5. SISTEMI SIMULTANIH JEDNAČ ... Sistemi simultanih jednačina 177 pri čemu je Rt kamatna stopa,...

Click here to load reader

  • date post

    09-Mar-2020
  • Category

    Documents

  • view

    11
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 5. SISTEMI SIMULTANIH JEDNAČ ... Sistemi simultanih jednačina 177 pri čemu je Rt kamatna stopa,...

  • Sistemi simultanih jednačina

    173

    5. SISTEMI SIMULTANIH JEDNAČINA

    Podsetimo se opšteg oblika uzoračke funkcije višestrukog linearnog re- gresionog modela:

    0 1 1 2 2 1 1 1 2,... , , , ..., .i i i k k i iY X X X i nβ β β β ε− −= + + + + + = (5.1) gde je: Y zavisna promenljiva, X1, X2,…, Xk-1 su objašnjavajuće promenljive, ε je slučajna greška, β1, β2, …, βk-1 su nepoznati parametri, dok se indeks i odnosi na broj opservacije u uzorku. Da bi primenom metoda običnih najmanjih kvadrata (ONK) dobili poželjne ocene parametara neophodno je da model zadovoljava određene pretpostavke. Podsetimo se pretpostavki klasičnog linearnog regresio- nog modela o svojstvima raspodele verovatnoće slučajne greške εi, kao i uslova koje treba da zadovolje objašnjavajuće promenljive:

    1. E(εi) = 0, za svako i.

    2. v(εi) = E(εi2) = δ2, za svako i.

    3. cov(εiεj) = E(εiεj) = 0, za svako i i j, tako da je i ≠ j.

    4. εi : N (0, δ2).

    5. X1, X2,…, Xk-1 nisu slučajne promenljive, već uzimaju fiksirane vrednosti iz ponovljenih uzoraka i

    6. X1, X2,…, Xk-1 nisu međusobno linearno zavisne, odnosno nijedna objašnjava- juća promenljiva se ne može izraziti kao linearna funkcija ostalih. Polazna jednačina (5.1) zajedno sa izloženim pretpostavkama 1-6. predstavlja klasičan višestruki regresioni model.140

    140 Navedeno prema: Mladenović i Petrović (2017).

  • Odabrane ekonometrijske teme − metodologija i primena

    174

    U ovom poglavlju detaljnije se bavimo regresionom analizom u kojoj objašnjavajuća promenljiva ne uzima iste vrednosti iz ponovljenih uzoraka, odnosno ukoliko je narušena pretpostavka (5), koja se formalno definiše kao:

    Е(εi Xi)=0, za svako i. (5.1a) Reč je o zahtevu da objašnjavajuća promenljiva nije stohastičke prirode, odno- sno uslovu da ne postoji korelisanost objašnjavajuće promenljive Xi i slučajne greške εi. Ispunjenost navedene pretpostavke upućuje na egzogenu prirodu obja- šnjavajuće promenljive.

    U udžbeniku Mladenović i Petrović (2017) pokazano je da narušenost ove pretpostavke dovodi u pitanje kvalitet ocena dobijenih primenom metoda običnih najmanjih kvadrata (ONK) i da se ovaj problem prevazilazi primenom metoda instrumentalnih promenljivih (IP). Podsetimo da problem endogenosti može nastati usled greške u merenju promenljivih, izostavljanjem relevantne objašnjavajuće promenljive, kao i uključivanjem pomaknute zavisne promenlji- ve Yt-1 kao objašnjavajuće. Na ovom mestu detaljno razmatramo problem koreli- sanosti objašnjavajuće promenljive i slučajne greške koji nastaje usled simulta- ne međuzavisnosti između zavisne i objašnjavajuće promenljive.

    Simultana međuzavisnost analiziranih promenljivih je veoma česta u ekonom- skim istraživanjima. Naime, do sada smo razmatrali pojedinačne jednačine u kojima je objašnjavajuća promenljiva X uticala na kretanje zavisne promenljive Y. Međutim, u praksi je često potrebno posmatrati dvosmernu zavisnost između promenljivih, gde je Y funkcija nivoa X, ali istovremeno i nivo Y utiče na nivo X. U narednoj glavi se bavimo upravo ovim problemom, koji dovodi do među- sobne korelisanosti objašnjavajuće promenljive i slučajne greške za iste opser- vacije. Za potrebe istraživanja ovih relacija potrebno je posmatrati više jednači- na u isto vreme. U tom slučaju je svaka promenljiva definisana zasebnom jedna- činom, a model kojim se opisuje istovremena međuzavisnost posmatranih veli- čina naziva se sistem simultanih jednačina. Najčešće primenjivani metod za ocenjivanje sistema simultanih jednačina jeste metod instrumentalnih promen- ljivih141 (videti deo 7.5), ali su problemi izbora specifikacije, ocenjivanja i inter- pretacije parametara ovih modela specifični.

