Generacin de eventos en Procesos dePoisson

Georgina Flesia

FaMAF

26 de abril, 2012

Proceso de Poisson homogneo

N(t), t 0,

es un proceso de Poisson homogneo de razn , > 0, si:I N(0) = 0 proceso comienza en cero

t1 tn1 tnt3t2

N(tn) N(tn1)N(t1)

0I En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables nmero de

llegadas son independientes.I La distribucin del nmero de llegadas depende slo de la

longitud del intervalo.

N(s) N(t + s) N(t), s < t .

Ocurrencia de 1 o ms eventos

I La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo detiempo pequeo es proporcional al tamao del intervalo.Constante = .

limh0

P(N(h) = 1)h

= ,

I La probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos en unintervalo muy pequeo es cero.

limh0

P(N(h) 2)h

= 0.

Consecuencias

I Supongamos que N(t) es el nmero de llegadas en el intervalode tiempo [0, t ], que forma un proceso de Poisson de tasa .Entonces, la distribucin de cada N(t) es Poisson de tasa t

I

X1 X3 Xn

e1 e2 e3 en1 en

X2{Xj}, la sucesin de tiempos entre llegadas, son v.a.independientes, igualmente distribuidas, con distribucinexponencial con parmetro .

Xi E(), i = 1,2, . . . .I Sn el tiempo hasta la n esima legada es Gamma de parmetros

(n, ).

Generacin de un Proceso de Poisson homogneo

X1 X3 Xn

e1 e2 e3 en1 en

X2Para generar los primeros n eventos de un Proceso de Poissonhomogneo, generamos exponenciales Xi E(), 1 i n:

I Primer evento: al tiempo X1.I j-simo evento: al tiempo X1 + X2 + + Xj , para 1 j n.

Para generar los eventos en las primeras T unidades de tiempo,generamos eventos hasta que j + 1 excede a T .

Proceso de Poisson homogneo: Primer mtodo

Generacin de eventos en el intervalo [0,T ]t 0, I 0;while true do

Generar U U(0,1);if t 1 log U > T then

stopelse

t t 1 log U;I I + 1;S[I] t

endend

I I: nmero de eventos.I S[I]: tiempo en el que ocurre el evento I.I S[1],S[2], . . . , estn en orden creciente.

Proceso de Poisson homogneo: Segundo mtodo

Supongamos quiero generar los primeros tiempos de arribo hastat = T .

I La variable N(T ) es el nmero de eventos hasta el tiempo T ,con distribucin Poisson T .

I Dado N(T ), la distribucin de los tiempos de arribo en unProceso de Poisson homogneo de razn es uniforme en(0,T ).

Luego, para generar los eventos hasta el tiempo T :I Generar una v. a. Poisson de media T , y tomar n = N(T ).I Generar n v. a. uniformes U1,U2, . . . ,Un.I Los tiempos de arribo son: TU1,TU2, . . . ,TUn.

Notar que deben ordenarse los tiempos de arribo.

El proceso de Poisson no homogneo

N(t), t 0

es un proceso de Poisson no homogneo con funcin de intensidad(t), t 0, si:

I N(0) = 0

I para cada n 1 y cada particin 0 t0 < t1 < < tn se tieneque N(t0), N(t1) N(t0), . . . , N(tn) N(tn1) son variablesaleatorias independientes.

I limh0P(N(t + h) N(t) = 1)

h= (t),

I limh0P(N(t + h) N(t) = 1) 2)

h= 0.

Nmero de eventos en (t , t + s]

ProposicinPara cada t 0 y s > 0 se tiene que N(t + s) N(t) es una variablealeatoria Poisson con media

m(t + s)m(t) = t+s

t(x) dx .

CorolarioSi (t) = (es constante), N(t + s) N(t) es una variable aleatoriaPoisson con media t .

Poisson homogneo y Poisson no homogneo

Supongamos queI Existen eventos del tipo A y eventos del tipo B.I Independientemente de lo que ocurri antes, si ocurre un evento

del tipo A entonces ocurre uno del tipo B con probabilidad p(t).I N(t)= nmero de eventos del tipo A en [0, t ]I M(t)= nmero de eventos del tipo B en [0, t ].

ProposicinSi (N(t))t0 es un proceso de Poisson homogneo con razn > 0,entonces M(t)t0 es un proceso de Poisson no homogneo confuncin de intensidad (t) = p(t), t > 0.

Poisson homogneo y Poisson no homogneo

I El proceso M(t) cumple con las condiciones de comenzar en elcero, tener incrementos independientes y probabilidad nula deobservar instantneamente mas de un evento.

