Matematika II 3. PROGRAM

- 1 -

MATEMATIKA II

Program - Určitý integrál

1. a) 2

0sin 2x x dx

π

∫ b) ln 2

0

xxe dx−∫ c) 2

0sinx x dx

π

∫

d) 1

3

0

xxe dx∫ e) 2

0cosx x dx

π

∫ f) ( )1

2 3

02

x

x x e dx+∫

2. a) 3

1ln

ex x dx∫ b) ( )

2

13 2 lnx x dx+∫ c)

3

0arctgx x dx∫

d) 1

3

04 arctgx x dx∫ e)

2

1ln

ex x dx∫ f) 2

1ln

ex x dx∫

3. a) 3

1ln

ex dx∫ b)

1

0arctg x dx∫ c) 2

1ln

ex dx∫

d)

32

0arccos x dx∫ e) ( )

1

1ln 2x dx

−

+∫ f)

12

0arctg 2x dx∫

4. a) 2

0sinxe x dx

π

∫ b) ( )1

cos lne

x dxπ

∫ c) 2

2

0sinxe x dx

π

∫

d) ( )sin lne

e

x dxπ

π−∫ e) 2

0sinxe x dx

π−∫ f) cosxe x dx

π

π−∫

5. a) 2

2

4

2sin

x dxx

π

π∫ b) 3

1ln

ex dx∫ c)

( )

1

20 1

xxe dxx +

∫

6. a) ( )1 102

02 1x x dx−∫ b)

1

21

2

5

x dxx− −

∫ c) 4

3 2

09x x dx+∫

d) 3

20 4

x dxx−

∫ e) ( )0

2 3

1sin 1x x dx−∫ f)

3

1 1 lndx

x x+∫

Matematika II 3. PROGRAM

- 2 -

7. a) cos

0sinxe x dx

π

∫ b) 1

20 1

x

xe dxe+∫

c) 2

2ln

e

e

dxx x∫

d) 1

01 x dx+∫ e)

4

20

tgcos

x dxx

π

∫ f)

2

16

0

tg x dxx

π

∫

8. a) 4

3

0cos sinx x dx

π

∫ b) 4

3

0tg x dx

π

∫ c) 2

6

cossin sin

x dxx x

π

π∫

d) 4 3

3

2

3cossin

x dxx

π

π

−

−

∫ e) 2

0

sin1 cos

x dxx

π

+∫ f)

23

2

1sin

dxx

π

π∫

9. a) 2

0 1dx

x+∫ b) 4

01

x dxx +∫ c)

1

0 1x dx

x+∫

d) 27 3 2

3 21 3

x dxx+

∫ e) 5

2

14 2x dxx−−∫ f)

22

04 x dx−∫

10. a) ( )2

2

1ln 1x x dx+∫ b)

ln 5

0

13

x x

xe e dx

e−

+∫ c) 1

0

arctg1

x x dxx +∫

d) 4

0sin x dx

π

∫ e) 1

1 lne x dxx

+∫ f) 3sin x dx

π

π−∫

11. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami

a) 24 ; 0y x y= − = b) 26 ; 0y x x y= − =

c) 2 24 ;y x y x= − = d) 2 4 2; 2y x x x y= − + − + =

e) 2 2 ;y x x y x= − = f) 2 2;y x x y= =

g) 2 26; 5 14y x x y x x= − − = − + + h) 3; 4y x y x= =

i) 4; 5xy x y= + = j) tg ; 0;4

y x y x π= = =

k) 2sin ; xy x yπ

= = l) ; ; ln 2x xy e y e x−= = =

Matematika II 3. PROGRAM

- 3 -

12. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami

a) 2ln ; lny x y x= = b) 3sin ; cos ; ;4 4

y x y x x xπ π= = = =

c) arcsin ; 0; 0; 1y x y x x= = = = d) 2

28;

4 4xy y

x= =

+

e) 2 ; 1; 0; 0xy x x y= = − = = f) 3 22 ; ; 1; 0y x y x y xx

= = − = ≥

13. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného

a) parabolou 2 2 2y x x= − + , její tečnou v bodě (3,5) a souřadnicovými osami.

b) křivkou xy e= , její tečnou v bodě (0,1) a přímkou 1x = − .

c) grafem funkce 3 2 6y x x x= + − pro 3 3x− ≤ ≤ a osou x .

d) parabolou 2 6 8y x x= − + a jejími tečnami v bodech (1,3) a (4,0) .

14. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou x a křivkou zadanou

parametrickými rovnicemi

a) 2 33 , 3 ; 3 3x t y t t t= = − − ≤ ≤

b) 2sin , 2cos ; 0x t y t t π= = ≤ ≤ 2sin , 2cos ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

c) ( ) ( )2 sin , 2 1 cos ; 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤

d) 3 33sin , 3cos ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

e) 2 2 32 , 2 ; 0 2x t t y t t t= − = − ≤ ≤ .