    Ovo poglavlje detaljno razmatra teme vezane za interpretaciju i ocenjiva- nje sistema simultanih jednačina. Polazimo od definisanja metodološkog okvira

    141 Videti: Mladenović i Petrović (2017).

  • Sistemi simultanih jednačina

    175

    koji se koristi u analizi ovih modela. Dajemo objašnjenje same prirode simulta- ne međuzavisnosti, kao i posledica koje ignorisanje ovog problema ima na oce- ne dobijene metodom ONK. U nastavku se bavimo problemom identifikacije i izbora metoda ocenjivanja sistema simultanih jednačina. 5.1. Specifikacija sistema simultanih jednačina Analiziraćemo nekoliko primera simultanih jednačina. Prvi sistem je jed- nostavan makroekonomski model koji se sastoji od sledećih jednačina: potrošnja: Ct = αo + α1 Yt + ε1t investicije: It = β0 + β1 Yt + β2 Yt-1 + ε2t društveni proizvod: Yt =Ct + It + Gt , (5.2) gde je potrošnja (Ct) funkcija društvenog proizvoda (Yt), dok su investicije (It) funkcija tekućeg (Yt) i društvenog proizvoda iz prethodnog perioda (Yt-1). Treća jednačina sugeriše da je društveni proizvod jednak sumi potrošnje, investicija i državnih rashoda (Gt). Sistemom su određene tri endogene promenljive Ct, It i Yt. Kako je to najčešće slučaj, reč je upravo o tri promenljive koje se nalaze na levoj strani jednačina (zavisne promenljive) i definisane su unutar sistema. Ova- ko definisan sistem je dinamičke prirode,142 jer pored egzogene promenljive Gt (definisane izvan modela), sadrži i predeterminisanu promenljivu Yt-1. Ova pro- menljiva nije egzogena, ali kako je reč o endogenoj promenljivoj sa pomakom, njenu vrednost u tekućem periodu tretiramo kao poznatu.

    Prve dve jednačine opisuju ponašanje ekonomskih subjekata, sadrže ne- poznate parametre koji mere direktne uticaje promene objašnjavajuće promen- ljive na zavisnu i imaju jasnu ekonomsku interpretaciju (npr. parametar α1 meri graničnu sklonost ka potrošnji i uzima vrednosti između nula i jedan). Ovi para- metri se nazivaju strukturni parametri, a navedena specifikacija predstavlja strukturnu formu modela. Treća jednačina je identitet i ne sadrži parametre za ocenjivanje. Reč je o definicionoj jednačini prema kojoj se dohodak razlaže na potrošnju, investicije i državnu potrošnju.

    142 Sistem je dinamičan ako se u njemu nalaze vrednosti promenljivih koje se odnose na razli- čite vremenske periode (tekuće i pomaknute vrednosti promenljivih).

  • Odabrane ekonometrijske teme − metodologija i primena

    176

    Važno je napomenuti da broj jednačina u modelu zavisi od velikog broja faktora, pre svega od cilja istraživanja i raspoloživih podataka. Optimalan nivo jednostavnosti modela uslovljen je praktičnim i teorijskim ograničenjima. Nai- me, već smo napomenuli da je broj jednačina jednak broju endogenih promen- ljivih koje su njima određene. Broj egzogenih promenljivih nije unapred ograni- čen i objedinjuje dva međusobno suprotstavljena zahteva. Sa jedne strane, u model je potrebno uključiti sve relevantne faktore, dok je sa druge strane neop- hodno poštovati princip ekonomičnosti, koji prednost daje manje komplikova- nim modelima. Pri tome, svrha modela opredeljuje da li neku promenljivu u da- tom istraživanju tretiramo kao egzogenu ili pak kao endogenu. Endogena priro- da promenljive obezbeđuje se uključivanjem u model dodatne jednačine, kojom definišemo način njenog formiranja.

    Drugi model opisuje ponudu i tražnju za određenim proizvodom:

    ponuda: Qip = αo + α1 Pi + ε1i tražnja: Qit =β0 + β1 Pi + β2 Yi + ε2i uslov ravnoteže: Qip = Qit , (5.3) gde ponuda (Qip) zavisi od cene (Pi) i slučajne greške (ε1i), a tražnja (Qit) od ce- ne (Pi), dohotka (Yi) i slučajne greške (ε2i). Treća jednačina sugeriše jednakost ponude i tražnje za datim proizvodom. Ovaj sistem se sastoji od dve jednačine ponašanja, te je potrebno da identifikujemo dve endogene promenljive kako bi sistem bilo moguće oceniti.143 Osim količine proizvoda (ponuđene, odnosno tra- žene), ekonomska teorija sugeriše cenu kao drugu promenljivu određenu unutar sistema (iako se nalazi na desnoj strani jednačina ponašanja, u setu objašnjava- jućih promenljivih). U sistemu se još pojavljuje i dohodak potrošača, koji je eg- zogena promenljiva (data van sistema).

    Treći primer je model ravnoteže na tržištu robe i novca (IS-LM model):

    LM kriva: Rt = αo + α1 Mt + α2 Yt + α3 Mt-1 + ε1t IS kriva: Yt= β0 + β1 Rt + β2 It + ε2t, (5.4)

    143 Ovakav sistem nazivamo kompletnim, a formalna definicija sledi u nastavku.

  • Sistemi simultanih jednačina

    177

    pri čemu je Rt kamatna stopa, Mt realni novčani fondovi, Yt nivo bruto društve- nog proizvoda, dok It predstavlja investicionu potrošnju. U ovom modelu endo- gene promenljive su Rt i Yt, dok Mt i It smatramo egzogenim. Uočavamo da in- vesticionu potrošnju sada tretiramo kao egzogenu, unapred datu, promenljivu, za razliku od prvog modela (5.2) gde je figurisala kao endogena i bila definisana posebnom jednačinom. Ovaj sistem se sastoji od dve strukturne jednačine, koji- ma su definisane dve endogene promenljive (Rt i Yt). Pored endogenih, sistem sadrži i tri predeterminisane promenljive (Mt, It i Mt-1). Na ovom primeru siste- ma od dve strukturne jednačine možemo intuitivno objasniti problem do koga dovodi simultana međuzavisnost. Pretpostavimo da raste greška prve jednačine, a da je sve ostalo u sistemu konstantno. Rast ε1t dovodi do rasta promenljive Rt u prvoj jednačini, koja dovodi do promene promenljive Yt