METODE NUMERIK -...
Transcript of METODE NUMERIK -...
7/4/2012 SUGENG2010 1
METODE NUMERIK
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.
Kesalahan (ERROR):
Selisih antara
nilai perkiraan dengan
nilai eksak(nilai sesungguhnya)
Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)
a adalah nilai eksak
Maka kesalahan atau error adalah :
ε= ã - aatau
ã = a + ε
nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan
sedangkanKesalahan Relatif (εr) adalah
Perbandingan antara kesalahan terhadap nilai
eksak
εr = eksaknilai
error
a
aa
a
~
Contoh soal :
Pada saat mengukur panjang sebuah
jembatan dan sebuah paku masing-
masing 9999cm dan 9cm,jika nilai
eksak masing-masing adalah 10000cm
dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif
yang terjadi!
εjembatan
=10000 – 9999 =1cm
εpaku
= 10 – 9 = 1 cm
maka :
εrjembatan =
εrpaku =
%01.010000
1
%1010
1
Soal 2
Berdasarkan deret Maclaurin :
!n
x.........
!3
x
!2
xx1
n32ex =
Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271
Penyelesaian :
Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya menggunakan dua suku pertama maka:
ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5
9,02%11,64872127
1,511,64872127εr
Akar persamaan NonLinear
Pada matematika Rekayasa sering kali kita harusmenentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.
Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jikapermasalahan yang ada adalah masalah sederhana.
Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.
Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4……..
Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0
cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-
akar persamaan Non Linier adalah dengan
menggunakan metode :
Newton Raphson
Modified Newton Raphson
Bisection
Secant
Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal xn dan xn+1 dengan syaratf(xn) x f(xn+1) < 0
• Hitung:
• Hitung harga f(xr).Jika,
f(xr) x f(xn) > 0 maka xn = xr
f(xr) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr
• Hitung kesalahan
2
1 nnr
xxx
1
1
n
nn
x
xx
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode bisection
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1
Dicoba nilai awal : xn = 0,5 f(xn) = -0.72685
xn+1 = 1 f(xn+1) = 0,55741
x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr) = -0,3013
Karena f(xn) x f(xr) > 0 maka xn = 0,75
Cek error:
Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol
25,01
75,011
n
nn
x
xx
Newton-Raphson Method
Algoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal x = xn
• Hitung:
• Cek kesalahan:
• Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atassampai dengan kesalahan dalam batas toleransi
)('
)(1
n
nnn
xf
xfxx
1
1
n
nn
x
xx
Contoh Soal :
Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :
X3 + √3(x2) - 2x =2√3
JAWABAN :
Dengan menggunakan Formula Newton :
)('
)()(
)()1(
n
nnn
xf
xfxx
f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2
coba x(0) = 1,7
f(x0) = 3,0545
f’(x0)= 12,559
46,1559,12
0545,37,1
)('
)()0(
)0(0)1(
xf
xfxx
4,1452,9
42,046,1
)('
)()1(
)1(1)2(
xf
xfxx
coba x(1) = 1,46
f(x1) = 0,42
f’(x1)= 9,452
coba x(2) = 1,4
f(x2) = -0,125
f’(x2)= 8,73
4,173,8
)125,0(4,1
)('
)()2(
)2(2)3(
xf
xfxx
karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.
Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka
jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3
f(1,4) = - 0,125 ~ 0
Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma
Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua
variabel yang tidak diketahui :
f1 (x1,x2) = 0
f2 (x1,x2) = 0
Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut
1
)(
2
)(
11
)(
2
)(
11)(
1
)1(
1),(
),(
x
xxf
xxfxx
nn
nnnn
2
)(
2
)1(
12
)(
2
)1(
12)(
2
)1(
2),(
,(
x
xxf
xxfxx
nn
nnnn
2x1 – x2 = -3
x1 – 2x2 = -3
Solusi eksak : x1 = -1
x2= 1
f1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3
f2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3
2
32
2
32
2),(
2),(
)(2
)1(1)(
2)1(
2
)(2
)(1)(
1)1(
1
2
212
1
211
nnnn
nnnn
xxxx
xxxx
x
xxf
x
xxf
Untuk mencoba awal digunakan :
x1(0) = x2
(0) = 0 dan ω = 1,maka :
x1 (1) = -(3/2),x2
(1) = (3/4)
x1(2) = -(9/8),x2
(2) = (15/16)
x1(3) = -(33/32),x2
(3) = (63/64), dst
Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1
(n) = -1
x2(n+1) = x2
(n) = 1 konvergen
Modified Newton-Raphson Method
Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerusakan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.
Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasipertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya
Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi
menjadi:
)('
)(
0
1xf
xfxx n
nn
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode modified newton-raphson
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x
Dicoba nilai awal : x0 = 1 f(x0) = 0,55741
f’(x0) = 4,98293
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
98293,4
1tan1
nnnn
xxxx
Secant MethodAlgoritma penyelesaian:
• Tetapkan nilai awal xn-1 dan xn
• Hitung:
• Hitung kesalahan:
• Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn
ulangi langkah di atas sampai dengan akarpersamaan x = xn
)()(
))((
1
11
nn
nnnnn
xfxf
xxxfxx
1
1
n
nn
x
xx
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x
dengan metode secant
Jawab:
Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x – 1
Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
1tan1tan
1tan
11
11
nnnn
nnnnnn
xxxx
xxxxxx
stop