a cura di Beatrice Clair

Moto del proiettile

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Studiando il moto del proiettile è

possibile prevedere l’andamento di un

lancio o di una caduta di un oggetto,

sfruttando alcune leggi della fisica.

La “Balistica” (dal verbo greco βαλλιζω =

“io lancio”, da cui deriva anche il

termine balestra) è quella parte della

dinamica che studia il moto dei

proiettili.

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Supponiamo di lanciare un proiettile orizzontalmente

( se si tratta di un cannone si direbbe di “alzo zero”) e

di voler rappresentare graficamente la sua traiettoria.

Possiamo scomporre la velocità del

proiettile in una componente

orizzontale (Vx) e in una verticale (

Vy) e considerare il suo moto come

la sovrapposizione di due moti

indipendenti:

uno lungo x e l’altro lungo y.

Come riferimenti scegliamo l’asse x

orizzontale e l’asse y verticale

diretto verso il basso. L’origine del

riferimento è il punto di partenza

del lancio.

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Per analizzare correttamente

questa curva, dobbiamo

prendere tre aspetti in

considerazione e ciascuno una

volta in riferimento all’asse x e

un’altra volta in riferimento

all’asse y: l’accelerazione, la

velocità, e la legge oraria

(definisce lo spazio percorso in

un dato tempo).

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Premesse

L’accelerazione di gravità:

g=9.8 m/s²

La formula della velocità:

V=S (spazio)/t (tempo)

La formula dell’accelerazione:

a=ΔV/Δt

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Accelerazione

ax=0

ay=g

a=ΔV/Δt

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Velocità

Vx= Vix velocità iniziale lungo la x (cost.)

Vy= gt (gravità per il tempo)

V=S (spazio)/t (tempo)

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Legge oraria La legge oraria ci permette di definire il luogo

esatto dove si trova il proiettile ad un momento dato e viceversa; inoltre ci fornisce il tempo che il proiettile ci mette per giungere a terra; quindi essa ci indica lo spazio percorso dal proiettile sull’asse x e sull’asse y (esso può andare a coincidere con l’ascissa del punto di arrivo e l’ordinata del punto di arrivo).

Sx (spazio lungo la x)=Vix · t (t finale – t iniziale)

Sy (spazio lungo la y)=1/2 gt²

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La curva effettuata da un proiettile qualsiasi,

non lasciato cadere verticalmente, è sempre

una PARABOLA; e questo ce lo dimostra la

l’equazione della traiettoria.

Ricaviamo il tempo dalla prima legge oraria:

t=x/Vix

Riscriviamo la seconda legge oraria con t:

y=1/2 · g · x²/Vix → questa è l’equazione di una

parabola incentrata

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Inoltre possiamo dire che il tempo, che

impiega il proiettile sparato orizzontalmente,

per arrivare a terra, è lo stesso di quello che

impiega un proiettile lasciato cadere

verticalmente. E’ possibile affermare ciò

poiché sul proiettile agisce solo la forza di

gravità che è costante.

simulazione

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Se però il proiettile viene sparato con una

velocità lungo la y, cioè verticalmente, per

esempio verso l’alto, la curva appare diversa

graficamente:

In direzione orizzontale il

proiettile si muove

uniformemente ad una

velocità Vix.

In direzione verticale, invece, si muove come un

corpo lanciato verso l’alto con una velocità iniziale

Viy. La componente y decresce, fino ad annullarsi

nel punto più alto, quota massima; poi cambia

segno e aumenta in valore assoluto.

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Accelerazione e Velocità

Accelerazione:

ax=0

ay=g

Velocità:

Vx= Vix velocità iniziale

lungo la x

Vy= Viy - gt (gravità per il

tempo)

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Legge oraria

Sx=Vix · t

Sp=(Vix·t)- 1/2gt²

Ricaviamo l’equazione della traiettoria, per

dimostrare che anche in questo caso si

tratta di un’equazione di una parabola:

t=x/Vix

y=(Vix · x/Vix) – 1/2g (x/Vix)²

x= (2Vix · Viy)/g

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Gittata

La distanza tra il punto di lancio e il punto

di atterraggio del proiettile prende il nome

di gittata. Ponendo che y=0 si trova che la

gittata G è espressa dalla seguente

relazione: G= (2Vix Viy)/g

La gittata è massima quando la velocità

iniziale del proiettile è inclinata di 45°

rispetto alla direzione orizzontale. In tal

caso si ha: G= Vi²/g

Vaso di gerani

Per esemplificare la teoria qui sopra

enunciata, ammettiamo che io voglia

lanciare un vaso di gerani in testa alla mia

vicina di casa mentre lei passa sotto il mio

balcone.

Informazioni necessarie:

-abito al secondo piano ( 6 metri da terra)

-la mia vicina cammina a 5 km/h (cioè 1.38 m/s)

-la mia vicina cammina dritto, costantemente a 3 metri

dalla mia finestra

Risoluzione:

Accelerazione di x = 0

Accelerazione di y = g

Sx= 3 = Vix · t → t = 3/Vix

Sy= 6 = 1/2gt² = 1/2g · (9/Vix²) → Vix² ~ 44.1/6

Vix= 2.7 t= 3/2.7 = 1.1 secondo

Adesso bisogna scrivere la legge oraria della mia

vicina:

S= V · t → per il tempo metto quello del mio vaso ( cioè

circa 1 secondo)

S= 1.38 · 1 = 1.38 m

Quindi io dovrò lanciare il mio vaso ad

una velocità iniziale di 2.7 quando la mia

vicina sarà a 1.38 metri dal punto di

arrivo del mio vaso.

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La parabola del pallone

Un calciatore imprime al pallone una velocità di

13.9 m/s a 45° rispetto alla direzione orizzontale.

Trascurando la resistenza dell’aria, dopo quanto

tempo il pallone raggiunge la massima altezza?

Qual è la gittata?

DATI:

Vo= 13.9 m/s

α= 45°

t= ?

G= ?

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Risoluzione

Fissiamo un sistema di assi cartesiani e

indichiamo con Vix e Viy le velocità iniziali del

pallone. Poiché l’angolo di formatosi è di 45°

abbiamo che: Vix=Viy= (√2/2)·Vo= 9.83 m/s

In funzione del tempo Viy è: Vy= Viy-gt

Quindi ponendo Vy=0, dato che alla

quota massima questa velocità si

annulla, si trova che:

t= Viy/g = 9.83/9.8 = 1.0 secondi

Mentre la gittata diventa:

G=V²o/g=19.7 metri