kwantykwanty

świat makro

mechanika Newtona elektromagnetyzm Maxwella - cząstki

g y- fale

amF rr 1 22 ⎧

⎟⎞

⎜⎛ ∂ E

r

amF = 01 222 =

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∇−∂∂

HE

tcr

prawo ruchu, masy, siły równanie falowe, ładunki, pola

E - energia dr ω - częstość kołowa r

- pęd pr - wektor falowy kr

amHveEe rrrr=×+ 0μ amHveEe ×+ 0μ

+ grawitacja 12221 e

rmmGFg

rr=

+ teoria względności r

operatory p y

ˆ ( ) ( )xxA ψψ ′=ˆ

( )xψgdzie jest dowolną funkcją x

xA =ˆ ( ) ( )xxxA ψψ =ˆ

( )xψgdzie jest dowolną funkcją x

na przykład: czyli:xA ( ) ( )xxxA ψψna przykład: y

lub:

xA

∂∂=ˆ ( ) ( )

xxxA

∂∂= ψψˆczyli:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂=x

xAA ,ˆˆogólniej:⎠⎝

przykład

xx

A ⋅∂∂=ˆ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxA ψψψψψ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+=

∂∂+=

∂∂= 1ˆ ( ) ( )( ) ( ) ( )

xxxψψψψ ⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂

xxx

x ∂∂⋅+=⋅

∂∂ 1mamy równanie operatorowe:

równanie własne

( ) ( )xuaxuA =ˆ ( ) ( )xuaxuA nnn =

funkcja własna

iA ∂ˆ

funkcja własna

wartość własna

xiA

∂−=

( ) ( )xuaxui =∂−

na przykład:

równanie własne : ( ) ( )xuaxux

i nnn =∂

( ) ( )xiaxu nn exp=

równanie własne :

więc:

( ) ( )xuLxu nn =++ warunek brzegowy:(periodyczność z okresem L)(periodyczność z okresem L)

cd.

Lnan

π2=stąd: n = 1, 2, 3 ...L

∞→Lgdy: →L

( ) ( )iaxxua exp=

gdy:

gdzie a jest ciągłe

komutator

[ ] ABBABAdef ˆˆˆˆˆ,ˆ −=[ ]

0]ˆ,ˆ[ ≠BAmożliwe jest, że:

xA∂

=

ˆ

ˆna przykład gdy:

xB

∂∂=ˆ

d ⎞⎛ ∂∂⎤⎡

na przykład gdy:

( ) ( ) ( )xxxxx

xxdxdx ψψψ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂−

∂∂⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ,

1, −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂x

xczyli:

( ł k t j )(reguła komutacyjna)

operacja obserwacji p j jw mechanice klasycznej w mechanice kwantowej

obserwacja → wynik obserwacji →przemienność obserwacji → operatory

założenia:

· obserwacja ←→ operatorobserwacja ←→ operator

· funkcja stanu

stan własny

A

· stan własny

jedynymi możliwymi wynikami obserwacji są odpowiednie wartości własne asą odpowiednie wartości własne an

wynikiem obserwacji w stanie un(x) jest wartość własna an

Awartość własna an

cd.wartość średnia obserwacji w stanie :A ( )xψ

( ) ( ) ( )( )

ψψψψ

|ˆ|

ˆA

dxxAxa ==

∫∞

∞

∞−

∗

( ) ( ) ( )ψψψψ |dxxx∫∞−

∗

( ) ( ) ( )∫∞

∗= dxxxozn

ϕψϕψ | („iloczyn skalarny”)( ) ( ) ( )∫∞−

ϕψϕψ |

( ) ( )xux =ψ

(„iloczyn skalarny )

w szczególności gdy: ( ) ( )xux n=ψ

( ) ( )nnnnn auauuAua === |ˆ|

w szczególności gdy:

( ) ( ) nnnnn

auuuu

a ===||

Dirac

„Istnieje granica subtelności naszych środków obserwacji i małości towarzyszącego im zakłócenia -obserwacji i małości towarzyszącego im zakłócenia granica, która wynika z natury rzeczy i której na drodze ulepszeń technicznych nie można przekroczyć.”

