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Finite Elemente I 56

3 Finite-Elemente Approximationen zur Losungder Poisson-Gleichung in 2D

3 Finite-Elemente Approximationen zur Losung der Poisson-Gleichung in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


3.1 Aufgabenstellung

Sei Ω ⊂ R2 ein beschranktes polygonales Gebiet mit Rand Γ bestehend aus denTeilmengen ΓD und ΓN sowie g und h hinreichend glatte Randfunktionen. ZurApproximation der Losung der RWA

−∆u = f in Ω, (3.1a)

u = g langs ΓD, (3.1b)

∂u

∂n= h langs ΓN (3.1c)

betrachten wir die zugehorige schwache Formulierung

Bestimme u ∈ Vg sodass a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V0. (3.2a)

Hierbei sind Vg := u ∈ H1(Ω) : u|ΓD = g sowie

a(u, v) =

∫Ω

∇u · ∇v dx, `(v) =

∫Ω

fv dx+

∫ΓN

hv ds. (3.2b)

3.1 Aufgabenstellung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Bemerkung 3.1 Oft wird die Variationsaufgabe (3.2) ”homogenisiert“, umVg = V0 zu erreichen.

Dies geschieht mit Hilfe einer beliebigen Funktion ug ∈ H1(Ω) mit derEigenschaft ug|ΓD

= g. Dann ist u0 + ug ∈ Vg fur alle u0 ∈ V0.

Die homogenisierte Variante von (3.2) lautet somit

Bestimme u0 ∈ V0 sodass a(u0, v) = `(v)− a(ug, v) ∀v ∈ V0, (3.3)

d.h. auf der rechten Seite geht man uber zur Linearform ˜ := `− a(ug, ·).

3.1 Aufgabenstellung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


3.2 Referenzaufgaben

Auf folgende Beispielaufgaben kommen wir im Laufe dieses Abschnittswieder zuruck.

3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Beispiel 1: Ω = (−1, 1)2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g ≡ 0.

Dies stellt ein Modell fur Warmeausbreitung auf einer quadratischen Platte dar.Durch Trennung der Veranderlichen bestimmt man die Reihenlosung

u(x, y) =1− x2

2− 16

π3

∑k∈N,k ungerade

[sin(kπ(1 + x)/2)

k3 sinh(kπ)(sinh

kπ(1 + y)

2+ sinh

kπ(1− y)

2

)].

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Beispiel 2: Ω = (−1, 1)2 \ [−1, 0]2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g ≡ 0.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Beispiel 3: Ω = (−1, 1)2, ΓD = Γ, f ≡ 0, g = u|Γmit exakter Losung

u(x, y) =2(1 + y)

(3 + x)2 + (1 + y)2.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Beispiel 4: Ω = (−1, 1)2 \ [−1, 0]2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g = u|Γ mit exakterLosung

u(r, θ) = r2/3 sin2θ + π

3, x = r cos θ, y = r sin θ.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



3.3 Galerkin-Diskretisierung

Das Galerkin-Verfahren zur Approximation der Losung von (3.2) bestehtdarin, Ansatz- und Testraum durch endlichdimensionale Raume V h

g bzw.V h

0 (gleicher Dimension) zu ersetzen.

Hierbei ist h > 0 ein Diskretisierungsparameter.

Gelten V hg ⊂ Vg und V h

0 ⊂ V0, so spricht man von einer konformenDiskretisierung.

Werden verschiedene Ansatz- und Testraume verwendet, spricht man vonPetrov-Galerkin-Verfahren, andernfalls von Bubnov-Galerkin-Verfahren.

Wir betrachten zunachst die homogenisierte Variationsaufgabe (3.3) undeinen n-dimensionalen Unterraum V h

0 ⊂ V0. (Oder, aquivalent, den Fallg ≡ 0.)

Die diskrete Variationsaufgabe lautet somit

Bestimme uh ∈ V h0 sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ V h

0 . (3.4)

3.3 Galerkin-Diskretisierung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Ist φ1, φ2, . . . , φn eine Basis von V h0 sowie uh =

∑nj=1 ujφj , so ist (3.4)

aquivalent mit

n∑j=1

uj a(φj , φi) = `(φi), i = 1, 2, . . . , n,

oder, mit A ∈ Rn×n gegeben durch [A]i,j = a(φj , φi), b ∈ Rn durch[b]i = `(φi) sowie u ∈ Rn durch [u ]i = ui, zu dem Galerkin-System

Au = b. (3.5)

Beachte:

• Die diskrete Variationsaufgabe (3.4) bzw. (3.5) besitzt ein eindeutigeLosung.

• Die Galerkin-Matrix A aus (3.5) ist symmetrisch und positiv-definit.

3.3 Galerkin-Diskretisierung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


3.4 Finite-Element-Raume in 2D

Galerkin-Verfahren lassen zunachst beliebige Unterraume zu (Spektralver-fahren, Integralgleichungen, etc.).

Die finite-Element-Methode (FEM) zeichnet sich durch die Verwendung vonBasisfunktionen mit kleinem Trager aus. Fast ausschließlich werden hierfurstuckweise Polynome eingesetzt.

Deren Konstruktion basiert auf einer Zerlegung von Ω in (disjunkte) Teilge-biete, Elemente genannt, die wir mit K bezeichnen.

Wir betrachten in diesem Abschnitt (Ω ist ein Polygon) Zerlegungen ausDreiecken bzw. Vierecken, welche (in beiden Fallen, auch in 3D) Triangu-lierungen heißen.

Weitere gebrauchliche Bezeichnungen sind Vernetzung, Netz oder Gitter.

3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Fur eine Zerlegung des Gebietes Ω, die wir mit Th mit Elementen K

bezeichnen, wollen wir generell folgende Annahmen treffen:

(Z1) Ω = ∪K∈ThK.

(Z2) Jedes K ∈ Th ist eine abgeschlossene Menge mit nichtleerem Inne-ren K.

(Z3) Fur je zwei verschiedene K1,K2 ∈ Th gilt K1 ∩ K2 = ∅.

(Z4) Jedes K ∈ Th besitzt einen Lipschitz-stetigen Rand ∂K.

Als Diskretisierungsparameter h wird ublicherweise

h := maxK∈T h

diamK,

also ein Maß fur die Feinheit der Zerlegung, genommen.

Es folgen einige grafische Beispiele von Zerlegungen.



Beispiel 1: Dreieckszerlegung des Außeren eines Tragflachenquerschnitts.



Besipiel 2: Triangulierungen verschiedener Gebiete(mittels der distmesh-Software von Strang und Persson)



Beispiel 3: Zerlegung aus Drei- und Vierecken.



Mit V h sei ein zunachst beliebiger endlichdimensionaler Raum auf Ω defi-nierter Funktionen bezeichnet. Entsprechend sei

PK := v|K : v ∈ V h

der durch samtliche Einschrankungen von Funktionen aus V h auf K auf-gespannte Raum.

Bei einer konformen FE-Diskretisierung ist V h ⊂ V erforderlich. EineCharakterisierung von Konformitat liefert folgender Satz.

Satz 3.2 Sei T h eine Zerlegung des Gebietes Ω und V h ein endlichdi-mensionaler Funktionenraum. Gilt V h ⊂ C0(Ω) sowie PK ⊂ H1(K) fur alleK ∈ T h, so gelten

V h ⊂ H1(Ω), sowie v ∈ V h : v = 0 auf ∂Ω ⊂ H10 (Ω).



Beweis: Aufgrund unserer Annahmen gilt bereits V h ⊂ L2(Ω). Damit auch V h ⊂H1(Ω) mussen wir zeigen, dass jedes v ∈ V h schwache Ableitungen ∂iv, i =

1, . . . , d besitzt, d.h. Funktionen vi ∈ L2(Ω) mit∫Ω

vi φdx = −∫

Ω

v ∂iφ dx ∀φ, φ differenzierbar, φ|∂Ω = 0.

Elementweise gilt∫K

φ∂i(v|K) dx = −∫K

v|K ∂iφdx +

∫∂K

v|K φnK,i ds,

(nK,i die i-te Komponente der außeren Einheitsnormalen langs ∂K). Summationuber alle K ergibt (mit vi := ∂iv|K∀K)∫

Ω

φ vi dx = −∫

Ω

v ∂iφdx +∑

K∈Th

∫∂K

v|K φnK,i ds.

