Mechanika soustavy hmotných bodůmodel soustavy hmotných bodů:

- systém vytvořený n hmotnými body- hmotný bod α (α = 1,2, ... n) má pak hmotnost mα, polohu rα,

rychlost vα

Dva druhy sil (z hlediska soustavy):1) Vnější síly Fα, které mají svoje centrum mimo soustavu

2) Vnitřní (interakční) síly Fβα, které reprezentují vzájemné působenímezi jednotlivými hmotnými body soustavy. Řídí zákonem akce a reakce

Pohybová rovnice 1 hm.bodu soustavy:

∑=β

βααα

αα +==

n

FFtrm

tp

12

2

dd

dd rrrr

αββα −= FFrr

0=ααFr

V extrémním případě6n stupňů volnosti (tj. 6n pohybových rovnic

centrální síly

Mechanika tuhého tělesavariabilita pohybových stavů jednotlivých bodů soustavy je často omezena jistým počtem vazeb

tuhé těleso- soustava hmotných bodů, které nemění vzájemnou vzdálenost

(nedeformovatelný materiál)- 6 stupňů volnosti 2 vektorové rovnice

+12 podmínek2 impulzové

věty

Hmotné body mohou konat dva základní typy pohybů:

a) pohyb translační (postupný)

b) pohyb rotační (otáčivý). konst.konst.

==

avr

r

translace

rotace stačísledovat pohyb 1 bodu

• rotace kolem pevné osy• rotace kolem okamžité osy

Mechanika tuhého tělesaPopis translačního pohybu:

translaci můžeme sledovat prostřednictvím pohybu jediného hmotného bodu – těžiště (3 stupně volnosti)

Těžiště = je fiktivní hmotný bod, jehož hmotnost je rovna celkovéhmotnosti tuhého tělesa a jehož hybnost je rovna celkové hybnosti tuhého tělesa.

translace

∑α

α= mmT ∑α

α= ppTrr

hmotnost hybnost

∑α

αα= vmvm TTrr ∑

α

αα=

trm

trm T

T dd

dd rr

• platí tedy:

∑α

αα= vmm

vT

Trr 1• rychlost těžiště:

∑α

αα= rmm

rT

Trr 1 ∑

ααα= rmrm TTrr

• poloha těžiště:

• Poloha těžiště má mimořádný význam pro tzv. stabilní (labilní) rovnováhu těles

Mechanika tuhého tělesaVzhledem k vysoké hustotě rozložení a malé velikosti molekulpevných, kapalných a plynných látek je možno uvažovat s představou spojitého rozložení látky v prostoru:

možnost vyjádření vlastností látek spojitými funkcemi polohy a času

Hmotnost tělesa Těžiště tělesaHustota tělesa

Vr

Vrrr

V

VT d)(

d)(

∫

∫ρ

ρ= r

rr

rVmr

dd)( =ρ

r∫ρ=V

Vrm d)(r

Stabilní rovnováha nastávápokud při malém vychýlení z rovnovážné polohy se těleso do ní opět vrací

stabilita těles:

T

O

tělesa se snaží zaujmout pozici, kdy je potenciálníenergie minimální

Mechanika tuhého tělesaRedukce sil k bodu:

- v tuhém tělese můžeme každou sílu posunout do libovolného bodu, připojíme-li doplňkovou dvojici sil, její moment M je roven momentu původní síly vzhledem k novému působišti

Fr

Fr

Fr

−

2rr1r

r

rrFrFrFrMrrrrrrr

×=×+−×= 21 )(

Rovnováha tuhého tělesa:

∑α

α == 0FFrr

∑α

α == 0MMrr

Mechanika tuhého tělesaPohybová rovnice těžiště při translaci:

