Aula 11Mais Ondas de Matéria II

Física Geral F-4281

http://www.bugman123.com/Physics/

2

O átomo de hidrogêniosegundo a Mecânica Quântica

Experimentos de espectroscopia de átomos de H apresentavam linhas (raias) espectrais discretas:p. ex. Série de Balmer 656486434410 λ(nm)

−=22

1

2

11

nRHλ

RH =109737,3 cm-1

n=3, 4, 5, ...

Recordando: O modelo atômico de Bohr (1913)

Motivação experimental:Niels H. D. Bohr

(1885 -1962)Prêmio Nobel de

Física: 1922

3

Considerando o experimento de espalhamento de Rutherford e as ideias de “quantização” e da existência dos fótons, Bohrintroduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio, baseadoem quatro postulados:

1. O elétron se move em uma órbita circular em torno do núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo, (mecânica clássica).

2. O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem momentos angulares L “quantizados” :

,....,,nnL 321== h

O modelo atômico de Bohr (1913)

4

3. O elétron fica em órbitas “estacionárias”e não emite radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total Epermanece constante.

4. Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente numa órbita de energia Ea , muda para uma órbita de energia menor Eb. A freqüênciaf da radiação emitida é dada por:

Em outras palavras, na transição do estado a para o estado b o átomo emite um fóton de frequência f.

hEE

f ba −=

O modelo atômico de Bohr (1913)

5

Considerando o núcleo em repouso, a força elétrica no elétron é dada por

v

-e, m

+e2

0

2 1

4 r

eF

πε−=

r

vm

r

e 2

20

2 1

4=

πε

Para uma órbita circular:

hnL =rmvL =

rm

nv

h=

2

20

2

nme

hrn π

ε=

Quantização das órbitas!

O modelo atômico de Bohr (1913)

Se

e6

Assim, a energia total das diferentes órbitas será dada por:

Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios:

eVnnh

meEn 2222

0

4 6,1318

−=−=ε

2

20

2

nme

hrn π

ε=

5291,020

2

0 ==me

hr

πε

20nrrn =

com

ou

Å (raio de Bohr)

O modelo atômico de Bohr (1913)

Mas:r

e

r

emvUKE

0

2

0

22

842 πεπε−=

−+=+=

r

vm

r

e 2

20

2 1

4=

πε

v-e, m

+e

7

As freqüências emitidas nas transições seriam:

Portanto, Bohr prevê que:

sendo um êxito para a sua teoria!

132

0

4

1097378

−≈= cmch

meRH ε

−−=−=→ 22320

4 11

8 'nnh

me

h

EEf nn

'nnε

O modelo atômico de Bohr (1913)

−=

−−=→

2222320

4

'

1

´

1

´

11

8

1

nnR

nnch

meH

nn ελ

(constante de Rydberg)

2220

4 1

8 nh

meEn ε

−=

8

O modelo de Bohr explicou as raias espectraisconhecidas para o átomo de hidrogênioe mostrou que deveriam existir outras, fora do espectro visível.

λ →Balmer

9

( )r

erU

1

4 0

2

πε−=

O poço de potencial onde o elétron está confinado (potencial coulombiano) tem a forma:

A equação de Schrödinger para o elétron nesse potencial é:

)(E)()r(U)(m

rrrrrrh ψψψ =+∇− 2

2

2

A equação de Schrödinger e o átomo de H

10

11

( )φθ ,,rr ⇔r

Coordenadas esféricas:

12

( ) ( ) ( )h/iEtexpφθ,r,tφ,θ,r,Ψ −=ψ

Lembre-se de que:

É esta a função que procuramos...

( ) ( ) ( ) ( )φθφθψ ΦΘrR,,r =

lnúmero quânticoorbital

(Módulo do Momento AngularOrbital)

nnúmero quânticoprincipal

(Energia)

mnúmero quântico

magnético(Orientação

do Momento AngularOrbital)

símbolo valores

n 1, 2, 3,

l 0,..., n-1

m -l,..., l

Como o potencial coulombiano só depende der, a equação de Schrödinger pode ser separada em três equações e a função de onda pode ser separada (em coordenadas esféricas).

Isto produz três equações diferenciais separadas, uma em cada variável (r, θ,φ) !

A equação de Schrödinger e o átomo de H

13

14

( ) ( ) ( ) ( )φθφθψ mlmnlm,l,n ΦΘrR,,r =

Para estes estados, as soluções da equação de Schrödinger...

....... são bem comportadas!!

Para tal, impomos condições de contorno....

