Matemática e suas tecnologias gabarito

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ÃO

GR

ATU

ITA

MateMática

e suas

tecnologias

VOLUME 1

3a. sériE

Simuladoenem2011

Simulado ENEM 2011

2 3a. série – Volume 1

Questão 1

Alternativa: A

Como a soma dos ângulos de um triangulo é 180º, tem-se que α + β = 90º.

Então, sen (α + β) = sen 90º = 1

Competência de área 5: modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.

Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-ométricos como recurso para a construção de argumen-tação.

Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos algébricos.

Questão 2

Alternativa: D

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, temos que a2 = 32 + 42, então, a = 5.

Sendo assim, sen =3

5= arcsen

3

5α α⇒




Questão 3

Alternativa: A

Como a < 0 e b ≤ 0, temos:

1º) a < 0 e b < 0, → (+, −) ∈ 4º quadrante

2º) a < 0 e b = 0, → (+, 0) ∈ eixo das abscissas

Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.

Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta-ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.


Habilidade 20: interpretar o gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

Questão 4

Alternativa: C

C

BA

32

y x

h

β α

Temos:

tg =x

h

1

3=

x

hh = 3x e tg =

h

y1=

h

yh = yα β⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Como x + y = 32, h = 24 metros.



Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Simulado ENEM 2011

3Matemática e suas tecnologias

Questão 5

Alternativa: D

A área do retângulo é A = AD . CD, logo:

sen α = CD

R ⇒ CD = R . sen α

cos α = OD

R ⇒ OD = R . cos α

Assim,

A = 2 . OD . CD = 2 . R . cos α . R . sen α

= R2 . 2 . sen α . cos α = R2 . sen 2α


Habilidade 7: identificar características de figuras pla-nas ou espaciais.

Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Questão 6

Alternativa: D

sen (30º + 45º) = sen30º . cos45º + sen45º . cos30º

sen =1

2.

2

2+

2

2.

3

275°( ) ≅ 0,96


Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo-métricos como recurso para a construção de argumentação.


Questão 7

Alternativa: B

4

75º

h

sen =h

475 0 96

43 84°( ) ⇒ = = =, ,

hh m




Questão 8

Alternativa: D

Analisando cada alternativa, concluímos que não pode ser a letra a, pois, se a = b = 0, a segunda equação não existe. Se a = b = 1, a segunda equação é igual à primei-ra. Se a = b = 2, a segunda equação é paralela à primeira, pois possui coeficientes das incógnitas proporcionais e o termo independente não é proporcional, nesse caso as retas são paralelas. Se a = 3 e b = 2, a solução do sistema é x = 1 e y = 0, ou seja, as retas concorrem em um único ponto. A letra E é similar à letra C.


Habilidade 19: identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

Simulado ENEM 2011


Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.



Questão 9

Alternativa: B

O número complexo z1 pertence ao 1.º quadrante, pois a

parte real e a parte imaginária são positivas.

O argumento é:

tg θ = 2 3

23= ∴ θ = 60º

O módulo é:

|z1| = ( )2 3 22 2+ = 4

O número complexo z2 pertence ao 3.º quadrante, pois a

parte real e a parte imaginária são negativas.

O argumento é:

tg θ = 1

3

3

3

3

3. = ∴ θ = 210º

O módulo é:

|z1| = ( )3 12 2+ = 2

Dessa forma, conclui-se que o ponteiro maior é repre-sentado por z

1 e o ponteiro menor por z

2. Pelos argu-

mentos, o afixo de z1 está próximo do algarismo 1 (que

corresponde a 5 minutos) do mostrador do relógio, e o afixo de z

2 está próximo ao algarismo 8. Assim, o horário

é 8h05.




Questão 10

Alternativa: B

Pelo Teorema de Pitágoras, temos 132 = 52 + x2 , então, x

= 12, logo, cos =12

13α .




Questão 11

Alternativa: E

Pelo Teorema de Pitáoras temos: BC2 = 4B2 + 4C2 ⇒ 132 = 4B2 + 52 ⇒ AB = 12 m

Assim cos =12

13α . Usando a relação sen2 α + cos2 α = 1,

sen2 α + 12

13

2

= 1 ⇒ sen =5

13α .

sen2α = 2 . senα. cosα ⇒ sen 2α = 2 . 5

13.12

13 ⇒

sen 2α = 120

169.




Simulado ENEM 2011


Questão 12

Alternativa: A

No triangulo retângulo OPA, temos OP = 1. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, temos

sen2 α + cos2 α = 1



Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos

Questão 13

Alternativa: A

– 1 ≤ cos α ≤ 1 ⇒ – 1 ≤ m + 3 ≤ 1 ⇒ – 4 ≤ m ≤ – 2




Questão 14

Alternativa: E

O alcance é máximo quando θ = 45º pois, com esse va-lor, é obtido o valor máximo de sen 2θ, que é sen 90º = 1.