15. Vypočtěte délku křivky

a) ; 0 32

x xe ey x−+

= ≤ ≤

b) 2arcsin 1 ; 1 1y x x x= + − − ≤ ≤

c) ln ; 3 8y x x= ≤ ≤

d) 1 ln(cos ) ; 04

y x x π= − ≤ ≤

e) 2 34 ; 0 2; 0y x x y= ≤ ≤ >

Matematika II 3. PROGRAM

- 4 -

f) 2 1ln(1 ) ; 02

y x x= − ≤ ≤

g) 2 ln ; 1

4 2x xy x e= − ≤ ≤

16. Vypočtěte délku křivky

a) 2cos , 2sin ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

b) 3 32cos , 2sin ; 0 2x t y t t π= = ≤ ≤

c) 3

2, ; 0 33tx t y t t= = − ≤ ≤

d) (3 sin ), 3(1 cos ) ; 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤

e) cos sin , sin cos ; 0 2x t t t y t t t t π= + = − ≤ ≤

f) 2 23 3 4x y+ =

17. Vypočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x :

a) 3 2 2;3 3

y x x= − ≤ ≤

b) 2 2 ; 0 2x x

y e e x−

= + ≤ ≤

c) 2 4 ; 0 3y x x= ≤ ≤

d) 1 ; 0 2y x x= − ≤ ≤

e) 4 42 ; 0 4x x

y e e x−⎛ ⎞

⎜ ⎟= + ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

f) sin ; 0y x x π= ≤ ≤

18. Vypočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x :

a) 2cos , 2sin ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

b) 3 33cos , 3sin ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

c) ( ) ( )4 sin , 4 1 cos ; 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤

d) 2sin 2 , 2sin ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

Matematika II 3. PROGRAM

- 5 -

e) sin , cos ; 02

t tx e t y e t t π= = ≤ ≤

f) 2 23 3 9x y+ =

19. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného

zadanými křivkami kolem osy x :

a) 2 2;y x x y= = b) 2 3;y x x y= =

c) 2 2; 1y x y x= = − d) 1; ; 2y x y xx

= = =

e) 2 22 2 ; 1y x y x= − = − f) tg ; 0; 0;4

y x y x x π= = = =

g) arcsin ; 0; 0; 1y x y x x= = = = h) 4; 0; 1; 4xy y x x= = = =

i) 2 ; 3 4 5 0xy x y= − + = j) 2 1; 0; 1

3xy y xx−

= = =−

k) 2 2 4; 2x y x y+ = + = l) sin ; 0; 0;y x y x x π= = = =

20. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného

zadanými křivkami kolem osy y :

a) 2 2;y x x y= = b) 2 4 0; 0y x x+ − = =

c) 1sin ; ; 02

y x y x= = = d) ; 0; 0; 1xy e y x x−= = = =

e) 2 3; 0; 1y x y x= = = f) 2

;2 2

xxy y= =

g) 2 24 ; 4y x x y= = h) ln ; 0; 1; 0y x y y x= = = =

21. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného

osou x a danou, parametricky popsanou, křivkou při rotaci kolem osy x :

a) 3

2, ; 0 33tx t y t t= = − ≤ ≤

b) sin , 1 cos ; 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤

c) 3 3sin , cos ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

d) 3sin , 3cos ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

Matematika II 3. PROGRAM

- 6 -

22. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního rovinného obrazce ohraničeného křivkami

(potřebné vztahy najdete v textu Matematika 2, s. 199-200)

a) 22 ; 0y x x y= − =

b) 2 6 ; 5y x x= =

c) 2 4 ; 0; 4y x x x= = =

d) 2 22 ; 2y x x y= =

e) 22

2;1

y x yx

= =+

f) sin ; 0; 0y x y x π= = ≤ ≤

g) 2y x= ; 2x y+ =

h) sin ; 0;4

y x y x π= = =

i) 2 2 4; 0x y y+ = ≥

23. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního rovinného obrazce

(potřebné vztahy najdete v textu Matematika 2, s. 199-200)

a) ohraničeného cykloidou ( ) ( )3 sin , 3 1 cos , 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤ a osou x .

b) ohraničeného křivkami 2y x= a 2y x= .

c) Δ , (0,2), (1,0), (1,1)ABC A B C= = = .

24. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního oblouku dané křivky:

a) 2

2; 2 22xy x= − + − ≤ ≤ b)

2 1 ln ; 1 24 2xy x x= − ≤ ≤

c) 3

2, ; 0 33tx t y t t= = − ≤ ≤ d) 2cos , 2sin ;

6 6x t y t tπ π= = − ≤ ≤

e) 3 33cos , 3sin ; 0x t y t t π= = ≤ ≤

f) ( ) ( )2 sin , 2 1 cos ; 0 2x t t y t t π= − = − ≤ ≤

g) dolní poloviny kružnice 2 2 2; 0;x y r r+ = > 0y < .