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  • Mthodes numriques dapproximationet de rsolution en mcanique

    Option Matriaux et Mcanique - module Mcanique Numrique

    13 janvier 2015- Version

    S. Drapier a & R. Fortunier b

    a Centre Science des Matriaux et des Structurescole Nationale Suprieure des Mines de Saint-tienne

    158, cours Fauriel ; 42023 Saint-tienne Cedex 2bureau J3-15 - tl 00-79 ; drapier@emse.fr

    b cole Nationale dIngnieurs de Saint-tienne58, rue Jean Parot ; 42100 Saint-tienne Cedex 2

    fortunie@enise.fr

  • Introduction gnrale

    Objectifs

    Cette UP intitule Mthodes numriques dapproximation et de rsolution enmcanique constitue un rappel des notions fondamentales (dans un cadre simple) envue dutiliser de faon matrise les mthodes rencontres dans la conception, et plusgnralement, ltude des systmes mcaniques. Les TDs correspondants apparatrontdans lUP5 de ce module Mcanique Numrique.

    Contenu

    Le contenu de ce support de cours se dcompose principalement en 2 grandesparties relativement indpendantes, portant respectivement sur les approximations nu-mriques et gomtriques linaires et non-linaires des problmes de mcanique, etsur les mthodes de rsolution associes.

    Dans la premire partie, des rappels sur les fondements de la mthode des lmentsfinis en mcanique sont dabord proposs dans un cadre linaire, puis tendus au non-linaire. Par extension aux plaques et coques, ces rappels sont ensuite formuls dansun cadre de rsolution numrique adapt. Notamment, les principaux lments utiles lingnieur dans un cadre dutilisation courante des codes de calculs industriels sont misen vidence. Enfin, une ouverture vers des avances rcentes est propose sous la forme dedeux dveloppements spcifiques : la formulation dun lment fini robuste en mcaniquedes fluides, et la prsentation de mthodes de rsolution dites sans maillage.

    La seconde partie propose une introduction gnrale des mthodes numriques lesplus couramment utilises dans la rsolution de systmes algbriques non-linaires. Lecadre de la thermique est adopt ici afin de faciliter la comprhension des mthodes. Lesnon-linarits et les mthodes associes sont tout dabord prsentes dans un cadre gnral,puis dans le cadre de la conduction en rgime transitoire. La mthode des lments finisest ensuite rappele en thermique, avec une attention particulire porte lintgrationdans le temps des phnomnes transitoires. Enfin, les phnomnes de transport offrentloccasion dintroduire les spcificits lies aux instabilits physiques et aux mthodes dersolution associes.

    iii

  • iv

    Quelques ouvrages de rfrence

    [J.-L. Batoz & G. Dhatt] Modlisation des structures par lments finis, Edi-tions Hermes, volume 2 - poutres et plaques, ISBN 2-88601-259-3

    [J.-M. Bergheau& R. Fortunier] Finite element simulations of heat transfers,ISTE - J. Wiley, ISBN 9781848210530, 2008.

    [O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor] The finite element method for solid and struc-tural mechanics (6th Edition), Elsevier editor, ISBN 0 7506 6321 9 - chapitres1-2 Gnralits et chapitre 5 Problmes non-linaires

  • Table des matires

    I Approximations numriques et cinmatiques en mcanique 3

    1 Mthode de rsolution par lments finis 7

    1.1 Rappels sur les lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 Formulation intgrale en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.1.2 De la mthode de Galerkin aux lments finis en dplacements . . . 14

    1.1.3 Oprations complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.1.4 Application la mcanique des structures : barre soumise sonpoids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.2 Extension au non-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.2.1 Quelques rappels de mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.2.2 Formulation du problme tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2 lments finis de plaques et coques 37

    2.1 Cinmatique de plaque et coque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.2 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.1.3 Plaques de Hencky-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.2 Formulation dlments finis de plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.2.1 Approximation conforme et non-conforme . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.2.2 lment fini compatible avec cisaillement transverse . . . . . . . . . 62

    2.2.3 Importance de la richesse de linterpolation . . . . . . . . . . . . . . 66

    2.2.4 Verrouillage en cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2.2.5 lments de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    2.3 lments finis de coque et autres lments spcifiques de structure . . . . 80

    2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    v

  • vi

    3 Formulation mixte - exemple du traitement dun coulement incompres-sible 87

    3.1 Gnralits et formulation - lments finis mixtes en mcanique des solides 87

    3.1.1 Formulation mixte dplacement-contrainte . . . . . . . . . . . . . . 88

    3.1.2 Condition de solvabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    3.2 lmnt fini mixte pour les coulements incompressibles - daprs P. Celle(2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.2.1 Les quations rsoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    3.2.2 Formulation faible du problme de Stokes et discrtisation par l-ments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    3.2.3 Traitement de lincompressibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.2.4 Llment bulle P1+/P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    3.2.5 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    3.2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    4 Mthodes meshless - CNEM, daprs Chinesta et al. (2010) 113

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    4.1.1 La mthode SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    4.1.2 La mthode RKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    4.1.3 Approximations de type MLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    4.1.4 Remarque finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    4.2 Fondements de la Mthode des lments Naturels . . . . . . . . . . . . . . 123

    4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    4.2.2 Mthodes Galerkin de voisinage naturel . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    II Mthodes de rsolution 135

    5 Non-linarits 139

    5.1 Formulation et techniques de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    5.1.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    5.1.2 Mthodes de rsolution de systmes dquations non linaires . . . . 140

    5.1.3 Mthode de line search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    5.2 Les non-linarits classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    5.2.1 Proprits physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    5.2.2 Conditions aux limites en flux ou source volumique . . . . . . . . . 150

    5.2.3 Modlisation des changements dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

  • 1

    6 Conduction en rgime transitoire 157

    6.1 Formulation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    6.1.1 Le problme continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    6.1.2 Approximation par lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    6.1.3 Cas linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    6.2 Intgration dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    6.2.1 Mthode modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6.2.2 Intgration directe dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    6.2.3 Prcision et stabilit dun algorithme dintgration directe . . . . . 171

    6.2.4 Rgles pratiques complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    6.3 Exemple de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    6.3.1 Modlisation physique et approximation . . . . . . . . . . . . . . . 187

    6.3.2 Applications numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

    7 Phnomnes de transport 195

    7.1 Mise en vidence des instabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    7.1.1 Bilan thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    7.1.2 Traitement dun cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    7.2 Techniques de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    7.2.1 Technique de lupwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    7.2.2 Mthode SUPG (Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin) . . . . . . . . 202

    7.2.3 Formulation de Petrov-Galerkin en 2D et en 3D . . . . . . . . . . . 205

  • 2

  • Premire partie

    Approximations numriques etcinmatiques en mcanique

    3

  • Introduction

    Cette premire partie est ddie aux mthodes numriques dapproximation descomportements en mcanique. Aprs des rappels sur les fondements de la Mthode dersolution par lments finis, dans un cadre linaire puis non-linaire, les lments destructure couramment utiliss seront prsents dans le chapitre lments finis de plaqueset coques. Ces lments classiques