Modelaje y simulacion Digital

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e2006-I

Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 1/17

Guıa 2.

Sistemas Lineales Estacionarios.

1.-Sea u(t), una funcion continua en el intervalo real [0, 1], entonces la aplicacion que se muesta acontinuacion representa un sistema:

y(t) =

∫ t

0

u(τ)dτ, 0 ≤ t ≤ 1

el sistema ¿sera lineal y/o estacionario?

2.-

Dado una aplicacion de un sistema que se modela por medio de una funcion que esta definidamediante la integral:

y(s) =

∫

1

0

k(s, t)u(t)dt,

donde k(s, t), es una funcion continua de s y de t en el intervalo 0 ≤ s, t ≤ 1; y u(t) es unafuncion de t y continua en 0 ≤ t ≤ 1. Determinar si el sistema es el lineal y/o estacionario.Nota: La ecuacion integral anterior recibe el nombre de ecuacion integral de Fredholm deprimera especie.

3.-Dado un sistema monovariable caracterizado por la relacion de una entrada y una sola salida,esta dado por:

y la salida esta representada por:

y(t) =

∫

∞

−∞

u(τ)h(t− τ)dτ

¿Es esto un sistema lineal y/o estacionario?

UNEXPO “Antonio Jose de Sucre” / Vicerrectorado “Luis Caballero Mejıas” / Dpto. de Ing. de SistemasSeccion de Controles Industriales / Asignatura: Modelaje y Simulacion Digital.-Elaborado Por: Prof. David Jaen, Prof. Angel Ramos y Prep. Larry Mendoza.-

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4.-

Dado un sistema multivariable caracterizado por la relacion de dos entrada y dos sola salida, yeste representa un sistema electrico pasivo que se muestra a continuacion:

se sabe que la dos salida del sistema son de la forma:

y1(t) =

∫ t

0

2u1(τ)

(

1− e−τ)

dτ y2(t) =

∫ t

0

u2(τ)e4τ

dτ

¿Es un sistema lineal y/o estacionario?

5.- Cada una de las ecuaciones que se dan a continuacion representa un sistemas, comprobar: sison o no lineales y/o estacionario.

(i) y(t) =

∫ t

t0

eτ − t

u(τ)dτ (ii) y(t) = A(t)

∫ t

t0

eτ − t

u(τ)dτ

(iii) y(t) = A(t)u(t) +

∫ t

t0

u(τ)dτ (iv) y(t) = x0et0 − t

+

∫ t

t0

eτ − t

u(τ)dτ

(v) (vi)

(v) (vi)

6.- Demuestre que si en un sistema lineal estacionario y(t) es la salidad para la entrada u(t), en-tonces, y(t) es la salida para la entrada u(t).

7.-Considere un sistema definido por la ecuacion:

y(t) = u(t), t ≤ α

y(t) = 0, t > α

para cualquier u(t), donde α en una constante fija.

(i) ¿Es el sistema lineal? (ii) ¿Es estacionario?


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8.- Considere un sistema lineal con entrada u y salidad y. Se realizan tres esperimentos en elsistema utilizando como entrada u1 , u2 y u3 para t ≥ 0. En cada cado el estado inicial ent = 0, x(0), es el mismo. la salidas obsevadas fueron y1 , y2 y y3 respectivamente. ¿Cuales delas siguientes tres afirmaciones son cierta si x(0) 6= 0?

(i) Si u3 = u1 + u2 , entonces y3 = y1 + y2 .

(ii) Si u3 = 1

2(u1 + u2), entonces y3 = 1

2(y1 + y2).

(iii) Si u3 = u1 − u2 , entonces y3 = y1 − y2 .

9.-Considere el sistema que se muestra a continuacion:

para t0 ≤ t < t1 , el interruptor s esta abierto y para t ≥ t1 , esta cerrado.

(i) ¿Es el sistema lineal? (ii) ¿Es estacionario?.

Nota: Suponga que la posicion de s depende de y(t). Si y(t) es positivo, s esta abierto y siy(t) es negativo, s esta cerrado.

10.- Dada las siguientes ecuaciones, mostrar por sustitucion que son solucion de la ecuaciondiferencial.

