11

ResponRespon FrekuensiFrekuensi padapadaFIR Filter FIR Filter

Oleh:TriOleh:Tri Budi Budi SanrtosoSanrtosoLab Lab SinyalSinyal, EEPIS, EEPIS--ITSITS

22

ResponRespon sinusoidasinusoida padapada sistemsistem FIRFIR

Suatu sistem FIR dinyatakan: [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑==

−=−=M

k

M

kk knxkhknxbny

00

(1)

( )knjj

njj

s

s

eAeknx

eAenx−=−

=ωφ

ωφ

][

][Sinyal input secara umum merupakan bentuk komplek diskrit

Karena φ = 0 dan A = 1, maka bentuk tsb menjadi:

( )knj seknx −=− ω][

ωs= ωTs merupakan frekuensi ternormalisasi terhadap periode sampling yang digunakan

33

SehinggaSehingga bentukbentuk umumumum FIR FIR menjadimenjadi::

( ) njs

njkjM

kk

knjM

kk

s

ss

s

eHny

eebny

ebny

ω

ωω

ω

ω=

=

=

−

=

−

=

∑

∑

][

][

][

0

)(

0

44

dimana:

∑∑=

−

=

− ==M

k

kjM

k

kjks

ss ekhebH00

][)( ωωω (2)

yang lebih dikenal sebagai fungsi respon frekuensi untuk sistem tersebut, dan seperti anda kenal dalam istilah komunikasi sebagai “respon frekuensi”

Respon Frekuensi merupakan bentuk komplek

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) )(ImRe sHjssss eHHjHH ωωωωω ∠=+= (3)

dimana:|H(ωs)|=magnitudo dan = fase)( sH ω∠

Maka persamaan (2) menjadi:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) njHjs

njjHjs

ssss eeAHeAeeHny ωφωωφω ωω −∠∠ ==][

55

ContohContoh 1:1:Suatu sistem LTI memiliki koefisien-koefisien pada persamaan beda sbb:{bk}={1 , 2 , 1}. Bagaimana bentuk respon frekuensinya?

Penyelesaian:Dengan persamaan (1) diperoleh

ss

s

jj

M

k

kjk

M

kk

ee

ebH

knxbny

ωω

ωω

20

0

21

)(

][][

−−

=

−

=

++=

=

−=

∑

∑

Untuk mendapatkan respon magnitudo dan respon fasenya:

( )sssss jjjjjs eeeeeH ωωωωωω −−−− ++=++= 221)( 2

66

Contoh Program Matlab

clear all;w=-3:.1:3;y = 1 + 2*exp(-j*w*pi) + 2*exp(-j*2*w*pi);plot(w,abs(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')

77

88

Anda coba untuk mengingat kembali persamaan Euler:

sjj

ssj

ssj

ss

s

s

ee

je

je

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ω

cos2

__________________sincos

sincos

=+

+−=

+=

−

−

Maka: ( ) ( )( ) sj

s

ssj

s

e

eHω

ω

ω

ωω−

−

+=

+=

cos22

cos22

dimana:2+2cosωs merupakan magnitudo-ωs fase

99

ContohContoh 2:2:Jika input sinyal x[n]=2ejπ/4 ejπn/3 diberikan ke sistem FIR pada soalsebelumnya, bagaimana bentuk outputnya?

Penyelesaian:

( ) ( )( )∑=

+∠=−=M

k

njHjs

ss eeAHknxkhny0

)(][][][ ωφωω

ganti ωs dengan π/3 maka:H(ωs) = H(π/3) = 2 + 2cos(π/3) = 2 + 2( ½ ) + 3

( ) 3/πω =∠ sH sementara φ = 0

sehingga:

( )

( ) 3/14/

3/12/

3/3/4/

3/4/3/

)6()6(

)2()3(23][

−

−

−

−

=

=

=

=

njj

jj

jjj

jjj

eeee

eeeeeny

ππ

ππ

πππ

πππ

1010

SifatSifat--sifatsifat ResponRespon FrekuensiFrekuensi FIR FilterFIR Filter

1.1. HubunganHubungan dengandengan ResponRespon ImpulsImpuls dandan PersamaanPersamaan BedaBeda

ResponRespon impulse impulse tersusuntersusun daridari sekuensekuen impulse impulse koefisienkoefisien--koefisienkoefisien FIRFIR

SecaraSecara umumumum::Time Domain: Time Domain: Frequency Domain:Frequency Domain:

kjkjkk

ss ekhebkhb ωω −− =⇒= ][][

∑=

−=M

kknkhnh

0][][][ δ ∑

=

−=M

k

kjs

sekhH0

][][ ωω

1111

ContohContoh 1:1:

SebuahSebuah FIR FIR memilikimemiliki responrespon inpulseinpulse sepertiseperti berikutberikut::h[nh[n] = ] = --δδ[n[n] + 3] + 3δδ[n[n--1] 1] –– δδ[n[n--2]2]

SistemSistem iniini memilikimemiliki {{bkbk} = {} = {--1, 3, 1, 3, --1} 1}

MakaMaka bentukbentuk persamaanpersamaan iniini dapatdapat ditransformasiditransformasi::PersamaanPersamaan BedaBeda::

REsponREspon FrekuensiFrekuensi: :

]2[]1[3][][][0

−−−+−=−=∑=

nxnxnxknxbnyM

kk

ss jjs eeH ωωω 231)( −− −+−=

1212

ContohContoh 2:2:

JIkaJIka diketahuidiketahui responrespon frekuensifrekuensi FIR filter FIR filter sbbsbb::

BagaimanaBagaimana bentukbentuk persamaanpersamaan bedabeda--nyanya??

JawabJawab::PersamaanPersamaan Euler:Euler:

PersamaanPersamaan BedaBeda::y[ny[n]= ]= --x[nx[n] +3x[n] +3x[n--1] 1] --x[nx[n--2]2]

( ) ( )sj

sseH ωω ω cos23−= −

( )ss jjs ee ωωω −+=

21cos

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

−−

223

sss

jjj

seeeH

ωωωω

1313

2. 2. PeriodisitasPeriodisitas H(H(ωωss))ResponRespon frekuensifrekuensi H(H(ωωss) ) selaluselalu periodikperiodik sebagaisebagai fungsifungsi ωωss padapadasetiapsetiap nilainilai 22ππ radiant.radiant.

H(H(ωωss) = ) = H(H(ωωss+ 2+ 2ππ) ???) ???dapatdapat dibuktikandibuktikan sepertiseperti berikutberikut iniini

( ) ( )

( )s

M

k

kjk

M

k

kjkjk

M

k

kjks

H

egerkdenganeb

eeb

ebH

s

s

s

ω

πω

ω

πω

πω

=

==

=

=+

∑

∑

∑

=

−

=

−−

=

+−

int;

2

0

0

2

0

2

1414

RepresentasiRepresentasi GrafikGrafik padapada ResponRespon FrekuensiFrekuensiDuaDua poinpoin pentingpenting yang yang harusharus ““didi--emhpasizedemhpasized” ” tentangtentang responrespon

frekuensifrekuensi::1.1. ResponRespon frekuensifrekuensi biasanyabiasanya memilikimemiliki nilainilai bervariasibervariasi sesuaisesuai

perubahanperubahan nilainilai frekuensinyafrekuensinya2.2. PemilihanPemilihan koefisienkoefisien bbkk akanakan menentukanmenentukan bentukbentuk responrespon

frekuensinyafrekuensinya

Untuk memvisualisasikan H(ωs)

Harus menggambarkan dalamsistem koordinat berikut ini

H(ωs)

ωs

Magnitudo

Nilai frekuensi dalam radiant

1515

Kasus pada suatu system dengan delay:

y[n] = x[n-n0]

Sistem ini memiliki koefisien filter non-zero di bn0 =1, sehingga respon frekuensinya adalah:….

Coba anda kembali melihat persamaan dasar

[ ]∑=

−=M

kk knxbny

0

][

k = n0 bk bn0 =1

Maka00.1)( njnj

sss eeH ωωω −− ==

1616

KasusKasus padapada sistemsistem persamaanpersamaan bedabeda ordeorde 11

y[n] = x[n]-x[n-1]

Respon Frekuensinya adalah

( ) ( )( ) ( ) ( )2/2/2/

2/2/2/2/

2/sin22/sin2

2/sin2.

sincos11)(

ss

ssss

s

js

js

sjjjjss

js

ee

eeee

eH

ωπω

ωωωω

ω

ωω

ω

ωωω

−−

−−−

−

==

=−=

+−=−=

1717

Program Matlabclear all;w=-3:.1:3;y=1-exp(-j*w*pi);subplot(2,1,1)plot(w,abs(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')

subplot(2,1,2)plot(w,y_phase,'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')

1818

1919

Re{H(Re{H(ωωss)}= 1)}= 1-- coscos ωωss; ; dandan Im{H(Im{H(ωωss)}= sin )}= sin ωωss;;

( ) ( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∠

+−=

−

s

ss

sss

H

H

ωω

ω

ωωω

cos1sin

tan

sincos1

1

22 clear all;w=-3:.1:3;y=1-exp(-j*w*pi);

subplot(2,1,1)plot(w,real(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')ylabel('Real Part')

subplot(2,1,2)plot(w,imag(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')ylabel('Iamaginary Part')

2020

2121

ContohContoh 3:3:

Suatu input diskrit diketahui sebagai berikut: x[n] = 4 + 2cos(0.3 πn – π/4)Pada saat sistem diuji, keluar output sebagai berikut:

y[n] = x[n]-x[n-1]Cari bentuk respon frekuensi sistem dan cari bentuk output pada saat H(0) = 0 terjadi.

