Základy vektorového počtukartézská soustava souřadná (pravoúhlá, pravotočivá)

• vektor je popsán svými třemi průměty ax, ay, az do souřadných osa ortogonálními vektory báze

)0,0,1(=ir

)0,1,0(=jr

)1,0,0(=kr

kajaiaaaaa zyxzyx

rrrr++== ),,(

velikost vektoru: 222zyx aaaa ++=

vektor:vektory báze:

rr

xy

z

α β

γ

ir j

rkr

Polohový vektor:

kzjyixzyxrrrrr

++== ),,(

rz

=γcosry

=βcosrx

=αcos

1coscoscos 222 =γ+β+α

Základy vektorového počtu

v praxi existují i jiné (křivočaré) souřadné soustavy (sférické, válcové, eliptické,…)

kzjyixzyxrrrrr

++== ),,(

sférické souřadnice:

rr

xy

z

ϕ

ϑ

ir j

rkr

rz

=ϑcosϕϑ= cossinrx

ϕϑ= sinsinry

ϑ= cosrz ry

=ϕsin

rx

=ϕcos

Základy vektorového počtuSkalární součin dvou vektorů

abba rrrr⋅=⋅

0=⋅⇒⊥ babarrrr

abbaba =⋅⇒⎥⎥rrrr

- výsledkem je číslo (skalár)

( ) ∑=++=ϕ=⋅=k

kkzzyyxxba babababababaS rr

rr cos

Vektorový součin dvou vektorů

( )zyx

zyxbaba

bbbaaakji

nbababac

rrr

rrrrrrrrrr =ϕ==×= sin],[

abba rrrr×−=×

- výsledkem je vektor, kolmý na oba vektory

bababaS rr

rrϕ=×= sinplocha:

bcacrrrr

⊥∧⊥

0rrrrr

=×⇒⎥⎥ babaar

brcr

barrϕban rr

r

Základy vektorového počtuDvojnásobný vektorový součin:

( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr⋅−⋅=××

Smíšený součin vektorů : -při cyklické permutaci vektorů se nemění

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dacbdbcadcbarrrrrrrrrrrr

⋅⋅−⋅⋅=×⋅× ][][

Dále platí identita

( )zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba =×⋅rrr ( ) ( ) ( )bacacbcba

rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅

( ) ( )bcacbarrrrrr

×⋅−=×⋅

Dyadický (tenzorový) součin vektorů :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

bababababababababa

bacrrr- výsledkem je matice

Základy vektorového počtuvelikost oblouku

ϕ= dd Rs

Elementární otočení vektoru kolem osy:

1=cr-jednotkový vektor ve směru osy otáčení:

-otočení o elementární úhel dϕ

-pootočený vektor:

-vektor pootočení:

-změna vektoru:

ϕ==α⋅=×

dd

dd

ddsin)( a

saR

aaaac

rr

r

rrr

)d(d)(d aaacaaaa rrrrrrrrr×ϕ+=ϕ×+=+=′

ϕ⋅=ϕ dd crr

aa rrr×ϕ= dd

o

cr

ara′r

ardϕd

R

α

Základy vektorového počtuOrtogonální transformace souřadnic (rotace):

aa rr T=′zyx TTTT =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ψψψ−ψ=

cossin0sincos0001

xT rotace kolem osy x o úhel ψ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϑϑ−

ϑϑ=

cos0sin010

sin0cos

yT rotace kolem osy y o úhel ϑ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ϕϕϕ−ϕ

=1000cossin0sincos

zT rotace kolem osy z o úhel ϕ

Užitečné matematické vztahy...

