Meccanicadei sistemi

Corso di Fisica - UdA 1

Meccanica dei Sistemi


Principio di Conservazione della Quantità di Moto

Supponiamo che su un corpo agisca dall’esterno un insieme di forze tali che la loro risultante sia nulla. In tal caso avremo che:

ΣF = 0 = Δp/Δt Δp = 0

Se Δp = 0 ne consegue che p = costante.

Possiamo quindi enunciare il Principio di Conservazione della Quantità di Moto:

Se la risultante delle forze esterne agenti su un corpo è nulla la quantità di moto totale del corpo si conserva


Urti

Nel caso di un urto tra due palline da biliardo, la risultante delle forze esterne (forza peso e reazione vincolare) è nulla, per cui possiamo scrivere:

m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’

Questo problema non può essere risolto con la sola equazione suscritta perché le velocità incognite dopo l’urto sono due.


Urti elastici e conservazione dell’energia cinetica

Se i due corpi sono molto rigidi, come appunto le due palline da biliardo, e non viene prodotto calore durante l’urto, anche l’energia cinetica totale si conserva. Un tale tipo di urto si dice urto elastico. Allora potremo scrivere una seconda equazione:

½ m1v12 + ½ m2v22 = ½ m1v1’2 + ½ m2v2’2

Che messa a sistema con la precedente ci permette di risolvere il problema.

Nel caso in cui l’energia cinetica non si conserva l’urto è detto anelastico. In questo caso l’energia totale si conserverà sempre ma quella cinetica si trasforma in altra forma di energia (ad es. calore)


Di che urto si tratta?

Pendolo BalisticoEssendo ΣF = 0 avremo:

mv + 0 = (m+M)v’

da cui:

v’ = v m/(m+M)

Dopo l’urto, per il principio di conservazione dell’energia meccanica, avremo:

½ (m+M) v’2 + 0 = 0 + (m+M) gh

da cui (come prevedibile):

h = v’2 / 2g


Di che urto si tratta?


Centro di Massa


Centro di Massa

I corpi estesi sono soggetti a moti più complessi di quelli delle singole particelle, e in genere sono composizioni di traslazioni e rotazioni. Tuttavia, anche se un corpo esteso ruota o se parti del corpo esteso ruotano una rispetto alle altre, in generale esiste un punto che si muove lungo lo stesso percorso in cui si muoverebbe una particella se soggetta alla stessa forza risultante a cui è soggetto l’intero sistema. Tale punto si chiama Centro di Massa (CM), o Centro di Gravità, o Baricentro del corpo. Come vedremo più avanti il moto totale di un corpo esteso può essere considerato come la somma di un moto traslatorio del centro di massa più un moto rotatorio, anche istantaneo, attorno ad esso.


Moto del Centro di Massa


Posizione del Centro di Massa

La posizione del CM può essere trovata pensando che in esso si applica la risultante di tutte le forze peso elementari che agiscono su ogni elemento di massa Δm che costituisce il corpo esteso.

CM

Mg

CM

Mg

CM

Mg

La posizione del CM è intuibile nei solidi geometrici, ma può capitare ovunque in corpi estesi di forma qualsiasi (anche fuori dal corpo!)


Centro di Massa


Posizione del Centro di Massa

Nel caso di due palline tra loro vincolate, la posizione del CM si trova in un punto intermedio tra m1 ed m2 di coordinata: xCM = (m1x1 + m2x2)/(m1+m2) = (m1x1 + m2x2)/M

e se le masse sono uguali ovviamente xCM cade nel punto di mezzo:

xCM = m(x1 +x2)/2m = (x1 + x2)/2


Come trovare il Baricentro


Corpi rigidi

Si definisce corpo rigido un corpo che, soggetto a forze esterne di qualsiasi intensità, non si deforma .

L’applicazione di una forza esterna ad un corpo rigido può provocarne la traslazione e/o la rotazione rispetto ad un punto O qualsiasi.


