Mechanika teoretyczna

Wykład 9

1

Bąk symetryczny ciężkiZacznijmy od zbadania warunku prowadzącego do regularnej precesji bąka, którego

środek ciężkości leży na osi symetrii w odległości d od punktu unieruchomienia

(podparcia)

k ′r

krkbka ′+=

rrrω

2

gMr

kkMgd

kMgdkN

′×=

=−×′=rr

rrr)()(

( )

kbIaIIkaI

kkaIkbaI

kbkkakaIJ

′+−+=

=′−+′+=

=′+′−+′=

⊥⊥

⊥rr

rrr

rrrrr

)cos)((

)cos()cos(

)cos(cosˆ

||||

||

ϑ

ϑϑ

ϑϑ

kbIaIIJkkMgd =′+−==′×&r&rrr

)cos)(( ϑ

3

kkabIaII

kbIaIIJkkMgd

′×++−=

=′+−==′×

⊥

⊥rr

&&

))(cos)((

)cos)((

||||

||||

ϑ

ϑ

MgdabIaII =+− ⊥ )cos)(( |||| ϑ

ϑcos1||||

aI

I

aI

Mgdb

−+= ⊥

Bąk szybki (duże b) - małe a. Dominuje pierwszy człon. Precesja możliwa przy

każdym wybranym kącie .

Bąk kulisty. Niezależnie od prędkości pozostaje pierwszy człon.

4

aI

Mgdb

||

=

cos2

cos2

2

2

222

||

ϑ

ϑω

=+

+=

=++=

=

MgdMgda

abba

I

Mgdab

5

)cos1(2

cos2

||

2

||

||||

2

ϑ

ϑ

++

−=

=+

+=

I

Mgd

aI

Mgda

I

Mgd

aI

Mgda

Obrót wokół osi pionowej bąka odchylonego.

0cos1||||

=

−+= ⊥ ϑa

I

I

aI

Mgdb

a) Dla bąka kulistego jest to niemożliwe!

b) Dla ciała wydłużonego (typowego wahadła

6

b) Dla ciała wydłużonego (typowego wahadła

fizycznego) jest to możliwe dla kątów

większych od 90° , zgodnie z intuicją

c) Dla talerza z obciążnikiem środek ciężkości musi

być wyżej niż punkt podparcia. Sam się wczoraj

zdziwiłem!

||II >⊥

4/22MRmh <

M

m

ωh

R

7

Niemożliwe! Możliwe!

Ruchy inne niż precesja – użyjemy r. Lagrange’a

xxrm

rrm

rmvmT

jijiij

rr

rrr

ωωδ

ωω

ω

2

2

1

222

2

1

2

2

12

2

1

)(

))((

)(

=−=

=⋅−=

=×==

∑∑

∑∑

8)cos()cos( ϑϕψϑϕϑ

ψϕϑω

kkkw

kkw

′−+′++=

=′++=rr

&r

&&r&

r&

r&

r&r

JII

xxrm

jiij

jijiij

rrrrωωωωω

ωωδ

2

1

2

1

2

1

2

ˆ

)(

===

=−= ∑

( )ϑϕψϑϕϑ

ϑϕψϑϕϑ

ϑϕψϑϕϑ

ωω

22221

||

2

1

2

1

sin)cos(

)cos()cos(

)cos()cos(

ˆ

&

rr&

r&&

r&

rr&

r&&

r&

rr

⊥⊥

+++=

′−+′++⋅

⋅′−+′++=

==

III

kkIkIwI

kkkw

IT

9

( )ϑϕψϑϕϑ 222

||

2

2

1sin)cos( &&&&

⊥⊥ +++= III

( )ϑϕψϑϕϑ

ϑϕψϑϕϑ

ϑϕψϑϕϑ

ωω

22221

||

2

1

2

1

sin)cos(

)cos()cos(

)cos()cos(

ˆ

&&&&

rr&

r&&

r&

rr&

r&&

r&

rr

⊥⊥

+++=

′−+′++⋅

⋅′−+′++=

==

III

kkIkIwI

kkkw

IT

10

( )ϑϕψϑϕϑ 222

||

2

2

1sin)cos( &&&&

⊥⊥ +++= III

ϑϑϑϑϑ 222 sincoscoscos21)cos( =+−=′− kkrr

( ) VIIIL −+++= ⊥⊥ ϑϕψϑϕϑ 222

||

2

2

1sin)cos( &&&&

Dla bąka ciężkiego: ϑcosMgdV =

Dwie współrzędne cykliczne. Dwie całki pierwsze:

ψϑϕψ || )cos( && +=∂

= IL

p

11

ϑϕϑ

ϑϕϑψϑϕϕ

ψϑϕψ

ψ

ϕ

ψ

2

2

||

||

sincos

sincos)cos(

)cos(

&

&&&&

&&&

⊥

⊥

+=

=++=∂

∂=

+=∂

=

Ip

IIL

p

Ip

)cos()cos(|| ϑϕψϑϕϑ kkIkIwIJ ′−+′++= ⊥⊥

rr&

r&&

r&r

Interpretacja tych całek

zJ ′

||

Rzut na kierunek z wynosi:

ϑϕψϑϕ kkkkIkkIkJJ =⋅′−⋅+⋅′+=⋅= )cos()cos(rrrr

&rr

&&rr

12

ϕψψ ϑϕϑϑϕϑ

ϑϕψϑϕ

pIpIp

kkkkIkkIkJJ z

=+=−+=

=⋅′−⋅+⋅′+=⋅=

⊥⊥

⊥

22

||

sincos)cos1(cos

)cos()cos(

&&

rrrr&

rr&&

rr

Moment siły prostopadły i do . Stałość rzutu na oś z układu inercjalnego jest

oczywista. Stałość rzutu na oś z’ wymaga przypomnienia równania Eulera

kk ′rr

do i

'''''' )(

d

d ,

d

dzxxyx

zz

z NIIt

JN

t

J=−+= ωω

( )

ϑϑϑ

ϑ

ϑϑϕψϑϕϑ

ψϕψ cos)cos(sin2

1

2

1

cossin)cos(

2

2

2

||

2

2

1

222

||

2

2

1

MgdppI

pI

I

MgdIIIE

+−++=

=++++=

⊥

⊥

⊥⊥

&

&&&&

Znajomość 2 całek pierwszych pozwala w trzeciej całce pierwszej – energii,

wyeliminować prędkości , co prowadzi do równania pierwszego rzędu, o

rozdzielonych zmiennych, na funkcję . O ile nawet całka nie jest elementarna,

dyskusja wyniku jest w pełni możliwa. Dla małych odchyleń od ruchu precesyjnego

(tzn. jeśli zmiana odbywa się w wąskim przedziale) możliwe jest skuteczne

przybliżenie.

ψϕ && i )(tϑ

)(tϑ

13

ϑsin22 || II ⊥

ϑϑξ

ξϑϑξ

sin

1sin ,cos 22

&& −=

−==

Po pomnożeniu stronami przez mamy: 21 ξ−

222

||

2

2

1)(

2

1)1)(

2

1( ξξξξ ψϕψ pp

IMgdp

IEI −−−−−=

⊥

⊥&

Wielomian 3-go stopnia po prawej stronie, będący wartością kwadratu prędkości (mnożonej

przez moment bezwładności) , ma szereg charakterystycznych własności. Poza szczególnymi

dwoma przypadkami: , kiedy dla prawa strona staje się zerem, zawsze jest

ona dla tych skrajnych wartości cosinusa ujemna. Gdzieś wprzedziale musi być chociaż

nieujemna, a w nieskończoności dąży do +¶ po stronie prawej i do -¶ po lewej. Jej wykres

wygląda więc, przykładowo, tak:

ϕψ pp ±= 1±=ξ

-1 1 2

14

Granice przedziału dodatnich wartości funkcji mogą kurczyć się do pojedynczego

punktu. To oznacza precesję ze stałą wartością kąta ϑ. Łatwo podać warunek

algebraiczny, by wielomian nasz miał taki podwójny pierwiastek. Łatwo też

rozwinąć funkcję wokół maksimum, uzyskując rozwiązanie harmoniczne dla ξ.

Równanie powyższe pozwala dawać odpowiedzi na różne pytania dotyczące ruchu bąka.

Zbadajmy, na przykład, problem stabilności wirowania bąka wokół osi pionowej „na głowie”.