Die Summe verschwindet jedoch, da φ langs ∂Ω verschwindet und die (orientierten!)Randintegrale langs innerer Rander je zweimal mit entgegengesetztem Umlaufsinnauftreten.



3.4.1 Dreieckelemente

Wir betrachten eine Zerlegung T h von Ω in (abgeschlossene) Dreiecke Kmit den Eigenschaften (Z1)–(Z4).

Um aus stuckweisen Funktionen auf den Teilmengen K von T h einenUnterraum von H1(Ω) zu erhalten, mussen die hieraus konstruierten Funk-tionen nach Satz 3.2 stetig sein. Fur stuckweise Polynome bezuglich T h

ist dies gewahrleistet, sofern diese nur an allen Dreieckskanten stetig sind.

Der einfachste solche Raum ist der aller stuckweise linearen Funktionenauf Ω bezuglich T h, d.h.

V h := v ∈ C(Ω) : v|K ∈P1 ∀K ∈ T h,

wobei mit P1 die Menge alle Polynome (hier in zwei Variablen) vom Gradhochstens eins bezeichnet sei. Ein Unterraum von V0 ist gegeben durch

V h0 = v ∈ V h : v|ΓD

= 0.



Nodale Basis

Funktionen aus V h sind eindeutig durch ihre Funktionswerte an den Knotender Triangulierung (Ecken der Dreiecke) bestimmt. Einen solchen Satz vonParametern, welche eine FE-Funktion vollstandig charakterisieren, nenntman Freiheitsgrade (degrees of freedom).

Bei V h0 sind dies alle Knoten bis auf die, die nicht auf ΓD liegen. Deren

Anzahl sei n.

Eine besonders nutzliche Basis φ1, . . . , φn, die sog. nodale Basis, istgegeben durch

φj(xi) = δi,j i, j = 1, . . . , n.

Ist N h = x1, . . . , xn die Menge der Knoten mit xj 6∈ ΓD, so gilt

suppφj = K ∈ T h : xj ∈ K.



Triangulierung des L-formigen Gebiets aus Abschnitt 2.1 mit dem Trager dreiernodaler Basisfunktionen.



Konsequenz fur das Galerkin-System (3.5):

[b]i = `(φi) =

∫suppφi

fφi dx+

∫suppφi∩ΓN

hφi ds

[A]i,j = a(φj , φi) =

∫suppφi∩suppφj

∇φi · ∇φj dx

Insbesondere: die Galerkin-Matrix A ist dunn besetzt.



Aufbau des Galerkin-Systems

Großer Vorteil der FEM:

• Aufbau des FE Gleichungssystems – man nennt diesen Vorgang As-semblieren – verlauft auch bei komplizierteren Problemen stets nachdem gleichen Grundschema.

• Parametrisierung durch spezielle Eigenschaften der jeweiligen Aufga-be.

• Grundbausteine der Assemblierung stets dieselben, kann bei der Soft-wareumsetzung ausgenutzt werden (z.B. Objektorientierung).

Wir stellen nun die Grundschritte der Assemblierung fur unser Modellpro-blem zusammen. Das Vorgehen besteht darin, die Rechnung auf Operatio-nen auf den einzelnen Elementen zuruckzufuhren, deren Ergebnisse dannzusammengefugt (assembliert) werden.



Ubliches Vorgehen:

(1) Ignoriere zunachst die wesentlichen RB, d.h. ganz V h wird zugrun-degelegt, mit nodaler Basis φ1, φ2, . . . , φn, φn+1, . . . , φn, n − n dieAnzahl der Knoten auf ΓD.Liefert A ∈ Rn×n, b ∈ Rn.

(2) Eliminiere zum Schluß die Freiheitsgrade der wesentlichen RBen. Lie-fert A, b.

Zunachst naheliegend fur (1): sukzessives Abarbeiten aller Basisfunktionen(= Eintrage in A, b)

Aber: Lage und Anordnung der Trager variieren stark.

Einfacher: elementweises Vorgehen.



Sei K ∈ T h: dann gilt fur i, j = 1, 2 . . . , n:

a(φj , φi) =

∫Ω

∇φj · ∇φi dx =∑

K∈T h

∫K

∇φj · ∇φi dx =:∑

K∈T h

aK(φj , φi),

`(φi) =∑

K∈T h

∫K

fφi dx+

∫K∩ΓN

hφi ds =: `K(φi).

Mit

[AK ]i,j := aK(φj , φi) i, j = 1, 2, . . . , n,

[bK ]i := `K(φi, i = 1, 2, . . . , n,

folgt alsoA =

∑K∈T h

AK , b =∑

K∈T h

bK .



Da jedes Element nur zum Trager dreier Basisfunktionen gehort, sind nur(hochstens) neun bzw. drei Eintrage von AK bzw. bK von Null verschieden.

Welche Eintrage dies sind kann durch Nachschlagen in einer Elementta-belle ermittelt werden:

[ET (i, j)]i=1,2,3;j=1,...,nK:

Element K1 K2 . . . KnK

erster Knoten i(1)1 i

(2)1 . . . i

(nK)1

zweiter Knoten i(1)2 i

(2)2 . . . i

(nK)2

dritter Knoten i(1)3 i

(2)3 . . . i

(nK)3

Hierbei sei nK die Anzahl der Elemente in T h.

Diese fuhrt neben der bisherigen globalen Knotennumerierung x1, x2, . . . , xnin jedem Element zusatzlich eine lokale Nummerierung x(K)

1 , x(K)2 , x(K)

3 derzu K gehorenden Knoten ein.



Globale Nummerierung der Knoten (rot) und der Elemente (schwarz)einer Triangulierung des L-Gebiets.



Damit sind die von Null verschiedenen Teilmatrizen bzw. -vektoren von AK

und bK gegeben durch

AK :=

aK(φ

(K)1 , φ

(K)1 ) aK(φ

(K)2 , φ

(K)1 ) aK(φ

(K)3 , φ

(K)1 )

aK(φ(K)1 , φ

(K)2 ) aK(φ

(K)2 , φ

(K)2 ) aK(φ

(K)3 , φ

(K)2 )

aK(φ(K)1 , φ

(K)3 ) aK(φ

(K)2 , φ

(K)3 ) aK(φ

(K)3 , φ

(K)3 )

, bK :=

`K(φ

(K)1 )

`K(φ(K)2 )

`K(φ(K)3 )

.

Tragt K in der Nummerierung der Elemente den Index k, so ist die Zu-ordnung der lokalen Nummerierung φ(K)

i i=1,2,3 der zu K gehorendenBasisfunktionen zur globalen Nummerierung φjnj=1 gegeben durch

φ(K)i = φj , j = ET (i, k), i = 1, 2, 3.

Man bezeichnet AK und bK auch als Elementsteifigkeitsmatrix bzw. Elem-entlastvektor.



Nach diesen Uberlegungen erhalten wir folgenden Algorithmusa zur As-semblierung:

Initialisiere A := O, b := 0

foreach K ∈ Th

berechne AK und bKk := [Index des Elementes K]i1 := ET (1, k), i2 := ET (2, k), i3 := ET (3, k)

A([i1i2i3], [i1i2i3]) := A([i1i2i3], [i1i2i3]) + AK

b([i1i2i3]) := b([i1i2i3]) + bKend

aHier wird folgende an MATLAB angelehnte Notation verwendet:

A([i1i2i3], [i1i2i3]) =

ai1,i1 ai1,i2 ai1,i3



, b([i1i2i3]) =

bi1bi2bi3

.



Referenzelement

Hilfreich fur Implementierung und Analyse: Bezug auf ein ReferenzelementK ⊂ R2. Fur alle K ∈ T h gilt dann K = FK(K) mit

FK : K → K, K 3 ξ 7→ x ∈ K, x = FK(ξ) = BKξ + bK .

Bei Dreieckelementen ublich: Einheitssimplex

K = (ξ, η) ∈ R2 : 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1− ξ

Fur jedes Dreieck K ∈ T h ist die affine Abbildung FK bestimmt durch dieAbbildungsvorschriften

(1, 0) 7→ (x1, y1),

(0, 1) 7→ (x2, y2),

(0, 0) 7→ (x3, y3), d.h.



K

ξ

η

(0, 0) (1, 0)

(0, 1)

x

y

FK

K

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

[x

y

]=

[x1 − x3 x2 − x3

y1 − y3 y2 − y3

]︸︷︷︸

BK

[ξ

η

]+

[x3

y3

]︸︷︷︸bK



Lokale (nodale) Basisfunktionen in K:

φ1(ξ, η) = ξ, φ2(ξ, η) = η, φ3(ξ, η) = 1− ξ − η, (ξ, η) ∈ K.