Questão 15

x

y

30º

30º

Alternativa: C

Como a tangente é positiva, o outro valor possível está localizado no terceiro quadrante. Então, o arco é de 210º.




Questão 16

Alternativa: C

A equação |x| + |y| ≤ 1 pode ser expressa pelo sistema:

x + y ≤ 1

– x – y ≤ 1

x – y ≤ 1

– x + y ≤ 1

No plano cartesiano, essas equações representam um

quadrado.

Simulado ENEM 2011


x + y ≤ 1

– x + y ≤ 1

– x – y ≤ 1

x – y ≤ 1

x



Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-presente relações entre grandezas.

Habilidade 21: resolver situação-problema cuja mode-lagem envolva conhecimentos algébricos.


Questão 17

Alternativa: C

A posição dos afixos no plano de Argand-Gauss é:

Im

IRe

Z1 = 1 + i

Z5 = 1 – i

Z6 = 1

Z4 = –i

Z3 = –2i

Z2 = i

O polígono é um pentágono.

Competência de área 5: modelar e resolver proble-

mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-

co-científicas, usando representações algébricas.

Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-

presente relações entre grandezas.

Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-

ométricos como recurso para a construção de argumen-

tação.

Questão 18

Alternativa: B

60º

Na 1.ª volta, os ângulos são 60º e 240º, porém a generali-

zação é x = 60º + 180º . k




Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/

geométricos como recurso para a construção de argu-

mentação.

Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na

realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Simulado ENEM 2011


Questão 19

Alternativa: D

A coordenada x yA A2 2+ é a distância d do ponto A à

origem, logo:

d

d

Assim, observa-se que, pela abscissa, o ponto B está na

região 1 ou 4. Considerando 0 < xA < 1, ao multiplicar x

A

por yA (0 < y

A < 1), o produto x

A . y

A é sempre menor que

xA e y

A, separadamente. Logo, a ordenada é menor que

yA. Assim, B pertence à região 4.




Habilidade 19: identificar representações algébricas

que expressem a relação entre grandezas.

Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-

presente relações entre grandezas.

Habilidade 21: resolver situação-problema cuja mode-

lagem envolva conhecimentos algébricos.

Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/

geométricos como recurso para a construção de argu-

mentação.

Questão 20

Alternativa: D

3 . tg x + tg x = 0 tgx. 3 .tgx + 1 = 02 ⇒ ⇒( )temos que tg x = 0 ou tg x = –

3

3.

Então, x = 180º. k ou x = 150º + 180º. k, com k inteiro.



Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na re-alidade utilizando conhecimentos algébricos.

Questão 21

Alternativa: D

Considerando α o ângulo CD^

B, do triângulo BCD, temos:

sen α = 4

10 = 0,4

cos α = 9

10 = 0,9

Logo, sen 2α = 2 . sen α . cos α = 2 . 0,4 . 0.9 = 0,72






Simulado ENEM 2011


Questão 22

Alternativa: B

sen 2α = 0,72

AC

AD = 0,72 ⇒ AC

13 4, = 0,72 ⇒ AC ≅ 9,65

Logo, AB = 9,65 − 4 = 5,65 m

A distância que mais se aproxima é 2,5 m.






Questão 23

Alternativa: C

S =12

. a . b . sen α

⇒ 8 = 1

2 . 8 . 4 . sen α ⇒ sen α = 1

2Sendo assim, α = 30º ou α = 150º. Somando-se os possíveis valores temo 180º.


Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argu-mentação.


Questão 24

Alternativa: D

α = arc cos 48

50 ⇒ cos α = 48

50 ⇒ cos α = 0,96 ⇒

α = 15º ou α = 16º

α = arc sen 13

50 ⇒ sen α = 13

50 ⇒ cos α = 0,26 ⇒

α = 15º




Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano

Questão 25

Alternativa: B

6 2

sen30=

12

sensen . 6 2 = 12.

1

2sen =

2

2°⇒ ⇒

αα α

Como α é um ângulo agudo, então α mede 45º.




Simulado ENEM 2011


Questão 26

Alternativa: B

Uma curva cuja soma das distâncias dos pontos aos focos é constante, é denominada de elipse.




Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano

Questão 27

Alternativa: B

x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = –9 ⇒ x = 3i ou x = –3i




Questão 28

Alternativa: D

Temos i4 = 1 e i17 = (i16) . i ⇒ ((i4)4) . i = i




Questão 29

Alternativa: E

(1+i)8 = ((1 + i)2)4 = ((1 + 2i + i2))4 = (2i)4 = 16i4 = 16




Questão 30

Alternativa: A

A ordem correta é hipérbole, elipse e parábola.





Questão 31

Alternativa: D

Para t = 0, o móvel encontra-se na posição inicial que é (0, 2), ou seja, no eixo das ordenadas.

