Matematičke metode fizike (usmeni)

1. Cauchy Riemanovi uvjeti

Teorem 9.

Neka je C⊆Ω otvoren skup, ( ) Ω∈+== 00000 , iyxyxz , Cf →Ω: , fu Re= ,

fv Im= ,

(1) Ako je f derivabilna u 0z , onda su funkcije vu, diferencijabilne u

( )000 , yxz = i njihove parcijalne derivacije u toj točci zadovoljavaju

slijedeće uvjete (Cauchy Riemanove uvjete):

a. ( ) ( )0000 ,, yxyvyx

xu

∂∂=

∂∂

b. ( ) ( )0000 ,, yxxvyx

yu

∂∂−=

∂∂

U tom slučaju je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000000000 ,,,,' yxyuiyx

xuyx

xviyx

xuzf

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂= .

(2) OBRAT

Ako su realne funkcije vu, u točki ( )00 , yx diferencijabilne i ako njihove

parcijalne derivacije u toj točci zadovoljavaju Cauchy Riemanove uvjete,

onda je funkcija ivuf += derivabilna u točki 000 iyxz += .

Teorem 10.

Neka je C⊆Ω otvoren skup, Cf →Ω: , fu Re= , fv Im= ,

1. Ako je f analitička na Ω , onda su vu, klase 1C na Ω i one zadovoljavaju

yv

xu

∂∂=

∂∂

, xv

yu

∂∂−=

∂∂

,

yui

xu

xvi

xuf

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂=' .

2. OBRAT

vu, klase 1C na Ω , i ako vu, zadovoljavaju Cauchy Riemanove uvjete

onda je ivuf += analitička na Ω .

Dokaz (Teorema 9.)

f derivabilna u 0z ( ) iBAzf +=∃ 0'

(*) ( ) ( ) ( )0

00

0

lim'zz

zfzfzfiBA

zz −−

==+→

( ) ( ) 00000 ,;, iyxyxziyxyxz +==+==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 20

20

00000000

00

000000

0

00

0

0

,,,,

,,,,

yyxx

yyAxxByxvyxviyyBxxAyxuyxu

yyixxiBAyyixxyxivyxuyxivyxu

zziBAzzzfzf

iBAzz

zfzf

−+−

−−−−−+−+−−−=

=−+−

+−+−−−−+=

=−

+−−−=+−

−−

DOBIVAMO:

(**) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0,,

lim2

02

0

0000

,, 00

=−+−

−+−−−→ yyxx

yyBxxAyxuyxuyxyx

(***) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0,,

lim2

02

0

0000

,, 00

=−+−

−−−−−→ yyxx

yyAxxByxvyxvyxyx

(**) 00 , yyxx =→ slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

−

−−

=−+−

−+−−−=

→=→A

xxyxuyxu

yyxx

yyBxxAyxuyxuxxyyxx

0

000

20

20

0000

,

,,lim

,,lim0

000

( ) ( ) ( )000

000 ,,,

lim0

yxxu

xxyxuyxuA

xx ∂∂=

−−

=⇒→

U (**) 00 , yyxx →=

( ) ( )( )

+

−−

=→

Byy

yxuyxuyy

0

000 ,,lim0

0

( ) ( )B

yyyxuyxu

yy−=

−−

→0

000 ,,lim

0

( )00 , yxyuB

∂∂−=⇒

U (***) 00 , yyxx =→

( )00 , yxxvB

∂∂=⇒

U (***) 00 , yyxx →=

( )00 , yxyvA

∂∂=⇒

⇒( ) ( )

( ) ( )0000

0000

,,

,,

yxxvByx

yu

yxyvAyx

xu

∂∂−=−=

∂∂

∂∂==

∂∂

( ) ( ) ( )00000 ,,' yxxviyx

xuiBAzf

∂∂+

∂∂=+=⇒

OBRAT

Treba vidjeti ( ) iBAzf +=0' , Cauchy Riemanovi uvjeti i diferencijabilnost, te slijedi

(**)( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

,,,,lim

20

20

00000000

,, 00

=−+−

−⋅∂∂−−⋅

∂∂−−

→ yyxx

yyyxyuxxyx

xuyxuyxu

yxyx

diferencijabilnost od u povlači (**)

diferencijabilnost od v povlači (***)

( ) ( )0

00

0 →−−−−

→ zziBAzz

zfzf,

što je ekvivalentno formulama (**) i (***)

( ) ( )iBA

zzzfzf

zz+=

−−

→0

0

0

lim derivabilnost.

Q.E.D.

Napomena:

Ru →Ω: diferencijabilna u 0z ako i samo ako

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 202

0

00000000

,,

,,,,lim

00 yyxx

yyyxyuxxyx

xuyxuyxu

yxyx −+−

−⋅∂∂−−⋅

∂∂−−

→.

2. Cauchyjeva integralna formula za kružnicu

Teorem 1.

Neka je S otvoren skup, ( )SHf ∈ . Neka je γ pozitivno orjentirana kružnica oko a

radiusa r t.d. ( ) SraU ⊂, . Tada za ( )raUz ,∈ ,

( ) ( )∫ −

=γ

ξξ

ξπ

dz

fi

zf21

.