O número quântico orbital l corresponde aos estados:

(1,0,0)

(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)

l = 0, 1, 2, 3, 4,...(s, p, d, f, g)

0E−

4/0E−

9/0E−

(3,1,0)(3,0,0) (3,1,-1)(3,1,1) (3,2,1)(3,2,0) (3,2,2)(3,2,-1) (3,2,-2)

)(rnlm

rψ

(n,l,m)1s

2s 2p

3s 3p 3d

A equação de Schrödinger e o átomo de H

−∝2

1

nEn

15

)r(ER)r(R)r(Udr

)r(dR

rdr

)r(Rd

m=+

+− 2

2 2

22h

•Para oestado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos a equação radial(sem dependência em θ e φ ) :

( ) 0rr

0

er

r−

=2

31001

πψ é o raio de Bohr0; r

• A função de onda do hidrogênio no estado fundamental (1,0,0):

A equação de Schrödinger e o átomo de H

16

17

Algumas funções de onda mais para outros estados do H:

0r/a=σAqui a0 é o raio de Bohr e

18

Interpretação:Vale a condição de normalização da densidade de probabilidade:

( ) 10

=∫∞

dr rP

( ) ( ) 1=∫∫∫ dV,,r ,,r*espaço o todo

φθψφθψPara a densidade de probabilidade em todo o espaço:

Para a densidade de probabilidade radial:

• A densidade de probabilidade associada à função de onda:

Probabilidade de medirno volume dVà distância r

densidade de probabilidade|Ψ(r)|2

à distância r× dV=

( ) 0

22

30

4 rr

err

rP−

=

( ) ( ) ( ) drrrdVrdrrP 2224πψψ ==

então:

A equação de Schrödinger e o átomo de H

[ p. ex., para o estado fundamental: (n,l,m) = (1,0,0) ]

( ) 0

23

0

100

1 rr

er

r−

−=π

ψ

19

z

x

y

Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial

( ) 0

22

30

4 rr

err

rP−

=

(n,l,m) = (1,0,0)

20

21

P(r)

r

r

r

Átomo de H: Densidade de Probabilidade Angular

22

Construindo os orbitais.......

θθθθ cos2θθθθ0° 1

30° 3/4

45° 1/2

60° 1/4

90° 0

120°

1/4

135°

1/2

150°

3/4

180°

1

orbitais atômicos

z

x

y

Átomo de H: Orbitais Atômicos

24

25

htt

p://

seve

nco

lors

.org

/pos

t/hyd

roge

n-a

tom

-orb

itals

Estado 1sn=1, l=0, m=0

Estado 2sn=2, l=0, m=0

Estado 2pn=2, l=1, m=0

Estado 2pn=2, l=1, m= ±1

Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial

)(112 rP ±

)(012 rP

26

27

Resumo da aula: Para o átomo de hidrogênio vimos:

• As soluções da equação de Schrödinger;

• Os estados quânticos permitidos, caracterizados pelos números n, l, m;

• A interpretação probabilística da densidade de probabilidade |ψψψψ* ψψψψ| e da P(r);

• Representação de alguns orbitais.

Probl. Cap. 39; No. 34:

Um átomo de hidrogênio, inicialmente emrepouso no estado n = 4,sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo umfótonno processo. Qual é a velocidade de recuo do átomo de H?

Conservação: ;:ouc

Evmpp foton

recpfotonrec =−= rr

onde: mH ≈ mp (massa do próton)

eV 12,75eV1

1

4

16,13 2214 =

−−=−= EEE foton

m/s 08,4)103/(10938

75,12

/ 862 ≈××

≈=ccm

Ev

p

fotonrec

onde: m/s 103 c e MeV 938 82 ×≈≈cmp28

Probl. Cap. 39 No. 35:

No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron possuiuuma energia total de -13,6 eV. Quais são(a) a energia cinética e(b)a energia potencial do elétron a uma distância do núcleo igual aoraio de Bohr?

( ) ( )m

CCmN

r

erU

BohrBohr 11

219229

0

2

10292,5

10602,1/.1099,81

4 −

−

××⋅×−=−=

πε

( ) eVJrU Bohr 2,271036,4 18 −=×−= −

eVUEKUKE 6,13)2,27(6,13 =−−−=−=⇒+=

b)

a)

29

Probl. Cap. 39; No. 43:

As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecemna figura abaixo, para os quaisn = 2, l = 1 e ml = 0, +1 e -1 são:

;cos24

1),( 2/2/3

210 θπ

θψ area

rar −−

= ( ) ;sen8

1),,( 2/2/3

112φθ

πφθψ iar ee

a

rar +−−

+

=

( ) .sen8

1),,( 2/2/3

112φθ

πφθψ iar ee

a

rar −−−

−

= Observe que a primeira função

de onda é real, mas as outras são complexas. Determine as densidades de probabilidade radial P(r) e verifique que são consistentes com os gráficos mostrados: (a) para e (b) para e . (c) Some as três funções densidade e mostre que o resultado depende apenas de r, ou seja, que a densidade de probabilidade radial total tem simetria esférica.

210ψ 112 +ψ 112 −ψ

pz px, py

n = 2, l = 1

ml = 0 ml = ±1 30

(a)

(b) ( ) [ ] === −+2*

211211112112 4),,(),,(,),( rrrrPrP πφθψφθψθθ

( ) θθθ 2/5

4

112112 sen16

,),( area

rrPrP −

−+ ==

;sen16

4sen64

2/5

422/

5

2

θπθπ

arar ea

rre

a

r −− =

= 1=−+ φφ ii eepois:

θ2/5

222

sen16

)( 22 ayxea

yx +−+=

n = 2, l = 1

ml = 0

ml = ±1pz px, py 31

(c)

= 1

artotal e

a

rrP /

5

4

8)( −= é independente de θ e φ , portanto é

esfericamente simétrica.

θπψ 2/5

422

210 cos8

)4( area

rr −=

θπψπψ 2/5

422

12122

121 sen16

)4()4( area

rrr −

−+ ==

32