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Oscar Aranda M [email protected] Fac. Ciencias UNAM

1

Modelo Actuarial del 99.5% de suficiencia de la prima neta única del seguro sobre una sola vida bajo el concepto de variable aleatoria

(primera parte)

Oscar Aranda M UNAM, Fac. Ciencias

Noviembre, 2011 If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor.

Albert Einstein

En este documento, se presenta bajo el nuevo enfoque del cálculo actuarial el desarrollo de expresiones relativas al seguro de vida tradicional, la ventaja de esta metodología radica que al considerar la indemnización como variable aleatoria, es factible determinar el costo de la prima neta única con un nivel de confiabilidad. Seguro de Vida

Supongamos que se establece como riesgo asegurado el fallecimiento un individuo de edad (x) dentro de un periodo dado, es decir, si el fallecimiento de (x) ocurrir dentro de un periodo de n años, existirá el pago de una indemnización a ese instante, al que denotaremos como tb ; en estas condiciones, la indemnización establecida, por si sola, constituye una variable aleatoria dependiente del tiempo de ocurrencia de la eventualidad, sea entonces, TZ la variable aleatoria relativa a esa indemnización1 ( ) ( ] 0,T x n∀ ∈ , por lo tanto, el valor esperado de la indemnización será2 :

[ ]( )

1

( )

:

0

T x

x n T

n

t

A E Z

z f t dt

=

= ∫

(1)

donde la función de probabilidad3 es: ( ) ( )( ) T x t x xf t p tµ= (2) 1 “Funciones actuariales como variables aleatorias sobre una sola vida”

Aut. Oscar Aranda M & Nadia A. Castillo García. Vol. 6 No. 2. Fac. Ciencia UNAM. & PIENSAAMA

Pág. 2 y 3. T(x): tiempo restante de vida de una persona de edad (x) como una variable aleatoria de tipo continuo y su función de distribución acumulativa es:

[ ]( ) ( ) ( ) T x t xF t P T x t q= ≤ = , 0t∀ ≥ , de esta manera, ( ) ( )1t x T xp F t= − y

( ) ( ) ( ) ( ) t x x tT x T xf t F t p µ +′= =

2 Ídem. Pág. 6

3 Ídem. Pág. 3

( ) ( ) t xT xf t dt d p= − que al integrar 0t∀ ≥ se demuestra que ( ) ( )0

1T xf t dt∞

=∫


2

Gráficamente

0 t n

x x+t x+n

( )T x

TT TZ b v=

tb

Consideremos ahora como beneficio de indemnización una unidad monetaria, es decir, 1tb = y sustituyendo (2) en (1), se obtiene la prima neta única (PNU) del seguro de vida temporal de tipo continuo.

( )1 :

0

n tx n t x xA v p t dtµ= ∫

(3)

Sin embargo, en la práctica la única información disponible para determinar la PNU, son valores tabulados de probabilidades asociadas a cada edad por fallecimiento, a los que denominados valores de tipo discreto y dada las características de la función de supervivencia, la expresión (3) puede ser replanteada como

( )1-1 1

:

0

n k tx n t x xk

kA v p t dtµ

+

=

=∑∫

(4)

A efecto de realizar una estimación del seguro de tipo continuo, usando información de tipo discreto, requerirá conceptualizar la variable aleatoria ( )T x , como la suma de dos variables aleatorias, una de años completos vividos por la persona de edad (x),

( )K x y otra bajo el supuesto de distribución uniforme de fallecimiento dentro del intervalo anual, ( )S x , así, ( )( ) ( )T x K x S x= + ; supuesto que hace redefinir los valores que toma ( )T x , es decir, t k s= + .

Así cualquier incremento infinitesimal sobre la variable del tiempo (t) repercute sobre la variable (s) dentro del intervalo anual, situación que no sucede con (k) al ser ya un valor constante, por lo tanto, sus diferenciales son proporcionales, dt ds≅ ; al efectuar el cambio de variable t k s= + en la expresión (4) se tiene

( )

( )

1-1 1

:0

0

-1 1

00

=

nk s

x n k s x x kk

nk s

k x s x k x kk

A v p s ds

v p v p s ds

µ

µ

++ +

=

+ +=

= ∑∫

∑ ∫

(5)

4 Life contingencies C. W. Jordan SoA.1967 . Pág 4.

Características: decreciente, continua (diferenciable en todos sus puntos) y acotada entre cero y uno.