Durch die Zuordnung

φ 7→ φ := φ F−1K , d.h. φ(x ) := φ(ξ(x )) = φ(F−1

K (x ))

wird jeder Funktion φ auf K eine Funktion φ auf K zugeordnet.

Lokale Basisfunktionen auf K:

φj = φj F−1K : K → R, j = 1, 2, 3.



Ruckfuhrung der Integration auf das Referenzelement

Die bei der Assemblierung der Galerkin-Matrix anfallenden Integrale wer-den ebenfalls auf das Referenzelement zuruckgefuhrt. Dies ist auch fur dieVerwendung von Quadraturformeln hilfreich.

Aus φ(x ) = φ(ξ(x )) folgt (Kettenregela)

∇φ =

[φx

φy

]=

[φξξx + φηηx

φξξy + φηηy

]=

[ξx ηx

ξy ηy

][φξ

φη

]= (DF−1

K )>∇φ.

Wegen x = FK(ξ) = BKξ + bK , d.h. DFK = BK ,

ξ = F−1K (x ) = B−1

K (x − bK), d.h. DF−1K = B−1

K

folgt schließlich∇φ = B−>K ∇φ.

a∇ bedeutet, dass nach den Variablen ξ und η differenziert wird.



Damit ergibt sich (φi = φ(K)i , i = 1, 2, 3)

aK(φj , φi) =

∫K

∇φj · ∇φi dx

=

∫K

(B−>K ∇φj

)·(B−>K ∇φi

)|detBK | dξ.

(3.6)

Hierbei ist (lineares Dreieckelement)

|detBK | = 2|K|,

B−>K =1

2|K|

[y2 − y3 x3 − x2

y3 − y1 x1 − x3

],

[∇φ1 ∇φ2 ∇φ3

]=

[1 0 −1

0 1 −1

].



Dreieckelemente vom Grad zwei

Nimmt man zu den Ecken des Referenzdreiecks K noch die Kantenmittel-punkte als Knoten hinzu, so lautet die zugehorige nodale Basis von P2 aufK:

φ1(ξ, η) = ξ(2ξ − 1),

φ4(ξ, η) = 4η(1− ξ − η),

φ2(ξ, η) = η(2η − 1),

φ5(ξ, η) = 4ξ(1− ξ − η),

φ3(ξ, η) = (1− (ξ + η))(1− 2(ξ + η)),

φ6(ξ, η) = 4ξη

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Ubliche Darstellung einesDreieckelements vom Grad zwei

mit Knoten



Die sechs nodalen Basisfunktionen im Dreieckelement vom Grad zwei



3.4.2 Simplexelemente

Wir betrachten eine Zerlegung Th eines polyedrischen Gebiets Ω ⊂ Rd indisjunkte Simplices sodass die Eigenschaften (Z1)–(Z4) aus Abschnitt 3.4erfullt sind. Diesen Forderungen fugen wir eine weitere hinzu:

(Z5) Jede Flache eines Simplex K ∈ Th ist entweder Teil des Randes ∂Ω

oder gleichzeitig Flache eines anderen Simplex von Th.

Erlaubt. Verboten.



Fur k ∈ N0 bezeichnet Pk den Raum aller Polynome vom Grad ≤ k in d

Variablen, d.h.

Pk :=

p : Rd → R : p(x ) =

∑|α|≤k

bαxα

mit Koeffizienten bα, Multiindices α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd0, |α| = α1 + · · ·+αdsowie den multivariaten Monomen xα = xα1

1 · · ·xαd

d .

Fur M ⊂ Rd sei Pk(M) := p|M : p ∈Pk.

Es gilt dim Pk =(d+kk

). (dim Pk = dim Pk(M) sofern M 6= ∅)

Der Unterraum Pk ⊂Pk aus Polynomen in d Variablen vom exakten Gradk (sog. homogene Polynome vom Grad k) besitzt die Dimension

dim Pk − dim Pk−1 =

(d+ k − 1

k

).



d-Simplices:

Ein nichtentartetes Simplex K in Rd (kurz: d-Simplex) ist die konvexe Hullevon d+1 nicht in einer Hyperebene gelegenen Punkten ajd+1

j=1 , den Eckendes d-Simplex:

K =

x =

d+1∑j=1

λjaj : 0 ≤ λj ≤ 1,

d+1∑j=1

λj = 1

.

Ein 2-Simplex ist ein Dreieck, ein 3-Simplex ein Tetraeder.

Ein Simplex ist genau dann nicht entartet, wenn die Spalten der Matrix

A :=

[a1 a2 · · · ad+1

1 1 . . . 1

]∈ R(d+1)×(d+1) (3.7)

linear unabhangig sind.



Baryzentrische Koordinaten: Fur Punkte in einem Simplex K ⊂ Rdist folgende Darstellung oft zweckmaßig: als baryzentrische Koordinatenλ = (λ1, . . . , λd+1)> eines Punktes x = (x1, . . . , xd)

> ∈ K bezeichnen wirden eindeutigen Losungsvektor λ des linearen Gleichungssystems

Aλ =

[x

1

]

mit Koeffizientenmatrix A aus (3.7).

Sind a(−1)i,j

d+1i,j=1 die Eintrage von A−1, so besitzen die baryzentrischen

Koordinaten die Darstellung

λi =

d∑j=1

a(−1)i,j xj + a

(−1)i,d+1, i = 1, . . . , d+ 1,

und sind damit affine Funktionen von x , d.h. λi = λi(x ) ∈P1.



Baryzentrische Koordinaten sind invariant unter affinen Transformationen:ist der Simplex K mit den Ecken a1, . . . ,ad+1 das Bild eines Simplex Kmit Ecken a1, . . . , ad+1 unter der Abbildung x 7→ x = Bx + b mit einernichtsingularen Matrix B ∈ Rd×d und b ∈ Rd, so gilt fur die zugehorigenbaryzentrischen Koordinaten[

Ba1 . . . Bad+1

1 . . . 1

]λ =

[Bx

1

]bzw.

[a1 . . . ad+1

1 . . . 1

]λ =

[x

1

]

also λ = λ.

Baryzentrische Koordinaten werden auch Dreiecks- bzw. Flachenkoordinatenim Fall d = 2 sowie Volumenkoordinaten im Fall d = 3 genannt. Letztere Be-zeichnungen ruhren daher, dass λj das Flachen- bzw. Volumenverhaltniszwischen K und dem durch (a1, . . . ,aj−1,x ,aj+1, . . . ,ad+1) aufgespann-ten Simplex angibt.



a1 a2

a3

K

K = BK + b

a1

a2a3

x

x

λ1 = |K1||K|

= |K1||K|

λ2 = |K2||K|

= |K2||K|

λ3 = |K3||K|

= |K3||K|

Baryzentrische Koordinaten von x und x = Bx + b in den affinen Dreiecken Kund K; die Flachen gleich eingefarbter Teildreiecke sind proportional.



a1

a2

a3

λ3 = 23

λ3 = 13

λ2 = 13

λ2 = 23

λ1 = 23

λ1 = 13

Linien konstanter baryzentrischer Koordinaten im Dreieck. Der Schwerpunkt liegtbei λ1 = λ2 = λ3 = 1

3.



Das lineare Simplexelement

Lemma 3.3 Ein Polynom p ∈ P1 in d Variablen ist durch dessen Funk-tionswerte p(aj) an den d + 1 Ecken eines d-Simplex im Rd eindeutigbestimmt.

Beweis: Zu zeigen ist, dass fur jeden Vektor µ = (µ1, . . . , µd+1)> ∈ Rd+1 daslineare Gleichungssystem∑

|α|≤1

bαaαj = µj , j = 1, . . . , d+ 1

eindeutig losbar ist. Die zugehorige Koeffizientenmatrix ist quadratisch, somit istExistenz einer Losung aquivalent mit deren Eindeutigkeit. Fur die baryzentrischenKoordinaten der Ecken gilt λi(aj) = δij (1 ≤ i, j ≤ d+ 1), weshalb das Polynom

p(x ) :=

d+1∑i=1

µiλi(x )

das Gewunschte leistet.



Bemerkung 3.4 Aus dem Beweis folgt insbesondere, dass jedes p ∈ P1

bezuglich der baryzentrischen Koordinaten eines Simplex die Darstellungp(x ) =

∑d+1i=1 p(ai)λi(x ) besitzt.

Das lineare Simplexelement in d Variablen ist nun wie folgt definiert:

(i) Das Gebiet K ist ein nichtentartetes Simplex in Rd.

(ii) Der endlichdimensionale Funktionenraum PK auf K ist P1(K).

(iii) Die Freiheitsgrade ΨK , welche ein Polynom φ ∈ PK eindeutig festle-gen, sind dessen Funktionswerte an den Ecken, symbolisch

ΨK = p(aj) : 1 ≤ j ≤ d+ 1.

Die nodale Basis von PK ist nach Bemerkung 3.4 gegeben durch

φj(x ) = λj(x ), j = 1, . . . , d+ 1.



Das quadratische Simplexelement

Seienaij := 1

2 (ai + aj), 1 ≤ i < j ≤ d+ 1

die Seitenmittelpunkte des d-Simplex K. Es gilt

λk(aij) = 12 (δki + δkj) =

12 ak und aij liegen auf gemeinsamer Kante

0 sonst.

Damit gelten f¸r die Funktionen φi ∈P2 definiert durch

φi(x ) := λi(x )(2λi(x )− 1), i = 1, . . . , d+ 1

die Beziehungen

φi(aj) = δi,j , φi(ajk) = 0, j < k.



Fur die d(d+ 1)/2 weiteren Funktionen φij ∈P2 definiert durch

φij(x ) := 4λi(x )λj(x ), 1 ≤ i < j ≤ d+ 1

gilt

φij(aij) = 1,

φij(ak`) = 0, falls k 6= i oder ` 6= j,

φij(ak) = 0, fur alle k.

Wegen dim P2 = (d+1)(d+2)/2 bilden damit die (d+1)(d+2)/2 Funktionen

φ1, . . . , φd+1, φ1,2, . . . , φd−1,d

die nodale Basis von P2 bezuglich der Knoten

ai, 1 ≤ i ≤ d+ 1 und aij , 1 ≤ i < j ≤ d+ 1.



Insbesondere besitzt jedes Polynom p ∈P2 die Darstellung

p(x ) =d∑i=1

p(ai)λi(x )(2λi(x )− 1) +∑i<j

p(aij) · 4λi(x )λj(x ).

Wir erhalten so das quadratische Simplexelement definiert durch das Sim-plex K, den Funktionenraum P2(K) und als Freiheitsgrade die Funktions-werte an den Ecken und Seitenmittelpunkten, d.h.

ΨK =p(ai), 1 ≤ i ≤ d+ 1;

p(aij), 1 ≤ i < j ≤ d+ 1.

a1

a2a3

a12a13

a23

Knoten im quadratischen Dreieck



Das kubische Simplexelement

Mit den Bezeichnungen

aiij := 13 (2ai + aj), i 6= j,

aijk := 13 (ai + aj + ak), i < j < k,

gilt analog fur Polynome p ∈P3 die Beziehung

p =∑i

p(ai)λi(3λi − 1)(3λi − 2)

2+∑i6=j

p(aiij)9λiλj(3λi − 1)

2

+∑i<j<k

p(aijk) · 27λiλjλk,

was auf das kubische Simplexelement mit Funktionenraum P3(K) und alsFreiheitsgrade die Werte an den ai, aiij(i 6= j) und aijk(i < j < k) fuhrt.



a1

a2a3

a221

a112a113

a331

a332 a223

a123

Knoten im kubischen Dreieck



Allgemein gilt:

Satz 3.5 Sei K ein d-Simplex mit Ecken ajd+1j=1 und p ∈ Pk fur ein

k ∈ N. Dann ist p eindeutig bestimmt durch dessen Funktionswerte an denPunkten der Knotenmenge

Nk(K) :=

x =

d+1∑j=1

λjaj :d+1∑j=1

λj = 1,

λj ∈ i/k, i = 0, . . . , k, j = 1, . . . , d+ 1

.

Beweis: Wegen |Nk(K)| = dim Pk ist durch die Forderungen

φi ∈Pk, φi(xj) = δij , 1 ≤ i, j ≤ |Nk(K)|

die nodale Basis von Pk eindeutig bestimmt.



3.4.3 Viereckelemente

Auch wenn Dreieckzerlegungen im Allgemeinen flexibler sind, so treten inder Praxis hinreichend oft Gebiete auf, welche einfach in Rechtecke oder(konvexe) Vierecke zerlegbar sind.



Beim einfachsten H1-konformen Viereckelement wird als Polynomraum

Q1 := span1, ξ, η, ξη,

der Raum der bilinearen Funktionen verwendet.

Im Referenzelement, ublicherweise K = [−1, 1]2, lautet die nodale Basis

φ1(ξ, η) = 14 (1− ξ)(1− η),

φ2(ξ, η) = 14 (1 + ξ)(1− η),

φ3(ξ, η) = 14 (1 + ξ)(1 + η),

φ4(ξ, η) = 14 (1− ξ)(1 + η).



Beim quadratischen Viereckelement ist der Polynomraum

Q2 := span1, ξ, η, ξη, ξ2, ξ2η, ξη2, η2,

der der biquadratischen Funktionen. Als neue Freiheitsgrade gegenuber dem bi-linearen Viereck kommen hier die Funktionswerte an den Seitenmitten sowie amMittelpunkt hinzu. Die neun Basisfunktionen auf dem Referenzelement lauten hier

φ1(ξ, η) = 14ξ(1− ξ)η(1− η),

φ2(ξ, η) = 14ξ(1 + ξ)η(1− η),

φ3(ξ, η) = 14ξ(1 + ξ)η(1 + η),

φ4(ξ, η) = 14ξ(1− ξ)η(1 + η),

φ5(ξ, η) = 12(1 + ξ)(1− ξ)η(1− η),

φ6(ξ, η) = 12ξ(1 + ξ)(1− η)(1 + η),

φ7(ξ, η) = 12(1− ξ)(1 + ξ)η(1 + η),

φ8(ξ, η) = 12ξ(1− ξ)(1− η)(1 + η),

φ9(ξ, η) = (1− ξ)(1 + ξ)(1− η)(1 + η).

x1 x2

x3x4

x5

x6

x7

x8 x9



Biquadratische nodale Basisfunktionen zu einer Ecke, einer Seitenmitte und demMittelpunkt.



Bei einem achsenparallelen RechteckK mit Kantenlangen hx und hy sowielinkem unteren Eckpunkt (x1, y1) und den weiteren Ecken im Gegenuhrzei-gersinn durchnummeriert lautet die Gebietsabbildung

FK(x ) = BKξ + bK , BK =1

2

[hx 0

0 hy

], b =

1

2

[x1 + x3

y1 + y3

].

In diesem Fall ist (vgl. (3.6))

|detBK | = 14hxhy,

B−>K = 2

[1/hx 0

0 1/hy

].



3.4.4 Rechteckelemente

Fur k ∈ N0 bezeichnet Qk den Raum aller Polynome in d Variablen, welchebezuglich jeder einzelnen Variablen vom Grad ≤ k sind, d.h.

Qk :=

p : Rd → R : p(x ) =

∑αi≤k1≤i≤d

bαxα

.

Es gilt dim Qk = (k + 1)d sowie Pk ⊂ Qk ⊂Pdk.

Beispiel: Im Fall d = 2 erhalt man fur k = 1 die bilinearen Funktionen

span1, x1, x2, x1x2

bzw. fur k = 2 die biquadratischen Funktionen

span1, x1, x2, x1x2, x21, x

22, x

21x2, x1x

22, x

21x

22.



d-Rechtecke

Ein d-Rechteck K ⊂ Rd ist das kartesische Produkt

K =d∏i=1

[ai, bi] = x ∈ Rd : ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, . . . , d

von d Intervallen [ai, bi],−∞ < ai < bi < ∞. Fur d = 2 erhalt mach echteRechtecke, fur d = 3 Quader.

Rechteckelemente sind aufgrund ihrer Produktstruktur einfach zu handha-ben. So erhalt man etwa eine nodale Basis von Qk auf einem d-RechteckKaus Produkten eindimensionaler Lagrange-Grundpolynome: sind in jederKoordinatenrichtung k + 1 Knoten gegeben

ai = x(0)i < x

(1)i < · · · < x

(k−1)i < x

(k)i = bi, i = 1, . . . , d,



so bildet das kartesische Produkt der d Knotenmengen ein Gitter aus(k + 1)d Knoten

xi1,...,id = (x(i1)1 , x

(i2)2 , . . . , x

(id)d ) ∈ K, 0 ≤ ij ≤ k, j = 1, . . . , d.

