MECÁNICA RELACIÓN 6: Tensores de Inercia. · Determine el tensor de inercia del anillo y de la...
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MECÁNICA RELACIÓN 6: Tensores de Inercia. 1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G. Solución: 2 2 2 2 0 2 2 1 ( ) 0 0 12 1 0 ( ) 0 12 1 0 0 ( ) 12 Mb c I Ma c a b ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el espesor de la placa. Solución: 2 2 2 2 2 1 1 0 18 36 1 1 0 36 18 1 0 0 ( ) 18 G mb mab I mb ma ma b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es esbelta. Solución: 2 0 2 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 3 I mL mL ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 0 0 0 1 0 0 12 1 0 0 12 G I mL mL ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
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MECÁNICA
RELACIÓN 6: Tensores de Inercia.
1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G.
Solución:
2 2
2 20
2 2
1 ( ) 0 012
10 ( ) 012
10 0 ( )12
M b c
I M a c
a b
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el espesor de la placa.
Solución:
2
2 2
2 2
1 1 018 361 1 036 18
10 0 ( )18
G
mb mab
I mb ma
m a b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es esbelta.
Solución: 20
2
0 0 010 03
10 03
I mL
mL
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
0 0 010 0
1210 0
12
GI mL
mL
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
4.- Determine el tensor de inercia del anillo y de la placa circular mostrados. Suponga que el espesor es despreciable en ambos casos.
Solución:
2
2
0
2
0 02
0 02
0 0
anillo
mR
mRI
mR
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
0
2
0 04
0 04
0 02
placa
mR
mRI
mR
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5.- Determine el tensor de inercia del sistema mostrado en la figura, suponga que los únicos elementos que tienen masa son las bolas.
Solución:
2
20
2 2
02 0
0 0
b abI m ab a
a b
⎛ ⎞−⎜ ⎟
= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
6.- Determine el tensor de inercia de la esfera mostrada respecto a la base vectorial XYZ. Demuestre que el tensor es invariante al expresarlo en cualquier otra base vectorial xyz. Solución:
7.- El tensor de inercia del cilindro sólido de la figura en la base vectorial XYZ centrada en G es:
2 2
2 2
2
1 (3 ) 0 012
10 (3 ) 012
10 012
G
M r h
I M r h
Mr
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Se pide: 1.- Determinar el tensor de inercia en la base xyz en un ángulo β alrededor de Y. 2.- Determine las direcciones y momentos de inercia principales (en la base xyz). Particularizar para M=100kg, h=3m, d=1.3m, 30ºβ = Solución: 8.- La barra de la figura pesa 0,1N/mm. Determine: 1.- Tensor de inercia en la base XYZ.
2.- Momento de inercia respecto del eje MN, definido por el vector unitario: 0.3 0.45 0.84u i j k= + + . 3.- Direcciones principales de inercia. 4.- Momentos principales de inercia.
Las dimensiones están dadas en mm. Solución:
1.- 2
0
2
0 0 0
0 03
0 03
mLI
mL
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
