Penyelesaian Hitung Kuadarat Terkcil dengan Metode Matriks

Penyelesaian Hitung Kuadarat Terkcil dengan Metode MatriksThe Matrix Expression for Performing Least Square AdjustmentDisampaikan dalam Kuliah Hitung Perataan II Teknik Geodesi20151PENDAHULUANMenyusun persamaan untuk penyelesaian V2 untuk jumlah persamaan yang relatif kecil masih masih memungkinkan untuk dilakukan.

Namun, untuk jumlah persamaan yang begitu besar membutuhkan waktu yang begitu lama dalam penyusunan persamaannya.

Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk dapat mempersingkat waktu dalam penyelesaian.

Metode tersebut adalah metode matriks. 2PENDAHULUANDalam menggunakan metode matriks untuk penyelesaian Hitung Kuadrat Terkecil ada beberapa metode yang dapat digunakan, yaitu :

1. Metode Kondisi2. Metode Parameter3. Metode KombinasiMETODE KONDISIPrinsipnya persamaan yang dibentuk harus memenuhi syarat geometris maupun matematis.Misalakan jika kita melakukan pengukuran poligon, jumlah sudut seluruh titik yang kita ukur harus berjumlah 360.Atau pada pengkuran beda tinggi, jumlah seluruh hasil pengukuran beda tinggi, jika kembali ke titik yang sama akan berjumlah nol.

Bentuk umum persamaan matriks metode Kondisi adalah : B V + W = 0METODE PARAMETERPrinsipnya setiap pengukuran akan menjadi satu persamaan.Setiap persamaan yang dibentuk ditentukan oleh besarnya nilai parameter.Misalkan pada pengukuran jarak poligon, parameternya adalah koordinat titik awal dan koordinat titik akhir dari jarak tersebut.Atau pada pengukuran beda tinggi, parameternya adalah tinggi titik awal dan tinggi titik akhir dari beda tinggi tersebut.

Bentuk umum persamaan matriks metode parameter adalah : V = A X + L METODE KOMBINASIMetode kombinasi merupakan perpaduan antara, metode kondisi dengan metode parameter.Dimana faktor syarat geometris dan faktor parameter yang ditentukan dimasukkan dalam satu persamaan.

Bentuk umum persamaan matriks untuk metode kombinasi adalah : B V + A X + W = 0 Penyelesaian metode kondisiDalam membentuk persamaan kondisi, perhatikan jumlah pengamatan (n) dan jumlah minimum pengamatan (u)Dimana jumlah pengamatan harus lebih besar dari jumlah minimum pengamatan (n>u).Dan jumlah persamaan yang terbentuk (r) adalah hasil pengurangan dari jumlah pengamatan dan jumlah minimum pengamatan (r=n-u)

Contoh Kasus 1Dalam pengukuran beda tinggi, dengan satu titik kontrol akan ditentukan tinggi tiga buah titik lainnya. Seperti gambar berikut.dh1dh2dh3dh4dh5BACDMaka jumlah pengamatan minimal yang diperlukan adalah tiga buah pengamatan.Contoh Kasus 2Dalam pengukuran sudut, dalam suatu bidang segitiga dan segiempat. Seperti terlihat pada gambar berikut ini.

BACDS1S2S3S4Maka jumlah pengamatan minimal yang diperlukan adalah dua buah pengamatan untuk segitiga ABD. Dan dua buah pengamatan untuk segitiga BCD.DataDilakukan pengukuran sudut horisontal ABCD, sebanyak 6 kali pengukuran S1, S2, S3, S4, S5, S6. dengan data sebagai berikut :BACDS1S2S3S4S5S6SudutBesarS165 15S253 23S364 15S485 26S548 15S645 15Persamaan yang diperlukanJumlah seluruh pengamatan (n) = 6Jumlah minimum pengamatan yang diperlukan (u) = 4Maka, jumlah persamaan kodisi yang dapat terbentuk adalah (r) = n u = 6 4 = 2

S1 + S2 + S3 (S4 + S5 + S6) = 0S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 360 = 0Penyelesaian Persamaan(S1 + V1) + (S2 + V2) + (S3 + V3) [ (S4 + V4) + (S5 + V5) + (S6 + V6) ] = 0 (S1 + V1) + (S2 + V2) + (S3 + V3) + (S4 + V4) + (S5 + V5) + (S6 + V6) 360 = 0

Membentuk matriks B, V dan W

B =

V =W =

W =

Penyelesaian matriks

Hasil PenyelesaianDengan menggunakan software MATLAB, diperoleh :

K =

V =

PENYELESAIAN METODE PARAMETERDalam membentuk persamaan parameter, perhatikan jumlah pengukuran (n) dan jumlah parameter yang akan ditentukan (u)Dimana jumlah pengukuran harus lebih besar dari jumlah parameter yang akan ditentukan (n>u).Dan jumlah persamaan yang terbentuk (r) adalah sama dengan jumlah pengukuran (r = n).Semakin besar jumlah pengukuran dibandingkan dengan jumlah parameter yang akan ditentukan, hasilnya akan semakin baik.

DATADilakukan pengukuran beda tinggi, untuk menentukan tinggi titik B,C, dan D, dengan titik A sebagai titik kontrol. Data yang diperoleh sebagai berikutdh1dh2dh3dh4dh5BACDBeda tinggiBesarandh12,3dh23,7dh3- 2,1dh43,7dh51,8HA = 12 mPersamaan yang diperlukanJumlah seluruh pengamatan (n) = 5Jumlah parameter yang akan ditentukan (u) = 3Maka, jumlah persamaan parameter yang dapat terbentuk adalah (r) = n = 5

dh1 = HB HAdh2 = HC HB dh3 = HD HCdh4 = HD HAdh5 = HD - HB

Penyelesaian persamaandh1 + V1 = HB HAdh2 + V2 = HC HB dh3 + V3 = HD HCdh4 + V4 = HD HAdh5 + V5 = HD HB

Membentuk matriks A, X, L dan V

A =X = L = V =

Penyelesaian matriks

Hasil PenyelesaianDengan menggunakan software MATLABDiperoleh :

X =V =

LatihanCoba selesaikan permasalahan beda tinggi tersebut dengan metode kondisi.Bandingkan hasilnya...

SELAMAT MENCOBASELAMAT BELAJARTERIMA KASIH22