Ist ferner ìj (xj) das Lagrange-Grundpolynom in der Variablen xj bezuglichder Knoten in der j-ten Variable, so ist

ì1,...,id(x ) :=

d∏j=1

ìj (xj) ∈ Qk, (i1, . . . , id) ∈ 0, 1, . . . , kd

das Lagrange-Grundpolynom in d Variablen des Knoten xi1,...,id , d.h. es gilt

ì1,...,id(xj1,...,jd) =

1, falls i1 = j1, . . . , id = jd,

0, sonst.



Damit gilt fur alle p ∈ Qk:

p(x ) =∑

(i1,...,id)∈0,...,kdp(xi1,...,id) `i1,...,id(x ).

Ein solches kartesisches Produkt von d Knotenmengen nennt man auchd-faches Tensorprodukt-Gitter. Wir fassen dies wie folgt zusammen:

Satz 3.6 Ein Polynom p ∈ Qk ist eindeutig bestimmt durch seine Werte aufeinem d-fachen Tensorprodukt-Gitter.

Betrachten wir das Referenz-d-Rechteck K := [−1, 1]d, so ist ein aquidi-stantes Tensorproduktgitter fur Qk(K) hierauf gegeben durch die Knoten-menge

Nk :=

(ξ(i1)1 , . . . , ξ

(id)d ) : ξ

(ij)j = −1 +

2

kij , 0 ≤ ij ≤ k, 1 ≤ j ≤ d

.



Das aquidistante Tensorproduktgitter Nk(K) fur Qk(K) bezuglich einesbeliebigen achsenparallelen d-Rechtecks K ⊂ Rd ist das Bild Nk(K) =

FK(Nk) einer diagonal-affinen Abbildung

FK : K → K, ξ 7→ BKξ + bK

mit einer Diagonalmatrix BK und einem Verschiebungsvektor bK .

Nk(K) fur ein Rechteck K (d = 2), k = 1, 2, 3.



3.4.5 Das d-Rechteckelement der Ordnung k

Das Rechteckelement der Ordnung k in d Raumdimensionen ist somitcharakterisiert durch

• K ein achsenparalleles d-Rechteck

• PK = Qk (dimPK = (k + 1)d)

• mit den Freiheitsgraden ΨK = p(x ) : x ∈ Nk(K).

Beispiel: d = 2, k = 2 (biquadratisches Rechteck). Die nodale Basis aufdem Referenzelement K = [−1, 1]2 ist gegeben durch

φi(ξ1)φj(ξ2) : 0 ≤ i, j ≤ 2

mit

φ0(ξ) = 12ξ(ξ − 1), φ1(ξ) = −(ξ + 1)(ξ − 1), φ2(ξ) = 1

2 (ξ + 1)ξ.



3.4.6 Serendipity-Elemente

Die zu inneren Knoten gehorenden nodalen Basisfunktionen des d-Rechteck-elementes (k ≥ 2) verschwinden auf dem Rand von K und spielen daherkeine Rolle bei der Kopplung zu angrenzenden Elementen. Man kann da-her die inneren Freiheitsgrade vor dem Aufbau des Gleichungssystemseliminieren und so dessen Dimension reduzieren. Eine andere Alternativesind Rechteckelemente, bei denen die inneren Knoten entsprechendenFreiheitsgrade entfernt wurden, sog. Serendipity-Elemente.

Wir fuhren diese Konstruktion anhand desbilinearen Rechtecks vor. Hierzu sei folgen-de Nummerierung der Knoten/Freiheitsgradefestgelegt:

1 2

34

5

6

7

8



Wir betrachten das Referenzelement K = [−1, 1]2 mit Variablen ξ, η. Diezum Knoten a1 gehorende Basisfunktion φ1 liegt in Q2 und verschwindet anden Knoten a2, . . . , a8, insbesondere langs der Kanten ξ = 1 und η = 1. AlsPolynom aus Q2 besitzt φ1 daher die Form φ1(ξ, η) = (1−ξ)(1−η)ψ(ξ, η) miteinem hochstens linearen Polynom ψ. Da φ1 ferner an den Stellen a5 und a8

verschwindet muss ψ langs deren Verbindungsstrecke verschwinden, d.h.ψ(ξ, η) = α(1 + ξ + η). Schließlich fuhrt die Bedingung φ1(a1) = 1 auf α =

− 14 . Auf analoge Weise bestimmen wir auch die ubrigen Basisfunktionen:

φ1(ξ, η) = − 14 (1− ξ)(1− η)(1 + ξ + η), φ5(ξ, η) = 1

2 (1− ξ2)(1− η),

φ2(ξ, η) = − 14 (1 + ξ)(1− η)(1− ξ + η), φ6(ξ, η) = 1

2 (1 + ξ)(1− η2),

φ3(ξ, η) = − 14 (1 + ξ)(1 + η)(1− ξ − η), φ7(ξ, η) = 1

2 (1− ξ2)(1 + η),

φ4(ξ, η) = − 14 (1− ξ)(1 + η)(1 + ξ − η), φ8(ξ, η) = 1

2 (1− ξ)(1− η2).



Bezeichnen wir den inneren Knoten des bilinearen Rechteckelements mita9 = ( 1

2 ,12 ), verifiziert man leicht die Beziehung

φj(a9) = −1

4

4∑`=1

φj(a`) +1

2

8∑`=5

φj(a`), j = 1, 2, . . . , 8.

Da diese Eigenschaft invariant ist unter diagonal-affinen Transformationen,laßt sich der Polynomraum des Serindipity-Elements fur k = 2 und d = 2

charakterisieren als

PK := Q′2 =

p ∈ Q2 : p(a9) = −1

4

4∑`=1

p(a`) +1

2

8∑`=5

p(a`)

.

Bemerkung: Es gilt P2 ⊂ Q′2. Anhand der Basisfunktionen verifiziert manaußerdem, dass die Polynome in Q′2 das Monom ξ2η2 nicht enthalten.



3.4.7 Finite-Element-Raume basierend auf Rechtecken

Jedes durch stuckweise achsenparallele Randflachen berandete GebietΩ ⊂ Rd kann in d-Rechtecke zerlegt werden, sodass die Eigenschaften(Z1)–(Z4) aus Abschnitt 3.4 erfullt sind. Ferner fordern wir die Eigenschaft(Z5) aus Abschnitt 3.4.2 mit ”Simplex“ ersetzt durch ”Rechteck“.

Aufgrund der Anzahl Knoten auf den Randflachen zeigt man leicht, dassauf einer solchen Zerlegung basierende finite-Element-Raume H1-konformsind:

Satz 3.7 Ist V h der zu einer zulassigen Zerlegung Th aus Rechteck- bzw.Serindipity-Elementen gehorende FE-Raum, so gilt

V h ⊂ C0(Ω) ⊂ H1(Ω).



3.4.8 Affine Familien

Wir haben bereits in den Abschnitten 3.4.2 und 3.4.4 von der Technik Ge-brauch gemacht, ein finites Element zunachst auf einem ReferenzelementK zu definieren und dann beliebige Elemente K aus einer Triangulierungdurch affine Abbildung von K nach K abzuleiten. Vorteile dieses Ansatzes:

• Auf dem Referenzelement besitzt ein finites Element eine besonderseinfache Beschreibung.

• Berechnungen werden durch Transformation auf das Referenzelementeinheitlicher.

• Es genugt, theoretische Aussagen (z.B. Approximationseigenschaften)nur fur das Referenzelement zu beweisen.

Wir bescheiben in diesem Abschnitt, wie dieser Ansatz im Allgemeinenangewandt werden kann.



Folgende abstrakte Definition eines finiten Elementes geht auf Ciarletzuruck:

Definition 3.8 Ein finites Element ist ein Tripel (K,P,Ψ); hierbei sind

(i) K eine abgeschlossene Teilmenge des Rd mit nichtleerem Inneren undLipschitz-Rand,

(ii) P ein linearer Raum auf K definierter Funktionen sowie

(iii) Ψ eine endliche Menge linear unabhangiger linearer FunktionaleΦ1, . . . ,Φn auf P derart, dass jede Funktion φ ∈ P eindeutig durchdie Werte Φ1(φ), . . . ,Φn(φ) festgelegt ist. (Man sagt auch, Ψ sei uni-solvent bezuglich P .)

