MÉCANIQUE ANALYTIQUE (PHY-2000)Aide-mémoire

Métriques: PotentielsEn coordonnées cartésiennes (x, y, z): ds2= (dx)

2+ (dy)

2+ (dz)

2 Harm: V (x) = 12k (x− x0)

2, k = mω2

En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ): ds2= (dr)2

+r2 (dθ)2

+r2 sin2 θ (dϕ)2 Grav: Vgrav= mgh ou −GM/r

En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z): ds2= (dρ)2

+ρ2 (dθ)2

+ (dz)2 EM: Uem= qe(φ− v ·A)

En général: ds2=∑i,j gijdqidqj avec E= −∇φ et B= ∇×A

Mécanique lagrangienne:Lagrangien: L = T − V avec T =

∑i,j

m2 gij qiqj Contrainte holonome: f(qi, qi, t) = d

dth(qi, t) = 0 soit h(qi, t) = C

Équation d'Euler-Lagrange pour un lagrangien L(qi, qi, t) : Contrainte non holonome: f(qi, qi, t) 6= ddth(qi, t) ou f(qi, qi, t) < 0

Forces conservatrices (F (r) = −∇V (r)) : ddt

(∂L∂qi

)− ∂L∂qi

= 0. ou f(qi, qi, t) > 0.

Forces non conservatrices (F (r) 6= −∇V (r)) : ddt

(∂L∂qi

)− ∂L∂qi

= Qi où Qi = composantes de la force généralisée.

Multiplicateurs de Lagrange avec f(qj , qj , t) = 0: L′ = L+λf(qj , qj , t),Solution physique = qi(t, λ) , ou f(qi(t, λ), qi(t, λ), t) = 0.

Potentiel ecace: Veff.= V eff.(r0)+ ∂Veff.

∂r

∣∣r0

(r − r0)+ 12∂2Veff.

∂r2

∣∣∣r0

(r − r0)2+O(r

3),

Variables cycliques (lagrangien indépendant de qi):∂L∂qi≡ 0, ∂L

∂qi= constante.

Mécanique hamiltonienneHamiltonien: H(qi, pi, t) =

∑ni qipi−L(qi, qi, t) avec: pi≡ ∂L

∂qiet T =

∑i,j

12mg

−1ij pipj

Équations canoniques du mouvement: qi=∂H∂pi

, pi= −∂H∂qiCrochets de Poisson: A,Bq,p≡

∑ni

[∂A∂qi

∂B∂pi− ∂A∂pi

∂B∂qi

]Identité de Jacobi:A, B,C+ C, A,B+ B, C,A= 0

Pour une fonction quelconque F : dFdt = F,H+∂F

∂t (= 0 pour F= constante du mouvement).Variables canoniques qi, pi: qk, qj = 0, pk, pj = 0, qk, pj = δkjTransformations canoniques (TC): L = L′+dF

dt H ′(Q,P ) = H(q, p)+∂F∂t avec générateurs

F1(qi, Qi, t) : pi=∂F1

∂qi, P i= − ∂F1

∂Qi, ∂pi

∂Qj= −∂Pj

∂qiF3(pi, Qi, t) : qi= −

∂F3

∂pi, P i= − ∂F3

∂Qi,

∂Pj

∂pi= ∂qi∂Qj

F2(qi, P i, t) : pi=∂F2

∂qi, Qi=

∂F2

∂Pi, ∂pi

∂Pj=∂Qj

∂qiF4(pi, P i, t) : qi= −

∂F4

∂pi, Qi=

∂F4

∂Pi,

∂Qj

∂pi= − ∂qi

∂Pj

Méthode Hamilton-Jacobi (TC de type F2(qi, P i, t) = S(qi, αi, t) où on choisit (Qi, P i) = (βi, αi) = const.)

Équation de Hamilton-Jacobi: H(qi,∂S∂qi, t) + ∂S(qi,αi,t)

∂t = 0 avec pi = ∂S∂qi

Équation caractéristique de Hamilton-Jacobi: H(qi,∂W∂qi

)−α1 = 0

Pour ∂H∂t = 0 : S(qi, αi, t) = W (qi, αi)− α1t avec solutions βi =

∂S(qi,αi,t)

∂αi

Variables cycliques: W (qi, αi) =∑cycliques

k αkqk+W ′(qj , αj)Théorie des perturbations

Hamilton: H(qi, pi) = H0(qi, pi) +H1(qi, pi) ou H1 < H0

Avec les solutions connues de H0: a(0)i = a(0)

i , H0+ ∂∂ta

(0)i ≡ 0 b

(0)i = b(0)

i , H0+ ∂∂tb

(0)i ≡ 0.

on solutionne ai = ai, H1 et bi = bi, H1.Méthode par série H1 = λh(qi, pi): séries de puissance ai = a

(0)i + λa

(1)i + λ2a

(2)i + · · ·

Méthode itérative: a(n+1)i = ai, H1|a(n)

j ,b(n)j

et b(n+1)i = bi, H1|a(n)

j ,b(n)j

Méthode de la moyenne (orbite cyclique de période τ ): ai=1τ

∫ τ0ai, H1dt et bi=

1τ

∫ τ0bi, H1dt

Solides indéformablesTenseur d'inertie: Iik =

∑part.m [δikxlxl − xixk] =

∫Vρmasse (x) [δikxlxl − xixk] d3x

Dynamique de rotation: torque τi = dLi

dt = Iikαk, moment cinétique Li = IikΩk , Trot=12ΩiIikΩk

Moments d'inertie principaux (diagonalisation): UIU−1= ID où ID=diag(I1, I2, I3)Équations d'Euler: Ii

dΩi

dt + εijkΩjΩkIk = τi (pas de somme sur i)Toupie: sphérique: I1 = I2 = I3 = I, symétrique: I1 = I2 6= I3, asymétrique: I1, I2, I3 diérentsMoments d'inertie I par rapport à l'axe de symétrie:

Masse ponctuelle: MR2 Disque ou cyl. plein: 12MR2 Cyl. creux/anneau mince: MR2

Tige p/r centre: 112MR2 Tige p/r extrémité: 1

3MR2 Anneau épais: 12M(R

2int+R

2ext)

Sphère pleine: 25MR2 Sphère creuse: 2

3MR2

Condition de roulement sans glissement: v = ΩRThéorème des axes parallèles: I = ICM+M · d2

Théorème des plaques minces: Iz= Ix+IyConstantes usuelles:Accélération gravitationnelle: g = 9.8 m·s−2

Rayon terrestre: R = 6378 kmVitesse angulaire terrestre: ω = 7.27 × 10−5rad· s−1

Angles d'Eulerv′ = Rv avec cα= cosα sα= sinα, α = ϕ, θ, ψ

R =

cψcϕ − cθsψsϕ cψsϕ + cθcϕsψ sθsψ−cϕsψ − cθcψsϕ cθcψcϕ − sψsϕ cψsθ

sθsϕ −cϕsθ cθ

Ω1 = θ cosψ + ϕ sin θ sinψ

Ω2 = −θ sinψ + ϕ sin θ cosψ

Ω3= ϕ cos θ + ψ