MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti · PDF fileMEHANIKA FLUIDA K –...

MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti 93

PRIMJER 1: U prostoru između dvije horizontalne ravne ploče, udaljene za h, nalazi se fluid konstantne gustoće ρ i konstantne dinamičke viskoznosti μ . Donja ploča miruje, a gornja se giba konstantnom brzinom (Couetteovo strujanje). Uz pretpostavku ravninskog, stacionarnog, laminarnog strujanja s izobraženim profilom brzine i uz zanemarenje masenih sila odredite:

u

a) profil brzine u strujanju u zavisnosti od uzdužnog gradijenta tlaka 1d / dp x , b) smično naprezanje na ploči (silu potrebnu za vuču ploče jedinične duljine i širine), c) protok kroz presjek jedinične širine okomito na ravninu slike i srednju brzinu, d) vezu između pada tlaka na duljini L i srednje brzine pri u=0 (Poiseuilleovo strujanje).

1x

2x konst.=u ?=F

A

ρ =konst. h

μ =konst.

Uradak: a) Prvo rezimirajmo uvjete iz zadatka u kojem je rečeno da je strujanje

1) ravninsko, što znači da se slika strujanja ponavlja u ravninama paralelnim s ravninom slike, a za izabrani koordinatni sustav 1 20x x , prema slici to su ravnine konst.= , što

znači da nema promjena veličina u smjeru osi 3

3x

x , tj. 3

0∂≡

∂x, a nema ni strujanja u

smjeru osi 3x , pa je 3 0≡v ,

2) stacionarno, što znači da slika strujanja nije funkcija vremena, pa vrijedi 0∂≡

∂t,

3) izobraženim profilom brzine: što znači da se profil brzine više ne mijenja u smjeru

strujanja 1

0∂≡

∂iv

x. Ovdje se pretpostavlja da su ploče dovoljno duge da se profil brzine

formirao (izobrazio). Naime na ulazu u prostor između ploča profil brzine je neizobražen i mijenja se, a nakon neke duljine će se izobraziti.

Problem laminarnog nestlačivog strujanja opisuje se jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja.

- Jednadžba kontinuiteta glasi

0∂

=∂

j

j

vx

ili u razvijenom obliku

=0, zbog 3) =0, zbog 1)

1 2 3

1 2 3

0∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂v v vx x x


Prvi član je jednak nuli zbog izobraženog profila brzine, a treći je jednak nuli zbog

ravninskog strujanja, te slijedi 2

2

0∂=

∂vx

, što znači da komponenta brzine nije funkcija

koordinate

2v

2x , zbog izobraženog profila nije funkcija od 1x , zbog ravninskog strujanja nije funkcija 3x , a zbog stacionarnog strujanja niti vremena t , pa ostaje da je konstanta 2v 2 konst.= =v CVrijednost konstante C se određuje iz rubnih uvjeta. U viskoznom strujanju se fluid lijepi na ploču, pa je brzina fluida neposredno uz ploču jednaka brzini ploče. Donja ploča ( ) miruje pa je za i , što znači da je

2 0=x

2 =x 0 2 0=v 0=C , odnosno 2 0≡v . S obzirom da su komponente brzine i , jednake nuli ostaje samo komponenta , koja nije funkcija

2v 3v 1v

1x zbog izobraženog profila, nije funkcija t zbog stacionarnog strujanja, a nije funkcija od 3x zbog ravninskog strujanja, pa može biti samo funkcija od 2x ( ( )2x=1 1v v ), stoga parcijalna derivacija po koordinati 1v 2x , postaje potpuna derivacija d / . 1 2dv xJednadžba količine gibanja zapisana u indeksnoj notaciji glasi:

zanemaruje se2

=0, zbog 2)

ρ ρ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂i i i

j ij i j j

v v p vv ft x x x x

Prvi član lijeve strane otpada zbog stacionarnosti problema, a masene sile se prema uvjetima zadatka, zanemaruju. Razvojem preostalih članova u gornjoj jednadžbi po nijemom indeksu j slijedi:

2 2 2

1 2 3 2 2 21 2 3 1 20

=0, zbog 3) =0, zbog 3)=0, zbog 1) =0, zbog 1)

ρ ρ ρ μ=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

i i i i i i

i

v v v p v v vv v vx x x x x x x3

Nelinearni članovi na lijevoj strani gornje jednadžbe su jednaki nuli, a od viskoznih sila ostaje samo član s derivacijom komponente brzine . S obzirom da je to vektorska jednadžba može se prikazati u obliku tri skalarne jednadžbe za

1v1,2,3=i , te vrijedi

1=i2

12

1 2

μ∂ ∂=

∂ ∂p vx x

2=i2

0∂=

∂px

3=i3

0∂=

∂px

Iz druge i treće jednadžbe je očito da tlak nije funkcija od 2x i 3x , a zbog stacionarnosti strujanja nije funkcija vremena t , te se zaključuje da tlak p može biti samo funkcija od 1x ;

1( )=p p x . Iz prve jednadžbe

( ) ( )1 2

21

21 2

dd konst.d df x f x

vpx x

μ= =

je jasno da je lijeva strana funkcije od 1x , a desna od 2x , te može postojati jednakost samo


ako su obje strane konstante. Integriranjem gornje jednadžbe uvrštavajući da je 1

d konst.d

px=

nakon prve integracije slijedi:

12 1

2 1

d 1 dd d

v p x Cx xμ

= ⋅ + ,

a nakon druge integracije dobije se:

21 2 1 2

1

1 d2 d

pv x C xxμ

= ⋅ + + 2C

Vrijednosti konstanti integracije i se određuju se iz sljedećih rubnih uvjeta (uvjet lijepljenja fluida na donjoj i gornjoj ploči):

1C 2C

2 0=x 1 0=v 2 =x h 1 =v uUvrštavanjem prvog rubnog uvjeta u izraz za brzinu daje 1v 2 0=C , a uvrštavanjem drugog rubnog uvjeta dobije se

21

1

1 d2 dμ

= ⋅ +pu hx

C h odakle je 11

1 d2 d

u pC hh xμ

= −

Uvrštavanjem vrijednosti konstanti i u polazni izraz za brzinu dobije se konačni izraz za brzinu u Couetteovom strujanju, koji glasi

1C 2C 1v

( ) 22 21 2

1

1 d 12 d

x p x xv x u hh x h hμ

⎡ ⎤= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦2

Dijeljenjem gornjeg izraza s u i uvođenjem bezdimenzijskih varijabli

0 1=vvu

; 2

1

d2 dh pP

u xμ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

; 02 =x yh

izraz za profil brzine prelazi u bezdimenzijski oblik ( )0 0 0 01= + −v y Py y

gdje je bezdimenzijska brzina, 0v 0y bezdimenzijska udaljenost od donje stjenke, a P bezdimenzijski gradijent tlaka. Bezdimenzijski gradijent tlaka je definiran s negativnim predznakom tako da vrijedi

za 0>P →1

0∂<

∂px

, tlak pada u smjeru strujanja,

za 0<P → 0∂>

∂px

, tlak raste u smjeru strujanja, i

za 0=P → 0∂=

∂px

, tlak je konstantan.

Sljedeća slika prikazuje profile brzine za različite vrijednosti parametra P.


Za slučaj dobije se linearni profil brzine 0=P 0 0=v y ili 21 =

xv uh

.

Za slučaj vrijedi (parabola s nultočkama u 1=P ( )20 0 02= −v y y 0 0=y i , odnosno

tjemenom u ). Za maksimalna brzina je veća od brzine gibanja ploče.

0 2=y0 =y 1 1P >

Za slučaj , gradijent tlaka je pozitivan, tj. sila tlaka je suprotstavljena strujanju. U tom slučaju vrijedi , tj. profil je opisan parabolom s tjemenom u . Za slučaj

u jednom dijelu presjeka, strujanje je u suprotnom smjeru od gibanja ploče.