!2)(

!1)()()( 200

00 xxfxxfxfxxf ∆′′

+∆′

+=∆+Taylorův rozvoj:

ε±=ε± nn 1)1(počítání s malými čísly: 1<<ε

...53

sin53

−α

+α

−α=α

...42

1cos42

−α

+α

−=α

...21

12

+++=xxex

ϕ+ϕ=ϕ sincos ieiEulerův vztah:

Re

Im

1

ϕie

ϕ1−

i

i−

1−=i

Základy vektorového počtuzměna nějaké veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu

ve fyzice často veličiny závisí na jiných veličinách (např.na čase, atd.) a pro změnu vektorové funkce skalárního argumentu platí:

∑= ∂

∂=

N

ii

i

XXfY

1dd

vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce ftotální diferenciál:

kt

ajt

ai

ta

ta

ta

ta

tta zyxzyx

rrrr

dd

dd

dd)

dd,

dd

,d

d(d

)(d++==

derivace

xfxf

dd)( ≡′

zyx akajaita ddd)(drrrr

++=diferenciál vektoru:

Základy vektorového počtuPříklad: (výpočet změny objemu a povrchu válce)

h

r2

VVV ∆+

pokud budou změny rozměrů∆D a ∆h dostatečně malé:

hrV 2π= 222 rrhS π+π=

objem: povrch:

hrrrhhhVr

rVV ∆π+∆π=∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ 22&Změna objemu:

hrrrhhhSr

rSS ∆π+∆π+π=∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ 2)42(&Změna povrchu:

Vlastnosti totálního diferenciáluzměnu veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi, lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu

∑= ∂

∂=

N

ii

i

XXfY

1dd

vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce ftotální diferenciál:

pokud je diferenciální změna δY nějaké funkce Y=g(Xi) jejím totálním diferenciálem potom platí:

závisí pouze na počáteční a koncové

hodnotě funkce g)()(d 12

2

1ii XYXYYY −==∆ ∫změna funkce Y:

křivkový integrál z dané funkce po

uzavřené křivce Cje roven nule

0d 12 =−=∫ YYYC

Základy vektorového počtuderivace součinu:

[ ]taSa

tStatS

t dd

dd)()(

dd r

rr+=

[ ]tbab

tatbta

t dd

dd)()(

dd

rrrrrr

+=

[ ]tbab

tatbta

t dd

dd)()(

dd

rrrrrr×+×=×

diferenciál součinu:aata rrr d2])([d 2 ⋅=

babatbtarrrrrr dd])()([d ⋅+⋅=

babatbtarrrrrr dd])()([d ×+×=×

umožňuje určit, jak se nám změnívýsledný součin (skalární, vektorový)

při malé (infinitezimální) změnědílčích veličin

Základy vektorového počtuzaveďme nyní zcela zvláštní “vektor”, tzv. Hamiltonův operátor(nabla)

symbolicky též můžeme místo ∇ psát také

dále si zaveďme další symbolický diferenciální operátor, tzv. Laplaceův operátor ∆

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrr

∇≡rrd

d

jedná se o symbolický diferenciální operátor, který umožňuje zjistit změnu dané

veličiny v závislosti na prostorových souřadnicích x,y,z

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇=∇=∆

Základy vektorového počtuderivace složené vektorové funkce vektorového argumentu:

pokud platí:

potom časová změna veličiny

))(,( tbtarr

),,()d

d,d

d,

dd(

dd

zyxzyx ccc

ta

ta

ta

tac ===r

r

tb

ba

tb

ba

tb

ba

ta

tac z

z

xy

y

xx

x

xxxx ∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

==d

d

))(),(),(()()( tztytxtrtb ==rr

avta

tac rr

rrr

⋅∇⋅+∂∂

== )(dd

),( rta rr

jedná se o častý praktický případ, kdy nám veličina závisí na poloze a čase, např. rychlost, teplota,…t

