Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Eigen

Beny Nugraha, MT, M.Sc

13

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Vektor Eigen

• Misalkan A adalah matriks n x n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λ x untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

• Contoh:Terdapat matriks berikut:

Kemudian ada vektor:

Vektor x adalah vektor eigen dari A karena Ax adalah kelipatan dari x:

Vektor Eigen

Vektor x adalah vektor eigen dari A karena Ax adalah kelipatan dari x:

Dalam contoh di atas, nilai eigen, λ, adalah 3.

Vektor Eigen

Contoh: Terdapat matriks berikut:

Dan terdapat dua buah vektor:

Kedua vektor tersebut adalah vektor eigen dari matriks P karena:

Nilai-nilai eigen dari matriks P adalah λ1 = 2 dan λ2 = 1.

Vektor Eigen

Latihan:Terdapat matriks berikut:

A =

Tentukan apakah vektor-vektor berikut adalah vektor eigen dari matriks A dan tentukan juga nilai eigen-nya!a. Vektor a = (2, 4)b. Vektor b = (6, -8)c. Vektor c = (-3, -6)

Persamaan Karakteristik

• Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks yang berukuran n x n, maka perlu diperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat ditulis sebagai berikut:

• Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan di atas. Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika:

det (λ I – A) = 0

Persamaan Karakteristik

• Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.

• Jika A adalah matriks n n, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai orde n dengan bentuk:

Persamaan Karakteristik

• Jika A adalah matriks n n, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai orde n dengan bentuk:

• Suatu matriks yang berukuran n n paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda.

• Contoh:• Tentukan nilai eigen dari matriks:

Persamaan Karakteristik

• Jawab:

Persamaan karakteristik dari matriks Q adalah:

Solusi dari persamaan di atas adalah:λ1 = 1 dan λ2 = 2. Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2.

Persamaan Karakteristik

• Contoh: Carilah nilai eigen dari matriks berikut:

• Jawab:Persamaan karakteristik matriks T adalah:

Persamaan Karakteristik

• Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real. Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen.

Latihan

Tentukan nilai eigen dari matriks-matriks berikut:

a.

b.

Diagonalisasi

• Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan dapat didiagonalkan (dapat didiagonalisasi) jika ada suatu matriks P yang invertibel sedemikian rupa sehingga P-1AP adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) matriks A.

• Berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran n x n:– Tahap 1. Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A yang

berukuran n x n. Misalnya p1, p2, ... , pn.

– Tahap 2. Bentuklah matriks P yang mempunyai p1, p2, ... , pn sebagai vektor-vektor kolomnya.

– Tahap 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1, λ2, ... , λn sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutannya dan λi adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan pi untuk i = 1, 2, 3, …, n.

Diagonalisasi

• Contoh: Diketahui sebuah matriks

• Tentukan:a. Matriks P yang mendiagonalisasi A. b. Matriks diagonal D = P-1 A P.

Jawab:c. Persamaan karakteristik dan nilai-nilai eigen matriks A:

Diagonalisasi

Jawab:a. Persamaan karakteristik dan nilai-nilai eigen matriks A:

Untuk λ1 = 1, sistem persamaan linear homogennya:

(λ I – A )x = 0

Diagonalisasi

Jawab:

Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 1

adalah p1 =

Diagonalisasi

Untuk λ2 = -1, sistem persamaan linear homogennya:

(λ I – A )x = 0

Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ2 = -1

adalah p2 =

Diagonalisasi

Dengan demikian kita dapatkan bahwa (p1, p2) adalah bebas linear, sehingga:P = akan mendiagonalkan matriks A.

b. Mencari matriks diagonal sekaligus sebagai pemeriksaan bahwa D = P-1A P:

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc