METODE NUMERIK -...

of 27/27
7/4/2012 SUGENG2010 1 METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.
  • date post

    01-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    320
  • download

    18

Embed Size (px)

Transcript of METODE NUMERIK -...

  • 7/4/2012 SUGENG2010 1

    METODE NUMERIK

    JURUSAN TEKNIK SIPIL

    FAKULTAS TEKNIK

    UNIVERSITAS BRAWIJAYA

    Copyright 1996-98 Dale Carnegie & Associates, Inc.

  • Kesalahan (ERROR):

    Selisih antara

    nilai perkiraan dengan

    nilai eksak(nilai sesungguhnya)

  • Jika adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)

    a adalah nilai eksak

    Maka kesalahan atau error adalah :

    = - aatau

    = a +

    nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan

  • sedangkanKesalahan Relatif (r) adalah

    Perbandingan antara kesalahan terhadap nilai

    eksak

    r = eksaknilaierror

    a

    aa

    a

    ~

  • Contoh soal :

    Pada saat mengukur panjang sebuah

    jembatan dan sebuah paku masing-

    masing 9999cm dan 9cm,jika nilai

    eksak masing-masing adalah 10000cm

    dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif

    yang terjadi!

  • jembatan

    =10000 9999 =1cm

    paku

    = 10 9 = 1 cm

    maka :

    rjembatan =

    rpaku =

    %01.010000

    1

    %1010

    1

  • Soal 2

    Berdasarkan deret Maclaurin :

    !n

    x.........

    !3

    x

    !2

    xx1

    n32ex =

    Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271

  • Penyelesaian :

    Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya menggunakan dua suku pertama maka:

    ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5

    9,02%11,64872127

    1,511,64872127r

  • Akar persamaan NonLinear

    Pada matematika Rekayasa sering kali kita harusmenentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.

    Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jikapermasalahan yang ada adalah masalah sederhana.

    Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.

    Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4..

    Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0

  • cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-

    akar persamaan Non Linier adalah dengan

    menggunakan metode :

    Newton Raphson

    Modified Newton Raphson

    Bisection

    Secant

  • Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:

    Tetapkan nilai awal xn dan xn+1 dengan syaratf(xn) x f(xn+1) < 0

    Hitung:

    Hitung harga f(xr).Jika,

    f(xr) x f(xn) > 0 maka xn = xr

    f(xr) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr

    Hitung kesalahan

    2

    1 nnr

    xxx

    1

    1

    n

    nn

    x

    xx

  • Contoh:

    Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

    dengan metode bisection

    Jawab:

    Susun ulang persamaan menjadi x tan x 1 = 0

    Sehingga f(x) = x tan x 1

    Dicoba nilai awal : xn = 0,5 f(xn) = -0.72685

    xn+1 = 1 f(xn+1) = 0,55741

    x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr) = -0,3013

    Karena f(xn) x f(xr) > 0 maka xn = 0,75

    Cek error:

    Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol

    25,01

    75,011

    n

    nn

    x

    xx

  • Newton-Raphson Method

    Algoritma penyelesaian:

    Tetapkan nilai awal x = xn

    Hitung:

    Cek kesalahan:

    Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atassampai dengan kesalahan dalam batas toleransi

    )('

    )(1

    n

    nnn

    xf

    xfxx

    1

    1

    n

    nn

    x

    xx

  • Contoh Soal :

    Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :

    X3 + 3(x2) - 2x =23

    JAWABAN :

    Dengan menggunakan Formula Newton :

    )('

    )()(

    )()1(

    n

    nnn

    xf

    xfxx

  • f(x)= x3 + 3(x2) 2x - 23 = 0

    f(x)= 3x2 + 23(x) - 2

    coba x(0) = 1,7

    f(x0) = 3,0545

    f(x0)= 12,559

    46,1559,12

    0545,37,1

    )('

    )()0(

    )0(0)1(

    xf

    xfxx

    4,1452,9

    42,046,1

    )('

    )()1(

    )1(1)2(

    xf

    xfxx

    coba x(1) = 1,46

    f(x1) = 0,42

    f(x1)= 9,452

    coba x(2) = 1,4

    f(x2) = -0,125

    f(x2)= 8,73

    4,173,8

    )125,0(4,1

    )('

    )()2(

    )2(2)3(

    xf

    xfxx

    karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.

  • Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka

    jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :

    f(x) = x3 + 3(x2) 2x - 23 = 0

    f(1,4) = (1,4)3 + 3(1,4)2 2(1,4) - 23

    f(1,4) = - 0,125 ~ 0

    Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma

  • Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua

    variabel yang tidak diketahui :

    f1 (x1,x2) = 0

    f2 (x1,x2) = 0

    Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut

    1

    )(

    2

    )(

    11

    )(

    2

    )(

    11)(

    1

    )1(

    1),(

    ),(

    x

    xxf

    xxfxx

    nn

    nnnn

    2

    )(

    2

    )1(

    12

    )(

    2

    )1(

    12)(

    2

    )1(

    2),(

    ,(

    x

    xxf

    xxfxx

    nn

    nnnn

  • 2x1 x2 = -3

    x1 2x2 = -3

    Solusi eksak : x1 = -1

    x2= 1

    f1(x1,x2) = 2x1 x2 + 3

    f2(x1,x2) = x1 2x2 + 3

    2

    32

    2

    32

    2),(

    2),(

    )(2

    )1(1)(

    2)1(

    2

    )(2

    )(1)(

    1)1(

    1

    2

    212

    1

    211

    nnnn

    nnnn

    xxxx

    xxxx

    x

    xxf

    x

    xxf

  • Untuk mencoba awal digunakan :

    x1(0) = x2

    (0) = 0 dan = 1,maka :

    x1 (1) = -(3/2),x2

    (1) = (3/4)

    x1(2) = -(9/8),x2

    (2) = (15/16)

    x1(3) = -(33/32),x2

    (3) = (63/64), dst

    Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1

    (n) = -1

    x2(n+1) = x2

    (n) = 1 konvergen

  • Modified Newton-Raphson Method

    Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerusakan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.

    Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasipertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya

    Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi

    menjadi:

    )('

    )(

    0

    1xf

    xfxx nnn

  • Contoh:

    Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

    dengan metode modified newton-raphson

    Jawab:

    Susun ulang persamaan menjadi x tan x 1 = 0

    Sehingga f(x) = x tan x 1 dan f(x) = tan x + x sec 2 x

    Dicoba nilai awal : x0 = 1 f(x0) = 0,55741

    f(x0) = 4,98293

    Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

    98293,4

    1tan1

    nnnn

    xxxx

  • Secant MethodAlgoritma penyelesaian:

    Tetapkan nilai awal xn-1 dan xn

    Hitung:

    Hitung kesalahan:

    Jika > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn

    ulangi langkah di atas sampai dengan akarpersamaan x = xn

    )()(

    ))((

    1

    11

    nn

    nnnnn

    xfxf

    xxxfxx

    1

    1

    n

    nn

    x

    xx

  • Contoh:

    Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

    dengan metode secant

    Jawab:

    Susun ulang persamaan menjadi x tan x 1 = 0

    Sehingga f(x) = x tan x 1

    Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1

    Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

    1tan1tan

    1tan

    11

    11

    nnnn

    nnnnnn

    xxxx

    xxxxxx

  • stop