3

El supuesto de distribución uniforme implica que5 ( ) [ ] , 0,1s x k x k x kp s q sµ+ + +≅ ∀ ∈ , en otras palabra “la probabilidad de que una

persona de edad (x+k), fallezca dentro del año siguiente, es equivalente a suponer a que la persona de edad (x+k) sobrevive a cada instante t, pero afectado en cada instante por la fuerza de mortalidad, [ ]0,1s∀ ∈ ”, así

1-1 1

:0

0

nk s

x n k x x kk

A v p q v ds+=

≅ ⋅∑ ∫

(6)

La integral de ( )1

0 , 1s i vv ds Ln iδ

δ⋅

= = +∫ , finalmente

1-1

1:

0

nk

x n k x x kk

iA v p qδ

++

=

≅ ⋅ ∑

(7)

Observemos que cuando la variable aleatoria ( )K x toma los valores 0,1,2,… la expresión k x x kp q +⋅ constituye la propia función de probabilidad del caso discreto, es decir,

0

1k x x kk

p q∞

+=

⋅ =∑

(8) Lo que sugiere que el seguro de vida temporal de tipo discreto sea

[ ]1 1

1 1 11 :

0 0

n nk k

K k x x k xkx nk k

A E Z v p q v q− −

+ ++ +

= =

= = =∑ ∑

(9)

Donde

1

11 1

1

1

1 ; 0,1,..., 10 ; en otro caso

1(1 )

; 0,1,..., 10 ; otro caso

( ) : " "

k

kk k

k

K

k nb

v vi

i tasa de interés anual

v k nZ

enK x Variable aleatoria discreta

+

++ +

+

+

= −=

= =+

=

= −=

Gráficamente

0 K+1 n

x x+k x+n

1 1kb + =

11 1

kk kZ b v ++ +=

( )K x

k1 2

X+1 X+2 x+k+1

Sin embargo en la práctica del seguro, la indemnización no se efectúa al final del año

póliza, de hacerlo así, la compañía presentará un déficit de iδ

. 5

Life contingencies C. W. Jordan SoA.1967 . Pág 70.


4

El factor iδ

, es el ajuste sobre la variable discreta 1KZ + , para el caso

continuo de la variable aleatoria TZ , por lo tanto, al considerar la función

( ) = xkg k q , se puede inferir sobre la varianza del seguro de tipo continuo, bajo la

construcción siguiente

( ) ( ) 1

22 1 2

T x K x

KZ Z

i iVar Vσ σδ δ +

+ ≅ =

(10)

donde6

( )[ ] ( )

1

22 2 1 1: :K xZ x n x n

Var Z A Aσ+= = −

11 1:

0

nk

xkx nk

A v q−

+

=

=∑

( )1

2 12 1:

0

nk

xkx nk

A v q−

+

=

= ∑

El modelo presentado hasta aquí corresponde al cálculo sobre una sola póliza a edad de contratación (x), al considerar el modelo sobre un número suficiente de asegurados con edades 1 2 3 ... x x x x ℜ= = = = , las cuales están asociadas

respectivamente a las variables aleatorias de indemnización 1 2 3 , , ,..., Z Z Z Z ℜ , las cuales son independientes e idénticamente distribuidas7, el conjunto de pólizas ℜ pueden verse como xl y al ser consideradas éstas bajo el teorema del límite central8 podemos definir una nueva variable de distribución *Z , como

* x Z

Z x

S lZlµ

σ−

=

(11) 9

donde

1

xl

ii

S Zℜ=

=

= ∑ se aproxima a la de una variable normal tipificada ( )0,1N , en

virtud de que se tiene un número suficiente de expuestos tasados con la tabla de mortalidad y definidos en forma específica para las personas de edad (x), el resultado 6 “Funciones actuariales como variables aleatorias sobre una sola vida”

Aut. Oscar Aranda M & Nadia A. Castillo García. Vol. 6 No. 2. Pág. 9 Fac. Ciencia UNAM. & PIENSAAMA 7 Todas tienen la misma función de probabilidad /k xq ; con media [ ]1KE Z +

y varianza finita( ) 1

2K xZσ +

.