∑ ∑ ∑∑∑=α =α =α =β

βααα

α=α

α +==n n n nn

FFtr

mt

p1 1 1 1

2

2

1 dd

dd rrrr

∑∑=α =β

βα =n n

F1 1

0r

výslednice interakčních (vnitřních) sil

∑∑=α

α=α

αα ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ nn

FFrmt 11

2

2

dd rrr

αββα −= FFrr

Ftrm

tp T

TT

rrr

== 2

2

dd

dd 1.impulsová věta

popisuje pohyb tuhého tělesa při translaci

Mechanika tuhého tělesaPopis rotačního pohybu:

na rotaci opět připadají tři stupně volnosti.

rotační pohyb nastává otáčením tělesa kolem nějaké osy (okamžiténebo pevné)

[ ] [ ] [ ]∑=β

βααααααα ×+×=×=

n

FrFrprtt

L1d

dd

d rrrrrrr časová změna

momentu hybnosti 1 hmot.bodu

[ ]∑∑∑∑α =β

βααα

αα

α ×+=1d

dFrM

tL rrrr celková změna

momentu hybnosti tělesa

2.impulsová věta

MtL rr

=dd [ ] 0

1 1=×∑∑

=α =ββαα

n n

Frrr platí pro centrální

interakční síly

celkový moment síly

rotace

Mechanika tuhého tělesaIzolovaná soustava hmotných bodů (těles)

– není vystavena působení vnějších sil nebo výslednice vnějších sil je nulová, tj.

∑α

α == 0MMrr

∑α

α == 0FFrr

0dd rr

=tL

0dd rr

=tp

konst.=+= pk WWWkonst.=pr konst.=Lr

konst.=Tvrzákon zachování

mechanickéenergie

zákon zachovánímomentu hybnosti

zákon zachováníhybnosti

Mechanika tuhého tělesapočátek soustavy souřadné zvolíme v těžišti, tj.

T

O

αmTrr

z′

y′

x′ y

x

zα′rr

αrr

r′ =rT 0 r

′ =vT 0 r′ =pT 0

• polohový vektor a rychlost hmotného bodu α :

Trrr rrr+′= αα Tvvv rrr

+′= αα

• celkový moment hybnosti:

[ ]

( )[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

α α αααααααα

α αααααα

α ααααα

×+×′+′×′=

=×++′×′=

=×+′==

vmrvrmvmr

vmrvvrm

vmrrLL

TT

TT

T

rrrrrr

rrrrr

rrrrr)(

[ ]TT prLL rrrr×+′=∑ ∑

α αααα =′=′ 0mrrm T

rr

Mechanika tuhého tělesa

T

O

αmTrr

z′

y′

x′ y

x

zα′rr

αrr

• celkový moment síly:

[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ]∑ ∑

∑ ∑ ∑

α αααα

α α αααααα

′+×=×′+×=

=×′+=×==

MFrFrFr

FrrFrMM

TT

T

rrrrrrr

rrrrrrr

• druhá impulzová věta:

[ ]( ) [ ]FrMprLt TTT

rrrrrr×+′=×+′

dd

MtL rr

=dd

[ ] [ ]FrMFrtL

TT

rrrrrr

×+′=×+′

dd

Pohybová rovnice vztažená k těžišti, jež je v pohybu v inerciální soustavě.Veličiny (moment síly a hybnosti) jsou vztaženy k těžišti.M

tL ′=′ rr

dd

Pohyb tuhého tělesapočátek pohyblivého souřadného systému zvolíme v těžišti tuhého tělesa, tj.:

rychlost hmotného bodu soustavy:

řešením pohyb.rovnic:

[ ] RTT vvrvv rrrrrr+=′×ω+= αα

translačnípohyb těžiště

rotace kolem těžiště

MtL rr

=ddF

tpT

rr

=d

d

)(tvv TTrr

= )(tω=ωrr

pohybové rovnice tuhého tělesa

0=′Trr

ωr

o

Tvr

TvrRvr αvr

α′rrαm

T

Pohyb tuhého tělesa• Kinetická energie tělesa:

[ ]( )∑∑α

ααα

αα ′×ω+== 22

21

21 rvmvmW TK

rrr

[ ]( )∑ ∑∑α α

ααααα

α ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′×ω+′×ω+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= rmvrmvmW TTK

rrrrr 22

21

21

[ ]( )∑α

αα ′×ω+= 22

21

21 rmmvW TK

rr

0=′=′∑α

αα Trmrm rr

= 0

∑α

ααω+= 222

21

21 dmmvW TK

kinet.energie translačního

pohybu těžiště

kinet.energie rotačního pohybu

moment setrvačnosti

vzhledem k ose rotace jdoucí

těžištěm

∑α

αα= 2dmJT

Tvr

ωr

o

Tvr

Rvr αvr

α′rrαmαd Tvr

T

Pohyb tuhého tělesaRotace kolem pevné osy: 0=Tvr

∑∑∑α

ααα

ααα

αα ω=⋅ω== 2222

21)(

21

21 rmrmvmWK

konst.=ωr

∑α

αα= 2rmJ

• moment setrvačnosti:

∫∫ ρ==Vm

VrmrJ dd 22

• moment hybnosti:

rα - vzdálenost od osy otáčení

MJt

JtL rr

rr

=ε=ω

=dd

dd

ω=ω=×ω×=×= ∑∑∑α

ααααα

αααα

α

rrrrrrrrJrmrmrvmrL 2)(

Tvr

ωr

o

αmαr

αvr

osa rotace mástejný směr jako

moment hybnosti L

Pohyb tuhého tělesaMoment setrvačnosti vyjadřuje odolnost tělesa vůči změněrotačního pohybu

Moment setrvačnosti charakterizuje rozložení hmoty tělesa kolem osy otáčení

Steinerova věta:

- chceme zjistit moment setrvačnosti vůči rovnoběžné ose vzdálené o d od těžiště

drrrrr

+=′ αα

( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑α α α α

αααααααα +++++=′ ymdxmdddmyxmJ yxyx 222222

x

y

αm

αrr

dr

α′rr

T

O′

∑α

αα ′=′ 2rmJ r

2mdJJ T +=′

Pohyb tuhého tělesaPříklad: (moment setrvačnosti válce)

∫∫ ρ==Vm

VrmrJ dd 22

24

0

3

21

21d2 mRhRrhrJ

R

=πρ=πρ= ∫

rrhV d2d π=z

hx

y

R

rrd

md

ρ

RFMJ ⋅==ε′ Valení válce po nakloněné rovině:

aT

O′G

FRa /=ε bez smýkáníα= sinGF

α=α

= sin32

23

sin2

2

gmR

mgRa

22

23 mRmRJJ T =+=′

Pohyb tuhého tělesaPříklad: (pohyb rumpálu)

m

mgG =

a

J

R

h

J – moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení

MJ =ε Ra /=ε mgRM =

JmgRa

2

=mgRRJa

=

Doba pádu do studny

2

22mgR

Jhaht ==

Pohyb tuhého tělesaPříklad: (pohyb fyzického kyvadla)

• Pohybová rovnice tuhého tělesa při rotačním pohybu:

2

2

dd

tJJM α

=ε= α−= sinmgLM α

T

mgG =

L

R

J

moment síly0sin

dd

2

2

=α+α

JmgL

t

α≈αsin 0dd 2

2

2

=αω+α

t

( )ϕ+ωα=α tsin0 JmgL

T=

π=ω

2

- pokud jsou výchylky malé, tj:

Pohyb tuhého tělesaPříklad: (pohyb fyzického kyvadla)

Pohyb tuhého tělesaRotace kolem okamžité osy procházející těžištěm:

- osy souřadného systému pevně spojíme s otáčejícím se tělesem

0=Tvr )(tω=ωrr

0=Trr

• celkový moment hybnosti tuhého tělesa:[ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ]∑ ∑

∑ ∑ ∑

α αααααααα

α α ααααααα

⋅ω−ω=×ω×=

=×=×==

rrrmrrm

vmrprLL

rrrrrrr

rrrrrr

2 αααα ω+ω+ω=⋅ω zyxr zyxrr

( )2222αααα ++= zyxr

[ ]∑α

αααααααααα ω+ω−+ω=⋅ω+ω= )()()( 222 zxyxzymrxrL zyxxxrr

( )