1= −P

( )20 0v y= 0 0=y1< −P

b) Smično naprezanje u pravcu osi 1x na površinu s vanjskom normalom u pravcu osi 2x je općenito definirano izrazom:

0

1 221

2 1

τ μ⎛ ⎞∂ ∂⎜= +⎜ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠

v v ⎟⎟x x

, a u ovom slučaju 121

2

vx

τ μ ∂=

∂

Primjenom pravila o deriviranju složenih funkcija slijedi

0 0

21 02

τ μ ∂ ∂= ⋅

∂ ∂v yuy x

, a nakon što se uvrsti derivacija bezdimenzijske brzine dobije se:

( )021 1 1 2τ μ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

u P yh

Smično naprezanje na gornjoj ploči 0( 1)=y je:

[ ]021 11τ μ

== −

y

u Ph

Slika prikazuje definiciju pozitivnog smjera smičnog naprezanja na ploči i fluidu. Na ploči vektor normale gleda u negativnom smjeru osi 2x pa pozitivno smično naprezanje 21τ gleda u negativnom smjeru osi 1x . Ako se makne ploča s fluida, tada vanjska normala na fluid gleda u pozitivnom smjeru osi 2x , pa prema dogovoru pozitivno naprezanje 21τ gleda u pozitivnom smjeru osi 1x .

Da bi se uravnotežilo pozitivno smično naprezanje na ploči (ploča se giba konstantnom brzinom što znači da je suma sila na ploču jednaka nuli) potrebno je na nju djelovati

jn 2x PLOČA

1x

jn

21 0

τ >

2x 21 0 τ >

FLUID

1x


vanjskom silom 21dA

F τ= A∫ u pozitivnom smjeru osi 1x . U ovom slučaju je smično

naprezanje konstantno po površini ploče, pa vrijedi 21F Aτ= .

Za , je 1P = 0 221 2110x hy

τ τ === = jer profil brzine ima tjeme na 0 1y = (na gornjoj ploči je

1

2

0=dvdx

) što znači da između ploče i fluida nema sile (ploča slobodno pluta na površini

gibajućeg fluida). Za smično naprezanje je pozitivno, što znači da na ploču treba djelovati silom u desno (treba ju vući) silom

1P <21F Aτ= ( A je površina ploče), a za

smično naprezanje je negativno, što znači da ploču treba kočiti (djelovati silom suprotnom od smjera gibanja). To je fizikalno jasno i iz samih profila brzine.

1P >

c) Izraz za protok Q kroz presjek okomit na ploče i jedinične širine okomito na ravninu slike je definiran izrazom

ili u bezdimenzijskom obliku uz i 1 20

dh

Q v x= ∫ 1⋅ 01v uv= 0

2x hy= 1

0 0

0

dQ uh v y= ∫Integriranjem izraza za brzinu ( )0 0 0 01= + −v y Py y , dobije se

( ) ( ) ( ) ( )

12 2 30 0 0

0

1 32 2 3 2 6 6

y y y P uhQ uh P uh P⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟= + − = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

+

Očito je za protok jednak nuli, što je jasno i iz profila brzine, jer fluid uz gornju ploču struji u desno, a uz donju u lijevo.

