Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Mecánica II

15 - 44

Derivada temporal de un vector respecto un sistema de referencia en rotación

• Sistema OXYZ es fijo

• Sistema Oxyz gira

alrededor del eje fijo OA

con velocidad angular Ωr

• El vector varía en

dirección y magnitud.

( )tQr

( ) kQjQiQQ zyxOxyz

r&

r&

r&&

r++=

• Con respecto al sistema fijo OXYZ,

( ) kQjQiQkQjQiQQ zyxzyxOXYZ&r

&r

&rr

&r

&r

&&r

+++++=

• derivada

respecto del sistema móvil Oxyz

( ) ==++ Oxyzzyx QkQjQiQ &rr

&r

&r

&

• Si estuviera fijo en Oxyz entonces es

equivalente a la velocidad de un punto situado en

el extremo y que perteneciese a un sólido

rígidamente unido al sistema Oxyz

( )OXYZQ&r

QkQjQiQ zyx

rr&r

&r

&r

×Ω=++

Qr

• Con respecto al sistema móvil Oxyz

kQjQiQQ zyx

rrrr++=

• Con respecto al sistema de referencia fijo,

( ) ( ) QQQ OxyzOXYZ

rr&r

&r

×Ω+=

Qr

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Mecánica II

15 - 45

Aceleración Coriolis• El sistema OXY es fijo y el sistema Oxy gira con una

velocidad angular .Ωr

• El vector de posición para la partícula P es el mismo

en ambos sistemas pero su dervada depende del sistema

elegido.

Prr

• La velocidad absoluta de la partícula P es

( ) ( )OxyOXYP rrrv &rr

&rr +×Ω==

• Considere una sección referida al sistema móvil. P’ es

un punto de la sección que corresponde a la posición

instantánea de la partículaP.

( ) == OxyP rv &rr

Fvelocidad de arrastre de P

='Pvr

Velocidad de arrastre P’ de la sección

• La velocidad absoluta para la partícula P será:

FPPP vvvrrr += ′

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15 - 46

Aceleración Coriolis

( )FPP

OxyP

vv

rrvrr

&rrr

+=

+×Ω=

′

• La aceleración absoluta para P es

( ) ( )[ ]OxyOXYP rdt

drra &

r&rrr&

rr +×Ω+×Ω=

( ) ( ) ( )OxyOxyP rrrra &&r

&rrrrrr&

rr +×Ω+×Ω×Ω+×Ω= 2

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )OxyOxyOxy

OxyOXY

rrrdt

d

rrr

&rr

&&r

&r

&rrr

&r

×Ω+=

+×Ω=pero

,

( )( )OxyP

P

ra

rra

&&rr

rrrr&rr

=×Ω×Ω+×Ω=′

F

• Utilizando el concepto del punto P’ de la sección

• La aceleración absoluta sérá (arrastre+relativa+coriolis):

( )

( ) 22

2

=×Ω=×Ω=

++=

×Ω++=

′

′

F

F

F

POxyc

cPP

OxyPPP

vra

aaa

raaa

vr&rrr

rrr

&rrrrr

Aceleración Coriolis

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15 - 47

Aceleración Coriolis• Considere un collarín P que desliza con una velocidad relativa

constante u a lo largo de la barra OB. La barra está girando

con una velocidad angular constante ω. El punto A de la barra

corresponde a la posición instantánea de P.

cPAP aaaarrrr ++= F

• La aceleración absoluta del collarín es

( ) 0== OxyP ra &&rr

F

uava cPc ω22 =×Ω= F

rrr

( ) 2ωrarra AA =×Ω×Ω+×Ω= rrrr&rr

donde

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15 - 48

Aceleración Coriolis

uvvtt

uvvt

A

A

′+=′∆++=

′rrr

rrr

,at

,at

• El cambio de velocidad con ∆t se representa con la suma de tres vectores:

TTTTRRv ′′′+′′+′=∆r

( ) 2ωrarra AA =×Ω×Ω+×Ω= rrrr&rr

• se debe al cambio de dirección de la

velocidad del punto A de la barra.

AAtt

arrt

vt

TT ====′′

→→2

00limlim ωωω

∆θ∆

∆ ∆∆

TT ′′

• resulta del efecto combinado del

movimiento relativo de P y la rotación de la barra

TTRR ′′′′ and

uuu

t

r

tu

t

TT

t

RR

tt

ωωω∆∆ω

∆θ∆

∆∆ ∆∆

2

limlim00

=+=

+=

′′′+

′→→

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15 - 49

Movimiento en 3D. Aceleración de Coriolis

• Con respecto a los ejes fijos OXYZ y ejes móviles Oxyz,

( ) ( ) QQQ OxyzOXYZ

rr&r

&r

×Ω+=

• Considere el movimiento de una partícula P relativoto a un sistema en rotación Oxyz o F (para abreviar).

La velocidad absoluta se puede expresar como,

( )FPP

OxyzP

vv

rrvrr

&rrrr

+=

+×Ω=

′

• La aceleración absoluta se puede expresar como

( ) ( ) ( )

( ) onaccelerati Coriolis 22

2

=×Ω=×Ω=

++=

+×Ω+×Ω×Ω+×Ω=

′

F

F

POxyzc

cPp

OxyzOxyzP

vra

aaa

rrrra

rr&rrr

rrr

&&r

&rrrrrr&

rr

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15 - 50

Sistema de Referencia en Movimiento General

Considerar:

- Ejes fijos OXYZ,

- Sistema en traslación AX’Y’Z’, y

- Sistema en traslación y rotaciónAxyz or F.

• Con respecto a OXYZ y AX’Y’Z’,

APAP

APAP

APAP

aaa

vvv

rrr

rrr

rrr

rrr

+=

+=

+=

• La velocidad y aceleración de P relativa a

AX’Y’Z’ se puede poner en términso de la

velocidad y aceleración de P relativa a Axyz.

( )FPP

AxyzAPAPAP

vv

rrvv

rr

&rrrrr

+=

+×Ω+=

′

( )( ) ( )

cPP

AxyzAPAxyzAP

APAPAP

aaa

rr

rraa

rrr

&&r

&rr

rrrr&rrr

++=

+×Ω+

×Ω×Ω+×Ω+=

′ F

2