Penyelesaian:Dengan melihat kembali hasil pada kasus sistem persamaan beda orde 1:

( ) ( )

( ) ( ) 22/3.0sin2)3.0(

2/sin2)(2/3.02/

2/2/ 2

≈=

=−

−

ππ

ωπ

ππ

ωωj

js

eH

eH

2222

KembaliKembali keke prinsipprinsip awalawalx[nx[n] = A] = A00 + A+ A11cos(cos(ωω1 1 n + n + φφ11))y[ny[n] = H(0)A0 + |H(] = H(0)A0 + |H(ωω11)|A1cos()|A1cos(ωω11n + n + φφ11+ H(+ H(ωω11))))

MakaMaka::y[ny[n] = 4H(0) + 2|H(] = 4H(0) + 2|H(ωω11)|A1cos(0,3)|A1cos(0,3ππn n –– ππ/4+ H(0,3/4+ H(0,3ππ))))

dengandengan kondisikondisi H(0)= 0, H(0)= 0, makamaka::y[ny[n] = 2(2)sin(0,3] = 2(2)sin(0,3ππ/2)cos(0,3/2)cos(0,3ππn n –– ππ/4 /4 ––0,30,3ππ/2)/2)

= 1,816 cos(0,3= 1,816 cos(0,3ππ –– 0,10,1ππ))

2323

KasusKasus padapada Low Pass Filter Low Pass Filter SederhanaSederhana::Suatu sistem memiliki frekuensi respon

( ) s

ss

js

jjs

e

eeHω

ωω

ω

ω−

−−

+=

++=

cos22

21)( 2

Nilai (2 + 2 cosωs) > 0 untuk semua ωKita juga memiliki:|H(ωs)| = (2 + 2 cos(ωs) dan H(ωs) = -ωs

Coba anda gambarkan nilai ini untuk –π < ωs < π

2424

clear all;clear all;wsws==--pi:pi/17:pi;pi:pi/17:pi;H_wsH_ws=(2+2*=(2+2*cos(wscos(ws)).*exp()).*exp(--j*j*wsws*pi);*pi);subplot(2,1,1)subplot(2,1,1)plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)gridgridxlabel('w(radiantxlabel('w(radiant)'))')

subplot(2,1,2)subplot(2,1,2)plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)gridgridxlabel('w(radiantxlabel('w(radiant)'))')

2525

2626

ContohContoh 4:4:Jika diketahui suatu input adalah x[n] = 4 + 3cos((π/3)n –π/2) + 3cos((20π/21)n)Dapatkan output dari y[n] =……………

Penyelesaian:

Dengan gambar yang terbangkit, coba anda hitungH(ws) pada ws =0, π/3, dan 20π/21 π1H(0) = (2 + 2cos(0)) e-j0

= 4H(π/3) = (2 + 2cos(π/3)) e-jπ/3

= (2 + 1) e-jπ/3

= 3e-jπ/3

H(20π/21) = 0,0223 e-j20π/21

Nilai-nilai ini bisa anda cocogkan dengan gambar…?

2727

OutputnyaOutputnya::y[ny[n] = 4.4 + 3.3 cos((] = 4.4 + 3.3 cos((ππ/3)n /3)n –– ππ/3 /3 ––ππ/2) + (0,0223) 3cos((20/2) + (0,0223) 3cos((20ππ/21)n /21)n –– 2020ππ/21)/21)

=16 + 9 cos(=16 + 9 cos(ππ/3(n /3(n ––1) 1) ––ππ/2) + 0,067 cos(20/2) + 0,067 cos(20ππ/21(n/21(n--1))1))

GambarkanGambarkan outputnyaoutputnya….….n=1:1:30;n=1:1:30;x_nx_n = 4 + 3*= 4 + 3*cos(ncos(n*pi/3 *pi/3 -- pi/3) + 3*pi/3) + 3*cos(ncos(n*20*pi/21);*20*pi/21);subplot(2,1,1)subplot(2,1,1)stem(n,x_nstem(n,x_n))ylabel('Inputylabel('Input x[nx[n]')]')xlabel('Timexlabel('Time Index n')Index n')

subplot(2,1,2)subplot(2,1,2)y_ny_n = 16 + 9*cos(pi/3*(n= 16 + 9*cos(pi/3*(n--1) 1) -- pi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(npi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(n--1));1));stem(n,y_nstem(n,y_n))ylabel('Outputylabel('Output y[ny[n]')]')xlabel('Timexlabel('Time Index n')Index n')

2828