3P = −

Srednja brzina je definirana izrazom

( )sr 31 6

Q uv Ph

= = +⋅

Za profil brzine je linearan pa je 0P = sr 2uv = .

d) Za poseban slučaj 0=u , dobije se strujanje između dvije mirujuće ravne ploče, koje se u

literaturi naziva Poiseulleovo strujanje, a izraz za brzinu ( ) 22 21 2

1

1 d 12 d

x p x xv x u hh x h hμ

⎡ ⎤2= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

prelazi u

2 2 21

1

1 d 12 d

p x xv hx h hμ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

iz kojeg je jasno da će do strujanja doći samo ako postoji gradijent tlaka. Profil brzine je paraboličan (parabola ima nultočke u 2 0x = i 2x h= , odnosno tjeme u 2 / 2x h= ) s maksimalnom brzinom u sredini razmaka, kao na sljedećoj slici


Maksimalna brzina je u simetrali kanala 2 2⎛ =⎜⎝ ⎠

hx ⎞⎟ i iznosi

2

max 1 21

d2 8 dh hv v x p

xμ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Iz izraza za brzinu je jasno da će strujanje biti u smjeru 1x+ , ako je gradijent tlaka negativan, tj. tlak mora opadati u smjeru strujanja. Fizikalno je to jasno jer smično naprezanje na pločama ima tendenciju kočenja fluida, pa sila tlaka mora djelovati u smjeru strujanja, da bi uravnotežila silu trenja. Protok između ploča je definiran integralom Q

( )2 31 2 2 2 2

1 10 0

1 d 1 d12 d 12 d

h hp pQ v dx x x h dx hx xμ μ

= ⋅ = − = −∫ ∫

-srednja brzina je

2

max1

d 21 12 d 3sr

Q h pv vh xμ

= = − =⋅

i iznosi max23

v .

Budući da je 1

d konst.d

px= vrijedi 2

1

dd

1p p px L

−= , gdje je 2 1p p− promjena tlaka između dva

presjeka udaljena za , pri čemu je presjek 2 u smjeru strujanja u odnosu na presjek 1. Ako se to uvrsti u izraz za srednju brzinu slijedi formula za pad tlaka na duljini u Poiseuilleovom strujanju između dvije ravne ploče

LL

1 2 2

12sr

Lp p vhμ

− = .


PRIMJER 2: Odredite profil temperature u Couetteovom strujanju iz prethodnog zadatka, pri , ako je temperatura ploče koja miruje, a temperatura ploče koja se giba. Pretpostavite da su toplinska provodnost

1d / d 0p x = 0T WTλ i specifični toplinski kapacitet fluida,

konstantni. c

Uradak:

Osnovne jednadžbe koje opisuju problem su jednadžba kontinuiteta

0=∂

∂

j

j

xv

,

jednadžba količine gibanja tj. Navier-Stokesova jednadžba, koja uz konst.μ = glasi

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

j

j

jij

ij

i

xv

xxp

xvv

tv μρρ ,

te energijska jednadžba, koja izražena s pomoću unutarnje energije, za nestlačivo strujanje glasi

vjj j

u uvt x x

ρ ρ Φ λ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦j

Tx

,

gdje je brzina pretvorbe mehaničke energije u unutrašnju energiju. Uz jednadžba za unutrašnju energiju prelazi u oblik:

2 ij ijD DΦ μ= cTu =

vjj j

T Tc cvt x x

ρ ρ Φ λj

Tx

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂+ = + ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

S obzirom da ρ i μ nisu funkcije temperature, prve dvije jednadžbe se mogu riješiti neovisno od energijske jednadžbe, odnosno možemo iskoristiti dobiveni rezultat iz prethodnog primjera. Za nulti gradijent tlaka profil brzine je bio linearan

21 xhuv = , uz i 02 ≡v 03 ≡v

Uz pretpostavku stacionarnog strujanja ( 0≡∂∂t

), izobraženog profila temperature 1

0Tx∂

=∂

i

ravninskog strujanja ( 03

≡∂∂x

) energijska jednadžba


2 2 2

1 2 3 v 2 2 21 2 3 1 20 0

0 0 0 0

T T T T T Tc cv cv cvt x x x x x

ρ ρ ρ ρ Φ λ= =

= = = =

3

Tx

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = + + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

prelazi u oblik

2

v 22

0 Tx

Φ λ ∂= +

∂, gdje je

( )2 2 2 2 2 2 2 2v 11 12 13 21 22 23 31 322 2ij ijD D D D D D D D D D DΦ μ μ= = + + + + + + + + 2

