1 Modelování pružného podložímech.fsv.cvut.cz/~zemanj/teaching/mk10/prednasky/prednaska5.pdfJ....

1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 1

1 Modelování pružného podloží

• Úloha mechaniky zemin

• Modely pružného podloží – interakce podloží se základovými konstruk-cemi

– Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní izotropnípodloží, charakterizováno dvěma materiálovými parametry E a ν.

Plně trojrozměrný model

u(x, y, z) 6= 0 v(x, y, z) 6= 0 w(x, y, z) 6= 0

– Westergaardův model (pružný poloprostor) [5]: homogenní aniso-

1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 2

tropní podloží, charakterizováno parametry E a ν. Kinematické

předpoklady

u(x, y, z) = 0 v(x, y, z) = 0 w(x, y, z) 6= 0

– Model pružné vrstvy [3]: založen na představě deformační zóny

J. Boussinesq H. L. F. von Helmholtz Pasternak H. M. Westergaard Winkler

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 3

2 Winkler-Pasternakův model pružné vrstvy

2.1 Kinematické předpoklady

• Posuny u a v jsou zanedbatelné vůči posunu w

u(x, y, z) = 0

v(x, y, z) = 0

• Posun w lze vyjádřit v závislosti na posunu povrchu

w(x, y, z) = w(x, y, 0)ψ(z) = w(x, y)ψ(z)


• Funkce ψ(z) závisí na materiálových vlastnostech podloží a vlastnos-tech základové konstrukce. Vzhledem ke značné neurčitosti vstupních

dat v geotechnických problémech postačuje u tenkých vrstev uvažovat

lineární průběh. V každém případě ψ splňuje podmínky

ψ(0) = 1, ψ(h) = 0. (1)

2.2 Geometrické rovnice

• Nenulové složky tenzoru deformace

εz(x, y, z) =∂w

∂z=

∂

∂z(w(x, y)ψ(z)) = w(x, y)

dψ(z)dz

γzx(x, y, z) =∂w

∂x+∂u

∂z=∂w(x, y)∂x

ψ(z)

γzy(x, y, z) =∂w

∂y+∂v

∂z=∂w(x, y)∂y

ψ(z)


• Ostatní složky

εx(x, y, z) = 0, εy(x, y, z) = 0, γxy(x, y, z) = 0

• Kompaktní zápis

εz(x, y, z) = w(x, y)dψ(z)dz

(2) γzx(x, y, z)

γzy(x, y, z)

=

∂

∂x∂

∂y

w(x, y)ψ(z)

γ(x, y, z) = ∇w(x, y)ψ(z) (3)

2.3 Konstitutivní rovnice

• Pro jednoduchost neuvažujeme vliv počátečních deformací


• Normálová napětí

σz(x, y, z) = λ(x, y, z)(1− ν(x, y, z))εz(x, y, z)

= Eoed(x, y, z)εz(x, y, z) (4)

• Smyková napětí

τzx(x, y, z) = Gx(x, y, z)γzx(x, y, z)

τzy(x, y, z) = Gy(x, y, z)γyz(x, y, z)

• Kompaktní zápis τzx(x, y, z)

τzy(x, y, z)

=

Gx(x, y, z) 0

0 Gy(x, y, z)

γzx(x, y, z)

γzy(x, y, z)

τ(x, y, z) = G(x, y, z)γ(x, y, z)


2.4 Statické rovnice

• Všechny nenulové složky napětí působí ve směru osy z ⇒ jediná pod-mínka rovnováhy

∂τzx(x, y, z)∂x

+∂τzy(x, y, z)

∂y+∂σz(x, y, z)

∂z+ Z(x, y, z) = 0

• Kompaktní zápis∂

∂x

∂

∂y

τzx(x, y, z)

τzx(x, y, z)

+ ∂σz(x, y, z)∂z

+ Z(x, y, z) = 0

∇Tτ(x, y, z) + ∂σz(x, y, z)∂z

+ Z(x, y, z) = 0 (5)

2.5 Okrajové podmínky

• Kinematické okrajové podmínky – není třeba specifikovat (viz též cvi-čení č. 5)


• Statické okrajové podmínky– Na povrchu pružné vrstvy (z = 0 m)

σz(x, y, 0)nz(x, y)− pz(x, y) = 0

−σz(x, y, 0)− pz(x, y) = 0 (6)


– Na „svislých hranáchÿ (x ∈ Γ× 〈0;h〉)

τzx(x, y, z)nx(x, y) + τzy(x, y, z)ny(x, y)− τ(x, y, z) = 0nx(x, y) ny(x, y)

τzx(x, y, z)

τzy(x, y, z)

− τ(x, y, z) = 0

nT(x, y)τ(x, y, z)− τ(x, y, z) = 0 (7)