(i)

x(t) = eAt

x0

x(t) = Ax(t), x(0) = x0

( ii )

x(t) = eAt

x0 +

∫ t

0

eA(t− τ)

Bu(τ)dτ

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = x0

(iii) ( iv )

x(t) = eAt∫ t

0

e−Aτ

dτ + eAt

x(t)−Ax(t) = 1

( v )

x(t) = eAt

x0 +

∫ t

t0

eA(t− τ)

Bu(τ)dτ

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = x0


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( vi )

x(t) =

∫ t

t0

e

A(t− τ)cos (A(τ − t))u(τ)dτ + u(τ)

x(t) + 2A (x(t)− x(t)) = u(t)− 2Au(t)

( vii )

x(t) =

∫ t

t0

e

A(t− τ)cos

(

A(τ − t))

dτ +A−1

x+ 2A(Ax(t)− x(t)) = A

(viii)

x(t) = x0eAt

+

∫ t

t0

e

A(t− s)B(s)u(s)ds+

∫ t

t0

e

A(t− s)F (s, F (s, x(s), u(s)))ds

˙x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) + F (t, x(t), u(t))

(ix)

x(t) =

∫

cos θ(t)dt; ∧ y(t) =

∫

cos θ(t)dt

t(α) = f ′′(α) + f ′′(α)

x(α) = cos(α)f ′′(α) + sen (α)f ′(α)

y(α) = sen(α)f ′′(α)− cos (α)f ′(α)

(

x(t))2

+(

y(t))2

= 1

11.- Encuentre la matriz eAt

en lo siguientes casos:

Caso 1.-

( i ) A =

[

0 0

1 0

]

( ii ) A =

[

1 0

1 1

]

( iii ) A =

[

1 0

1 2

]

( iv ) A =

[

−2 −2−5 1

]

( v ) A =

[

3 −1−2 4

]

( vi ) A =

[

5 −24 −1

]

( vii ) A =

[

2 −15 −2

]

( viii ) A =

[

3 −51 −1

]

( ix ) A =

[

−10 −77 4

]

(x ) A =

[

−2 1

5 2

]

(xi ) A =

[

−12 7

−7 2

]

(xii ) A =1

2

[

3 5

−5 −3

]

(xiii ) A =

[

λ1 0

0 λ2

]

(xiv ) A =

[

σ ω

−ω σ

]

(xv ) A =

[

0 0

λ1 0

]


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7.-

Caso 2.-

( i ) A =

0 1 1

0 0 1

0 0 0

( ii ) A =

0 1 1

0 1 1

0 0 0

( iii ) A =

2 0 0

0 1 0

0 1 1

( iv ) A =

0 1 0

0 0 1

2 −5 4

( v ) A =

−1 1 0

1 1 0

0 0 1

( vi ) A =

1 0 2

0 1 3

0 0 1

( vii ) A =

0 1 0

0 0 1

−6 −1 −6

( viii ) A =

3 −1 1

2 0 1

1 −1 2

( ix ) A =

1 1 −2

−1 2 1

0 1 −1

(xi ) A =

4 6 6

1 3 2

−1 −5 −2

(xi ) A =

−1 −18 −7

1 −13 −4

−1 25 8

(xi ) A =

0 0 0

1 0 0

0 1 0

Caso 3.-

( i ) A =

1 1 0 00 2 1 00 0 3 00 0 0 4

( ii ) A =

2 1 0 00 2 0 00 0 3 10 0 0 3

( iii ) A =

−4 1 0 00 −4 1 00 0 −4 00 0 0 3

( iv ) A =

0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0

12.- Calcular la exponecial de una matriz, reduciendola po bloques de Jordan, cada una de lamatrices que se dan a continuacion.

( i ) J =

1 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 2 1 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 2

( ii ) J =

1 0 0 0 0

0 1 2 0 0

0 0 1 2 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

( iii ) J =

2 0 0 0 0

0 3 1 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 5 1

0 0 0 0 5

( iv ) J =

2 1 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

0 0 3 1 0 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 4

( v ) J =

4 1 0 0 0 0

0 4 0 0 0 0

0 0 3 1 0 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 4

( vi ) J =

4 1 0 0 0 0 0

0 4 0 0 0 0 0

0 0 3 1 0 0 0

0 0 0 3 1 0 0

0 0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 0 5 1

0 0 0 0 0 0 4


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13.- Dada la siguientes matrices

A =

[

1 11 1

]

B =

1 1 11 1 11 1 1

(i) Demostrar que An = 2n−1A, donde n ∈ .