Bemerkung 3.9 Durch Ψ ist eine Basis φ1, . . . , φn von P ausgezeichnetdurch Φi(φj) = δij , i, j = 1, . . . , n, die wir in Beispielen bereits als nodaleBasis bezeichnet haben. Die Basen Φj und φj sind also zueinenderdual.



Dass es bei einem finiten Element auch auf die Freiheitsgrade ankommtveranschaulicht folgendes Beispiel: wir betrachten ein Dreieckelement mitPolynomraum P1 und als Freiheitsgrade die Funktionswerte an jeweils dreiKnoten, die wir wie folgt wahlen.

Nur bei der ersten Wahl der Knoten (und damit der Freiheitsgrade) erhal-ten wir einen FE-Raum mit stetigen Ubergangen zwischen benachbartenDreiecken.

Insbesondere erhalten wir so drei verschiedene finite Elemente bei jeweilsgleichem K und Ψ.



Wir haben bereits verschiedene Arten von Freiheitsgraden/Funktionalenkennengelernt:

• Funktionswerte an einem Knoten: Elemente mit ausschließlich sol-chen Freiheitsgraden heißen Lagrange-Elemente. Beispiele sind diebehandelten Rechteck- und die Simplexelemente.

• Ableitungen an einem Knoten: Elemente, bei denen auch Ableitungenals Freiheitsgrade auftreten, heißen Hermite-Elemente.

Daneben sind aber auch Freiheitsgrade gebrauchlich, die durch Integraleuber Kanten, Flachen oder das Element selbst gebildet werden.



Definition 3.10 Zwei finite Elemente (K,P,Ψ) und K, P , Ψ) heißen affinaquivalent, falls folgende Bedingungen erfullt sind:

(a) Es existiert eine affine Abbildung F : K → K, x 7→ Bx + b, mitB ∈ Rd×d nichtsingular, b ∈ Rd sodass K = F (K),

(b) Fur die Funktionenraume gilt P = φ F−1 : φ ∈ P.

(c) Fur die Freiheitsgrade gilt Ψ = Φ · F−1 : Φ ∈ Ψ.

Bemerkungen 3.111. Bedingung (c) besagt, dass die Funktionalmenge Ψ das Bild von Ψ ist

unter der Abbildung

Φ 7→ Φ mit Φ(φ) = Φ(φ F−1) ∀φ ∈ P .

2. Die Zuordnung in (b) zwischen Funktionen auf K und solchen auf Kuber Verkettung mit F−1 wird auch ”Pull-back“ genannt, geschrieben(F−1)∗(φ) := φ F−1. Damit lautet (b) P = (F−1)∗P oder P = F ∗P .



3. Analog nennt man die Zuordnung in (c) zwischen linearen Funktio-nalen von Funktionen auf K zu solchen von Funktionen auf K auch

”Push-Forward“, geschrieben((F−1)∗Φ

)(φ) := Φ

((F−1)∗(φ)

). Eine

entsprechende Formulierung von (c) lautet also Ψ = (F−1)∗Ψ bzw.Ψ = F∗Ψ.

Proposition 3.12 Affine Aquivalenz finiter Elemente ist eine Aquivalenzre-lation.



Beispiele

1. Lagrange-Elemente auf Simplices oder Rechtecken, deren Knoten-mengen durch die affine Gebietsabbildung F ineinander uberfuhrtwerden, sind affin aquivalent.

2. Finite Elemente mit Normalableitungen als Freiheitsgrade (z.B. Argyris-Element) sind im Allgemeinen nicht affin aquivalent.

3. Man betrachte ein Dreieckelement mit Polynomraum P3 (Dimension10) und als Freiheitsgrade die Funktionswerte an den drei Ecken undam Schwerpunkt (4 Stuck) sowie je zwei partielle Ableitungen an denEcken (weitere 3 × 2 Stuck). Wahlt man als Ableitungsrichtungen dieder beiden angrenzenden Kanten, so sind die resultierenden Elementeaffin aquivalent. Dies ist nicht der Fall wenn man z.B. die Koordinaten-richtungen wahlt.



Definition 3.13 Eine Menge von finiten Elementen heißt affine Familie,falls alle Elemente affin aquivalent zu einem Referenzelement (K, P , Ψ)

sind. (Letzteres braucht selbst nicht zur Familie zu gehoren)

Bei d-Simplexelementen wahlt man meist als Referenzelement (-Gebiet)den Einheitssimplex mit Ecken im Ursprung und an der Spitze der dKoordinaten-Einheitsvektoren. Bei d-Rechteckelementen sind entwederder Einheitswurfel [0, 1]d oder, weil die Basisfunktionen hierfur etwas sym-metrischer aussehen, [−1, 1]d ublich.



3.5 Der Interpolationsoperator

Der Interpolationsoperator ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktionvon FE-Raumen aus einzelnen Elementen sowie bei der Konvergenzana-lyse.

Definition 3.14 Sei (K,P,Ψ) ein finites Element und φ1, . . . , φn die nodaleBasis von P zu Ψ. Ist u eine Funktion auf K, fur die alle FreiheitsgradeΦj ∈ Ψ definiert sind, so wird die lokale Interpolierende IKu ∈ P definiertdurch

IKu =n∑j=1

Φj(u)φj .

3.5 Der Interpolationsoperator TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Beispiel: Sei K das lineare Dreieckelement bezuglich des Dreiecks K mitden Ecken (0, 0), (1, 0) und (0, 1). Die nodale Basis ist gegeben durch

φ1(x, y) = 1− x− y, φ2(x, y) = x, φ3(x, y) = y.

Die lokale Interpolierende der Funktion u(x, y) = exy lautet damit

(IKu)(x, y) = e0φ1(x, y) + e0φ2(x, y) + e0φ3(x, y) = (1− x− y) + x+ y ≡ 1.

Proposition 3.15 IK ist linear und es gilt Φj(IKu) = Φj(u), j = 1, . . . , n.

Mit anderen Worten: IKu ist diejenige Funktion in P mit denselben Frei-heitsgraden wie u.

Proposition 3.16 Fur alle p ∈ P gilt IKp = p, d.h. IK ist eine Projektionauf P .



Proposition 3.17 Sind (K,P,Ψ) und (K, P , Ψ) zwei affin aquivalente finiteElemente bezuglich der affinen Abbilding F : K → K und bezeichnen IKbzw. IK die zugehorigen lokalen Interpolationsoperatoren, so gilt IK F

∗ =

F ∗ IK .

Definition 3.18 Sei Th eine zulassige Zerlegung des polyedrischen Ge-biets Ω ⊂ Rd und sei auf jedem Teilgebiet K ∈ Th ein finites Element(K,P,Ψ) definiert. Sind fur eine Funktion u : Ω → R alle FreiheitsgradeΨK ,K ∈ Th definiert, so definieren wir den globalen InterpolationsoperatorIh durch

(Ihu)|K = IKu, fur alle K ∈ Th.

Man nennt ein finites Element Ck-Element, falls die zugehorigen globalenInterpolierenden stets k mal stetig differenzierbar sind. Lagrange-Elementesind (bei geeigneter Knotenwahl) C0-Elemente, das Argyris und das Bell-Dreieck sind C1-Elemente.



3.6 Approximationsfehler

Wir betrachten zunachst allgemeine konforme Galerkin-Diskretisierungeneiner Variationsaufgabe

Bestimme u ∈ V sodass a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V , (3.8)

wobei wir annehmen, dass die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas(Satz 2.19) erfullt sind. Die diskrete Variationsaufgabe lautet entsprechend

Bestimme uh ∈ V h sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ V h, (3.9)

mit einem Unterraum V h ⊂ V .

Frage: Was kann man aussagen uber ‖u− uh‖, insbesondere fur h→ 0?

3.6 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


3.6.1 Das Cea-Lemma

Satz 3.19 (Lemma von Cea) Gelten fur die Variationsaufgabe (3.8) dieVoraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt fur den Fehler u − uhder Galerkin-Approximation

‖u− uh‖ ≤ C

αinfv∈V h

‖u− v‖. (3.10)

Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitatskonstante ausdem Lax-Milgram-Lemma.



Bemerkungen 3.20(a) Ist die Bilinearform zusatzlich noch symmetrisch (Hermitesch), so laßt

sich (3.10) verbessern zu

‖u− uh‖ ≤√C

αinfv∈V h

‖u− v‖. (3.11)

(b) Fur die Konvergenz einer Folge von Galerkin-Approximationen (imGrenzwert h→ 0) ist somit hinreichend, dass fur die zugehorige FamilieV hh>0 von Unterraumen gilt

limh→0

infv∈V h

‖u− v‖ = 0 ∀u ∈ V .

