MATRICE INVERSABILE ÎN MN(ℂ)

CUPRINS:

Definiţie

Propoziţie

Teoremă

Observaţii

Exemplu

DEFINIŢIEDefinitie: O matrice A ϵ Mn(ℂ) se numeste inversabila in in Mn(ℂ) pe

scurut inversabila) daca exista o matrice B ϵ Mn(ℂ) astfel incat AB=BA=In

Observatii:•Pentru o matrice de A ϵ Mn(ℂ) exista cel mult o matrice B ϵ Mn(ℂ)

cu proprietatea din enunt.Intr-adevar,daca Ab=BA=In si AC=CA=In cu B,C ϵ Mn(ℂ) atunci B=B In=B(AC)=(BA)C=InC=C.De aceea ,daca A este inversabila,matricea B din definitie este unica.Ea se noteraza cu A-1 si se noteaza inversa lui A.

•Daca inlocuim,in definitie ,multimea ℂ cu una din multimile ℝ , ℚ, sau ℤ obtinem notiunea de inversabilitate pentru matricele patratice peste ℝ , ℚ, si respectiv ℤ.

Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ),iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare pentru matricele patratice peste ℝ, ℚ, si respectiv ℤ.

Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ) ,iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare a inversei unei matrice inversabile.

Avem nevoie,mai intai , de urmatoarea propozitie.Cuprins

Daca A=(aij) ϵ Mn(ℂ) atunci, pentru orice i  ≠ j avem:Ai1 Г+ai2 Г+...+ain Гjm=0 si a1i+ Г1j+a2i Г2j +...+ani Гnj =0,(deci suma produselor elementelor unei linii si complementii algebrici ai elementelor altei linii este zero, proprietate adevarata si pentru coloane).

Demonstratie.Consideram matricea B obtinuta din A prin inlocuirea liniei j cu linia j cu linia i a matricei A,linia i ramanand aceeasi .Deoarece matricele A si B difera,cel mult ,prin linia j atunci complementii algebrici ai elementelor corespunzatoare e pe linia j din cele doua matrice sunt aceeasi .Dezvoltand determinantul matricei B dupa linia j obtinem : det B=aij Гj1 +ai2 Гj2 ...+ain Гjn .Pe de alta parte,matricea B are liniile i si j egale.Atunci det B=0 si demonstratia este incheiata .Pentru coloane demonstratia se face analog.

PROPOZIŢIE

Cuprins

TEOREMĂ

O matrice A ϵ Mn (ℂ) este inversabila in Mn daca si numai daca det A≠0.Demonstratie.( ⇒).Deoarece A∙A-1=In rezulta ca det(A∙A-

1)=detIn=1.Din proprietatea 6 a determinantilor obtinem detA∙detA-1=1,deci, in particular , detA≠0.( ⇒)Fie A=(aij). Γ11 Γ21 … Γn1

Γ12 Γ22 … Γn2 Notam cu A* matricea Γ13 Γ23 … Γn3 ,obtinuta din A prin inlocuirea … … ... … Γ1n Γ2n … Γnn

elementului aij cu Γji (deci cu complementul algebric al elementului aij).

Daca A∙A*=(bik) atunci bik=ijΓkj , ∀ i,k ∊{1,2,….,n}. Din proprietatea 5 a determinantilor (dezvoltarea dupa linie) si propozitia anterioara rezulta bii=detA , ∀ i ∊{1,2,….,n} si bik=0, ∀ i,k ∊{1,2,….,n} cu i≠k . Obtinem A∙A*=(detA)∙In si analog A*∙A=(detA)∙In . Deoarece det A≠0 rezulta ca A∙ ∙A* = ∙A* ∙A=In . In consecinta, matricea A este inversabila si A-1 = A*.

Cuprins

OBSERVAŢIIObservaţii:  Matricea se numeşte matricea adjunct(reciprocă) asociată matricei A.Ea este,de fapt,matricea transpusă a complemenţilor algebrici ai elementelor lui A şi se mai poate obţine astfel:se consideră matricea şi se înlocuieşte fiecare element al ei cu complementul algebric. Matricea Aϵ(ℝ) atunci det Aϵ ℝ si ϵ (ℝ).În ipoteza că det A≠0 atunci = este o matrice pătratică peste ℝ,deci A este inversabilă în (ℝ).Proprietatea se păstrează dacă înlocuim multimea ℝ cu multimea ℚ.În consecinţă,teorema anterioară caracterizează şi matricele inversabile din (ℝ) si (ℚ).

În cazul matricilor pătratice peste ℤ este adevărat următorul rezultat:Aϵ (ℤ) este inversabilă în (ℤ) daca şi numai dacă det A≠±1. Într-adevar,dacă A este inversabilă în (ℤ) atunci,cum matricile A şi au elemente întregi,rezultă că det A ϵ ℤ şi det ϵ ℤ.Deoarece det A ∙ det =1,deducem că det A =±1. Reciproc,dacă det A =±1 rezultă că A este inversabilă în (ℚ) şi ==±Complemenţii algebrici ai elementelor lui A sunt numere întregi şi în consecinţă elementele lui ,deci şi ale lui sunt numere întregi.

Cuprins

EXEMPLU

A= . Vom arăta că A este inversabilă şi vom determina .

Avem det A=.

Calculăm complemenţii algebrici ai elementelor lui A si obţinem

matricea adjunctă =

Inversa matricei A este ∙ (ℂ).

= * =9 0

=

Să observăm că dacă matricea A este gîndită în () sau ℚ) concluzia este aceeaşi. Cum (ℚ) rezultă că A este inversabilă in (ℝ) sau (ℚ).Nu acelaşi lucru se întîmplă dacă privim matricea A in (ℤ). Determinantul ei nu este -1 sau 1,Deci A nu este inversabilă în (ℤ). De altfel, se observă cu usurinţă că (ℤ).

Cuprins