Para t = 4, o móvel encontra-se na posição que é (4, 0), ou seja, no eixo das abscissas.

Para t = 6, o móvel encontra-se na posição que é (6, −1), ou seja, no 4º quadrante.

Para t ≥ 0, os pontos estão alinhados, ou podemos subs-

tituir t por x na equação y = 2 − t2

, ou seja, y = 2 − x2

, que é a equação de uma reta.

Simulado ENEM 2011


Não existe instante que o móvel esteja no ponto (−2, −2) pois x = −2 = t, e t ≥ 0.







Questão 32

Alternativa: A

4i

1+ i.

1 i

1 i=

4i 4i

1 i=

4i + 4

2= 2 + 2i

2

2 2

−−

−−




Questão 33

Alternativa: D

A reta que não possui coeficiente angular é x = 5, pois não há variação em x. Essa reta é perpendicular ao eixo das abscissas.






Questão 34

Alternativa: C

A variação no eixo y é o cateto oposto a α e a variação no eixo x é o cateto adjacente a α, logo o quociente entre a variação no eixo y e a variação no eixo x é a tangente do ângulo α.







Simulado ENEM 2011


Questão 35

Alternativa: A

Temos a = 3 e b = 3. Aplicando-se a tangente:

tg α = 3

3 ⇒ tg α = 3

Logo, α = 60 ⇒ α = π3




Questão 36

Alternativa: C

Eixo maior igual a 10, então a = 5. Eixo menor igual a 8, então, b = 4.

Sendo assim, a equação reduzida é x

25+

y

16= 1

2 2.




Questão 37

Alternativa: C

det (A) = sen a . cos b – sen b . cos a = sen (a – b)




Questão 38

Alternativa: B

m = tg 45º ⇒ m = 1 Competência de área 5: modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.



Questão 39

Alternativa: C

Dado ponto P ( 6 ; 0) e utilizando a equação fundamen-tal, temos:

y – 0 = 1. (x – 6) ⇒ y = x – 6




Simulado ENEM 2011


Questão 40

Alternativa: A

a = arc tg ( 3 ) ⇒ tg a = 3 ⇒ a = 60º

b = arc cos (0) ⇒ cos b = 0 ⇒ b = 90º

c = arc sen 12

⇒ sen c = 1

2 ⇒ c = 30º




Competência de área 1: construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade 2: identificar padrões numéricos ou princí-pios de contagem.

Questão 41

Alternativa: D

Em um triângulo qualquer, a soma dos ângulos internos é 180º. Sendo assim, o outro ângulo interno será de 30º. Assim, o ângulo externo mede 150º.




Questão 42

Alternativa: E

Coeficiente angular m = tg 150º ⇒ tg 150º = tg 30º

m = –3

3 .




Questão 43

Alternativa: B

tg BÂC = 2

1 = 2 e tg BÂD =

4

1 = 4

α = BÂD – BÂC

tg α = tg (BÂD – BÂC) =

. .

tg tg

tg tg

BÂD BÂC

BÂD BÂC

−−

= −−

=1

4 2

1 4 2

2

7




Simulado ENEM 2011


Questão 44

Alternativa: C

Como o raio mede 3 e a circunferência é tangente aos dois eixos, o centro é (3; 3). Substituindo na equação reduzida, temos (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9.




Questão 45

Alternativa: B

A função correta está na alternativa b, pois a < 0, então, a concavidade é voltada para baixo e ∆ < 0, por isso não intersecta o eixo das abscissas





Anotações

Simulado ENEM 2011


Anotações

CARTÃO-RESPOSTA

SIMULADO ENEM 2011 – 3a. SÉRIE – VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1A

E

C

B

D

24A

E

C

B

D

13A

E

C

B

D

36A

E

C

B

D

2A

E

C

B

D

25A

E

C

B

D

14A

E

C

B

D

37A

E

C

B

D

3A

E

C

B

D

26A

E

C

B

D

15A

E

C

B

D

38A

E

C

B

D

4A

E

C

B

D

27A

E

C

B

D

16A

E

C

B

D

39A

E

C

B

D

5A

E

C

B

D

28A

E

C

B

D

17A

E

C

B

D

40A

E

C

B

D

6A

E

C

B

D

29A

E

C

B

D

18A

E

C

B

D

41A

E

C

B

D

7A

E

C

B

D

30A

E

C

B

D

19A

E

C

B

D

42A

E

C

B

D

9A

E

C

B

D

32A

E

C

B

D

21A

E

C

B

D

44A

E

C

B

D

23A

E

C

B

D

45A

E

C

B

D

11A

E

C

B

D

34A

E

C

B

D

8A

E

C

B

D

31A

E

C

B

D

20A

E

C

B

D

43A

E

C

B

D

22A

E

C

B

D

10A

E

C

B

D

33A

E

C

B

D

12A

E

C

B

D

35A

E

C

B

D

GABARITO

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