Rotazione di corpi rigidi

Non sempre i corpi rigidi ruotano con moto uniforme. Se la velocità angolare ω non è costante dovremo considerare: ω = Δθ/Δt, ovvero la velocità angolare istantanea se Δt è molto piccolo, e: α = Δω/Δt, ovvero l’accelerazione angolare istantanea, sempre con la stessa ipotesi. In questo caso si manifesta una componente tangenziale dell’accelerazione a (che quindi non sarà più solo centripeta).


Causa della rotazione di corpi rigidi

Applicando una forza ad un corpo vincolato ad un asse (ad es. una porta) ci rendiamo conto che la rotazione che otteniamo dipende dall’orientamento della forza e dalla distanza del suo punto di applicazione dall’asse di rotazione (braccio), oltre che dall’intensità della forza stessa.


Momento Torcente

Si definisce Momento M di una forza – o momento torcente – rispetto al punto O il prodotto vettoriale:

Il momento della forza si misura in N m (Newton metri)


Equazioni della Statica

Un corpo rigido è in equilibrio se:

Equilibrio alla Traslazione

Equilibrio alla Rotazione rispetto ad un qualsiasi punto

Le due relazioni sopra sono vettoriali e si possono quindi riscrivere proiettando i vettori sugli assi x, y, z.


Leve

Fp/Fr = rr/rp

All’equilibrio, le forze dirette verso il basso sono annullate dalla reazione vincolare nel fulcro. Se si sceglie un asse di rotazione passante per il fulcro, gli unici momenti sono quelli di Fr e Fp, che dovranno avere risultante nullo:

Frrsinθ – FpRsinθ = 0

o, più in generale, quando r perp. F:

Frrr=Fprp

da cui si ricava l’espressione del guadagno meccanico della leva:

Fr


LE LEVE

La leva è una macchina semplice caratterizzata da:

forza attiva (Fp, potenza)

forza passiva (Fr, resistenza) fulcro

Le leve si distinguono in leve di: PRIMO GENERE SECONDO GENERE TERZO GENERE

Guadagno meccanico : Fp/Fr = rr/rp


SCHEMA E GENERE DELLE LEVE

Leva di terzo genere

Leva di secondo genere

Leva di primo genere


ESEMPIO DI LEVA DEL PRIMO GENERE NEL CORPO

Forza attiva di potenza → sistema dei muscoli splenici e sub-occipitali Forza passiva → peso del cranio Fulcro → atlante

All’equilibrio, il braccio della resistenza è circa 3-4 volte più grande di quello della forza attiva esercitata dai muscoli per mantenere il capo in stazione eretta.

La leva, detta di bilanciamento, è svantaggiosa


ESEMPIO DI LEVA DEL SECONDO GENERE NEL CORPO

Forza attiva di potenza → muscoli gemelli Forza passiva → scarico del peso del corpo sul piede Fulcro → metatarsoAll’equilibrio, il braccio della forza attiva è maggiore di quello della forza passiva:

La leva, detta di potenza, è vantaggiosa


ESEMPIO DI LEVA DEL TERZO GENERE NEL CORPO

Forza attiva di potenza → forza espressa dal bicipite e dal tricipite Forza passiva → peso avambraccio + eventuale carico Fulcro → articolazione del gomito

All’equilibrio, il braccio della forza attiva è minore di quello della forza passiva:

La leva è svantaggiosa


Equilibrio stabile, instabile, indifferente

(c)

• Eq. stabile: il baricentro è sotto il punto di appoggio;

• Eq. Instabile: il baricentro è sopra il punto di appoggio;

• Eq. Indifferente: il baricentro coincide con il punto di vincolo.


Base di appoggio

Il frigorifero ritorna nella sua posizione iniziale soltanto fino a che la retta di applicazione della forza peso cade nella base di appoggio.

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