rvddrr

=

atb

ta

tac r

rrrr

⋅∇⋅+∂∂

== )dd(

dd

Základy vektorového počtuKřivky

Rn

sr rr

=2

2

dd

R

τr

nrC

nr

τr

)(rA rr

rrdα

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)()()(

:tzztyytxx

C222 ddddd zyxrs ++==

r

zkyjxizyxsr ddd)d,d,d(ddrrrrr

++==⋅τ=

222

2

2

dd

dd

dd

dd1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

sz

sy

sx

sr

R

r

Základy vektorového počtuPlocha

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

Φ),(),(),(

:vuzzvuyyvuxx

SnS dd rr=

222gradgrad

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=ΦΦ

=

zyx

zyxnr0),,(: =Φ zyxS

SSr

dd =

nr

Sd

Ar

Základy vektorového počtuObjem

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

),,(),,(),,(

:wvuzzwvuyywvuxx

V

zyxV dddd ⋅⋅=

Základy vektorového počtuIntegrování skalární a

vektorové funkce:∫∫∫∫ ++=2

1

2

1

2

1

2

1

d)(d)(d)(d)(t

tz

t

ty

t

tx

t

t

ttAkttAjttAittArrrr

ktAjtAitAAAAtA zyxzyx

rrrr)()()(),,()( ++==

množina pole integrál označení

skalární

vektorové

skalární

vektorové

skalární

křivkový 1. druhu

křivkový 2. druhu

plošný 1. druhu

plošný 2. druhu

objem objemový

plocha

křivka ∫C

sf d

∫C

rA rrd

∫∫S

Sf d

∫∫S

SArr

d

∫∫∫V

Vf d

Charakteristiky fyzikálních polískalární pole S vektorové pole v

),(),( trftrS rr= ktrAjtrAitrAtrA xxx

rrrrrrrr ),(),(),(),( ++=

skalární veličina je popsána v daném místě prostoru a v čase jednou hodnotou S

(např. teplota, tlak,…)

vektorová veličina je popsána v daném místěprostoru a v čase třemi složkami (Ax, Ay, Az)

(např. rychlost, síla,…)

při transformaci souřadnic se hodnota nemění

při transformaci souřadnic se hodnota obecně mění

Charakteristiky skalárních polígradient skalární funkce

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

==⋅∇=zS

yS

xS

rSSS ,,

ddgrad r

• výsledkem této diferenciální operace je vektor

)( 22

),( yxexyxfz +−⋅==

gradient vyjadřuje vektor směru maximální

prostorové změny skalárníveličiny S,

tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná

veličina (např.teplota) nejvíce narůstá

SrS graddd ⋅=r

Charakteristiky skalárních políSrS graddd ⋅=

rtotální diferenciál

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ zyx nzSn

ySn

xSSn gradrzměna skalární funkce v

libovolném směru n

zyx knjnin α=⋅α=⋅α=⋅ coscoscosrrrrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂∂

ϑϑ∂∂

∂∂

=S

rS

rrSS

sin1,1,gradgradient ve sférických

souřadnicích

pokud se dá nějaká veličina Avyjádřit jako gradient jiné veličiny

f, potom se jedná o potenciálnípole a funkce f, se označuje jako

potenciál

fA grad=r

ekvipotenciální plochy- vektorové pole A má směr

normály k ploše

konst.),,( =zyxf

Charakteristiky skalárních políkonst.),,( =zyxf ekvipotenciální plochy

)d,d,d(,,dgradd zyxzf

yf

xfrff ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=⋅=r

rf rd⊥∇gradient je kolmý k ekvipotenciální

ploše

Charakteristiky vektorových políktrAjtrAitrAtrA xxx

rrrrrrrr ),(),(),(),( ++=vektorová pole v

vektorová pole závislá na polohovém vektoru (např. rychlost proudění, intenzita silového pole,…) se dají se charakterizovat pomocí vektorových čar

zyx Az

Ay

Ax ddd

==0d =× rA rr

Vektorové čáry

vektorové čáry jsou křivky, jejichž tečna v každém bodě pole má stejný směr jako daný vektor pole A

zfz

yfy

xfx

∂∂=

∂∂=

∂∂ /d

/d

/d

fA grad=r

potenciální pole

Charakteristiky vektorových polísiločáry

vektorové čáry daného vektorového polejejich tečna určuje směr vektoru polejejich prostorová hustota charakterizuje velikost intenzity polepro potenciálové pole se siločáry neprotínají

vektorová trubice

je vytvořená siločárami daného vektorového pole, které procházejíuzavřenou křivkou

Charakteristiky vektorových políproudočáry

- mají směr vektoru rychlosti v daném časovém okamžiku- můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost toku- v závislosti na typu proudění mohou být otevřené i uzavřené křivky