8 Teorema del límite central: Sea Z1, Z2, ..., Znn un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con

media µ y varianza σ2 distinta de cero. Sea Sn =Z1+ Z2+…+Znn entonces ( )lim Pr n

n

S n z znµ φ

σ→∞

− < =

; ( ) (0,1)z Nφ ∼

9 x Z

Z x

S llµ

σ− es la variable aleatoria tipificada; la cual es normal asintóticamente con media 0 y varianza 1, es decir es una normal estándar.


5

prueba que el estadístico o estimador de la media muestral

1

xl

ii

x

ZS

l

ℜ=

=ℜ =

∑se distribuye

aproximadamente como una variable ,N σµ ℜ

, o de manera equivalente Z

Z

S µσℜ −

ℜ

se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria ( )0,1N .

En otras palabras, Z

Z

S µσ−ℜ

ℜ, es la variable aleatoria tipificada Sℜ ; la cual es

normal asintóticamente con media 0 y varianza 1, normal estándar, al reordenar se tiene

1

2

i

iZ

ZZ

ZZZ

Z

SS µ µµσσ σ

ℜ

=

ℜ− −−ℜ ℜ= =

ℜ ℜℜℜ

∑

Por lo que se concluye que la media de xlℜ = variables aleatorias independientes, distribuidas en forma idéntica, estará distribuida de un modo aproximadamente normal, sin importar la distribución subyacente de cada variable.

Concluyendo que el modelo así planteado cumple con las hipótesis que nos exige este teorema, es decir, el tiempo de vida de cada asegurado es independiente del tiempo de vida de los demás, su distribución de probabilidad aunque puede ser distinta, cumple con tener la misma media y varianza; y la variable definida como el riesgo total, asumido por la compañía de seguros es una suma de variables aleatorias.

Por lo tanto, al considerar este conjunto de pólizas con tasa de interés fija i anual, la aseguradora deseará constituir un fondo M suficiente para retirar el pago de la indemnización a la muerte de cada asegurado con una solvencia del 99.5 % , por lo tanto, el recargo que deberá involucrar la prima neta única del seguro es

[ ] 99.5%

( )

x

Var SE Z

l+Ψ

99.5%Ψ =Percentil 99.5%

(12)


6

Demostración( deducción) Dado que cada iZ es independiente su varianza es

[ ] [ ] [ ]1 21 1

x xl l

i i xi i

Var Z Var Z Z Z Var Z l Var Zℜ= ℜ=

ℜ= =

= + + ⋅⋅⋅ + = = ⋅

∑ ∑ (13)

Por lo tanto

1 1

1

1

[ ][ ]( )

( )

xl i ii i

ii

ii

Z E ZM E SP S M P Z M P

Var SVar Z

ℜ ℜ

ℜ== =

ℜ=

=

−

− ≤ = ≤ = ≤

∑ ∑∑

∑

(14)

Al aplicar ℜℜ

, en la primera parte de la desigualdad y reordenando, se obtiene

( )

1[ ] [ ] [ ]( )

( ) ( ) ( )

ii Z

Z

ZZ

Z

SM E S M E S M E SP S M P P PVar S Var S Var S

P α

µµ

σσ

α

ℜ

=

ℜ

ℜ − −− − −ℜ ℜ ≤ = ≤ = ≤ = Ψ ≤ ℜ ℜ ℜ

= Ψ ≤ Ψ =

∑

Donde Ψ es una variable aleatoria que se distribuye como una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1, según el teorema del límite central y αΨ es el cuantíl que acumula α de probabilidad.