Dokaz:

( )( ) 0/,,2 >= SCraUdδ

( ) ( ) SraUraU ⊂+⊂ δ,,

Uočimo da je ( )δ+raU , konveksan, otvoren skup.

( )( ) ( )

( )( ) zraU

zzfz

zffg ≠+∈

=−−

= ξδξξ

ξξ

ξ ,,,,'

g je analitička na ( ) zraU /, δ+

g je neprekidna na ( )δ+raU ,

Cauchyjev teorem za konveksan skup

( ) ( ) ( ) ξξ

ξξξγ γ

dz

zffdg∫ ∫ −−==0

( ) ( ) ∫∫ −−

−=

γγ ξξξ

ξξ

zdzfd

zf0

( ) ( )∫ −

=⋅γ

ξξ

ξπ dz

fizf 2

( ) ( )∫ −

=γ

ξξ

ξπ

dz

fi

zf21

Q.E.D.

Teorem 4. (Cauchyjev teorem za konveksan skup)

Neka je S otvoren, konveksan skup, ( )SHf ∈ . Neka je γ po dijelovima glatki zatvoreni

put u S . Tada je ( )∫ =γ

0dzzf .

3. Loranov red

Teorem 1.

Neka je ( f analitička funkcija na kružnom vijencu) ( )RraHf ,,∈ . Tada je

( )RraUzz ,,,0 ∈ .

(*) ( )( )

( ) ( )∑ ∑ ∑+ ∞

=

+ ∞

=

+ ∞

− ∞=

− −=−+−

=1 0m n n

nn

nnm

m azcazcaz

czf ,

gdje je ( )

( )∫ +−=

γ

ξξ

ξπ

da

fi

c nn 121

.

γ je pozitivno orijentirana kružnica oko a , radiusa ρ , Rr << ρ .

Redovi u (*) konvergiraju apsolutno i uniformno na svakom kompleksnom skupu

sadržanom u ( )RraU ,, .

Dodatak (kraj dokaza)

( )( )RraUHf ,,∈ , ( )RraUz ,,∈ i

( ) ( )∑+ ∞

− ∞=

−=m

mm azczf (*)

( )( )∫ +−

=γ

ξξ

ξπ

da

fi

c mm 121

2ρ radius kružnice 2γ

( )ξγξ

fM2

max2 ∈=

( )ξγξ

fM1

max1 ∈=

( ) ( )( )

n

nn

nn az

MMazda

fi

az

−=⋅−≤

−− +∫

2221

22 2121

21

ρρπ

ρπξ

ξξ

π γ

( ) ( ) ( )n

nn az

Mdafiaz

−

≤−− ∫ − 1

11

211 ρξξξπ γ

Iz Teorema 3.3. slijedi da uniformnu konvergenciju redova na kružnom vijencu

( )',', 21 ρρaU , 2211 '' ρρρρ <<< , i apsolutnu konvergenciju. 21 , ρρ su proizvoljni, te

dobivamo uniformnu konvergenciju ( )',', 21 ρρaU , Rr <<< '' 21 ρρ .

K kompaktan skup i ( )RraUK ,,⊂ , te ',' 21 ρρ∃ t.d. ( )',', 21 ρρaUK ⊂ .

Iz toga slijedi da redovi konvergiraju uniformno na K .

Teorem 3.3.

Neka je ∑+ ∞

= 1nnf red funkcija na CM ⊆ i neka je ∑

+ ∞

= 1nnρ konvergentan red realnih

brojeva. Neka je ( ) nn zf ρ≤ NnMz ∈∀∈∀ , .

Tada red ∑+ ∞

= 1nnf konvergira apsolutno i uniformno na M .

4. Taylorov red

Teorem 1. (Taylorov razvoj)

Neka je S otvoren skup i ( )SHf ∈ . Tada je f beskonačno puta derivabilna funkcija na

S i za Sa ∈ vrijedi Taylorov razvoj

( )( ) ( ) ( )∑

+ ∞

=

−=0 !n

nn

azn

afzf ,

za ( ) SraUz ⊂∈ , .

Ako je γ pozitivno orjentirana kružnica radiusa ρ oko a , t.d. je ( ) SaU ⊂ρ, , onda je

( ) ( ) ( )( )∫ +−

=γ

ξξ

ξπ

da

fi

naf nn

12!

.

----------------------------------------------

Teorem 2.

Neka je S otvoren skup, ( )SHfSa ∈∈ , . Neka je γ pozitivno orjentirana kružnica

radiusa r oko a t.d. je ( ) SraU ⊂, . Stavimo ( ) ,...2,1,0,

21 =

−= ∫ nd

zf

ian

γ

ξξ

ξπ . Tada je

( ) ( ) ( )raUzazazfn

nn ,,

0

∈−= ∑+ ∞

=.