- myšlené trubice, jejichž stěny jsou tvořeny sousedícími proudočárami.

proudová trubice

proudové trubice

Charakteristiky vektorových polívektorové čáry mohou vznikat i zanikat a o jejich přírůstku nebo úbytku nás informuje divergence vektoru pole

divergence – výtok vektoru z objemového elementu jednotkové velikosti

Tok vektoru uzavřenou plochou:VNA

VA

V ddd1limdiv

0=Ω

∆= ∫

∆Ω→∆

rrr

∫∆Ω

Ω=rr

dAN

N > 0 … vytéká více než vtéká (zřídla toku)N < 0 … vytéká méně než vtéká (propady toku)N = 0 … stejný vtok i výtok

tok vektoru pole můžeme charakterizovat počtem vektorových čar v daném objemu

0div =Ar

0div ≠Ar

Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole

rychlosti proudící kapaliny, elektromagnetické pole,…)

obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny

Umožňuje určit tok daného vektorového pole ve

specifikovaném objemu, např. hmotnostní průtok kapalinypole nezřídlové pole zřídlové

Charakteristiky vektorových polí

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅∇=

zv

yv

xvv

rvv zyxr

rrr

dddiv

VdAr

yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3

yy AA d+yA

VAVzA

yA

xANNNN zyx

zyx ddivdddddr

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++=

Celkový tok vektoru v objemu dV:

Vy

Azxy

yA

AN yyyyy ddddddd

∂

∂=

∂

∂=Ω⋅=

Tok vektoru ve směru y:

Divergence vektorového pole: Gaussova věta:

( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V

VAA ddivdrrr

- výsledkem této diferenciální operace je skalár (číslo)

Charakteristiky vektorových políRotace vektorového pole:

maxmax0 d

dd1limrot ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

= ∫Γ

→∆ SCnrA

SnA

S

rrrrr

∫Γ

= rAC rrd cirkulací vektoru pole

podél uzavřené křivky lze charakterizovat otáčivý pohyb vektoru pole v daném místě

Je-li rotace nulová, není v daném bodě vír v roviněobdélníka.

Maximální hodnota cirkulace vektoru pole v daném bodě po obvodu plošky ∆S

rotace vyjadřuje to, zda danévektorové pole (např. pole rychlosti proudící kapaliny,

elektromagnetické pole,…) v daném místě má vírový

charakter

umožňuje určit, zda vektor pole koná v daném místě

otáčivý pohyb0rot ≠A

r0rot =A

r

pole nevírové pole vírové

Charakteristiky vektorových polí

elementární cirkulace vektoru pole v rovinách (x,y), (x,z), (y,z)

yxx

AyxAyxxAC y

yyy ddd)(d)d(d∂∂

=−+=

x

yxA

yAyd

xd zSd),( yx

)d,d( yyxx ++

zxy

zyxxy SyA

xA

lACCC ddddd ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=⋅=+= ∫rr

yxyAxyAxyyAC x

xxx ddd)(d)d(d∂∂

−=++−=

yzx

yxz SxA

zAlAC ddd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=⋅= ∫rr

xyz

xzy Sz

AyAlAC ddd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=⋅= ∫rr

výsledná cirkulace vektoru pole SAlACCCC yzxzxy

rrrrdrotddddd ⋅=⋅=++= ∫

kyA

xA

jxA

zAi

zA

yAA xyzxyz

rrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=rotRotace vektorového pole:

Charakteristiky vektorových políjestliže některé vektorové čáry jsou uzavřené křivky, pak dochází k otáčivému pohybu vektoru pole, jde o tzv. vírový pohyb

vírový pohyb je možno charakterizovat rotací vektoru pole:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=×∇= A

rAA

rr

rr

ddrot

Stokesova věta:

∫∫ ΓΩ=Ω rAA rrrr

ddrot

Př.: rotace rychlosti jednoho bodu kontinua

[ ] [ ] ω=×ω=×ω+=rrrrrrr 2rotrotrotrot rrvv T

0rotrr

=v 0rr

=ω vírový pohyb

diferenciální operátory – příklad

Charakteristiky vektorových polí

)0,0,0(rot2div

)0,,(

=

=

=

AA

yxA

r

r

r

)2,0,0(rot0div

)0,,(

=

=

−=

AA

xyA

r

r

r

)0,0,0(rot0div

)0,,(

=

=

−=

AA

yxA

r

r

r

Charakteristiky vektorových políIntegrální teorémy

( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V

VAA ddivdrrr

∫∫ =ΩΩ V

VSS dgraddr

( ) ∫∫ =×ΩΩ V

VAA drotdrrr

( ) ∫∫ ∆−∆=Ω∇⋅−∇⋅Ω V

Vpqqppqqp d)(dr

∫∫ ΓΩ=Ω rAA rrrr

ddrot

V

Ωd Ar

Ωr

d

Γ

Ωd ArΩ

rd

Charakteristiky vektorových políNevírové (potenciální) pole

zA

xA

yA

zA

xA

yA xzzyyx

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂

∂

∂

∂=

∂∂

,,0rot =Ar

skalární potenciál 0d == ∫Γ

rAC rrΦ−= gradA

r

Charakteristiky vektorových políNezřídlové (solenoidální) pole

0div =∂∂

+∂∂

+∂∂

=zA

yA

xAA zyxr

0div =Ar

VArr

rot= vektorový potenciál

0d =Ω= ∫∆Ω

rrAN

Obecné vektorové pole

VArr

rotgrad +Φ−=

Charakteristiky vektorových políVybrané identity vektorové analýzy

ABBABAABBArrrrrrrrrr

divdiv)()()(rot −+∇⋅−∇⋅=×

nn

i xxfx

xfxf grad...grad)(grad 11 ∂

∂++

∂∂

=

fggffg gradgrad)(grad ⋅+⋅=

AAArrr

∆−= divgradrotrot

BAABBAABBArrrrrrrrrr

rotrot)()()(grad ×+×+∇⋅+∇⋅=⋅

BAABBArrrrrr

rotrot)(div ⋅−⋅=×

AffAAfrrr

div)(div ⋅+∇⋅=⋅

0gradrot =f

0rotdiv =Ar

BABArrrr

divdiv)(div +=+

gfgf gradgrad)(grad +=+

BABArrrr

rotrot)(rot +=+

AAArrr

∆=∇= 2graddiv

TenzoryTenzor n-tého řádu obsahuje 3n prvků, které se při transformaci souřadných soustav transformují přesně definovaným způsobem

...,...,,,

*... ijkl

lkjirlqkpjsispqr TccccT ∑= pro otočení

souř.soustavy• tenzor 0.řádu – skalár (číslo)

• tenzor 1.řádu – vektor

• tenzor 2.řádu: ∑∑= =

=3

1

3

1

*

i jijljkikl TccT

),cos( *ikki eec rr

=

∑=

=3

1

*

iikik AcA

9 složek tenzoru 2.řádu lze vyjádřit

pomocí matice

A

O

∗y

∗x

z∗z

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

Tt

yx

1er ∗1er

∗2er∗

3er

2er

3er

TenzoryHlavní osy a hlavní hodnoty tenzoru:

- taková souřadná soustava, kde nediagonální složky tenzoru setrvačnosti jsou rovny nule

- diagonální složky T1, T2, T3 se poté nazývají hlavní hodnoty tenzoru- osy souřadného systému s nazývají hlavní osy

- Platí:

jiTij ≠= 0

nTnT rrt=

0

333231

232221

131211

=−

−−

TTTTTTTTTTTT

3

2

1

000000

TT

TT =∗

-u tenzoru setrvačnosti bude např. moment hybnosti mít stejný směr jako vektor úhlové rychlosti

- hodnoty T1, T2, T3 jsou extrémní ze všech možných natočení souřadné soustavy

ω=rtr

JL

Diferenciální rovniceObyčejná diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty

0dd

dd

2

2

=++ butua

tu

homogenní rovnice

tmt eCteCu 2121

αα +=

obecné řešení:

baa 422,1 −±−=α

02 =+α+α bacharakter.

rovnice

10

21

21

=⇒α=α=⇒α≠α

mm