Se sigue que el valor de M se determina como

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

M E SVar S

M E S Var S

M E S Var S

α

α

α

−Ψ =

±

− = ±Ψ ⋅

= ±Ψ ⋅

(15)


7

Por lo tanto, sí consideramos un recargo ( )r con una probabilidad de α de suficiencia sobre la cartera de asegurados, se tiene

( )r Var Sα= Ψ ⋅

(16)

si distribuimos de manera uniforme este recargo entre todos los asegurados de la cartera de edad (x), tendremos que a cada uno le corresponde un recargo de

1

( )k

x

Var SMS

lα

+ = Ψ (17)

por lo tanto, la prima neta única con un margen de seguridad del 99.5%, es

[ ] 99.5%1 99.5%:

( )confianza

x n

x

Var SA E Z

l= +Ψ

(18)

donde de las expresiones (7) y (13), se tiene respectivamente:

[ ] 1-1

1:

0

nk

x n k x x kk

iE Z A v p qδ

++

=

= ≅ ⋅ ∑

1

xl

ii

S Zℜ=

=

= ∑

[ ] [ ] [ ]1 21 1

( )x xl l

i i xi i

Var S Var Z Var Z Z Z Var Z l Var Zℜ= ℜ=

ℜ= =

= = + + ⋅⋅⋅ + = = ⋅

∑ ∑


8

Aplicación Consideremos un seguro temporal a 10 años, edad de contratación (35), modelado con la tabla de mortalidad experiencias mexicana individual 91-98 anexo A, con tasa de interés técnica del 5.5% anual. Edad (x ) 35 lx 9770Temporalidad (n ) 10 La prima neta única del seguro tradicional es

[ ] 1-1

1:

0

nk

x n k x x kk

iE Z A v p qδ

++

=

= ≅ ⋅ ∑ 23.094 al millar

La prima neta única del seguro con un nivel de suficiencia del 99.5% es

[ ] 99.5%1 99.5%:

( )confianza

x n

x

Var SA E Z

l= +Ψ 26.515 al millar

donde

[ ]( ) 167.8629307xVar S l Var Z= ⋅ = 99.5% 2.57974073Ψ = anexo B


9

Anexo A Tasa Interés 5.50%

Edad q x p x lx dx Dx Nx Cx Mx12 0.000396 0.999604 10,000 3.96 5259.81518 95589.3339 1.974300296 276.48497813 0.000427 0.999573 9,996.04 4.27 4983.63251 90329.5187 2.017072115 274.51067814 0.00046 0.99954 9,991.77 4.60 4721.80521 85345.8862 2.058796585 272.49360615 0.000495 0.999505 9,987.18 4.94 4473.58595 80624.081 2.098981087 270.43481016 0.000533 0.999467 9,982.23 5.32 4238.26685 76150.4951 2.141228656 268.33582817 0.000575 0.999425 9,976.91 5.74 4015.17332 71912.2282 2.188364607 266.19460018 0.000619 0.999381 9,971.17 6.17 3803.66313 67897.0549 2.231722725 264.00623519 0.000667 0.999333 9,965.00 6.65 3603.13617 64093.3918 2.278001729 261.77451220 0.000718 0.999282 9,958.36 7.15 3413.01695 60490.2556 2.322792575 259.49651121 0.000773 0.999227 9,951.21 7.69 3232.76436 57077.2387 2.368651042 257.17371822 0.000833 0.999167 9,943.51 8.28 3061.86297 53844.4743 2.417565738 254.80506723 0.000897 0.999103 9,935.23 8.91 2899.82222 50782.6113 2.465536045 252.38750124 0.000966 0.999034 9,926.32 9.59 2746.18111 47882.7891 2.514512754 249.92196525 0.001041 0.998959 9,916.73 10.32 2600.50076 45136.608 2.565991746 247.40745326 0.001121 0.998879 9,906.41 11.11 2462.36364 42536.1072 2.616407241 244.84146127 0.001207 0.998793 9,895.30 11.94 2331.37756 40073.7436 2.66727272 242.22505428 0.0013 0.9987 9,883.36 12.85 2207.16928 37742.366 2.719734658 239.55778129 0.0014 0.9986 9,870.51 13.82 2089.38385 35535.1968 2.772642074 236.83804630 0.001508 0.998492 9,856.69 14.86 1977.68598 33445.8129 2.826872475 234.06540431 0.001624 0.998376 9,841.83 15.98 1871.757 31468.1269 2.881263851 231.23853232 0.001749 0.998251 9,825.84 17.19 1771.29598 29596.3699 2.936489741 228.35726833 0.001884 0.998116 9,808.66 18.48 1676.01705 27825.0739 2.993001064 225.42077834 0.002029 0.997971 9,790.18 19.86 1585.64875 26149.0569 3.049555753 222.427777