33 , a komponente tenzora brzine deformacije su

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=

000

0021

0210

21

333231

232221

131211

hu

hu

DDDDDDDDD

xv

xvD

i

j

j

iij

pa je

2 2 2

v1 12 04 4

u u uh h h

Φ μ μ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦>

Brzina pretvorbe mehaničke energije u unutrašnju je pozitivna što znači da se mehanička energija smanjuje, a unutrašnja raste. Budući da je profil brzine nepromjenjiv (kinetička energija je konstantna) i tlak je konstantan, onda je i ukupna mehanička energija fluida konstantna. To znači da će se u unutarnju energiju pretvarati sva energija uložena kroz vuču

ploče. Sila potrebna za vuču ploče jedinične površine pri konst.p = je huF = , snaga za vuču

je F uΡ = ⋅ , a ta snaga izražena po jediničnom volumenu je 2

v 1P u

h hΦ μ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

, što je

jednako prije dobivenom izrazu. Budući da je strujanje ravninsko (temperatura nije funkcija od ), izobraženo (temperatura nije funkcija od ), stacionarno (temperatura nije funkcija od t ), pa ostaje da je temperatura funkcija samo od : te se energijska jednadžba može pisati u obliku

3x

1xx2 )( 2xTT =

2

22

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hu

dxTd μλ

Nakon prve integracije gornje jednadžbe slijedi

12

2

2

Cxhu

dxdT

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

λμ ,

a nakon druge integracije dobije se

2212

2

2

2CxCx

huT ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

λμ .

Konstante integracije i određuju se iz sljedećih rubnih uvjeta 1C 2Cza (donja ploča): 02 =x 0TT =Za (gornja ploča): hx =2 WT T=


Iz prvog rubnog uvjeta očito je , a iz drugog je 02 TC =

hChhuTTw 1

22

0 2+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

λμ , odakle je

hhu

hTTC w

20

1 2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

λμ

Uvrštavanjem izraza za i u polaznu jednadžbu za temperaturu, dobije se konačan izraz za profil temperature u Couetteovom strujanju s linearnim profilom brzine, za slučaj ploča različitih temperatura

1C 2C

2 2

2W 00 2 2 22 2

T T u uT T x hx xh h

μ μλ λ

− ⎛ ⎞− = + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2h)

Dijeljenjem gornje jednadžbe s ( ona se svodi na bezdimenzijski oblik WT T−

( )

20 2 2 2

W 0 W 0

12

T T x u x xT T h T T h h

μλ

− ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥− − ⎣ ⎦

Uvođenjem sljedećih oznaka za bezdimenzijske parametre

hxy 20 = i

( )2

W 0

uT Tμ Π

λ=

−, može se pisati

( )0 00

W 0

1 12

T T 0y y yT T

Π−= + −

−

iz čega je jasno da je profil temperature paraboličan. Sljedeća slika prikazuje profile temperature za različite vrijednosti parametra Π

Za , profil temperature je linearan. Iz definicije parametra 0Π =( )

2

W 0

uT TμΠ

λ=

− je jasno da

to odgovara slučaju 0u = , odnosno mirujućem fluidu, ili 0μ = , što odgovara neviskoznom strujanju fluida (u kojem nema pretvorbe mehaničke energije u unutarnju) ili λ →∞ , što odgovara toplinski idealno provodljivom fluidu. Iz termodinamike je također poznato da će profil temperature u stacionarnom provođenju topline kroz homogeni zid biti linearan, dakle mirujući fluid se ponaša kao homogeno tijelo. Iz profila temperature je jasno da toplina prelazi s gornje ploče na fluid, i s fluida na donju ploču. Pri viskoznom strujanju fluida, dolazi do pretvorbe mehaničke energije u unutarnju (kao što je gore zaključeno sva snaga uložena za vuču gornje ploče se pretvara u unutarnju energiju), te profil temperature postaje paraboličan. Za 2Π = profil temperature ima tjeme na gornjoj ploči, što znači da je derivacija profila temperature na gornjoj ploči je jednaka nuli;