(ii) Hallar una forma de recurrencia para calcular Bn donde n ∈ .

14.- Dada la siguiente matriz

A =

1 0 10 0 01 0 1

(i) Demostrar que A4 = 8A (ii) Calcular An donde n ∈ .

15.- Sean la siguientes matrices:

A =

[

0 11 0

]

B =

[

1 00 −1

]

C =

[

α 1−α2

β

β −α

]

D =

[

a√1− a2√

1− a −a

]

Demuestre que:

(i) A4 = A2 = I, A5 = A3 = A, A2n, donde n ∈ A2n−1, donde n ∈

(ii) B4 = B2 = I, B5 = B3 = B, B2n, donde n ∈ B2n−1, donde n ∈

(iii) C4 = C2 = I, C5 = C3 = C,

(iv) D4 = D2 = I, D5 = D3 = D,

Buscar una formula de recurrencia para (B +B−1)n; (B +B−1)2n+1

16.- Dada la siguiente matrices

J =

[

0 −11 0

]

(i) Demostrar que:

(a) J2 = J4 = −I, (b) J3 = J5 = −J .

(ii) Calcular:

(a) J60, (b) J62, (c) J106, (d) J806, (e) J1228.


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17.- Sea la Matriz

A =

[

i 11 −i

]

donde i =√−1, demuestre que:

(i) A2 = 0, (ii) A = AT (iii) ATA = 0

18.- Dada la Matriz

A =

[

i 00 i

]

siendo i =√−1, halle una expresion para An para n ∈

19.- Demostrar que las matrices

A =

1 a1 b1

0 1 00 0 1

, B =

1 −a1 −b1

0 1 00 0 1

satisface la relacion AB = I

20.- Dada la matriz

A =

0 1 01 0 00 0 1

.

Demuestre que B−1 = B

21.- Sea la matriz

A =

2 2 00 3 11 0 1

.

Demostrar que

A−1 = 1

8

(

A2 − 6A+ 11I)

22.- Determine los valores de x para que la matriz A y B sea singular o no regular.

A =

3− x 2 21 4− x 1−2 −4 −1− x

B =

0 x− a x− b

x+ a 0 x− c

x+ b x+ c 0


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23.- Si

T (θ) =

[

cos θ − sen θ

sen θ cos θ

]

(i) Demostrar que T (θ1)T (θ2) = T (θ2)T (θ1) = T (θ1 + θ2).

(ii) Conseguir la formula de recurrencia de: (T (θ) + T (θ)−1)n

24.- Demuestre que la matriz real

A =

[

a h

h b

]

donde a = b, se transforma en una matriz diagonal

B =

[

0 h− a

h+ a 0

]

mediante la expesion B = T−1AT , en donde:

T =

[

cosα − senα

senα cosα

]

halle el valor de α, para que exista esta transformacion.

25.- Sean tres matrices:

I =

0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

J =

0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0

K =

0 0 0 10 0 −1 00 1 0 0−1 0 0 0

Demostrar que:I2 = J 2 = K2 = I · J · K = −I.

26.- Escribir, para dos matrices simetricas A y B, A ≥ B para indicar que A − B es definida nonegativa. Demostrar que A ≥ B no implica necesariamente que A2 ≥ B2.

27.- Denotemos como anteriormente por A ≥ B para A y B matrices simetricas, el hecho de queA−B sea definida o negativa. Demostrar que A ≥ B implica B−1 ≥ A−1.

28.- En consecuancia probar que B−1 ≥ A−1 si A y B son simetricas y A ≥ B > 0.


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29.- Dada la siguiente matriz demuestre que:

si A =

λ1

1 0 · · · 0

0 λ1

1 · · · 0

...

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · λ1

⇒ eAt

=

eλ

1t

teλ

1t

t2

2!eλ

1t · · · · · · t

n−1

(n−1)!eλ

1t

0 eλ

1t

teλ

1t · · · · · · t

n−2

(n−2)!eλ

1t

......

.... . .

.........

.... . .

...

0 0 0 eλ

1t

30.- Use el resultado obtenido en el ejercicio anterior para obtener eAt

, si:

A =

λ1 1 0 0 0

0 λ1 1 0 0

0 0 λ1 0 0

0 0 0 λ2 1

0 0 0 0 λ2

31.- Dada la siguiente matriz demuestre que:

si A =

0 0 0 · · · 0

1 0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 0

.... . .