2.6 Řídicí rovnice

2.6.1 Dimenzionální redukce problému

• Integrací podmínky rovnováhy (5) podle z s vahou ψ dostáváme∫ h

0

(∇Tτ(x, y, z) + ∂σz(x, y, z)

∂z+ Z(x, y, z)

)ψ(z) dz = 0


• Podtržený člen upravíme pomocí integrace per partes∫ h

0

∂σz(x, y, z)∂z

ψ(z) dz = [σz(x, y, z)ψ(z)]h0 −

∫ h

0σz(x, y, z)

dψ(z)dz

dz

(1)= −σz(x, y, 0)−

∫ h

0σz(x, y, z)

dψ(z)dz

dz

(6)= pz(x, y)−

∫ h

0σz(x, y, z)

dψ(z)dz

dz

• Po dosazení dostáváme

0 = ∇T∫ h

0τ(x, y, z)ψ(z) dz −

∫ h

0σz(x, y, z)

dψ(z)dz

dz

+ pz(x, y) +∫ h

0Z(x, y, z)ψ(z) dz

• Tato úprava nám umožňuje přejít z třírozměrné úlohy na dvojrozměr-nou.


• Poloha je nyní charakterizována pomocí dvou prostorových souřadnic

x = x, yT

• Podmínku rovnováhy ve svislém směru vyjádříme pomocí– (zobecněných měrných) posouvajících sil q(x)

q(x) =∫ h

0τ(x, z)ψ(z) dz

– (zobecněné měrné) normálové síly nz

nz(x) =∫ h

0σz(x, z)

dψ(z)dz

dz

– (zobecněného) plošného zatížení p

p(x) = pz(x) +∫ h

0Z(x, z)ψ(z) dz

• Tedy∇Tq(x)− nz(x) + p(x) = 0 (8)


• Obdobným způsobem modifikujeme statické okrajové podmínky (7)

nT(x)∫ h

0τ(x, z)ψ(z) dz −

∫ h

0τ(x, z)ψ(z) dz = 0

nT(x)q(x)− q(x) = 0 (9)

2.6.2 Konstitutivní rovnice

• Normálové síly nx

nz(x) =∫ h

0σz(x, z)

dψ(z)dz

dz(4)=∫ h

0Eoed(x, z)εz(x, z)

dψ(z)dz

dz

(2)=

(∫ h

0Eoed(x, z)

dψ(z)dz

dψ(z)dz

dz

)w(x, y) = C1(x)w(x, y)

• Výsledkem je tedy vztah

nz(x) = C1(x)w(x, y), (10)


kde konstanta C1 [Nm−3]

C1(x) =∫ h

0Eoed(x, z)

(dψ(z)dz

)2dz

je též někdy nazývána součinitel ložnosti.

• Posouvající síly q qx(x)

qy(x)

=∫ h

0

τzx(x, z)

τzy(x, z)

ψ(z) dz

(5)=

∫ h

0

Gx(x, z) 0

0 Gy(x, z)

γzx(x, z)

γzy(x, z)

ψ(z) dz

(5)=

∫ h

0

Gx(x, z) 0

0 Gy(x, z)

ψ2(z) dz∇w(x)

= C2(x)∇w(x)


• Pro případ Gx = Gy = G

q(x) = C2(x)∇w(x), (11)

kde C2 [Nm−1]

C2(x) =∫ h

0G(x, z)ψ2(z) dz. (12)

• Orientační hodnoty konstant C1 a C2 [4]a.

aIlustraci výpočtu těchto konstant lze též nalézt v seminární práci R. Grebíka: Prutna pružném podloží - zjištění tuhosti podložíhttp://ksm.fsv.cvut.cz/∼zemanj/download/seminar/MK/2003 2004/grebik.pdf


Domací úkol 1. Vzájemně porovnejte dimenzionální redukci trojrozměr-ných rovnic pružnosti pro případ ohybu mindlinovských nosníků, ohybu

mindlinovských desek a pružné vrstvy podloží. Pro vzájemné porovnání se

můžete inspirovat následující tabulkou


Nosník Deska Podloží

Kinematické předpoklady

Pole posunů

Pole deformace (nenulové složky)

Pole napětí (nenulové složky)

Nezávislé podmínky rovnováhy

Identicky splněné podmínky rovnováhy

Základní deformační neznámé

Vnitřní síly

Podmínky rovnováhy ve vnitřních silách

+ způsob odvození

Nové členy v konstitutivních rovnicích

Modifikace statických okrajových podmínek


2.7 Diferenciální rovnice pružné vrstvy

• Uvažujeme izotropní a homogenní materiál (vzhledem k souřadnicímx a y)

C1(x) = C1, C2(x) = C2.

• Po dosazení konstitutivních rovnic (10) a (11) do podmínky rovno-váhy (8) dostáváme

C2∇T∇w(x)− C1w(x) + p(x) = 0,

tedy

C2∆w(x)− C1w(x) + p(x) = 0

• Z hlediska matematické terminologie se tato parciální diferenciální rov-nice nazývá Helmholtzovou rovnicí.