22

0x h

Tx

=

∂=

∂, pa nema ni toplinskog toka između fluida i ploče, te se govori o adijabatskoj

granici. Za gornja ploča je toplija od fluida pa se toplina dovodi fluidu, a za se toplina odvodi od fluida. Dakle za toplina se odvodi od fluida i na donjoj i na gornjoj ploči, a to je moguće zbog pretvorbe mehaničke energije u unutarnju, što je izvor za unutarnju energiju fluida, pa temperatura može imati maksimum unutar fluida. Naravno uz zadana fizikalna svojstva fluida visoka vrijednost parametra

2Π < 2Π >2Π >

Π ostvaruju se kod visokih vrijednosti brzine . Promotrimo stoga jedan primjer s realnim brzinama i to za slučaj da su obje ploče na istoj temperaturi . Tada izraz za profil temperature prelazi u

uWT T= 0

2

2 21u x xh h⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

0 2T T μ

λ− = ,

dakle profil je paraboličan, kao na sljedećoj slici.

Maksimalna temperatura je u simetrali kanala, a posljedica je pretvorbe mehaničke energije u unutarnju. Izraz za maksimalnu razliku temperatura je

2

2 02 8h uT T x T μΔ

λ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Uzmimo sada primjer strujanja vode. Pri temperaturi vode 293 K, viskoznost i toplinska provodnost su: Pa⋅s, 310−=μ 598,0=λ W/(m⋅K), a promjene temperature pri različitim brzinama su izračunate u sljedećoj tablici.

u TΔ za TW 0TΠ − =10 K m/s K - 3 10 20

0.00063 0.0069 0.0278

0.0015 0.0167 0.0669

Očito je prirast temperature zbog djelovanja viskoznih sila praktički zanemariv što opravdava pretpostavku o izotermičkom nestlačivom strujanju. Kad u fluidu imamo izvana nametnuti toplinski tok, često je vrlo opravdano zanemariti član vΦ u jednadžbi unutarnje energije. U tablici je dana vrijednost parametra Π za WT T0− =10 K, iz koje je očito da će pri realnim brzinama strujanja fluida parametar Π biti puno manji od jedan, odnosno da će profil temperature biti približno linearan.


PRIMJER 3: U laminarnom, nestlačivom, stacionarnom, osno-simetričnom strujanju fluida, konstantne viskoznosti, s izobraženim profilom brzine u horizontalnoj cijevi kružnog presjeka (Hagen-Poieseuilleovo strujanje), odredite:

a) profil brzine, b) protok, maksimalnu i srednju brzinu, c) faktor trenja (λ u Darcy-Weissbachovom izrazu) d) tangencijalno naprezanje na stjenci cijevi.

Utjecaj gravitacije zanemarite. Uradak:

r

µ=konst. 2R=D

z

ρ=konst.

Slika prikazuje dio cijevi promjera D, te, s obzirom na geometriju, izabrani cilindrični koordinatni sustav. Pretpostavke:

1) stacionarno strujanje: 0t∂

≡∂

(veličine u strujanju nisu funkcija vremena)

2) osno-simetrično strujanje: 0ϑ∂

≡∂

(slika strujanja se ponavlja u ravninama

konst.ϑ = ), a brzina 0vϑ ≡ .

3) izobraženi profil brzine: 0zvz

∂=

∂, 0rv

z∂

=∂

(komponente brzine se više ne mijenjaju

u smjeru strujanja – u smjeru osi z ) 4) zanemaruju se masene sile: 0f = .