(c) In diesem Sinne wird durch das Cea-Lemma die Abschatzung desGalerkin-Fehlers zu einem Approximationsproblem.

(d) Die Tatsache, dass a(u− uh, v) = 0 fur alle v ∈ V h wird auch Galerkin-Orthogonalitat genannt.



Das Cea-Lemma laßt sich auch auf den Fall verallgemeinern, dass kei-ne Koerzivitat, sondern lediglich eine inf-sup-Bedingung vorliegt (vgl.Satz 2.21).

Satz 3.21 Seien X , Y Banach-Raume und a : X × Y → R eine Biline-arform, welche die Voraussetzungen von Satz 2.21 erfullt. Ferner seien furUnterraume X h ⊂ X und Y h ⊂ Y gleicher Dimension die Bedingung(2.19) mit einer Konstanten γh sowie Bedingung (2.20) erfullt. Dann gilt furdie Losung uh der diskreten Variationsaufgabe

Bestimme uh ∈X h sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ Y h, (3.12)

und die Losung u ∈X von (2.21) die Abschatzung

‖u− uh‖X ≤(

1 +C

γh

)inf

v∈X h‖u− v‖X .



Bemerkung 3.22 Im Gegensatz zum Lax-Milgram Lemma folgen Bedin-gungen (2.19) und (2.20) nicht aus deren Gultigkeit fur die Raume X undY . Insbesondere kann die Konstante γ in (2.19) von h abhangen, d.h.γ = γh. Entscheidend ist, ob γh gleichmaßig nach unten beschrankt ist.



3.6.2 A priori Fehlerabschatzungen

Die einfachsten a priori Fehlerabschatzungen beruhen auf zusatzlicherRegularitat:

Definition 3.23 Mit H2(Ω) wird der Raum aller Funktionen in u ∈ L2(Ω)

bezeichnet, welche schwache Ableitungen bis einschließlich Ordnung zweibesitzen.

H2(Ω) ist ein Hilbert-Raum bezuglich des Innenproduktes

(u, v)2 := (u, v)1 +2∑

i,k=1

(∂jku, ∂jkv).

Hierzu gehort die Norm

‖u‖2 =(‖u‖21 + |u|22

)1/2, |u|2 :=

( 2∑i,k=1

‖∂jku‖2)1/2

.



Definition 3.24 Die Variationsaufgabe (3.2) heißt H2-regular falls fur hin-reichend glatte Daten f , g und h die Losung sogar in Vg ∩H2(Ω) liegt.

Aufgrund des Sobolevschen Einbettungssatzes liegt in der Aquivalenzklassejeder Funktion u ∈ H2(Ω) eine aus C(Ω). Insbesondere kann man bei H2-Funktionen vom Wert u(x ) dieser Funktion an einer Stelle x ∈ Ω sprechen.

Definition 3.25 Sei T h eine zulassige Triangulierung des Gebietes Ω undV h der FE-Raum aus stuckweise linearen Funktionen bezuglich T h. Furalle K ∈ T h mit Ecken xj3j=1 und u ∈ H2(K) wird die durch

IKu ∈P1(K), (IKu)(xj) = u(xj), j = 1, 2, 3

als lokale Interpolierende zu u bezeichnet. Die globale InterpolierendeIhu ∈ V h zu u ∈ H2(Ω) ist definiert durch

Ihu|K = IKu ∀K ∈ T h.



Lemma 3.26 Fur alle u ∈ H2(Ω) und alle K ∈ T h gilt

‖∇(u− IKu)‖2K ≤2h2

K

|K|‖∇(u− IK u)‖2

K.

Folgende Aussage ist ein Spezialfall des Bramble-Hilbert-Lemmas, wel-ches wir in allgemeiner Form spater beweisen werden:

Lemma 3.27 Es existiert eine Konstante C sodass fur alle u ∈ H2(K) gilt

‖∇(u− IK u)‖K ≤ C|u− IK u|2,K = C|u|2,K .

Lemma 3.28 Fur alle u ∈ H2(K) und u = u FK gilt

|u|22,K≤ 12h2

K

h2K

|K||u|22,K .



Lemma 3.29 Bezeichnet θK ∈ (0, π/3] den kleinsten Innenwinkel eines(nichtentarteten) Dreiecks K, so gilt

h2K

4sin θK ≤ |K| ≤

h2K

2sin θK .

Korollar 3.30 Fur die globale Interpolierende Ih eines stuckweise linearenFE-Raumes V h ⊂ H1(Ω) bezuglich einer Triangulierung T h gilt

‖∇(u− Ihu)‖2 ≤ C∑

K∈T h

1

sin2 θKh2K |u|22,K ∀u ∈ H2(Ω).

Definition 3.31 Eine Familie von Triangulierungen T hh>0 heißt qua-siuniform, falls eine gleichmaßige untere Schranke θ fur den minimalenInnenwinkel aller Dreiecke K ∈ T h fur alle h existiert.



Satz 3.32 Ist die Variationsaufgabe (3.2)H2-regular, so gilt fur die Galerkin-Approximation uh bezuglich eines Unterraumes V h ⊂ H1(Ω) aus stuckweiselinearen Funktionen bezuglich einer quasiuniformen Triangulierung T h mith := maxK∈T h diamK

‖u− uh‖1 ≤ Ch|u|2mit einer von u und h unabhangigen Konstanten C.



3.6.3 A posteriori Fehlerabschatzungen

Gegeben: RWA (3.2), Losung u, V h basierend auf T h, u ≈ uh ∈ V h

Gesucht: (lokaler) Fehlerschatzer η : T h → R, K 7→ ηK mit

• ηK ≈ ‖∇(u− uh)‖K ,• Aufwand zur Berechnung von ηKK∈T h moglichst linear in |T h|,• obere Schranke der Form∑

K∈T h

‖∇(u− uh)‖2K ≤ C(θ)∑

K∈T h

η2K ,

(θ untere Schranke fur minimalen Innenwinkel),• untere Schranke der Form

ηK ≤ C(θωK)‖∇(u− uh)‖ωK

,

ωK lokale Elementumgebung von K, K ⊂ ωK ⊂ T h.



Ausgangspunkt: fur alle Testfunktionen v ∈ V0 gilt

a(u− uh, v) = `(v)− a(uh, v). (3.13)

Die rechte Seite von (3.13) stellt ein Residuumsterm dar, ein Element desDuals von V0.

Man kann zeigen: Norm von u−uh beidseitig durch Dualnorm des Residu-ums beschrankt.

Idee: Schatze u − uh durch Schatzung von ‖` − a(uh, ·)‖ bzw. durchnaherungsweise Losung von (3.13).

Annahme: homogene Neumann-Daten, d.h. `(v) = (f, v).

Mit (u, v)K :=∫Kuv dx bzw. aK(u, v) :=

∫K∇u · ∇v dx wird (3.13) zu

a(u− uh, v) =∑

K∈T h

aK(u− uh, v) =∑

K∈T h

(f, v)K −∑

K∈T h

aK(uh, v).



Partielle Integration:

− aK(uh, v) =

∫K

v∆uh dx −∑

E∈E (K)

⟨n · ∇uh, v

⟩E, (3.14)

mit den Bezeichnungen

E (K) Menge der Kanten des Elements K ∈ T h.

n = nE,K außerer Normalenvektor langs E bez. K,

〈·, ·〉E Innenprodukt in L2(E), (Dualform in H−1/2(E)×H1/2(E))

n · ∇uh (diskreter) Fluss uber E, i.A. unstetig an Elementgrenzen.

Definiere daher fur zwei Elemente K1 und K2 mit gemeinsamer Kante E

den Sprung des Flusses von v uber E durchs∂v

∂n

:= (∇v|K1

−∇v|K2) · nE,K1

= (∇v|K2−∇v|K1

) · nE,K2.



Mit diesen Bezeichnungen sowie (3.14) wird aus (3.13)

∑K∈T h

aK(u− uh, v) =∑

K∈T h

(f + ∆uh, v)K − 12

∑E∈E (K)

⟨s∂uh

∂n

, v

⟩E

,wobei wir den Fluss zu gleichen Teilen auf die angrenzenden Elementeverteilt haben.