( )

( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

+−−

−+−

−−+

=

nnn

nnn

nnn

yxmzymzxm

zymzxmyxm

zxmyxmzym

J

1

22

11

11

22

1

111

22

tω=rtr

JL

tenzor setrvačnosti

• rovnici lze přepsat jako:

Pohyb tuhého tělesaTenzor setrvačnosti

- symetrický tenzor 2.řádu:- diagonální složky - axiální (osové) momenty setrvačnosti- nediagonální složky – deviační momenty setrvačnosti- zobrazuje prostorové rozložení hmotnosti v tuhém tělese

ikki JJ =

osa rotace obecněnemá stejný směr

jako moment hybnosti L

( )

( )

( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

=αααα

+−−

−+−

−−+

=

nnn

nnn

nnn

yxmzymzxm

zymzxmyxm

zxmyxmzym

J

1

22

11

11

22

1

111

22

t

ω=rtr

JL

deviační momenty setrvačnosti

axiální momenty setrvačnosti

atd.,d)( 2211 mzyJ

m∫ +=

TenzoryTenzor n-tého řádu obsahuje 3n prvků, které se při transformaci souřadných soustav transformují přesně definovaným způsobem

...,...,,,

*... ijkl

lkjirlqkpjsispqr TccccT ∑= pro otočení

souř.soustavy• tenzor 0.řádu – skalár (číslo)

• tenzor 1.řádu – vektor

• tenzor 2.řádu: ∑∑= =

=3

1

3

1

*

i jijljkikl TccT

),cos( *ikki eec rr

=

∑=

=3

1

*

iikik AcA

9 složek tenzoru 2.řádu lze vyjádřit

pomocí matice

A

O

∗y

∗x

z∗z

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

Tt

yx

1er ∗1er

∗2er∗

3er

2er

3er

TenzoryHlavní osy a hlavní hodnoty tenzoru:

- taková souřadná soustava, kde nediagonální složky tenzoru setrvačnosti jsou rovny nule

- diagonální složky T1, T2, T3 se poté nazývají hlavní hodnoty tenzoru- osy souřadného systému s nazývají hlavní osy

- Platí:

jiTij ≠= 0

nTnT rrt=

0

333231

232221

131211

=−

−−

TTTTTTTTTTTT

3

2

1

000000

TT

TT =∗

-u tenzoru setrvačnosti bude např. moment hybnosti mít stejný směr jako vektor úhlové rychlosti

- hodnoty T1, T2, T3 jsou extrémní ze všech možných natočení souřadné soustavy

ω=rtr

JL

Pohyb tuhého tělesanámi zvolená soustava není inerciální, otáčí se spolu s tělesem

pro popis pohybu v je nutno převést moment hybnosti do neinerciálnísoustavy spojené s tělesem, tj.

[ ] MLtL

tL

NI

rrrrr

=×ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dd

dd

druhá impulsová věta

123321

dd MLL

tL

N

=ω−ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

231132

dd MLL

tL

N

=ω−ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

312213

dd

MLLt

L

N

=ω−ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Eulerovy rovnice pro rotaci tuhého tělesa

ω=rtr

JL

Pohyb tuhého tělesapředpokládejme, že se těleso otáčí kolem pevné osy ona každý bod tělesa poté působí odstředivá síla:

0022

, )( ω××ωω=δω= ααααα

rrrrrrmmFo

TTTT

o

mrm

rmrmF

δω=ω××ωω=

ω×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×ωω=ω××ωω= ∑∑

ααα

ααα

rrrr

rrrrrrr

200

2

002

002

)(

)(

Tvr

0ωr

o

αrr

αmαδr

O

ωr

α,oFr

výsledná odstředivá síla

výsledná odstředivá síla je rovna nule pouze, když osa rotace prochází těžištěm

Při rotaci kolem pevné osy vznikají dynamické síly, kterénamáhají upevnění osy (ložiska)

Takové osy, kdy upevnění osy není namáháno dynamickými silami se nazývají volné osy