Stałe całkowania, w idealnym przypadku „zakręcenia” wokół osi są:

=−−−−−=

+=+=

==

ppMgdpEI

MgdI

pMgdIE

Ipp

)(1

)1)(1

(

22

1

22221

||

2

2

||

||

ψ

ϕψ

ξξξξ

ω

ω

&

−+−=−−−−=

=−−−−−+=

=−−−−−=

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

Mgd

IpMgd

I

pMgd

I

pMgdp

IMgd

I

p

ppI

MgdpI

EI

2/1)1()1(

2)1)(1(

)1(2

)1)(2

1

2(

)(2

1)1)(

2

1(

2

22

2

2

2

2

22

||||

2

222

||

2

2

1

ψψ

ψψ

ψ

ψϕψ

ξξξξξ

ξξξ

ξξξξ&

15

Przebieg funkcji decydującej o ewolucji zmiennej ξ zależy istotnie tylko od jednego

parametru jakim jest stosunek energii kinetycznej „u góry” do energii potencjalnej w tym

położeniu, mierzonej od punktu podparcia.

−+−= ⊥

⊥Mgd

IpMgdI

2/1)1(

2

22

2

1 ψξξξ&

Gdy stosunek ten przekracza 2 i wynosi 2+ε, decydująca część wynosi:

( ) ))1(()1(21)1( 22 εξξεξξ +−−=−−+−8ε=80.1,4<<

-1 1 2 3 4 5

-20

-10

10

8 8 <<

16

0.9999 0.99995 1.00005 1.0001

-6×10-10

-4×10-10

-2×10-10

8ε=80.1,4<<

W obszarze {-1,1} jedyną wartością „nadającą” się na wartość , jest 0 w punkcie

ξ=1. Przyjrzyjmy się w powiększeniu otoczeniu tego punktu:

2ξ&

-1×10-9

-8×10-10

Jeśli wyobrazić sobie, że nie byliśmy „zbyt staranni” i wartości początkowe różnią się

nieznacznie od tych idealnych, wykresy trochę się przesuną, czy zdeformują. Bąk

szybki, o stromym maksimum, może wygenerować niewielki przedział wokół ξ=1. Dla

bąka spełniającego „skromnie” warunek stabilności , przedział fluktuacji kąta będzie

dużo większy.

17

,02/

2

2

≥> ⊥

Mgd

Ipψ

Gdy bąk jest naprawdę powolny, tj. dla:

czyli dla 0 > ε ¥ -2 , przebieg funkcji wyznaczającej kwadrat prędkości, ulega

zmianie, gdyż teraz funkcja mnożąca jest dodatnia w otoczeniu ξ=1

2ξ&2)1( ξ−

8ε=8−0.1,−2<<

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

8 8 <<

18

Spójrzmy na ten wykres „przez lupę”:

0.85 0.9 0.95 1.05 1.1

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

8ε=8−0.1,−2<<

Aczkolwiek punkt ξ=1 jest rozwiązaniem (zarówno dla bąka „leniwego” jak i całkiem

niewirującego, tj. dla wahadła fizycznego) równań ruchu, to najdrobniejsze zakłócenie

wyzwala ruch w skończonym przedziale – w powyższym przykładzie bąk odchyla się od

pionu o arccos(0.9) = 25.4°, po czym wraca w okolice wierzchołka.

0.85 0.9 0.95 1.05 1.1

-0.001

-0.0005

19

Ruch jest wyjątkowo „parszywy”, gdyż formalnie, okres oscylacji jest nieskończony

( ) ∫∫∫ −−≈

−−+−∝=

112 )1(

d-1

21)1(

d-d

ξ

ξ

εεξξ

ξ

ξ

ξ&

t

Bąk rzeczywisty, wskutek, minimalnego choćby, tarcia w kolejnym cyklu odpadania i

powrotu zmienia stałe całkowania nieznacznie, ale odstępstwa od wartości idealnych

zmieniają się procentowo znacznie.

20

Zbadajmy wreszcie sytuację, jaka powstaje, gdy rozkręcony wokół swojej osi bąk

uwolnimy od więzów podtrzymujących tę oś w trakcie rozkręcania.

Warunki początkowe są:

+=+=

=

=

===≡=

22

1

0)0()0(0)0()cos()0(

0

||

2

0

2

||

0

||

00

ξξω

ξ

ω

ϕωψξξϑξ

ψ

ψϕ

ψ

MgdI

pMgdIE

pp

Ip

&&&

21

−−−−=−−−−=

=−−−−−+=

=−−−−−=

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

)(2/

1)()(2

)1)((

)(2

)1)(2

1

2(

)(2

1)1)(

2

1(

22

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

22

||

0

||

2

222

||

2

2

1

||

ξξξξξξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξ

ψψ

ψψ

ψ

ψϕψ

Mgd

IpMgd

I

pMgd

I

pMgdp

IMgd

I

p

ppI

MgdpI

EI

I

&

−−−− ⊥

)(2/

1)( 0

2

2

0 ξξξξξ ψ

Mgd

Ip

Trójmian kwadratowy w nawiasie można, oczywiście rozłożyć na iloczyn czynników

w sposób ścisły. Całka z pierwiastka kwadratowego wielomianu trzeciego stopnia

jest nie elementarna. Chcąc mieć jasne wnioski dotyczące zachowania bąka

wykonującego małe nutacje, wystarczy trójmian kwadratowy przybliżyć. Przy

naszych warunkach początkowych oznacza to, że bąk musi być szybki. Ostatni człon

w nawiasie spowoduje znikanie trójmianu już dla niewielkiej zmiany ξ. Wolno

zmienny czynnik ξ2. możemy zastąpić jego wartością początkową.

22

zmienny czynnik ξ2. możemy zastąpić jego wartością początkową.

+−−

=

=−

−−≈−−−

⊥

⊥

⊥⊥

ξξξ

ξξξξξξ

ψ

ψ

ψψ

0

2

02

2

0

2

2

00

2

2

)1(2/

2/

)(2/

1)(2/

1

Ip

Mgd

Mgd

Ip

Mgd

Ip

Mgd

Ip

−−−−=

+−−

−=

⊥⊥

⊥

⊥

⊥

))1(2/

()(

)1(2/

2/)(

2

0200

2

2

2

||2

0

2

02

2

0

2

2

1

ξξξξξωξ

ξξξξξξ

ψ

ψ

ψ

Ip

Mgd

I

I

Ip

Mgd

Mgd

IpMgdI

&

&

2

10

2

10))((

+

−−

−

=−−ξξ

ξξξ

ξξξξ

23

Jest to równanie oscylatora harmonicznego! Zmienna ξ=cosϑ zmienia się w

przedziale:

0

2

200 sin2/

coscoscos ϑϑϑϑψ ⊥

−≥≥Ip

Mgd

Częstością nutacji jest ,a amplitudą: ωω⊥

=I

I ||

nut

101010

22))((

+−−

−=−−

ξξξ

ξξξξξξ

0

2

22

||

sin ϑωI

MgdI⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥⊥

−=

=

−−=

=

+−=

I

tIMgdI

I

tI

I

MgdI

tI

I

I

MgdI

I

MgdI

2sinsin

2cos

cos1sincos

cossinsincoscos

||2

0

2

220

||

0

2

22

||

0

||

0

2

22

||

0

2

22

||

0

ωϑ

ωϑ

ωϑ

ωϑ

ωϑω

ϑω

ϑϑ

24

⊥

−=II 2

sinsincos 022

||

0 ϑω

ϑ

))(sin()cos()cos( 000 ϑϑϑϑϑ −−=−

⊥

⊥=−I

tI

I

MgdI

2sinsin

2 ||2

022

||

0

ωϑ

ωϑϑ

⊥⊥⊥

⊥

≈−

=−

=

=−

I

tI

I

Mgd

II

I

pp

Ipp

2sin

2

sin

coscos

sin

cos

sincos

||2

||

2

0||2

2

ω

ωϑ

ϑϑω

ϑ

ϑϕ

ϑϕϑ

ψϕ

ψϕ

&

&

)sin(

)cos1(2

sin2

||

||||

||

||

||2

||

⊥

⊥

⊥⊥

−=

−==

I

tI

I

It

I

Mgd

I

tI

I

Mgd

I

tI

I

Mgd

ω

ωωϕ

ω

ω

ω

ωϕ&

Uśredniając po wielu okresach nutacji, widzimy systematyczny wzrost wartości azymutu

j z prędkością średnią

ϕMgd

>=< &

25

ωϕ

||I

Mgd>=< &

Jednak w czasie krótkim, mamy

3||

||||

2||2

022

||

0

)sin(

2sinsin

2

tI

tI

I

It

I

Mgd

tI

tI

I

MgdI

∝−=

∝=−

⊥

⊥

⊥

⊥

ω

ωωϕ

ωϑ

ωϑϑ

Oś symetrii opada początkowo pionowo!

Z kolei co oznacza, iż do początkowej prędkości kątowej dochodzi składowa na

kierunku linii węzłów. Koniec wektora prędkości kątowej „rusza w drogę” (po

równoleżniku) od razu ze skończoną prędkością. Oś symetrii zostaje w tyle, a prędkość

kątowa jej ucieka.