Strujanje je laminarno i nestlačivo, pa je problem opisan jednadžbom kontinuiteta i Navier-Stokesovom jednadžbom. -Jednadžba kontinuiteta u cilindarskim koordinatama glasi (vidjeti npr. tablicu uz vježbe 7):

0 0 zbog 2) 0 zbog 3)

1 1( ) ( ) ( )r zrv v vt r r r zϑ 0ρ ρ ρ ρ

ϑ= = =

∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂=

Strujanje je nestlačivo ( konst.ρ = ) što znači da je prvi član jednak nuli, a cijelu jednadžbu možemo podijeliti s ρ . Treći član je jedak nuli zbog osnosimetričnosti strujanja, a četvrti zbog pretpostavke o izobraženom strujanju, pa ostaje da je

( ) 0rrvr∂

=∂

, odakle je


rCvr

=

Konstanta integracije, se određuje iz rubnog uvjeta na stijenci cijevi gdje je i C r R= 0rv = , pa slijedi da mora biti , odnosno 0C = 0rv ≡ (brzina je jednaka nuli u svim točkama fluida)

rv

- Jednadžba količine gibanja je vektorska jednadžba, a njena -komponenta je za slučaj rkonst.μ = (vidjeti npr. formule uz vježbe 7) glasi

0 zbog 2)0 zbog 2)0 zbog 1) 0 zbog 3)0 2

2 2

2 2 2 20

0 zbog 2) 0 zbog 3) 0 zbog 2)

1 1 2( )

r r r rr z

r rr

v v v v v vv vt r r r z

v v v pr vr r r r z r r

ϑ ϑ

ϑ

ρϑ

μϑ ϑ

=== ==

== = =

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

+ + − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

⎛ ⎞⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎣ ⎦0 zbog 4)

r+ fρ=

Kao što je naznačeno u jednadžbi svi članovi s brzinom su jednaki nuli , te ostaje

rp∂∂

−=0

što znači da tlak nije funkcija koordinate , zbog stacionarnosti nije funkcija , a zbog osnosimetričnosti strujanja nije funkcija niti koordinate

r tϑ , što znači da je tlak funkcija samo

koordinate , pa parcijalna derivacija tlaka po koordinati prelazi u potpunu derivaciju. z z - -komponenta jednadžbe količine gibanja (Navier-Stokesove jednadžbe), prema formulama danim uz vježbe 7, glasi

z

=0 zbog 0 =0 zbog 2)=0 zbog 1) =0 zbog 3)

2 2

2 2 2=0 zbog 4)

=0 zbog 2) =0 zbog 3)

1 1( )

rv

z z z zr z

z z zz

v v v v vv vt r r z

v v v pr fr r r r z z

ϑρϑ

μ ρϑ

≡⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

+

Svi inercijski članovi (lijeva strana gornje jednadžbe) su jednaki nuli i dva člana viskoznih sila, kao što je naznačeno u jednadžbi, te nakon dijeljenja jednadžbe s μ ostaje

1 d 1 konst.d

zp vrz r r rμ

∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Kao što je prije zaključeno, lijeva strana jednadžbe može biti samo funkcija koordinate , a desna samo koordinate ( nije funkcija zbog stacionarnosti, nije funkcija

zr zv t ϑ zbog osno-

simetričnosti strujanja i nije funkcija zbog izobraženosti profila, pa može biti samo funkcija ), pa zaključujemo da se jednakost strana može zadovoljiti ako su obje strane konstante.

zrNakon prve integracije gornje jednadžbe dobije se

21

12

dv dpr rdr dzμ

= +C ,

a nakon dijeljenja gornje jednadžbe s r


r

Crdzdp

drdvz 1

21

+=μ

i druge integracije dobije se

212 ln

41)( CrCr

dzdprvv zz ++==

μ

Konstante integracije i dobiju se iz sljedećih rubnih uvjeta 1C 2C1. na stijenci cijevi za r R= , 0zv = (fluid se lijepi na stijenku cijevi

2. u simetrali cijevi za 0r = , 0=∂∂

rvz (zbog osno-simetričnosti strujanja)