2 Anteile:

Element-Residuum RK := (f + ∆uh)|K

Fluss-Sprung RE :=

s∂uh

∂n

Beachte: RK ≡ RE ≡ 0 fur exakte Losung u.



Hier: betrachte lineare Dreiecke bzw. bilineare Rechtecke

• RE ≡ konstant bei linearen Dreiecken,

• in beiden Fallen RK = f |K .

Weitere Vereinfachung: approximiere RK ≈ R0K , wobei f orthogonal auf

den Raum der konstanten Funktionen projiziert wird.

Weitere Notation:

E h :=⋃

K∈T h

E (K) = E hΩ ∪ E h

D ∪ E hN ,

E hΩ := E h ∩ Ω, E h

D := E h ∩ ΓD, E hN := E h ∩ ΓN .



Mit der Bezeichnung

R∗E :=

12

r∂uh

∂n

z, E ∈ E h

Ω ,

−nE,K · ∇uh, E ∈ E hN ,

0, E ∈ E hD,

erhalten wir schließlich∑K∈T h

aK(u− uh, v) =∑

K∈T h

[(RK , v)K −

∑E∈E (K)

〈R∗E , v〉E

], (3.15)

Exakter Fehler durch (3.15) fur alle v ∈ V0 bestimmt.

Idee: bestimme eK ≈ u− uh auf K durch Losen von

aK(eK , v) = (R0K , v)K −

∑E∈E (K)

〈R∗E , v〉E ∀v ∈ V hK . (3.16)

und setze ηK := ‖∇eK‖K . Wahl von V hK ?



Eine Moglichkeit [Bank & Weiser, 1985]

V hK := PK ⊕ BK , (3.17)

PK := spanφE : E ∈ E (K) \ E hD,

BK := spanφK

Hierbei sei φE die quadratische bzw. biquadratische Kanten-Blaschenfunktion(BF) mit φE 6≡ 0 auf E sowie φK die kubische bzw. biquadratische BF aufK mit

0 ≤ φK ≤ 1, φK ≡ 0 auf ∂K, φK = 1 am Schwerpunkt von K.



Bei dieser Wahl:

• Berechnung von eK gemaß (3.16) erfordert Losen eines LGS derDimension 4 bzw. 5.

• Wegen (∇v,∇v)K > 0 ∀v ∈ V hK sind diese eindeutig losbar (Konstante

kann nicht durch BF dargestellt werden).

• Wichtig, da dies Vertraglichkeitsbedingung (reine Neumann-RWA) um-geht.



Beispiel: Wir betrachten die RWA aus Beispiel 3, diskretisiert mit bilinearenRechteckelementen auf einem uniformen achsenparallelen Gitter mit 2`

Elementen in jeder Koordinatenrichtung.

Wir vergleichen fur verschiedene Gitterweiten

• den exakten Fehler ‖∇(u− uh)‖,• den geschatzten (globalen) Fehler η := (

∑K∈T h η2

K)1/2,• den Quotienten Xη := η/‖∇(u− uh)‖.

h ‖∇(u− uh)‖ η Xη

5.000× 10−1 4.9542× 10−2 5.0314× 10−2 0.98466

2.500× 10−1 2.5163× 10−2 2.5114× 10−2 0.99806

1.250× 10−1 1.2581× 10−2 1.2574× 10−2 0.99937

6.250× 10−2 6.2909× 10−3 6.2881× 10−3 0.99956

3.125× 10−2 3.1455× 10−3 3.1446× 10−3 0.99972



Lemma 3.33 Zu u ∈ V0 existiert eine Quasi-Interpolierende Ihu ∈ V h0 mit

‖u− Ihu‖K ≤ C1(βωK)hK ‖∇u‖ωK

∀K ∈ T h, (3.18a)

‖u− Ihu‖E ≤ C2(βωK)h

1/2E ‖∇u‖ωK

∀E ∈ E h. (3.18b)

Hierbei sei ωK die Vereinigung aller Elemen-te mit mindestens einer gemeinsamen Eckemit K (siehe rechts) und βωK

eine obereSchranke fur das Elementenseitenverhaltnisin ωK .



Lemma 3.34 Sei φ ein auf einem Drei- oder Rechteckelement K definier-tes Polynom. Dann existiert eine (nur vom Seitenverhaltnis abhangige)Konstante C mit

‖∇φ‖K ≤C

hK‖φ‖K . (3.19)

Hierbei bezeichnet hK die Lange der langsten Kante in K.

Satz 3.35 Wird die Losung der Variationsaufgabe (3.2) approximiert durchbilineare Rechteckelemente auf einem Gitter T h mit oberer Schranke β∗ furdas Seitenverhaltnis, so gilt fur den durch (3.16) definierten Fehlerschatzermit lokalem Funktionenraum definiert durch (3.17) die Abschatzung

‖∇(u− uh)‖ ≤ C(β∗)

∑K∈T h

η2K + h2

∑K∈T h

‖RK −R0K‖2K

1/2

. (3.20)

Hierbei bezeichnet h die Lange der langsten Kante in T h.



Satz 3.36 Wird die Losung der Variationsaufgabe (3.2) approximiert durchbilineare Rechteckelemente auf einem Gitter T h mit oberer Schranke β∗ furdas Seitenverhaltnis, so gilt fur den durch (3.16) definierten Fehlerschatzermit lokalem Funktionenraum definiert durch (3.17) die Abschatzung

ηK ≤ C(βωK)‖∇(u− uh)‖. (3.21)

Hierbei bezeichnet ωK die Vereinigung der (5) Elemente, die mit K ge-meinsame Kanten haben.



3.7 Matrixeigenschaften

Vektordarstellung von FE-Funktionen: sei φ1, . . . , φn Basis von V h0 .

Identifiziere

v =

n∑j=1

vjφj ∈ V h0 ←→ v =

v1

...

vn

∈ Rn.

L2(Ω)-Norm:

‖v‖2 = (v, v) = v>Mv , [M ]i,j = (φj , φi) Massenmatrix

Energienorm:

‖v‖2a = a(v, v) = v>Av , [A]i,j = a(φj , φi) Steifigkeitsmatrix

3.7 Matrixeigenschaften TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Lemma 3.37 Fur FE-Raume aus P1- oder Q1-Elementen basierend aufeiner quasiuniformen Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω ⊂ R2

existieren von h unabhangige Konstanten c und C mit

ch2min v

>v ≤ v>Mv ≤ Ch2 v>v .

Hierbei bezeichne hmin := minK∈T h hK fur jede Zerlegung T h von Ω.

Definition 3.38 Eine Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω heißt uni-form, falls fur alle T h gilt hmin ≥ ch.

Korollar 3.39 Fur FE-Raume aus P1- oder Q1-Elementen basierend aufeiner uniformen Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω ⊂ R2 existierenvon h unabhangige Konstanten c und C mit

ch2 v>v ≤ v>Mv ≤ Ch2 v>v .



Bemerkungen 3.40(a) Fur Zerlegungen von Rd ist h2 durch hd zu ersetzen.(b) Die Abschatzung gilt ebenso fur die Raume Pk, Qk, k ≥ 2 mit von k

abhangigen Konstanten c und C.(c) Bei der Galerkin-Diskretisierung der RWA (3.2) geht die rechte Seite f

der Differentialgleichung ein durch den Vektor

f =

(f, φ1)

...

(f, φn)

∈ Rn.

M.a.W.: Hier wird die Funktion f durch deren L2-Projektion nach V h

reprasentiert. Im Gegensatz zu Ansatz- und Testfunktionen ist f nichtdie Koordinatendarstellung der L2-Projektion von f bezuglich der Basisφ1, . . . , φn.



Satz 3.41 Fur P1 bzw. Q1-Elemente bezuglich einer Familie uniformerTriangulierungen T hh>0 gilt fur die Galerkin-Matrix A in (3.5)

ch2 ≤ v>Av

v>v≤ C ∀0 6= v ∈ Rn (3.22)

mit zwei von h unabhangigen Konstanten c und C. Hierbei bezeichnet h dieLange der langsten Kante in T h und n die Dimension des FE-Raums V h

0 .

Bemerkungen 3.42(a) Die Ungleichungen (3.22) beschranken den Wertebereich, und, da A

symmetrisch, somit das Spectrum der Matrix A.(b) Insbesondere gilt fur die Konditionszahl κ(A) von A

κ(A) = ‖A‖ ‖A−1‖ =λmax(A)

λmin(A)≤ C

ch−2.


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