Pohyb tuhého tělesaodstředivé síly mohou působit také momentem sil, i když osa rotace prochází těžištěm ω

Oy

x

z

T

αm

αxαy

αz

αδr

α,oFr

ααα δω=rr

2, mFo

výsledný moment odstředivých sil:

)(2, ∑∑

αααα

ααα δ×ω=×=

rrrrrrmFrM o

ωz

y

xM

oF

oF

),(][

)()(

222

2

xzyz JJjzxizym

jyixkzjyixmM

ωω=−−ω=

=+×++ω=

∑

∑

αααααα

ααααααα

rr

rrrrrr

Moment sil M se snaží vychýlit(deviovat) osu rotace z její polohya tudíž vzniká namáhání upevnění

volnými osami rotujícího tělesa jsou hlavní těžišťové osy

Pohyb tuhého tělesaSetrvačníky (gyroskopy):

Setrvačníkem se rozumí každé těleso otáčejícíse okolo pevného bodu v prostoru

A) volný symetrický setrvačník

-výsledná vnější síla a výsledný moment vnějších sil vůči bodu otáčení je nulový

0dd rrr

== MtL konst.=L

r

ω=rtr

JL konst.=ωr

Vektor momentu hybnosti a úhlovérychlosti je v čase konstantní

Roztočíme-li setrvačník kolem jeho osy symetrie, potom zachovává tato osa stálý směr v prostoru

nemusí mít ovšem stejný směr – setrvačník potévykonává tzv.precesnípohyb

321 JJJ ≠=

Pohyb tuhého tělesaSetrvačník koná dva rotační pohyby:a) vlastní rotace kolem své osyb) precesní pohyb osy setrvačníku kolem směru

vektoru momentu hybnosti (úhlovou rychlostí Ω)

B) těžký symetrický setrvačník

-působí na něj moment tíhové síly vůči bodu otáčení, který není těžištěm

Lr

ωr

Precesní pohyb jižnení rovnoměrný

-okamžitá osa konáve vodorovnérovině kmitavý pohyb (tzv.nutace)

Pokud je ovšem rychlost precese Ω malá vůči rychlosti vlastní rotace ω, potom nastávátzv.pseudoregulární precese

Pohyb tuhého tělesagyroskopický jev:

- při působení silového momentu (kolmého k ose rotace) na setrvačník roztočený kolem osy symetrie vzniká zajímavá kinetická reakce setrvačníku, tzv.gyroskopický jev

-pokud je moment síly M malý a vlastní rotace ω vysoká, potom můžeme předpokládat, že se mění pouze směr a ne velikost vektorů L a ω

tJM

tL

dd

dd ω

≈=rr

rPři stáčení osy rotace je setrvačník nucen konat precesní pohyb, reakcísetrvačníku je tzv.gyroskopický moment Mg

Setrvačník koná pod vlivem vnějšího momentu precesnípohyb rychlostí Ω

ωr

ωr

dΩr

mg

Mr

ϕd ω×Ω=ω×ϕ

=rrr

rrJJ

tM

dd

Ωr

Mr

MM g

rr−=

ωr

Při působení vnějšího momentu M se snaží osa rotace splynout se směrem vnucené precese

Pohyb tuhého tělesaVideo – setrvačníky:

Pohyb tuhého tělesaKinetická reakce kol, vrtule:

ToF

mg

Jednostopá vozidla jsou dynamicky výhodnější nežli dvoustopá vozidlaΩ

rMr

ωr

ΩMr

T

oF

mg

ΩM

Ωr

Mr

ωr

ΩMr

Pohyb tuhého tělesa

stabilizace lodí setrvačníkem stabilizace dopr. prostředků

stabilizace střel, torpéd

Pohyb tuhého tělesanavigace lodí

gyrokompasemOsa setrvačníku zachovává stálý směr

Pohyb tuhého tělesaPlanetu Země lze téžpovažovat za těžký setrvačník

Zemská osa koná precesní pohyb

úhlová změna – 50,40'' za 1 rok

perioda pohybu – T =25700 let (Platónský rok)