P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics.

zasada korespondencji Bohra p jrelacje, w których nie występują pochodne, spełniane przez wielkości fizyczne w mechanicespełniane przez wielkości fizyczne w mechanice klasycznej zachodzą również między odpowiednimi operatorami w mechanice kwantowej

x - operator położeniana przykład:

p

xyz pypxm ˆˆˆˆˆ −=

- operator pędu

składową momentu pędu jest więc:

)ˆ(2ˆˆ

2

xVm

pH +=2ˆˆ mpól ś i

operator energii:

22 ˆ22

ˆ xmm

pH ω+=a w szczególności:

kwantowy oscylator harmoniczny o częstości kołowej ωkwantowy oscylator harmoniczny o częstości kołowej ω

zasada komplementarnościpHeisenberga

[ ] hα=px ˆ,ˆ

xx =ˆ

p ∂−= hαˆx

p∂

hα

⎤⎡ ∂gdyż: hh αα =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂−x

x ,

cd.

yy

x

ϑ

ϕ

foton pada na elektronelektron ulega rozproszeniu

foton padający na elektron pozwala dokonać pomiarul j d ś i i i kł d któ iale jednocześnie zmienia układ, który mierzymy

operator pędu p pę( ) ( )xpuxup =

∂hαrównanie własne: ( )xpu

x p=∂

− hα

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=hα

pxxup exp

równanie własne:

⎠⎝ hαp

jesli przyjmiemy α = ito zgadza się z opisem fali de Broglie’a:

( )h

rr Etxpi −exph

przestawienie Schrödingera p g

[ ] hipx =ˆ,ˆpostulat:

xx =ˆ

xip

∂∂−= hˆx∂

[ ][ ] hi=πχ ˆ,ˆogólnie wielkości komplementarne:

równanie Schrödingera g

jakie są możliwe stany energetyczne?jakie są możliwe stany energetyczne?

( ) ( )xEuxuH EE =ˆ ( )pxEE ,=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−==x

ixHpxHH h,ˆˆ,ˆˆˆ

mpEk 2

2

=na przykład cząstka w przestrzeni jednowymiarowej w potencjale V(x):

( ) ( ) ( )xEuxuxVxm EE =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∂∂− 2

22

2h

+ warunki brzegowe

xxxogólniej w trzech wymiarach:

( ) ( ) ( )zyxEuzyxuzyxVm EE ,,,,,,

22

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∇− h

⎠⎝

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇gdzie:

E zyx ∂∂∂+ warunki brzegowe

r

-E022 e ⎞⎛ h

w szczególności dla atomu wodoru:

( ) ( )ϕϑϕϑπε

,,,,42 0

22

2

rEurur

em EE =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇− h

nieskończona studnia potencjałup j

( ) ⎨⎧=0

xV( )Lx ,0∈ jednowymiarowa

( )⎩⎨∞

=xV ( )Lx ,0∉

( ) ( )E∂ 22h

U( ) ( )xuExu

xm nnn =∂

− 22

( ) 0 ( )L0( ) 0=xun ( )Lx ,0∉

( )2∂ ( ) ( ) 022

2

=+∂

∂ xukx

xun

n

mx 2

2 2h

nmEk =

L0

rozwiązanie: ą

( ) ikxikx BA −( ) ikxikxn BeAexu +=

( ) 00 =nu więc: A = – B

( ) ( ) kxiAeeAxu ikxikxn sin2=−= − (Euler)

( ) 0=Lun Lnk π=czyli:

22

2222

22n

LmmkEn

πhh == n = 1, 2, 3 ...

…dyskretne poziomy energetyczne, cząstka nie może mieć energii zerowej

cd.

rozwiazaniem jest: ( ) ⎟⎞

⎜⎛ xniAxu πsin2rozwiazaniem jest: ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= x

LiAxun sin2

( ) ⎟⎞

⎜⎛−=∗ xniAxu πsin2

( ) ( ) ∫∫ ⎟⎞

⎜⎛∗

LL

LAdnAd 222 2i41 π

( ) ⎟⎠

⎜⎝

xL

iAxun sin2

( ) ( ) ∫∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∗

nn LAdxxL

nAdxxuxu0

222

02sin41 π

1L

A21=

⎞⎛2

więc:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= x

Ln

Lixun

πsin2ostatecznie:

xxx

n = 1 n = 2 n = 3

Lx

Liu πsin2

1 =Lx

Liu π2sin2

2 =Lx

Liu π3sin2

3 =

2

22

1 2mLE hπ= 12 4EE = 13 9EE =

Lp hπ=1 12 2pp = 13 3pp =

gęstość prawdopodobieństwagę p p

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2( )1 xu ( )2 xu ( )3 xu

x x xx x x

funkcja stanu j( ) 1| =ψψ (unormowanie)jeżeli

( )ψψ Aa ˆ|∗=

( ) ( )∫∞

2( ) ( )∫∞−

∗ == dxxxxx 2| ψψψ

( ) 2xψ jest gęstością prawdopodobieństwa

na przykład:

( )xψ

(interpretacja Borna)

jest gęstością prawdopodobieństwa

jakie jest prawdopodobieństwo,że obserwacja na stanie da wynik ?A ( )xψ na

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

∗= dxxxuu nn ψψ|

xxx

( ) ( ) 2|ψnn uaP =

un∗(x)n ( )

ψ(x)

x

ψ(x)

zasada nieoznaczonościHeisenberga

⎞⎛ 2

cząstka zlokalizowana przestrzennie w Δx :

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−= 2

2

2exp

xxxψ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−= 2

22 exp

xxxψ ( ) ⎠⎝ Δx

funkcja Gaussax

Δx

funkcja Gaussax

cd.