35 0.002186 0.997814 9,770.31 21.36 1499.93504 24563.4081 3.10792228 219.37822136 0.002354 0.997646 9,748.96 22.95 1418.63146 23063.4731 3.165363457 216.27029937 0.002535 0.997465 9,726.01 24.66 1341.509 21644.8416 3.223436323 213.10493538 0.00273 0.99727 9,701.35 26.48 1268.34908 20303.3326 3.282078656 209.88149939 0.00294 0.99706 9,674.87 28.44 1198.94454 19034.9836 3.341134534 206.599421

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73 0.035651 0.964349 6,253.53 222.94 125.514958 1130.37596 4.2414538 66.5854052

74 0.0383 0.9617 6,030.58 230.97 114.73007 1004.86101 4.165082168 62.343951475 0.041136 0.958864 5,799.61 238.57 104.583799 890.130936 4.077875996 58.178869276 0.044174 0.955826 5,561.04 245.65 95.0536875 785.547136 3.980001509 54.100993277 0.047424 0.952576 5,315.39 252.08 86.1182805 690.493449 3.871159558 50.120991778 0.050902 0.949098 5,063.31 257.73 77.7575423 604.375168 3.751672435 46.249832179 0.054619 0.945381 4,805.58 262.48 69.9521592 526.617626 3.621532683 42.498159780 0.058592 0.941408 4,543.10 266.19 62.6838314 456.665467 3.481299575 38.87662781 0.062834 0.937166 4,276.91 268.74 55.9346544 393.981635 3.331372582 35.395327482 0.067362 0.932638 4,008.18 270.00 49.6872572 338.046981 3.172543145 32.063954983 0.07219 0.92781 3,738.18 269.86 43.9243831 288.359724 3.005593569 28.891411784 0.077337 0.922663 3,468.32 268.23 38.6288928 244.435341 2.831699223 25.885818185 0.082817 0.917183 3,200.09 265.02 33.783365 205.806448 2.651978143 23.054118986 0.088649 0.911351 2,935.07 260.19 29.3701688 172.023083 2.46790151 20.402140887 0.09485 0.90515 2,674.88 253.71 25.371121 142.652914 2.280996048 17.934239388 0.101436 0.898564 2,421.16 245.59 21.7674599 117.281793 2.092894847 15.653243289 0.108424 0.891576 2,175.57 235.88 18.5397686 95.514333 1.905361013 13.560348490 0.115832 0.884168 1,939.69 224.68 15.6678793 76.9745644 1.720229195 11.654987491 0.123677 0.876323 1,715.01 212.11 13.1308413 61.3066851 1.539320433 9.9347581792 0.131973 0.868027 1,502.90 198.34 10.9069746 48.1758438 1.364384987 8.3954377493 0.140737 0.859263 1,304.56 183.60 8.97397958 37.2688692 1.197128876 7.0310527594 0.149983 0.850017 1,120.96 168.12 7.3090129 28.2948896 1.039078372 5.8339238795 0.159723 0.840277 952.83 152.19 5.88889595 20.9858767 0.891556519 4.794845596 0.16997 0.83003 800.65 136.09 4.69033537 15.0969807 0.755655264 3.9032889897 0.180733 0.819267 664.56 120.11 3.69016026 10.4066454 0.632164676 3.1476337298 0.19202 0.80798 544.45 104.55 2.86561756 6.71648511 0.521569557 2.5154690499 0.203837 0.796163 439.91 89.67 2.19465561 3.85086756 0.424030347 1.99389949

100 1 0 350.24 350.24 1.65621194 1.65621194 1.569869138 1.56986914

Tasas de Mortalidad Individual CNSF 2000-I (1991-1998)


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Anexo.B

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