. . .. . ....

. . .. . .

. . .

0 · · · · · · 0 1 0

⇒ eAt

=

1 0 0 · · · 0

t 1 0 · · · 0

t2

2!t 1 · · · 0

.... . .

. . .. . ....

. . .. . .

. . .

0tn−1

(n−1)!· · · · · ·

t2

2!t 1

32.- Use el resultado obtenido en el ejercicio anterior para obtener eAt

, si:

A =

0 0 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0


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33.- Si BC = CB y si

A =

I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·−B I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·C −B I 0 · · · · · · · · · · · ·0 C −B I 0 · · · · · ·......

entonces

A−1 =

I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·D1 I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·D2 D1 I 0 · · · · · · · · · · · ·D3 D2 D1 I 0 · · · · · ·

Determinar la relaciones de recurrencia para los Di

34.- Encuentre una matriz B tal que eB

= C, en los siguintes casos:

( i )

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

( ii )

eλ

eλ 1

2eλ

0 eλ

eλ

0 0 eλ

35.- Si A11 , A12 , A21 , A22 , son matrices cuadrada no singulares del mismo orden, se verifica que:

A =

[

A11 A12

A21 A22

]

es A−1 =

(

A11 −A12A−1

22A21

)

−1 (

A21 −A22A−1

12A11

)

−1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(

A12 −A11A−121

A22

)

−1 (

A22 −A21A−111

A12

)

−1

p

p

p

p

36.- Use el resultado anterior para encontrar la invesa de las matrices:

A =

1 0 1 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 1 1 1

B =

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

C =

4 4 2 1

1 4 3 2

2 3 4 1

1 2 3 4


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37.- Comprobar que la inversa de la matriz definida por bloques:

A =

[

A11 A12

A21 A22

]

es A−1 =

A−111

[

I +A12

(

A22 −A21A−111

A12

)]

−1 −A−111

A12

(

A22 −A21A−111

A12

)

−1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(

A22 −A21A−1

11A12

)

−1A21A

−1

11

(

A22 −A21A−1

11A12

)

−1

p

p

p

p

si la inversa indicada existe.

38.- Use el resultado anterior para encontrar la invesa de las matrices:

A =

1 0 1 2

0 1 0 1

2 0 1 2

1 4 2 1

B =

3 1 0 0

1 2 1 0

0 1 1 1

0 0 1 0

C =

1 2 3 1

1 3 3 2

2 3 3 3

1 1 1 1

39.- Sea la matriz:

A =

1 1 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

use los resultados de los ejercicios 34 y 36 para hallar la inversa y muestre que los dos resultadoson iguales.

40.- Sea

A =

0 1 0

−2 3 1

0 0 −1

aproxime eAt

con I+At+ A2t2

2+ A3t3

6, y estime la magnitud de los errores cometido si t = 0, 01.

41.- Una matriz A, es nilpotente si A2 = A, demostrar: si A es una matriz nilpotente entonces:

eA

= I + (e − 1)A

42.- A partir de la defincion de eAt

, demuestre que:

( i ) AeAt

= eAt

A ( ii )

(

eAt)

−1

= e−At

( iii ) eA(t0 + t1) = e

At0eAt1 ⇔ AB = BA ( iv ) e

(A+B)t= e

AteBt


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43.- Demuestre que x(t) = e

∫ t

0 A(z)dz; es solucion de x(t) = A(t)x(t), con condicion inicial x(0) = I,si y solo si,

A(t)

∫ t

0

A(z)dz =

(∫ t

0

A(z)dz

)

A(t), t ≥ 0

44.- De un ejemplo de una matriz A(t), para la cual esta condicion no es satisfecha.

45.- Sean x(t) y y(t), matrices soluciones de:

x(t) = Ax(t) +By(t)

y(t) = Cx(t) +Dy(t)

y considere el cambio Z = xy−1. Demuestre que Z satisface la ecuacion de Ricatti:

Z = AZ +B − ZCZ − ZD.

46.-Obtener la serie de perturbacion:

eA+ εB

= eA

+ εf1(A, B) + ε2f2(A,B) + · · · · · ·

Considerando eA+ εB

; como x(1), donde:

x(t) = (A+ εB)x(t), x(0) = I.