3 SLABÁ FORMULACE 18

3 Slabá formulace

• Požadujeme, aby platilo∫Ωδw(x)

(∇TC2(x)∇w(x)− C1(x)w(x) + p(x)

)dx = 0

pro všechny váhové funkce δw(x).

• Aplikací Gaussovy věty upravíme předchozí rovnost na

0 =∫Γδw(x)

nTq=q viz (9)︷︸︸︷nT(x)C2(x)∇w(x) dx−

∫Ω(∇δw(x))T C2(x)∇w(x) dx

−∫Ωδw(x)C1(x)w(x) dx+

∫Ωδw(x)p(x) dx


• Slabé řešení w(x) tedy splňuje pro všechna δw(x)∫Ωδw(x)C1(x)w(x) dx+

∫Ω(∇δw(x))T C2(x)∇w(x) dx =∫

Γδw(x)q(x) dx+

∫Ωδw(x)p(x) dx

3.1 Galerkinovská aproximace

• Aproximace neznámých w(x) a jejich gradientů ∇Tw(x)

w(x) ≈ N(x)r, ∇Tw(x) ≈ ∇TN(x)r = B(x)r.

• Aproximace váhové funkce δw(x) a jejího gradientu ∇Tδw(x)

δw(x) ≈ N(x)δr, ∇Tδw(x) ≈ ∇TN(x)δr = B(x)δr.


• Aproximace slabé formulace∫Ω

(N(x)δr

)TC1(x)N(x)r dx+

∫Ω

(B(x)δr

)TC2(x)B(x)r dx =∫

Γ

(N(x)δr

)Tq(x) dx+

∫Ω

(N(x)δr

)Tp(x) dx,

pro všechna δr.

• Soustava lineárních rovnic

K r = R = Rq +Rp,

kde

K =∫Ω

(NT(x)C1(x)N(x) +B

T(x)C2(x)B(x))dx

Rq =∫ΓNT(x)q(x) dx

Rp =∫ΩNT(x)p(x) dx

4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 21

4 Nekonečný a dokonale tuhý pás na pruž-ném podloží

• Uvažujeme pás šířky 2b na homogenním a izotropním podloží

• Řešení rozdělíme na část odpovídající okolní zemině a na část podzákladem

• Rovnice pružné vrstvy

C1w(y)− C2d2w(y)dy2

= 0


• Řešeníw(y) = Ae−αy +Beαy,

kde

α2 =C1C2

• Okrajové podmínky

y →∞ : w → 0⇒ B = 0

y = 0 : w = w0 ⇒ A = w0

• Průběh sednutí okolní zeminy

w(y) = w0e−√

C1/C2y

• Posouvající síla na okraji základu

qy(y = 0) = C2dw(y)dy

|y=0 = −w0√C1C2

• Velikost poklesu základu w0 určíme z podmínky rovnováhy pro příčný


proužek šířky 1 m vyjmutý z pásu

2bf = 2w0√C1C2 + C1w02b⇒ w0 =

f√C1C2b

+ C1

=f

C∗1

• Efektivní konstanta podloží pro modelování pásu

C∗1 = C1 +

√C1C2b

• Obdobným způsobem lze „opravitÿ zbývající konstanty podloží; viz [1,kapitola 2.1.2]

2

Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mítnámět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na [email protected] verze -001: Odstraněná celá řada překlepů a nepřesností (na chyby upozornil J. Šejnoha)Opravy verze 000: Změněno Eeod na Eoed, opraveny indexy u smykového napětí na str. 6 (na chyby upozornilZ. Janda), str. 21: opravena poloha souřadnice z (na chybu upozornil J. Skoček), str. 23: opraven výpočetefektivní konstanty C1 (oprava po přednášce)

Verze 001

REFERENCE 24

Reference

[1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES

ČVUT, Praha, 1992.

[2] J. Boussinesq, Application des potentiels a l’etude de l equilibre et du

mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.

[3] V. Kolář and I. Němec, Modelling of soil-structure interaction, Acade-

mia, Praha, 1990.

[4] P. Kuklík, Příspěvek k řešení vrstevnatého podloží, Pozemní stavby 7(1984).

[5] H. M. Westergaard, A problem of elasticity suggested by a problem in

soil mechanics: Soft material reinforced by numerous strong horizon-

tal sheets, Contributions to the Mechanics on Solids, Dedicated to S.

Timoshenko by his Friends on the Occasion of his 60th Birthday Anni-

versary, The Macmillan Company, New York, 1938.

1 Modelování pružného podložímech.fsv.cvut.cz/~zemanj/teaching/mk10/prednasky/prednaska5.pdfJ....

Documents

Transcript of 1 Modelování pružného podložímech.fsv.cvut.cz/~zemanj/teaching/mk10/prednasky/prednaska5.pdfJ....