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∞

∞−

∗ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== dxxipxxxup p ψψϕ

hexp|

f k j t t i d ( ) ⎟⎞

⎜⎛ Δ− 22 xpfunkcja stanu w przestrzeni pędu ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ22

exp~h

xppϕ

jeśli teraz: to:h=Δ⋅Δ px ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−2

2

2exp~

pppϕ

cd.

ogólniej: zasada nieoznaczonościh=Δ⋅Δ pxg j

na przykład przypadek skrajny: fala de Broglie’a

0=Δp ∞=Δx

0]ˆˆ[ ≠BA

więc:

jeśli niemożliwy jest 0],[ ≠BAjeśli jednoczesny,

dokładny pomiar

jeśli: to jest to możliwe0]ˆ,ˆ[ =BA

np.p

xipA

∂∂−== hˆˆ pęd cząstkix∂

2

22

2ˆˆ HB

∂∂−== h energia cząstki swobodnej

22 xm ∂

[ ]ˆ22 ⎤⎡ ∂−∂ h[ ] 0

2,,ˆ 2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂−=

xmxiHp hh

⎞⎛ ipx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=h

ipxup exp

pipx ⎞⎛∂−ˆ222h

weźmy stan własny pędu:

ppp Euum

pipxxm

uH ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−=

2exp

2ˆ

2 h

h

wspólne funkcje własnewspólne funkcje własne

kwantowy?y( )[ ] 0ˆ,ˆ ≠pxV 0]ˆ,ˆ[ ≠pHtak nie jest w polu V(x) : więc:j ( ) ę

małość względem ħ !

wymiar działania: (długość) * (pęd) (czas) * (energia)( ) ( g )

elektron?

pierwsza orbita Bohra r = 10-10 mpierwsza orbita Bohra r 10 m

pęd tego elektronu p = 10-24 kg m/s

iloczyn rp = 10-34 Js

( )sJh == −341005572671h ( )sJ ⋅⋅== 100557267.12π

h

ver 01

xxxWerner Heisenberg (1901 – 1976)N-1932

A E > Bóg nie gra w kości

Max Born (1882-1970)

A.E. > Bóg nie gra w kości

Wrocław, N-1954

Niels Bohr (1885 – 1962) N-1922N 1922

xxx

Erwin Schrödingerg

(1887 – 1961), N-1933

Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984) N-1933

Wolfgang Pauli (1900 1958)Wolfgang Pauli (1900 – 1958) Exclusion principle, N-1945

zjawisko tunelowej

j i ?U ujemna energia?

E

x

Ea. E

b.V V

x x

zjawisko Zeemanaj

atom wodoru w stałym, słabym polu magnetycznym

w hamiltonianie to człon oddziaływania

H

atomu z polem magnetycznym…

zasada komplementarności

μrelektron > obwód z prądem > dipol magnetyczny

HH

rrμ=Venergia oddziaływania

natężenie prądu: r - „promień orbity”p - pęd elektronu

emep

rj

π21=

cd.erpjr 2 == πμ

cmcr

e2== πμ

ee Lcm

eprcm

eee

rrrr

22=×=μ

HH

rr⋅= L

cmeV

e2

wyrażenie kwantowo- mechaniczne

e ||z

e

mcm

eHH ˆ2

ˆ HH += H||z

cd.

( ) ( )ϕϑϕϑ ,,,,ˆ ruEruH nn HH =równanie własne

( )ϕϑ,,runlm

są funkcjami własnymi iH zmsą funkcjami własnymi i z

( ) ( )ϕϑϕϑ ,,2

,,ˆ rumcm

eEruH nnnlm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= hHH 2 cme ⎠⎝

cd.

bez pola dla n,l → 2l + 1 stanów własnych

cmeE

e2Hh=Δ

p y

z polem rozszczepienie na podpoziomy odległe o:

m - liczba kwantowa magnetyczna

obserwuje się ! l = 1j ę

ale:n = 1, l = 0, m = 0

b k i i2l + 1 = 2l = 1/2

- brak rozszczepienia … a jednak obserwuje się

… i dla innych poziomów spin !