47.- Demuestre que la ecuacion x(s + t) = x(t)x(s), para −∞ < s, t < ∞; y la continuidad de x(t)

implica que x(t) = eAt

, para alguna matriz constante A.

48.- Si T−1(t), existe y es diferenciable para todo t, demuestre que:

d

dt[T−1(t)] = −T−1(t)

[

d

dtT (t)

]

T−1(t).

49.- Si la matriz de trancision de estado o matriz fundamental del sistema es: Φ(t) = L(t)eBt

; donde

B = L−1(t)(

A(t)L(t)− L′(t))

. Demostrar que Φ′(t) = A(t)Φ(t).

50.- Dado el siguiente sistema lineal homogeneo: x′(t) = A(t)x(t). Demostrar que al hacer el cambiox(t) = L(t)Z transforma el sistema lineal homogeneo a un sistema de coeficiente constante dela forma Z ′ = BZ; donde: B = L−1(t) (A(t)L(t)− L′(t)).

51.- Dado la matriz fundamental de sistema Φ(t) = A(t)eBt

; donde B es una matriz constante yademas existe la matriz investible A(t); entonces demostrar que A(t+ t0) = A(t).


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Observacion: El ejercicio 50 es resultado del Toerema de Erugin y en el ejercicio 51 esresultado del Teorema de Floquet.

52.- Sea la matriz fundamental del sistema lineal, el cual esta representado por relacion:

x(t) = A(t)e

[

tt0ln (x(t0))

]

donde A(t), es una matriz periodica, no singular, entonces se pide demostrar que:

A(t+ t0) = A(t).

53.- Demostrar que la transformacion lineal x(t) = B(t)y, donde:

B(t) = x(t)e

[

− tt0lnx(t0)

]

transforma el sistema lineal periodico x(t) = A(t)x(x), en el sistema lineal estacionario:

y = 1

t0lnx(t0).


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54.- Dado el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:

(a ) Obtenga el modelo matematico.-

(b ) Encuentre las ecuaciones de estado yexpresela en su forma matricial e indiquelas matrices A, B, C y D.-

(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asumiendo que R = 2Ω; L = 1H; C = 1F ;

e(t) = 4et; las condiciones iniciales son x1(0) = 1; x2(0) = 1. Determine x1(t); x2(t)

y y(t).-

55.- Dado el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:


(b ) Encuentre las ecuaciones deestado y expresela en su formamatricial e indique las matricesA, B, C y D.-

(c ) Resuelva las ecuaciones de es-tado, sabiendo que R = 60Ω;L = 1 H; C = 0,01 F ; y

e(t) = 961et; las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determine I

L(t); , V

c(t);

y1(t) y y2(t).-

56.- Sea el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:



(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asum-iendo que R = 2 Ω; L = 1 H; C = 1

2F ;

i(t) = − sen (t); cos (t) las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. DetermineI

L(t); V

c(t) y y(t).-


Sem

estr

e2006-I


57.- Dado el sistema mecanico (masa-resorte-amortiguador); que se muestra a continuacion:



(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asumien-do que m = 1

2kg. ; k = 1

2; β = 1 ;

u(t) = 2et; las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determine x1(t); x2(t)

y y1(t).-

58.- Sea un sistema mecanico (masa-resorte-amortiguador); que se muestra a continuacion:


(b ) Encuentre las ecuaciones de estadoy expresela en su forma matricial eindique las matrices A, B, C y D.-

(c ) Resuelva las ecuaciones de estado,asumiendo que m = 1 kg.; k = 1;β = 2; u(t) = 2 sen (t); las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determinex1(t); x2(t) y y1(t).-


Sem

estr

e2006-I


59.-Encuentre las ecuaciones de estados para las redes electricas mostrada en la figura ( i )− ( viii )e indique las matrices A, B, C y D.

Figura ( i ) Figura ( ii )

Figura ( iii ) Figura ( iv )

Figura ( v ) Figura ( vi )

Figura ( vii ) Figura ( viii )


Sem

estr

e2006-I


60.- Encuentre las ecuaciones de estados para los sistemas mecanico mostrada en la figura ( i )− ( ii )e indique las matrices A, B, C y D.


60.- Encuentre las ecuaciones de estados para los sistemas hidraulicos mostrada en la figura( i )− ( iv ) e indique las matrices A, B, C y D.


Figura ( iii ) Figura ( iv )


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