimmen maßgeblich das Ü-Verhalten des antagon. MP• Ohne Anregung entfällt der integrale Anteil der Nennerpolynome

Parameterschätzung des linearen Modells – freie gedämpfte Schwingung

( ) ( )( )22

22

112

2Nn

Nn

N

Zn

Zn

Zp

sss

ssVsG

ωωζωωζ

++

++= ∆ ( ) ( )2221

2 Nn

Nn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

• Für die Rücktransformation aus dem Bild- (s) in den Zeitbereich (t) unter der Annahme einer gedämpften Schwingung folgt

( ) { } ( ) ( )( )tessLt ntn

nnn ωζ

ζωωζωϕ ωζ 2

2

221 1sin1

2 −⋅−

=++= ⋅⋅−−

• Aus dem Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden im Abstand T folgt:

und so kann der absolute Dämpfungsgrad ζωn

(Abklingkonstante) direkt aus Messung bestimmt werden:

• Mit T = 2π/ωn folgt Dämpfungsgrad ζ und natürlich Kreisfrequenz ωn

( )( )

TneTt

t ζω

ϕϕ =

+

( )( )

+=

Tt

t

Tn ϕϕζω ln

1

- φ(t) klingt mit der Zeitkonstante τ = 1/(ζωn) exponentiell ab- Frequenz ergibt sich zu (1-ζ2)1/2·ωn

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• Unterschied zwischen Frequenzgangsanalyse mit Stellgrößenanregung und der Analyse der frei gedämpften Schwingung ohne Stellgrößenanregung?

Parameterschätzung des linearen Modells – Unterschied FGM und fgSchw.

= bei geöffneten Ventilen (mit Stellgroßenanregung) ist die zu betrachtende Luftmasse im System größer als bei geschlossenen Ventilen (ohne Anregung)

- angeschlossene Leitungen sind im vereinfachten Modell nicht berücksichtigt- diese wirken in den strömungs- und thermodynamischen Beziehungen-> vereinfacht bedeutet: größeres Volumen führt zu geringerer Federsteifigkeit

• Die physikalischen Gleichungen der Nennerpolynome von G11, G21 und D11, D21 in Beziehung mit der allgemeinen Form schwingungsfähiger Systeme 2. Ordnung verdeutlichen den Zusammenhang der Federsteifigkeit k mit dem relativen Dämpfungsgrad ζ und der natürlichen Kreisfrequenz ωn .

J

kr

JkrkrsJsss nnn

2

2

2222 2,

822 ==→++=++ ωδζδωζω

-> für frei gedämpfte Schwingung sinken die Zeitkonstanten ζ und 1/ωn des Systemsbei größerer Federsteifigkeit k durch geringeres Volumen (geschlossene Ventile)

-> mehr Luft im System desto weicher ist/reagiert das System

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Parameterschätzung des linearen Modells – freie gedämpfte Schwingung

Verifikation durch Messung mit• Identische Parameter wie bei der Frequenzganganalyse

• Anregung über Anfangsauslenkung mittels Störung T bei geschlossenen Ventilen u = 0

• Aus Minima und Periodendauer T = 0.1355 s folgt ζ = 0.0590 und ωn = 46.3530 rad/s• Deutlicher Versatz zur Frequenzmessung von G21: ζ = 0.0944 und ωn = 36.6514 rad/s• Unterschied liegt in der komprimierten Luftmasse beider Systemen

( ) ( )22212 N

nNn

N sss

VsG

ωωζϕ

++=

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Parameterschätzung des linearen Modells

Übersicht aller identifizierten Parameter- aus dem Frequenzgang- aus der statischen Messung und- aus der frei gedämpften Schwingung

• System reagiert in verschiedenen Betriebssituationen (Ventile auf vs. Ventile zu) mit verschiedenen Zeitkonstanten ωn und Dämpfungen ζ

-> System müsste sowohl - für die Zielannäherung (Ventile offen) als auch - für den Arbeitspunktbetrieb (Ventile geschlossen) betrachtet werden

-> bei linearem System nicht möglich• Da im Betrieb (Positionierung, Bahnverfolgung) Ventile überwiegend angesteuert(V. offen) werden, wird dieser Systemmode betrachtet bzw. dessen Param. verwendet

• Dämpfung des Sys. ist sehr schwach, Schwingungen klingen nur sehr langsam ab

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