I Para ver la tasa instantnea de observar un evento

P(1 evento del tipo B en [t , t + h]) = P(un evento y es de tipo B)

+ P(dos o mas eventos y exactamente uno es de tipo B) hp(t)

Generacin de un Proceso de Poisson no homogneo

Algoritmo de adelgazamiento

I En un Proceso de Poisson no homogneo, con intensidad (t),los incrementos no son estacionarios,

I la intensidad (t) indica la tasa de ocurrencia de los eventos,

I si (t) , entonces (t) = p(t) con p(t) = (t) < 1,

I podemos considerar p(t) = (t)/ como la probabilidad deocurrencia de un cierto evento de un Proceso de Poissonhomogneo de razn , y "adelgazar" el proceso homogneopara obtener el proceso no homogeneo de intensidad p(t).

Algoritmo de adelgazamiento

Generacin de eventos en el inter-valo [0,T ]t 0, I 0;while true do

Generar U U(0,1);if t 1 log U > T then

stopelse

t t 1 log U;Generar V ;if V < (t)/ then

I I + 1;S[I] t

endend

end

I I: nmero de eventos.I S[1],S[2], . . . ,: tiempos de

eventos.I El algoritmo es ms eficiente

cunto ms cerca est de(t).

Proceso de Poisson no homogneo

Mtodo de adelgazamiento mejorado

Un mejora consiste en particionar el intervalo (0,T ) en subintervalos,y aplicar el algoritmo anterior en cada uno de ellos:0 = t0 < t1 < < tk < tk+1 = T

(s) j ,si j 1 s < j

Proceso de Poisson no homogneot 0; J 1; I 0;while true do

Generar U U(0,1);X 1J log U;while t + X > tJ do

if J = k + 1 thenstop

endX (X tJ + t) JJ+1 ;t tJ ;J J + 1

endt t + X ;Generar V U(0,1);if V < (t)/J then

I I + 1;S[I] t

endend

I I: nmero de eventos.I S[1],S[2], . . . ,: tiempos de

eventos.I El algoritmo es ms eficiente

cunto ms cerca est de(t).

Proceso de Poisson no homogneo

Otra mejora sobre este algoritmo es considerar el mnimo de (s) encada subintervalo.Por ejemplo, en un intervalo (ti1, ti):

I min = min{(s) | s (ti1, ti)}En este intervalo los eventos ocurren con intensidad

((s) min) + min,

I Generar eventos de un P. P. homogneo con razn min.I Intercalarlos con eventos de un P. P. no homogneo con

intensidad(s) = (s) min.

I Ventaja: Disminuye el nmero promedio de uniformes.

Ejemplo

Sea (s) = 10 + s 0 < s < 1. Adelgazamiento con = 11 tiene unamedia de 11 eventos, que pueden ser aceptados o no.

I 10 = min{(s) | s (0,1)}

I Generar eventos de un P. P. homogneo con razn 10.

I Intercalarlos con eventos de un P. P. no homogneo conintensidad

(s) = (s) 10 = s.

que tiene media 1 de eventos necesarios.I Reduce de 11 a 1 el nmero de uniformes necesarias

Proceso de Poisson no homogneo

Otro mtodo consiste en generar directamente los sucesivostiempos de evento.

I S1, S2, . . . : sucesivos tiempos de evento.I Estos tiempos de evento no son independientes.I Para generar Si+1, utilizamos el valor generado Si .I Dado que ha ocurrido un evento en t = Si , el tiempo hasta el

prximo evento es una variable aleatoria con la siguientedistribucin:

Fs(x) = P{ocurra un evento en (s, s + x)}= 1 P{0 eventos en (s, s + x)}

= 1 exp( s+x

s(y) dy

)= 1 exp

( x

0(s + y) dy

)

Proceso de Poisson no homogneo

EjemploDescribir un algoritmo para la generacin de eventos de un P. P. nohomogneo con funcin de intensidad

(t) =1

t + 3, t 0.

x0(s + y) dy =

x0

1s + y + 3

dy = log(

x + s + 3s + 3

).

Fs(x) = 1s + 3

x + s + 3=

xx + s + 3

.

u = Fs(x) x =u(s + 3)

1 u.

Proceso de Poisson no homogneo

F1s (u) = (s + 3)u

1 u.

Los sucesivos tiempos de eventos son entonces:

S1 =3U1

1 U1

S2 = S1 + (S1 + 3)U2

1 U2=

S1 + 3U21 U2

...

Sj = Sj1 + (Sj1 + 3)Uj1

1 Uj1=

Sj1 + 3Uj1 Uj

Proceso de Poisson no homogneo

Generacin de eventos utilizando el mtodo de la T. InversaI = 0;S[0] = 0;while true do

Generar U U(0,1);if (S[I] + 3U)/(1 U) > T then

stopelse

I I + 1;S[I] (S[I 1] + 3U)/(1 U);

endend