Narastające oddalenie powoduje iż biegun bryły zaczyna uczestniczyć w ruchu. W

pierwszym etapie w kierunku pionowym, a stopniowo, im jest niżej, tym bardziej

narasta składowa pozioma.

t∝ϑ&

26

A jak zachowują się wektory prędkości kątowej i momentu pędu?

Mamy wszystkie niezbędne elementy, by to zbadać. Z rysunku definiującego kąty Eulera

odczytujemy macierz przejścia od układu bryły do układu inercjalnego:

i

k

Cos@ϕD Cos@ψD − Cos@θD Sin@ϕD Sin@ψD −Cos@θD Cos@ψD Sin@ϕD − Cos@ϕD Sin@ψD Sin@θD Sin@ϕDCos@ψD Sin@ϕD + Cos@θD Cos@ϕD Sin@ψD Cos@θD Cos@ϕD Cos@ψD −Sin@ϕD Sin@ψD −Cos@ϕD Sin@θD

Sin@θD Sin@ψD Cos@ψD Sin@θD Cos@θD

y

{

Wyprowadzaliśmy także wzory na prędkości kątowe w układzie bryły:

27

Wyprowadzaliśmy także wzory na prędkości kątowe w układzie bryły:

ωx' = θ�∗Cos@ψD +ϕ

�∗Sin@θD Sin@ψD;

ωy' = −θ�∗Sin@ψD + ϕ

�∗Sin@θD Cos@ψD;

ωz' = ψ�+ ϕ�∗Cos@θD;

)sin(

)cos1(2

sin2

||

||||

||

||

||2

||

⊥

⊥

⊥⊥

−=

−==

I

tI

I

It

I

Mgd

I

tI

I

Mgd

I

tI

I

Mgd

ω

ωωϕ

ω

ω

ω

ωϕ&

ψ�= −

MgdCos@θ0DB»» ∗ω

∗ik1 −CosA

B»» ω

B tEy

{

Zbieramy wzory na kąty Eulera i ich pochodne:

28

ψ = −@ D

B»» ∗ω∗ik1 −CosA »»

BT tEy

{

ψ = ωt ik1 −

MgdCos@θ0DB»» ω2

y{+

BT MgdCos@θ0DB»»2 ω2

SinAB»» ∗ ω

BT∗ tE

⊥

⊥+=I

tI

I

MgdI

2sinsin

2 ||2

022

||

0

ωϑ

ωϑϑ

⊥

=I

tI

I

Mgd ωϑ

ωϑ ||

0

||

sinsin&

9ω CosA dt Mg

ω BrE Sin@θ0D −

d Mg I2 CosA dt Mg E Cos@θ0D SinA t ω Br E2 +SinA dt Mg E SinA t ω Br EM Sin@θ0D HBr − BtrL

9ω CosA dt Mg

ω BrE Sin@θ0D Br, ω SinA dt Mg

ω BrE Sin@θ0D Br, ω Cos@θ0D Br=

Teraz już tylko pomnożyć macierzowo, raz wektor momentu pędu:

drugi raz wektor prędkości kątowej i rozwinąć względem małego parametru:

Wektor momentu pędu (w tym przybliżeniu wykonuje precesję!!!

Prędkość kątowa już nie, ale w pierwszej chwili, też zaczyna ruch względem równoleżnika.

},,{ 'r'tr'tr zyx BBB ωωω

29

9 A E @ D

d Mg I2 CosA dt Mg

ω BrE Cos@θ0D SinA t ω Br

2 BtrE2 +SinA dt Mg

ω BrE SinA t ω Br

BtrEM Sin@θ0D HBr − BtrL

ω Br2

,

ω SinA dt Mg

ω BrE Sin@θ0D +

d Mg I−2 Cos@θ0D SinA dt Mg

ω BrE SinA t ω Br

2 BtrE2 + CosA dt Mg

ω BrE SinA t ω Br

BtrEM Sin@θ0D HBr −BtrL

ω Br2

,

ω Cos@θ0D +2 d Mg SinA t ω Br

2 BtrE2 Sin@θ0D2 HBr − BtrL

ω Br2

=

Skoro wiemy gdzie jest moment pędu i gdzie oś symetrii, to prędkość chwilowa musi być na

tym samym południku. )tan(*)tan(

,rtr, ωαα

kJkBB

′′= rrr