Uvrštavajući drugi rubni uvjet u izraz za derivaciju brzine (izraz dobiven nakon prve integracije) slijedi da je . To je jasno da mora biti i iz samog izraza za brzinu, jer kad bi konstanta koja se nalazi uz član bila različita od nule, u simetrali bi brzina bila beskonačno velika (zbog ln ), što je nefizikalno. Uvrštavanjem prvog rubnog uvjeta u izraz za brzinu slijedi izraz za konstantu , koji glasi

1 0C =

01C ln r

2C= −∞

22

1 d4 d

pC Rzμ

= −

Uvrštavanjem vrijednosti konstanti i u polazni izraz dobije se konačan izraz za profil brzine u laminarnom strujanju kroz okruglu cijev

1C 2C

2

22

1( ) 14z

dp rv r Rdz Rμ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Profil brzine je oblika rotacionog paraboloida, a maksimalna brzina je očito u simetrali cijevi ( ), a izraz za maksimalnu brzinu jednak je koeficijentu ispred zagrade, tj. vrijedi 0r =

2 2max

1 d 1 d4 d 16 d

p pv Rz zμ μ

= − = − D

Izraz za profil brzine pomoću maksimalne brzine je:

2

max 21zrv vR

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Protok kroz cijev je , gdje je dzA

Q v= ∫ A A površina kruga (poprečnog presjeka cijevi), a

infinitezimalni dio te površine. Budući da je strujanje osno-simetrično za elementarnu površinu se može izabrati kružni vijenac polumjera širine d , čija je površina

dA

dr r d 2A r rπ= , pa izraz za protok glasi

2

2max max2

0 0

2 d 2 1 d2

R R

zrQ v r r v r r R vR

ππ π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫

Srednja brzina strujanja fluid kroz cijev je

maxsr 2 2

Q Q vvA R π

= = =

Uvrštavanjem izraza za dobije se veza između protoka i gradijenta tlaka maxv

2 2 41 d d d4 d 2 8 d 128 d

p pQ R R Rz z

4p Dz

π π πμ μ

=− =− =−μ

U laminarnom strujanju je protok fluida razmjeran gradijentu tlaka i četvrtoj potenciji promjera cijevi, a obrnuto je razmjeran viskoznosti fluida (Poiseuilleov zakon). Jasno je da za strujanje u pozitivnom smjeru osi z gradijent tlaka mora biti negativan.


S obzirom da je gradijent tlaka konstantan, može se definirati pomoću razlike tlaka u dva presjeka, npr. udaljena za L

2 1ddp p pz L

−=

gdje indeks 1 označuje uzvodni, a indeks 2 nizvodni presjek. Uvrštavanjem toga izraza u izraz za protok dobije se

42 1

128p pQ D

Lπμ

−=−

Ako se gornji izraz usporedi s Darcy-Weissbachovim izrazom za pad tlaka u strujanju kroz cijevi, koji glasi

2sr

1 2 2L vp pD

λ ρ− = ,

slijedi

2

sr 42sr

4128

2

Dv

L Q L vD D

π

μ λ ρπ

=

odakle je faktor trenja za laminarno strujanje u okruglim cijevima

sr

64 64

Re

v D Reλ

ρμ

= =

što je poznata formula korištena u Mehanici fluida I pri hidrauličkom proračunu cjevovoda. Smično naprezanje na stijenci cijevi (normala na površinu je u smjeru , a smjer površinske sile u smjeru osi ) je definiran izrazom (vidjeti npr. formule uz vježbe 7)

rz

0

z rrz

v vr z

τ μ

=⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= +⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

nakon deriviranja izraza za brzinu dobije se zv

1 d2 d

zrz

dv p rdr z

τ μ= =

a samo naprezanje na stijenci dobije se za r R=

max1 d2 drz r R

p Rz

τ = = .

MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti · PDF fileMEHANIKA FLUIDA K –...

Documents

Transcript of MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti · PDF fileMEHANIKA FLUIDA K –...