(i red konvergira apsolutno)

Teorem

Neka funkcija f ima na intervalu ( )ba, derivacije proizvoljnog reda. Tada za proizvoljnu

točku ( )xax ,0 ∈ i za ( )bax ,∈∀ vrijedi

( ) ( )( ) ( ) ( )∑

∞+

=

−+=1

00

0 !n

nn

xxnxfxfxf ,

ako i samo ako niz ostataka ( ) xRn teži prema nuli za ( )bax ,∈∀ .

5. Louivilov teorem (analitička funkcija)

Definicija (analitičke funkcije)

CM ⊆ otvoren skup, CMf →: , Mz ∈0 .

Kažemo da je f derivabilna u 0z ako postoji

( ) ( )0

0

0

limzz

zfzfzz −

−→

.

Taj se limes ako postoji označava sa ( )0' zf i zovemo ga derivacijom od f u 0z .

Funkciju f zovemo analitičkom na M ako je derivabilna u svakoj svojoj točci, i ako je

funkcija koja ( )zfz ' neprekidna na M .

Teorem 5. (Cauchyjeve ocjene)

( )( )RaUHf ,∈ , ( ) ( )RaUzMzf ,, ∈∀≤ , tada je ( ) ( ) nn

RnMaf !⋅≤ .

Teorem 6. (Liouvilleov teorem)

Ako je funkcija f cijela, ograničena onda je f konstantna.

(funkcije koje nisu u isto vrijeme i cijele i ograničene, onda nisu konstantne, npr. sinus)

6. Teorem o reziduumima

Teorem 1.

Neka je γ po dijelovima glatki zatvoreni put. Stavimo */ γC=Ω i za točku Ω∈z

stavimo

( ) ∫ −=

γγ ξ

ξπ z

di

zInd21

.

Tada je ZInd →Ω:γ koja je konstanta na svakoj komponenti povezanosti i jednaka nuli

na neograničenoj komponenti od Ω .

( ) ≡zInd γ indeks točke z u odnosu na γ .

Definicija

Reziduum funkcije f u izoliranom singularitetu je kompleksni broj

( ) ( )∫=γπ

dzzfi

afs21,Re .

Teorem 3. (Teorem o reziduumima)

Neka je S otvoren, konveksan skup, Saa m ∈,...,1 , ( )maaSHf ,...,/ 1∈ , γ zatvoren po

dijelovima glatki put u S koji ne prolazi kroz maa ,...,1 . Tada je

( ) ( ) ( )∑∫=

⋅=m

kkk aIndafsdzzf

i 1,Re

21

γγπ .

Dokaz:

Neka je ( )3/ =∈ kk aCHϕ glavni dio Laurentovog razvoja f oko izoliranog singulariteta

ka . Tada je

( )m

m

kk aaSHfh ,...,/ 1

1∑

=

∈−= ϕ

u točkama mkak ,...,1, = ; funkcija h ima uklonjive singularitete.

( ∑≠ kj

jϕ je analitička u okolini točke ka , kf ϕ− ima limes u točki ka , te primijenimo

Teorem 8.2. iz čega slijedi da je ka uklonjiv singularitet)

Znači da je ( )SHh ∈ .

Primijenimo Cauchyjev teorem za konveksan skup

( )∫ =γ

0dzzh .

( ) ( )∑ ∫∫=

=m

kk dzzdzzf

1ϕ

γγ

( )( )∫ ∑∫

−

=+ ∞

=

−

γγ

ϕ dzaz

cdzz

nn

knk

1

,

( ) ( ) ( ) iaIndcaz

dzcazdzc kk

kk

nn

kkn πγ

γγ

2,1,11

, ⋅⋅=−

=−

= −−

+ ∞

=− ∫∑ ∫

( ) ∫ −=

γγ π k

k azdz

iaInd

21

( )∫ =γ

0' dzzg

(Korolar Teorema 5.1.)

( )1,0 ≠=

−∫ nazdz

nkγ

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∫==

− ⋅=⋅⋅=m

kkk

m

kkk aIndafsiiaIndcdzzf

11,1 ,Re22 γγ

γ

ππ

Račun integrala svodi se na račun reziduuma.

Q.E.D.

Teorem 8.2.

Neka je ( )SHf ∈ i neka je Ca ∈ izolirani singularitet od f . Tada je a uklonjiv

singularitet ako i samo ako postoji ( )zfaz→

lim .

Teorem 2. (Caucyjeva formula za konveksan skup)

γ je po dijelovima glatki zatvoreni put u konveksnom skupu S , ( )SHf ∈ . Ako je za

točku *, γ∉∈ zSz , onda je

( ) ( ) ( )∫ −

=⋅γ

γ ξξ

ξπ

dz

fi

zIndzf21

.

7. Razvoj nekih osnovnih funkcija u red (Taylorov red u točki 00 =x )

( ) ( )∑+ ∞

=

−+

−−=+−+−=

1

121

753

!121...

!7!5!3!1sin

n

nn

nxxxxxx , Rx ∈∀

( ) ( )∑+ ∞

=

−=+−+−=1

2642

!21...

!6!4!21cos

n

nn

nxxxxx , Rx ∈∀

∑+ ∞

=

+=+++++=1

432

!1...

!4!3!2!11

n

nx

nxxxxxe , Rx ∈∀